试卷临沂一中数学2020高三期中考试

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2019-2020学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷(PDF版含答案)

4 个说法正确的是（） A．在（0，π）上存在 x1，x2，满足 f（x1）﹣f（x2）＝2 B．f（x）在（0，π）有且仅有 1 个最大值点
C．f（x）在ㄷ ，㐲单调递增
D．ω的取值范围是， ᦙ 㐲
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
14．若 tanα＝2，则 tᡰㄷ 㤱㐲㐲
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{2，3a}，B＝{a，b}，A∩B＝{ }，则 A∪B＝（）
A．瓠，，
B．瓠，
C．，
D．，，
【解答】解：∵ t 㐲，
∴ ∈ ， ∈ t，
A．77.2 寸
B．72.4 寸
C．67.3 寸
D．62.8 寸
7．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1+a3＝3，a2+a4＝6，则 S8＝（）
A．45
B．81
C．117
D．153
8．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中＞，＜）的图象如图所示，为了得到 g（x）＝
节气冬至小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至（大（小（立（霜（寒（秋（白（处（立（大（小雪）雪）冬）降）露）分）露）暑）秋）暑）暑）
晷影 130.0 …… …… …… …… …… …… ？ …… …… …… …… 14.8 长度
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）㐲 ‶ 㤱cosx，
f′（x）㐲 x﹣sinx， ∴f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D；令 f″（x）㐲瓠cosx＝0 可得 x㐲㤱2kπ，

2020年山东临沂市高一(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A. 2B. 3C. 5D. 132.化简-+-得（）A. B. C. D.3.若向量，，则向量的坐标是（）A. （3，4）B. （-3，4）C. （3，-4）D. （-3，-4）4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球5.对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关6.已知向量，若，则tanθ的值等于（）A. B. C. -1 D. 17.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则x与y的线性回归方程为必过点（）A. （1，2）B. （1.5，4）C. （2，2）D. （1.5，0）8.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c cos A=b，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形9.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在：（56.5，64.5）的学生人数是：（）A. 20B. 30C. 40D. 5010.下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若与是单位向量，则11.为得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象向（）个单位．A. 左平移B. 右平移C. 左平移D. 右平移12.已知ω为正实数，函数在上为增函数，则（）A. B. 0＜ω≤2 C. D. ω≥2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=，则sinβ的值等于______．14.已知样本x1，x2，…x n的方差是2，则样本 3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的方差是______．15.若向量满足，与的夹角为60°，那么=______．16.关于下列命题①函数y=tan x在第一象限是增函数；②函数y=cos2（-x）是偶函数；③函数y=4sin（2x-）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[-，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知tan（-α）=1．（1）求的值；（2）求sin2α的值．18.做投掷2颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，写出：（1）求事件“出现点数相等”的概率（2）求事件“出现点数之和大于8”的概率．19.已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且∥，求的坐标．（2）若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角θ20.在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a=2c•sin A，（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若边a=3，△ABC的面积等于，求边长b和c．21.已知函数f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．22.已知向量，，且（1）求并判断x为何值时；（2）若的最小值是，求λ的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：各层次之比为：30：75：195=2：5：13，所抽取的中型商店数是，故选C先计算大型商店、中型商店、小型商店的层次比，再计算中型商店需抽取的数量即可．本题考查分层抽样，属基本题．2.【答案】D【解析】【解答】解：-+-=--=-=故选：D．【解析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得-+-的值．向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接首尾连”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”3.【答案】D【解析】解：向量=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4），故选：D．根据两个向量坐标形式的运算法则可得向量=（0，-2）-（3，2），运算求得结果．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，u随v的增大而增大，即可得出其相关性.本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵向量，且，∴（-3）sinθ-（cosθ-2sinθ）=0即-sinθ-cosθ=0即sinθ=-cosθ∴tanθ=-1故选C由已知中向量及，我们可由平面向量数量积的坐标公式，可得关于θ的三角方程，解方程可得tanθ的值．本题以同角三角函数的基本关系为载体考查了平面向量共线的坐标表示，其中根据平面向量共线的坐标公式，构造关于θ的三角方程是解答关键．7.【答案】B【解析】解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）∵线性回归直线必过样本中心点，∴x与y的线性回归方程为必过点（1.5，4）故选B．先求出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，得到本题要选的点是样本中心点．本题考查样本中心点，是一个基础题，这种题目解决的关键是写出正确的平均数，进而得到样本中心点，不需要大量的运算．8.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，c cos A=b，∴根据正弦定理，得sin C cos A=sin B，…①∵A+C=π-B，∴sin（A+C）=sin B，即sin B=sin C cos A+cos C sin A，将①代入，可得cos C sin A=0，∵A、C∈（0，π），可得sin A＞0，∴cos C=0，得C=，即△ABC是直角三角形，故选：C．根据正弦定理结合题中的等式，化简得sin C cos A=sin B，再用sin（A+C）=sin B展开化简得到cos C sin A=0，结合三角形内角的范围即可得到C=，即△ABC是直角三角形．本题给出三角形的边角关系，判断三角形的形状，着重考查了两角和的正弦公式和正弦定理等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由频率直方图得，体重在（56.5，64.5）的频率为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4，∴所求人数为100×0.4=40．故选：C．由频率直方图求出体重在（56.5，64.5）的频率，再求出频数即可．本题考查频率分布直方图的应用，考查了频率，频数的关系，考查学生的实际应用能力，基础题．10.【答案】B【解析】解：若，则•（-）=0，∴⊥（-），不能推出，故排除A；若，平方可得++2=+-2，则=0，故B正确；若，则不能推出，因为当=时，与的关系是任意的，故排除C；若与是单位向量，则当时，=0，不能推出=1，故排除D，故选：B．利用两个向量共线、垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵y=f（x）=sin2x=cos（2x-），∴f（x+）=cos[2（x+）-]=cos（2x+），∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，故选A．利用诱导公式将y=sin2x转化为y=cos（2x-），再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，将y=sin2x转化为y=cos（2x-）是关键，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：已知ω为正实数，函数=sinωx在上为增函数，∴-ω≥-，且ω≤，求得0＜ω≤，故选：A．由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出ω的范围．本题主要考查二倍角公式、正弦函数的单调性，属于基础题．13.【答案】【解析】【分析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．由α，β都是锐角，得出α+β的范围，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β变为（α+β）-α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），又sinα=，cos（α+β）=，∴cosα=，sin（α+β）=，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=×-×=．故答案为：14.【答案】18【解析】解：∵样本x1、x2、…、x n的方差为2，又∵一组数据中的各个数据都扩大几倍，则新数据的方差扩大其平方倍，∴样本3x1、3x2、…、3x n的方差为32×2=18，∵一组数据中的各个数据都加上同一个数后得到的新数据的方差与原数据的方差相等，∴样本3x1+2、3x2+2、…、3x n+2的方差为18．故答案为：18．先根据方差的性质，计算出样本3x1、3x2、…、3x n的方差，然后再求样本3x1+2、3x2+2、…、3x n+2的方差即可．本题考查方差的计算公式的运用．一般设有n个数据，x1，x2，…x n，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．15.【答案】【解析】解：∵，∴，∴．故答案为：．根据条件即可得出，然后进行数量积的运算即可求出，从而可得出的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】①③【解析】解：①由正切函数的图象可知函数y=tan x在第一象限是增函数，命题正确；②f（x）=cos2（-x）=cos（-2x）=sin2x，f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），故命题不正确；③∵0=4sin（2×-），∴命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．综上，所有正确的命题的题号：①③，故答案为：①③①由正切函数的图象可知命题正确；②化简可得f（x）=sin2x，由f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），可知命题不正确；③代入有0=4sin（2×-），可得命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，比较即可得命题不正确．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，属于基本知识的考查．17.【答案】解：（1）∵tan（-α）=-tanα=1，可得tanα=-1，∴===0．（2）sin2α====-1．【解析】（1）由已知利用诱导公式可求tanα=-1，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解．（2）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：这个试验的基本事件空间为Ω={（x，y）|1≤x≤6.1≤y，且x∈N，y∈N }，共有36个基本事件． (2)（1）事件“出现点数相同”含有的基本是：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共有6个基本事件，所以概率为= (7)（2）事件“出现点数之和大于8”含有基本事件：（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），（4，6），（5，5），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个基本事件，概率为= (12)【解析】（1）计算出所有基本事件个数，和满足条件“出现点数相等”的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．（2）计算出所有基本事件个数，和满足条件“出现点数之和大于8”的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.【答案】解：（1）设（1分）∵∥且||=2∴，（3分）∴x=±2（5分）∴=（2，4）或=（-2，-4）（6分）（2）∵（+2）⊥（2-）∴（+2）•（2-）=0（8分）∴22+3•-22=0∴2||2+3||•||cosθ-2||2=0∴2×5+3××cosθ-2×=0∴cosθ=-1（10分）∴θ=π+2kπ∵θ∈[0，π]∴θ=π（12分）【解析】（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于2，待定系数法求出的坐标．（2）由+2与2-垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值，再利用夹角θ的范围，求出此角的大小．本题考查平面上2个向量平行、垂直的条件，以及利用2个向量的数量积求2个向量的夹角．20.【答案】解（Ⅰ）由a=2c•sin A及正弦定理得，sin A=2sin C•sin A得sin C=，…（4分）因为△ABC是锐角三角形，∴．…（6分）（Ⅱ）由面积公式得S=…（8分）得b=2…（9分）由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=9+4-2×=7…（11分）所以c=…（12分）【解析】（Ⅰ）通过已知条件结合正弦定理以及三角形是锐角三角形即可求角C；（Ⅱ）通过边a=3，△ABC的面积等于，直接求出边长b，通过余弦定理即可求出c．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本知识的考查．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=2sin x cosx+2cos2x-1，得f（x）=（2sin x cosx）+（2cos2x-1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=-1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为-1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=-=-．所以cos2x0=cos[（2x0+）-]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．【解析】先将原函数化简为y=A sin（ωx+φ）+b的形式（Ⅰ）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（Ⅱ）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=A sin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．22.【答案】解：（1）∵=（cos+cos，sin -sin），故2=2+2cos2x=4cos2x．因为，所以=2cos x．再由，若，则，所以时，．（2）∵=2（cos x-λ）2-1-2λ2，因为，所以cos x∈[0，1]．讨论：若λ＜0时，f（x）min=-1，矛盾．若0≤λ≤1时，=-，解得．若λ＞1时，f（x）min=1-4λ=-，解得，矛盾．综合可得．【解析】（1）先求出的坐标，从而求出的值，从而求得=2cos x．再由，求出时x的值．（2）化简函数f（x）的解析式为2（cos x-λ）2-1-2λ2，分λ＜0、0≤λ≤1、λ＞1三种情况，根据函数的最小值等于分必然求出λ的值．本题主要考查两个向量数量积公式的应用，余弦函数的定义域和值域，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

(完整word)2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1=2,3,,3aA B a b A B ⎧⎫=⋂=⎨⎬⎩⎭，，则A B =U （）A ．1123⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，， B ．113⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，C ．123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D ．1123⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，【答案】A【解析】根据13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭得：1133A B ∈∈，，可得1,a =-13b =，最后利用集合的并运算，可得答案. 【详解】因为13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，所以1133A B ∈∈，，所以1,a =-13b =，所以11=2,,1,33A B ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以1123A B ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=U ，，.故选：A. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合的并运算，考查对集合概念的理解及基本的运算求解能力.2．函数()ln 21y x =++ ） A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由对数的真数大于0，被开方数大于等于0，列出关于x 的不等式组，再解不等式得到函数的定义域. 【详解】因为21210,,1,2240,222,x x x x x ⎧+>>-⎧⎪⎛⎤⇒⇒∈-⎨⎨ ⎥-≥⎝⎦⎩⎪-≤≤⎩，所以函数的定义域为1,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，即使函数解析式有意义的自变量x 的取值的集合，考查基本运算求解能力.3．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】 ∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．4．已知,,a b c 满足a b c >>，且0ac <，那么下列选项中不一定．．．成立的是（） A ．ab ac > B ．()0a b c -<C ．22a c b c <D ．()0ac a c -<【答案】C【解析】利用不等式的性质、结合综合法、分析法对选项进行验证. 【详解】因为a b c >>，且0ac <，所以0,0,0a c b c ><->，对A ，若()0ab ac a b c >⇔->显然成立，所以ab ac >，故A 正确；对B ，因为0,0a b c -><，所以()0a b c -<，故B 正确；对C ，因为0c <，所以2222a c b c a b <⇔>，若5,3,4c a b =-==-，此时22a b >不成立，若5,3,1c a b =-==-，此时22a b >成立，故C 不一定成立；对D ，因为0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<成立，故D 正确；故选：C. 【点睛】本题考查不等式性质的运用，求解时注意结合不等式证明的综合法、分析法，可使问题的求解更清晰，考查逻辑推理能力.5．已知向量,a b r r ，满足2,2,1a b a b ==⋅=r r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（）A ．25B ．24C ．23D ．22【答案】B【解析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值. 【详解】设向量a r 与b r的夹角为θ，所以4co 2s 22a b a b θ⋅=⋅==r r r r . 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的定义、向量的夹角公式，考查基本的运算求解能力.6．二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为130．0寸，夏至的晷影最短为14．8寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（）A ．77.2寸B ．72.4寸C ．67.3寸D ．62.8寸【答案】D【解析】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为13a ，求出等差数列的公差d ，再求8a 即可得到清明的晷影长. 【详解】设冬至的晷影长为等差数列{}n a 的首项1a ，夏至的晷影长为为13a ，所以13114.81309.613112a a d --===--，所以8130(81)(9.6)62.8a =+--=. 故选：D. 【点睛】本题考查实际问题的建模，考查等差数列通项公式的应用，求解时要以哪一项为等差数列的首项，防止公差d 求错，考查基本运算求解能力.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13243,6a a a a +=+=，则8=S （） A ．45 B ．81C ．117D ．153【答案】D【解析】利用通项公式得到关于1,a q 的两个方程组，求出1,a q 的值后，直接代入等比数列的前n 项和公式中，求得8S 的值. 【详解】由题意得：21113113,3,56, 2.a a a q a q a q q ⎧⎧=+=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩所以883(12)515312S -==-. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式、前n 项和公式，求解时要注意运算的准确性. 8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 图象（）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】根据函数()f x 的图象求得1,3,4A πωϕ===，再根据左加右减平移变换，要得到()g x 的解析式，观察出如何进行平移变换. 【详解】由题意得：1A =，5223412463T T πππππωω=-=⇒==⇒=，所以()()sin 3f x x ϕ=+，所以5553sin 312,121242f k k Z ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⇒+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2πϕ<，所以4πϕ=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位长度可得：()sin 3()sin 3()124f x x x g x ππ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查从三角函数图象提取信息求,,A ωϕ的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数()f x 平移变换到函数()g x ，考查数形结合思想的运用.9．已知()()21sin ,42f x x x f x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用诱导公式对函数解析式进行化简，再利用函数'()f x 的奇偶性及函数'()f x 在原点右边的小邻域内单调递减，即可选出正确答案. 【详解】因为()21sin 42f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()21cos 4f x x x =+，所以'()f x 为奇函数，排除A ，D ；因为'1()sin 2f x x x =-，''1()cos 2f x x =-，当0)3x π∈（，时，''1()cos 02f x x =-<，所以'()f x 在0)3π（，内递减. 故选：B. 【点睛】本题考查导数在函数中的应用、诱导公式、奇偶性、单调性的综合运用，求解时要充分利用图象提供的信息，寻找隐含条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先得到函数的周期为6，利用()3y f x =+为偶函数，得到()()33f x f x -+=+，将(10)f 化成(2)f ，再比较12,ln 2,2e 的大小关系，最后利用函数的单调性得到()()12ln 2,10,f f f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为()()6f x f x +=，所以()f x 的最小正周期6T =，因为()3y f x =+为偶函数，所以()()33f x f x -+=+，所以(10)(4)(2)f f f ==，因为0ln 21<<，1212e <<，且()f x 在(0，3)内单调递减，所以()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.二、多选题11．下列命题中，是真命题的是（）A ．已知非零向量,a b r r ，若,a b a b +=-r r r r 则a b ⊥r rB ．若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数【答案】ABD【解析】对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数.【详解】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=r r r r r r r r r r r r r r ，所以a b ⊥r r，故A 正确；对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确；对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x ff x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D正确；故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.12．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数中，具有性质P 的函数为（）①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()21f x x =-；③()3f x x x =+；④()2x f x =．A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABC【解析】函数()f x 具有性质P ，本质是在图象上找到三个点,,A B C ，且点B 为,A C 中点即可. 【详解】对A ，在函数()f x 图象上取(1,1),(0,0),(1,1)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故A 正确；对B ，在函数()f x图象上取((0,1),A B C ，有()(02f ff +=成立，故B 正确；对C ，在函数()f x 图象上取(1,2),(0,0),(1,2)A B C --，有()()()1102f f f -+=成立，故C 正确；对D ，因为()2xf x =，()()121212||||||||||1212222222222x x x xx x f x f x x x f +++++⎛⎫=≥=≥= ⎪⎝⎭因为12x x ≠，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查对命题的直接判断，函数与方程的综合应用，将问题转化成找到图象上的三个点，且前后两点关于中间点对称是求解本题的关键，考查数形结合思想的应用. 13．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（）A ．在()0,π上存在12,x x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最大值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】对A 选项，易知最小正周期T π<；对D ，结合伸缩变换先求sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，进而得到()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点，再列出不等式组，即可得ω的范围；对B ，可以把第三个零点与第四个零点的中点坐标求出来，利用选项D 中ω的范围，可得该中点坐标可能在[0,]π内；对C ，根据选项D 中ω的范围，可得6x πω-的范围不在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内. 【详解】对A ，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π<，所以在()0,π上存在12,x x ，使得()()121,1f x f x ==-，所以()()122f x f x -=可以成立，故A 正确；对B ，由D 选项中前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω，得0131986623x πππωωω+==，此时083x πω=可使函数()f x 取得最大值，因为1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以1681619313πππω<≤，所以()f x 在()0,π可能存在2个最大值点，故B 错误；对C ，由D 选项中1319,66ω∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以176612x πππω-<-<，区间17(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子区间，故C 错误；对D ，函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππ，则函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在y 轴右侧的前4个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω，因为()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，所以13,13196,1966,6ππωωππω⎧≤⎪⎪⎡⎫⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪>⎪⎩，故D 正确；故选：AD. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，对三角函数的中ω对图象的影响作用做了深入的考查，求解时要能灵活地运用伸缩变换，研究函数的图象特征，考查数形结合思想、函数与方程思想，同时要注意懂得先判断D 选项的正确性，再利用ω的范围为判断B ，C 选项服务.三、填空题14．若tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．【答案】45-【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于tan α的表达式，再进行求值；【详解】原式=2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos 2sin cos tan 15παααααααααα--⎛⎫+=-=-===- ⎪++⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.15．若函数()3231f x x ax x =-++在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】154a ≥【解析】对函数进行求导，利用'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，求得a 的取值范围.【详解】由题意得：'2()323f x x ax =-+，因为()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以'()0f x ≤在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以2111()0,3(230,152224(1)0,3230,f a a f a ⎧⎧≤⨯-⨯+≤⎪⎪⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≤-+≤⎩⎩''）. 故答案为：154a ≥. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查二次函数根的分布问题，求解时要注意是'()0f x ≤恒成立，而不是'()0f x <恒成立，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．ABC ∆中，D 为AC 上的一点，满足13AD DC =u u u r u u u r．若P 为BD 上的一点，满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则mn 的最大值为_________；41m n+的最小值为_________．【答案】11616 【解析】由13AD DC =u u u r u u u r 得14AD AC =u u ur u u u r ，再,,B P D 三点共线得41m n +=，进而利用基本不等式分别求得mn ，41m n+的最大值和最小值.【详解】如图所示，由13AD DC =u u u r u u u r 得14AD AC =u u ur u u u r ，所以4AP mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r，所以41m n +=()0,0m n >>，所以21141(4)()44216m n mn m n +=⋅≤=，等号成立当且仅当11,28m n ==，所以mn 的最大值为116.因为414116()(4)816n m m n m n m n m n +=++=++≥，等号成立当且仅当11,28m n ==，所以41m n+的最小值为16.故答案为：116；16.【点睛】本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立.17．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，则sinC =___________．【答案】12【解析】根据,,a b c 依次成等比数列得2b ac =，利用正弦定理得2sin sin sin B A C =⋅，利用()B A C π=-+化简()1cos cos 2A CB --=得1cos cos 4A C =，求出23B π=及A C =，最后求得sin C 的值.【详解】因为,,a b c 依次成等比数列，所以2b ac =，在ABC ∆中，2sin sin sin a b cR A B C===，所以2sin sin sin B A C =⋅①，因为()()()111cos cos cos cos cos cos 224A C B A C A C A C --=⇒-++=⇒=②，由①-②得：()2211cos sin cos (1cos )44A CB B B +=-⇒-=--，所以1cos 2B =-，因为0B π<<，所以23B π=，则sin B =. 由①+②得：cos()16A C A C π-=⇒==，所以1sin 2C =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比中项、三角形内角和、诱导公式、三角恒等变换等知识的综合运用，求解时注意两角互补，余弦值是互为相反数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.四、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且346,20a S ==． (1)求n a ；(2)若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．【答案】（1）2.n a n =（2）6k =【解析】（1）利用通项公式和前n 项和公式得314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩求出1,a d ，即可写出通项公式；（2）由等比中项性质得关于k 的一元二次方程，可求出k 的值，并把不符合题意的k 值舍去. 【详解】（1）设公差为d ，则314126,43420,2a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得，12,2,a d ==()2122.n a n n ∴=+-⨯=（2）()()()()()2212,22223.2k k k k a k S k k k +++==+⨯+⨯=++Q又12,,k k a a S +成等比数列，()()()22232k k k ∴++=， 2560k k ∴--=，6k ∴=或1k =-，又k *∈N ， 6k ∴=.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式、等比中项性质，考查函数与方程思想及基本量法的运用.19．设函数()22sin cos f x x x x ωωω=+的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的解析式； (2)若()()1,0,fααπ=∈，求α的值．【答案】（1）()52sin 136f x πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）=10πα或710π.【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式得()2sin 216f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据图象的对称轴求得ω的值，进而得到函数的解析式；（2）根据()1f α=得到关于α的方程，再解三角方程得到α的值.【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+2cos 21x x ωω=-+2sin 216x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.Q ()f x 图象关于直线x π=对称，2,62k k Z πππωπ∴-=+∈.123k ω∴=+，又112ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，令1k =时，5=6ω符合要求， ∴()52sin 136f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）()52sin 11,36f παα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭Q 5sin 0,36πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭536k παπ∴-=，即3=,510k k Z παπ+∈， ()0,απ∈Q ，∴当0k =时，=10πα；当1k =时，7=10πα； =10πα∴或710π. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象性质、已知三角函数值求角，考查基本运算求解能力，注意在解题过程中关注ω和角α的范围.20．已知函数()()1ln ,0f x a x a R a x=+∈≠. (1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；(2)若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求a 的取值范围．【答案】（1） 1.a =（2）1a e<-或a e >【解析】（1）先对函数求导，由()10f '=得到a 的值；（2）若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，问题转化为()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0，再对a 分3种情况讨论. 【详解】解：（1）()1ln ,f x a x x=+Q ()2211,a ax f x x x x-'∴=-= Q 曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，()10,f '∴=()110,f a '∴=-= 1.a ∴=（2）()210,ax f x a x-'=≠Q ，且令()0f x '=，得1x a=，若在区间(]0,e 上存在0x ，使得()00f x <，即()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0. ①当10a<，即0a <时，()()00f x '<+∞在，上恒成立， ()f x ∴在区间(]0,e 上的最小值为()1f e a e=+.由10a e+<，得1a e <-.②当10e a<<时，即1a e >，此时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x∴在区间1 0,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的最小值为11ln,f a aa a⎛⎫=+⎪⎝⎭由()11ln1ln0f a a a aa a⎛⎫=+=-<⎪⎝⎭，得a e>.③当1ea≥，即10,ae<≤此时当()0,x e∈上时，()0f x'<恒成立，()f x∴在(0,)e上的最小值为()1f e ae=+，显然1ae+<不成立.综上可知，所求a的取值范围为1ae<-或a e>.【点睛】本题考查函数在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性，求解时注意曲线在某点处的切线方程与过某点切线方程的区别，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，在分类时要找准分类的标准，做到不重不漏.21．如图，在平面四边形ABCD中，3,,244ABC BAC DAC CD ABπ∠=∠=∠==．(1)若20AC=△ABC的面积；(2)若6ADCπ∠=，求AC．【答案】（1）2（2）25AC=【解析】（1）利用余弦定理求出BC的值，再由面积公式得到1sin2ABCS AB BC ABC∆=⋅⋅∠求得△ABC的面积；（2）设BAC CADθ∠=∠=，在ABC∆中利用正弦定理得2sin4ACπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，在ACD ∆中利用正弦定理得4sin sin6ACπθ=，从而得到关于θ的方程2sin cos θθ=，求出θ后，代入AC 的表达式，即可得答案. 【详解】（1）3,2,4ABC AB AC π∠===Q ，由余弦定理可得，2222cos ,AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠22044BC BC ∴=++⨯2160,BC ∴+-=BC ∴=BC =-，11sin 22222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. （2）设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中，sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4AC θ∴=- ⎪⎝⎭在ACD ∆中sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=， 2.sin AC θ∴=2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭，解得：2sin cos θθ=，又0,sin 4πθθ<<∴=，2sin AC θ∴==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角θ，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于θ的方程，是对函数与方程思想的深入考查.22．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g (n )是生产时间n 个月的二次函数2()(g n n kn k =+是常数)，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元． (1)求前6个月的累计生产净收入g (6)的值；(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．【答案】（1）630万元（2）经过10个月投资开始见效【解析】（1）由前3个月的累计生产净收入可求得100=k ，第4个月的净收入为()()43107g g -=万元，再根据题意得()()642107g g =+⨯；（2）求出表达式()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦，将分段函数代入不等式解出n 的取值.【详解】解：（1）据题意()2333309g k =+=，解得100.k =()2100.g n n n ∴=+第4个月的净收入为()()43107g g -=万元.()()642107g g ∴=+⨯244002107630=++⨯=万元.（2）()()()()()2100,4,4443,4,n n n g n g n g g n ⎧+≤⎪=⎨⎡⎤+-->⎪⎣⎦⎩ 即()2100,4,10712, 4.n n n g n n n ⎧+≤=⎨->⎩ 要想投资开始见效，必须且只需()()150012080422n n g n n n -⎡⎤-+>-+⨯⎢⎥⎣⎦，即()2773800g n n n +-->，①当1,2,3,4n =时，22100773800,n n n n ++-->即22233800,n n +->即()223380n n +>，显然不成立. ②当4n >时，210712773800n n n -+-->，即2303920n n +->，即()30392n n +>，验算得10n ≥时，()30392n n +>，所以，经过10个月投资开始见效. 【点睛】本题考查分段函数与二次函数的实际应用，考查对实际问题的建模能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想的综合运用.在求解关于n 的不等式时，可以灵活运用代入法判断不等式的解.23．已知()()()5,ln 2x e f x g x x x x ==-．(1)当0x >时，证明：()()f x g x >；(2)已知点()()(),sin ,cos P x xf x Q x x -，点，若O 为坐标原点，设函数()h x OP OQ =⋅u u u r u u u r ，当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，试判断()h x 的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）零点个数为2【解析】（1）构造函数()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--，利用导数证明()x ϕ的最小值大于0，从而证明不等式成立；（2）求出函数()sin cos x h x x x e x =-，对区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦分成四种情况讨论，并利用零点存在定理、结合函数的单调性判断零点的情况.【详解】（1）令()()()()5ln 2x e x f x g x x x x ϕ=-=--. 则()()2512.x e x x x x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'= 令()5,0,2x G x e x x =-> 则()5,2xG x e '=- 由()0G x '>，得5ln 2x >，由()0G x '<，得5ln 2x <<0， ()G x ∴在50ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减，在5ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ()555555ln ln 1ln 0222222G x G ⎛⎫⎛⎫∴≥=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 502x e x ∴->在()0+∞，上恒成立， ()x ϕQ 在()01，递减，在()1+∞，递增， ()()510,2x e ϕϕ∴≥=-> ()()f x g x ∴>.（2）Q 点()(),P x xf x ，点()sin cos Q x x -，， ()(,)(sin ,cos )sin cos x x h x OP OQ x e x x x x e x ∴=⋅=⋅-=-u u u r u u u r ， ()()()1sin cos ,x x h x e x x e x '∴=++-①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，可知,0x x e x x e >∴-<，又sin 0,cos 0,x x ≤≥()()0,h x h x '∴<在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减， ()01,022h h ππ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭. ()h x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点。

山东省临沂市2020版高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

山东省临沂市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·齐齐哈尔模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·河南模拟) 已知复数z＝i（2＋3i）（i为虚数单位），则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·射洪期中) 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2016高一上·杭州期中) 函数f（x）=loga|x+1|在（﹣1，0）上是增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是（）A . 函数值由负到正且为增函数B . 函数值恒为正且为减函数C . 函数值由正到负且为减函数D . 没有单调性5. （2分） (2017高一下·孝感期末) 下列说法正确的是（）A . 零向量没有方向B . 单位向量都相等C . 任何向量的模都是正实数D . 共线向量又叫平行向量6. （2分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A . 18+36B . 54+18C . 90D . 817. （2分） (2016高二下·广州期中) 曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是（）A . 1B .C .D .8. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 在△ABC中，a=3，b=5，sinA= ，则sinB=（）A .B .C .D . 19. （2分）已知在R上是奇函数，且，当时，，则（）A . -2B . 2C . -98D . 9810. （2分） (2017高二上·江门月考) 数列前项的和为（）A .B .C .D .11. （2分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12πD . 16π12. （2分） (2018高二下·雅安期中) 函数在处的导数等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知sinα+cosα=，则sinα•cosα=________14. （1分）(2017·长宁模拟) 若数列{an}的所有项都是正数，且 + +…+ =n2+3n（n∈N*），则（）=________．15. （1分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD于点P，且 =18，则AP=________．16. （1分） (2017高一上·上海期中) 下列命题：①a＞b⇒c﹣a＜c﹣b；②a＞b，；③a＞b⇒ac2＞bc2；④a3＞b3⇒a＞b，其中正确的命题个数是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知数列{an}前n项和为Sn ，首项为a1 ，且，an ， Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证： + + +…+ ＜．18. （10分） (2017高一上·宜昌期末) 已知函数f（x）=2sin （2x+ ）．（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）用“五点法”画出函数g（x）=f（x），x∈[﹣， ]的图象（完成列表格并作图），由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．19. （10分） (2017高一下·西安期末) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知= ．（1）求的值（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面积S．20. （15分） (2015高三上·保定期末) 已知函数f（x）=axlnx﹣x+1（a≥0）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：当m＞n＞1时，mn﹣1＜nm﹣1．21. （5分） (2017高三下·黑龙江开学考) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．22. （10分）(2019·哈尔滨模拟) 已知函数， .（1）求的单调区间；（2）若在上成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

山东省临沂市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷(I)卷

山东省临沂市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·利辛月考) 集合，则 =（）A . {1,2}B . {0,1,2}C . {x|0≤x<3}D . {x|0≤x≤3}2. （2分） (2017高一下·河口期末) 已知，则（）A .B . -C .D . -3. （2分）设等差数列{an}的前n项和为Sn. 若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分） (2016高一下·太康开学考) 下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A . f（x）=B . f（x）=x2+1C . f（x）=x3D . f（x）=2﹣x5. （2分）已知a>1，若函数，则f[f(x)]-a=0的根的个数最多有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点（）,则log2f(2)的值为（）A .B . -C . 2D . -27. （2分）(2019·桂林模拟) 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若，则实数（）A .B .C .D .8. （2分）将函数y=cos（2x+）的图象向左平移单位后，得到的图象的函数解析式为（）A . y=cos（2x+）B . y=﹣sin2xC . y=cos（2x+）D . y=sin2x9. （2分） (2015高三上·来宾期末) 设函数f（x）= ，则不等式f（x）≤2的解集为（）A . （0，1]∪（2，+∞）B . [0，+∞）C . [0，1]D . （0，+∞）10. （2分） (2016高二下·深圳期中) 设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A . 若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥αB . 若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC . 若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥bD . 若a⊥b，且a∥α，则b⊥α11. （2分） (2019高一上·阜新月考) 已知方程有两个正根，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·东莞期末) 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共9分)13. （1分） (2018高一上·深圳月考) 幂函数的单调增区间是________14. （1分） (2018高一上·马山期中) 若函数，且，则实数a的取值范围是________．15. （1分）已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），则|β﹣α|的取值范围是________．16. （1分）(2016·诸暨模拟) 函数f（x）=sin（2x+ ）的周期为________，在（0， ]内的值域为________．17. （5分） (2016高二上·船营期中) 已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一上·南昌月考) 已知 .（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.19. （10分） (2017高一下·宜昌期中) 在等差数列{an}中，a14+a15+a16=﹣54，a9=﹣36，Sn为其前n项和．（1）求Sn的最小值，并求出相应的n值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|．20. （10分） (2019高一上·葫芦岛月考)（1）已知，求的最大值；（2）求的最小值.21. （10分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知点是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限内的点，且，(I) 求点的坐标；(II)以为圆心的动圆与轴分别交于两点，延长分别交抛物线于两点；①求直线的斜率；②延长交轴于点，若，求的值.22. （10分）(2017·泉州模拟) 已知函数f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x﹣2y﹣1=0．（1）求f（x）的单调区间与最小值；（2）求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共9分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

山东省临沂市2020学年新课标高三教学质量检测-数学试卷(理科)

2020学年新课标高三教学质量检测－数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭（）A ．－3+4i B. 0 C.－4+3i D.－4－3i2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为（） A ．27 B ．37 C ．38 D ．８3．2lg 0.11x >是||1x <的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件4．设随机变量ξ的方差是ξD ，则)(b a D +ξ（b a ,为常数）等于（） A.b aD +ξ B.b D a +ξ2 C.ξD a 2 D.ξaD5．曲线f (x )=x 3－2在P 0点处的切线平行于直线y =3x －1,则P 0点的坐标为（）A.(1，0)B.(2，8)C.(1，－1)和(－1，－3)D.(2，8)和(－1，－4)6. 某一供电网络有n 个用电单位,若每个单位在一天中用电的概率是p ,那么供电网络中一天平均用电的单位个数是（）A.np (1－p )B.npC.nD.p (1－p )7．若(1+5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ,(7x 2+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则∞→n lim nn nnb a b a 432+-的值是（） A.1B.－21C.31 D.41 8．给定集合A B 、，定义 {|,,}A B x x m n m A n B ==-∈∈※.若 {4,5,6},{1,2,3}A B ==，则集合 A B ※ 中的所有元素之和为（） A . 15 B . 14 C . 27 D . -149．已知20ax bx c ++=r r r r 是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c r r r是非零向量，且a r 与b r 不共线，则方程 A. 可能有无数个实数解 B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解 D. 至多有一个实数解10．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是（）11．函数⎰-=xdt t t x F 0)4()(在[－1，5]上（）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值332-C ．有最小值332-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值12．银行计划将某客户的资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润。

2020届山东省临沂市临沂一中高三上学期10月份联考数学试题(PDF版)

高三新高考备考监测联考数学2019.10考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.1.若集合M={x|-1<2-x≤1},N={x|x2-6x+8<0},则M∪N=A.(2,3]B.(2,3)C.[1,4)D.(1,4)2.若=(1,2),=(1,0),则=A.(2,2)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)3.函数f(x)=+ln|x|的定义域为A.[-1,+∞)B.[-1,0)∪(0,+∞)C.(-∞,-1]D.(-1,0)∪(0,+∞)4.若{a n}是首项为1的等比数列,则“>9”是“a2>3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=5e1-2e2,则|m|=A.B.C.2D.76.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC=6,则△ABC的最大内角的余弦值为A.B.- C.-D.-7.已知cos 27°≈0.891,则(cos 72°+cos 18°)的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.818.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为9.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得曲线关于y 轴对称,最后得到的曲线的对称轴方程为A.x=+(k∈Z)B.x=-+(k∈Z)C.x=+(k∈Z)D.x=-+(k∈Z)10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)的图象关于点(3,0)对称,当1≤x≤2时,f(x)=2x+log3(4x+3),则f()=A.-4B.4C.-5D.511.下列有四个关于命题的判断,其中正确的是A.命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题B.命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题C.命题“∀x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“∃x0∉N,lg(x0+1)>0”D.命题“在△ABC中,若·<0,则△ABC是钝角三角形”是真命题12.已知函数f(x)=,则A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的值域为(-2,2)D.f(x)的图象关于(-,0)对称13.若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在(,)上有最大值,则a的取值可能为A.-6B.-5C.-4D.-3第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.14.设函数f(x)=则f(-f(10))=▲.15.直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上的交点的个数为▲.16.张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x=▲;②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为▲.(本题每空2分)17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为▲,这9节竹子的总容积为▲.(本题每空2分)三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,a=8,b=8.(1)求tan B;(2)若△ABC不是直角三角形,求△ABC的面积.19.(12分)已知函数f(x)=x-a e ax(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范围.20.(14分)设数列{a n}的前n项和为S n,且2S n=3a n-1.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n=,求{b n}的前n项和T n,并比较T n与的大小.21.(14分)将函数g(x)=4sin x cos(x+)的图象向左平移φ(0<φ≤)个单位长度后得到f(x)的图象.(1)若f(x)为偶函数,tan α>2,求f(α)的取值范围;(2)若f(x)在(π,)上是单调函数,求φ的取值范围.22.(15分)已知函数f(x)=x(1-sin x).(1)求函数f(πx)在(-20,20)上的零点之和;(2)证明:f(x)在(0,)上只有1个极值点.23.(15分)已知函数f(x)= ax2-x+2a2ln x(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<+.数学试题参考答案1.C【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力.∵M=[1,3),N=(2,4),∴M∪N=[1,4).2.C【解析】本题考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力.=+=-=(0,2).3.B【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力.∵∴x∈[-1,0)∪(0,+∞).4.B【解析】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力.若>9,则q2>9,则a2=q<-3或a2>3;若a2=q>3,则=q2>9.故选B.5.A【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查运算求解能力.|m|====.6.D【解析】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力.因为BC边最长,所以A最大,且cos A==-.7.B【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力.cos 72°+cos 18°=sin 18°+cos 18°=sin(18°+45°)=sin 63°=cos 27°,(cos 72°+cos 18°)≈2×0.891=1.782,所以(cos 72°+cos 18°)的近似值为1.78.8.A【解析】本题考查函数图象的识别,考查推理论证能力.易知f(x)为偶函数,排除C.因为f()<0,f(π)=->->-1,所以排除B,D,故选A.9.D【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性,考查运算求解能力.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y=2sin(2x+),再将所得曲线关于y轴对称,得到曲线y=2sin(-2x+),令-2x+=-kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z).10.C【解析】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.因为f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0.又f(x)=f(2-x),所以f(2-x)+f(6-x)=0,所以f(x)=-f(x+4),则f(x)=f(x+8),所以f()=f(+100×8)=f().因为f()+f(6-)=0,f()=-f()=-(3+log39)=-5,所以f()=-5.11.AB【解析】本题考查命题的否定与命题真假的判断,考查推理论证能力.设f(x)=3x+cos x(x>0),则f'(x)=3-sin x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,从而命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题.若x=4且y=25,则xy=100,所以命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题.易知选项C是错误的.在△ABC中,若·<0,则·>0,则B为锐角,从而不能判断△ABC是钝角三角形,所以选项D也是错误的.12.ACD【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质,考查运算求解能力.∵f(x)==-2sin(2x+),cos(2x+)≠0,当且仅当cos(2x+)=0时,|sin(2x+)|=1,∴f(x)的值域为(-2,2),f(x)的最小正周期为π,f(x)的图象关于(-,0)对称.13.ABC【解析】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2= (a<0),当<x<0时,f'(x)<0;当x<或x>0时,f'(x)>0.从而f(x)在x=处取得极大值f()=-.由f(x)=-,得(x-)2(2x+)=0,解得x=或x=-.∵f(x)在(,)上有最大值,∴<≤-,∴a≤-4.14.16【解析】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力.f(-f(10))=f(-2)=42=16.15.3【解析】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法.∵cos(-)=-<-,∴直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上有3个交点.16.10;18.5【解析】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养.顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付120+70-x=180元,则x=10.设顾客一次购买干果的总价为M元,当0<M<150时,张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当M≥150时,0.8(M-x)≥0.7M,即M≥8x对M≥150恒成立,则8x≤150,x≤18.75,又2x ∈Z,所以x的最大值为18.5.17.升;升【解析】本题考查数学文化与等差数列,考查运算求解能力与应用意识.将自上而下各节竹子的容积分别记为a1,a2,…,a9,依题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4-①×3,得66d=7,解得d=,把d=代入①,得a1=,S9=9a5=9×=升.18.解:(1)由=,得sin B==,3分则B=60°或120°,5分故tan B=±.6分(2)由(1)知,当A=30°,B=60°,C=90°时,此时△ABC是直角三角形;8分当A=30°,B=120°,C=30°时,此时△ABC不是直角三角形.10分=ab sin C=×8×8×=16.12分故S△ABC19.解:(1)f'(x)=1-a2e ax,1分所以f'(0)=1-a2.2分又f(0)=-a,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+a=(1-a2)x,即y=(1-a2)x-a.5分(2)因为a>0,所以a2>0.令f'(x)=0,得x=-;6分令f'(x)>0,得x<-; 7分令f'(x)<0,得x>-. 8分所以f(x)max=f(-)=-.10分因为f(x)<0恒成立,所以-<0,因为a>0,所以a>,故a的取值范围为(,+∞).12分20.解:(1)因为2S n=3a n-1,所以2S1=2a1=3a1-1,即a1=1. 1分当n≥2时,2S n-1=3a n-1-1,则2S n-2S n-1=2a n=3a n-3a n-1,3分整理得=3(n≥2),4分则数列是以1为首项,3为公比的等比数列,5分故a n=a1q n-1=3n-1.6分(2)因为b n=,所以b n==×(-),9分所以T n=×[(-)+(-)+(-)+…+(-)],11分即T n=×(-)=-.12分因为T n<<,所以T n<. 14分21.解:(1)∵g(x)=4sin x(cos x-sin x)=sin 2x-(1-cos 2x)=2sin(2x+)-1,3分∴f(x)=2sin(2x++2φ)-1.4分又f(x)为偶函数,则+2φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ≤,∴φ=, 5分∴f(x)=2sin(2x+)-1=2cos 2x-1=-1=-1.6分∵tan α>2,∴f(α)=-3<-3=-,7分又f(α)=-3>-3,∴f(α)的取值范围为(-3,-).8分(2)∵x∈(π,),∴2x++2φ∈(2π++2φ,2π++2φ).9分∵0<φ≤,∴+2φ∈(,],+2φ∈(,]. 10分∵f(x)在(π,)上是单调函数,∴12分∴φ∈[,].14分22.(1)解:令f(πx)=πx(1-sin πx)=0,得x=0或sin πx=1,2分即x=0或πx=+2kπ(k∈Z),即x=0或x=+2k(k∈Z),4分所以f(πx)在(-20,20)上的零点之和为----…-+0+++…+==-10. 7分(2)证明:设g(x)=f'(x),g'(x)=x sin x-2cos x,h(x)=g'(x),h'(x)=x cos x+3sin x,8分当x∈(0,)时,h'(x)>0,则h(x)=g'(x)为增函数.9分因为g'(0)=-2<0,g'()=>0,所以∃m∈(0,),g'(m)=0,10分所以当x∈(0,m)时,g'(x)<0;当x∈(m,)时,g'(x)>0,11分从而g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增.又g(0)=1>0,g()=0,所以必存在唯一的x0∈(0,),使得g(x0)=0,13分当x∈(0,x0)时,g(x)>0;当x∈(x0,)时,g(x)<0.14分故f(x)在(0,)上只有1个极值点x0.15分23.(1)解:f'(x)=ax-1+=,x∈(0,+∞).1分设p(x)=ax2-x+2a2(x>0),Δ=1-8a3,当a≥时,Δ≤0,p(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.3分当0<a<时,Δ>0,p(x)的零点为x1=,x2=,且0<x1<x2,令f'(x)>0,得0<x<x1或x>x2,所以f(x)在(0,),(,+∞)上单调递增;5分令f'(x)<0,得x1<x<x2,所以f(x)在(,)上单调递减.6分当a<0时,Δ>0,p(x)的零点为,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.7分(2)证明:由(1)知,当0<a<时,f(x)存在两个极值点.8分不妨假设0<x1<x2,则x1+x2=.9分要证<+,只需证f(x1)-f(x2)>=-,10分只需证(x1-x2)[a(x1+x2)-2]+2a2ln=- (x1-x2)+2a2ln>-, 11分即证2a2ln-+> (x1-x2).12分设t=(0<t<1),设函数g(t)=2a2ln t-t+,g'(t)=-,因为Δ'=4a4-4<0,所以t2-2a2t+1>0,g'(t)<0,13分所以g(t)在(0,1)上单调递减,则g(t)>g(1)=0.14分又(x1-x2)<0,则g(t)>0> (x1-x2),则2a2ln-+> (x1-x2),从而<+.15分。

山东省临沂市2020版高一上学期数学期中考试试卷C卷

山东省临沂市2020版高一上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·安徽月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）函数的定义域为（）A . （0，+∞）B . （0，1]C . （﹣∞，0）∪[1，+∞）D . （﹣∞，1]3. （2分） (2017高三上·烟台期中) 已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y= ﹣f（x）有四个零点x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，则x1+x2+x3+x4=（）A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）(2020·肥城模拟) 已知函数，若，那么实数的值是（）A . 4B . 1C . 2D . 35. （2分） (2019高一上·济南期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A .B . ln（x2+1）＞ln（y2+1）C . sinx＞sinyD . x3＞y37. （2分）函数f（x）=﹣x3﹣3x2﹣3x的单调减区间为（）A . （0，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣∞，+∞）D . （﹣1，+∞）8. （2分）已知函数，若，则f（﹣a）=（）A .B . -C .D . -9. （2分） (2016高一上·南宁期中) 函数f（x）=2x+5x的零点所在大致区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （﹣1，0）D . （﹣2，﹣1）10. （2分）已知函数f（x）在区间[﹣5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f（3）＜f（1），则（）A . f（﹣1）＜f（﹣3）B . f（0）＞f（﹣1）C . f（﹣1）＜f（1）D . f（﹣3）＞f（﹣5）11. （2分） (2019高一上·临河月考) 设偶函数定义域为，当时，为增函数，则的大小关系为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·广州期中) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （1，10 ）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·北京期末) 已知函数 f (x) = ，，若对任意，存在，使得³ ，则实数 m 的取值范围为________14. （1分） (2019高一上·郑州期中) 已知函数，则关于的不等式的解集是________.15. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 奇函数在区间上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则 ________。

2020-2021学年山东临沂高三上数学期中试卷

2020-2021学年山东临沂高三上数学期中试卷一、选择题1. 设集合A ={x ∈Z|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2<1}，则A ∩B =( ) A.{−1,0,1} B.{0} C.{−1,0} D.{−1,0,1,2}2. 复数z 满足2z +|z|=2i ，则z 在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 设a ，b ∈R ，则“ln a >ln b ”是“ln ab >0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4. 已知命题p: ∃m ∈R ，f (x )=3x −m log 2x 是增函数”，则p 的否定为( ) A.∃m ∈R ， f (x )=3x −m log 2x 是减函数 B.∀m ∈R ，f (x )=3x −m log 2x 是增函数 C.∃m ∈R ，f (x )=3x −m log 2x 不是增函数 D.∀m ∈R ，f (x )=3x −m log 2x 不是增函数5. 若a =(√2)23，b =log 3e ，c =(1e )−13，则( ) A.a >b >c B.c >a >b C.a >c >bD.c >b >a6. 如图，AB 是单位圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，则AC →⋅AD →=( )A.1B.√32C.32D.√37. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的√1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为( )A.10−910a B.10−45aC.1045aD.10910a8. 定义在R 上的偶函数f (x )在[0,1]上单调递减，且满足f (x +1)=−f (x )，f (π)=1，f (2π)=2，则不等式组{1≤x ≤2,1≤f (x )≤2的解集为( ) A.[1,π2]B.[2π−6,4−π]C.[π−2,π2]D.[π−2,8−2π]二、多选题下列结论正确的是( )A.若AB →⋅AC →<0，则△ABC 是钝角三角形B.若a ∈R ，则a +3a ≥2√3C.∀x ∈R,x 2−2x +1>0D.若P ，A ，B 三点满足OP →=14OA →+34OB →，则P ，A ，B 三点共线在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）．假设行李包所受重力为G ，两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|=|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ.则以下结论正确的是( )A.|F 1|的最小值为12|G|B.θ的范围为[0,π]C.当θ=π2时，|F 1|=√22|G| D.当θ=2π3时，|F 1|=|G|已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=p ，2S n −S n−1=2p(n ≥2，p 为非零常数)，则下列结论正确的是( )A.{a n }是等比数列B.当p =1时，S 4=158C.当p =12时，a m ⋅a n =a m+nD.|a 3|+|a 8|=|a 5|+|a 6|记函数f (x )与g (x )的定义域的交集为I ，若存在x 0∈I ，使得对任意x ∈I ，不等[f (x )−g (x )](x −x 0)≥0恒成立，则称(f (x ),g (x ))构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有( ) A.f (x )=e x ，g (x )=x +1 B.f (x )=ln x ， g (x )=1x C.f (x )=x ，g (x )=x 2 D.f (x )=√x ，g (x )=(12)x三、填空题任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{a n }满足：a 1=m(m 为正整数），a n+1={a n2，当a n 为偶数时,3a n +1，当a n 为奇数时.当m =13时，试确定使得a n =1需要________步雹程；若a 7=1，则m 所有可能的取值所构成的集合M =________. 四、解答题在①sin B +√3cos B =2，②cos 2B +√3cos B −2=0，③b 2−a 2=c 2−√3ac 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a =4,c =√3b ，________，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数f (x )=(√3sin ωx +cos ωx)cos ωx −a (ω>0)的最小正周期为4π，最大值为1.(1)求ω，a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)将f (x )图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将得到的图象上所有点向右平移π4个单位，得到g (x )的图象．若x ∈(0,π)，求满足g (x )≥√32的x 的取值范围．已知函数f (x )=−13x 3+ax 2+bx +ab.(1)若f (x )是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x =1处有极大值−223，求当x ∈[−1,2]时f (x )的值域．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0，人的反应时间t 1，系统反应时间t 2，制动时间t 3，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3，如下图所示．当车速为v （米/秒），且v ∈(0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数上随地面湿滑程度等路面情况而变化，k ∈[1,2]）.(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d (v )；并求当k =1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2.(1)求{a n }的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m,d k,d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=ln x−mx+1，g(x)=x(e x−2).(1)若f(x)的最大值是0，求m的值；(2)若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年山东临沂高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】将集合化简后取公共元素即可.【解答】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤2}={−1,0,1,2},B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∩B={0}.故选B.2.【答案】B【考点】复数的模复数的代数表示法及其几何意义【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，代入2z+|z|=2i，建立关系式，即可求解.【解答】解：设z=x+yi(x,y∈R)，∵2z+|z|=2i，∴2(x+yi)+√x2+y2=2i.即2x+√x2+y2+2yi=2i，∴{2x+√x2+y2=0,2y=2.解得{x=−√33, y=1.∴复数z在复平面内对应的点为(−√33，1)，∴在第二象限.故选B.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的图象与性质【解析】两个命题相互推导，注意对数函数的定义域是(0,+∞)，并且是增函数.【解答】解：∵ln a>ln b，且ln x是增函数，∴a>b>0，则ab>1，可推出ln ab>0，∴ln a>ln b⇒ln ab>0，而ln ab>0，则a>0，b>0或者a<0，b<0，而ln x的定义域为(0,+∞)，∴ln ab>0推不出ln a>ln b.∴ln a>ln b是ln ab>0的充分不必要条件.故选A.4.【答案】D【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【解答】解：因为∃x，p的否定为∀x，¬p，所以对于命题$p\operatorname{:"}\exists m \in \textbf{R}$，f(x)=3x−m log2x是增函数"，¬p为“∀m∈R，f(x)=3x−m log2x不是增函数”.故选D.5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=(√2)23=213>20=1，c=(1e)−13=e13>213=a，∴ 1<a<c，b=log3e<log33=1，∴ c >a >b ．故选B . 6.【答案】 C【考点】向量的几何表示平面向量数量积数量积的坐标表达式【解析】本题考查平面向量的坐标运算【解答】解：以点O 为坐标原点建立直角坐标系，分别标出点的坐标: A(−1,0)，C(−12,√32)，D(12,√32). 即AC →=(12,√32)，AD →=(32,√32)，所以AC →⋅AD →=34+34=32. 故选C .7.【答案】 A【考点】等比数列的通项公式数列的应用【解析】根据题意可判断该边长为a 1=a 为首项， q =10−110为公比的等比数列，然后再计算第九项的值. 【解答】解：设第n 行视标边长为a n ，第n −1行视标边长为a n−1，由题意可得a n−1=√1010a n ，其等价于a n a n−1=10−110，则数列{a n }是首项为a ，公比为10−110的等比数列，即a 10=a(10−110)10−1=10−910a .故选A . 8. 【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合函数的周期性【解析】本题考查函数的周期性单调性，考查不等式解法【解答】解：已知f (x +1)=−f (x )，即f(x +1)+f(x)=0①，则f(x +1+1)+f(x +1)=0，即f(x +2)+f(x +1)=0②, ②−①得：f(x +2)−f(x)=0，即f(x +2)=f(x)，所以f (x ) 是以2为周期的偶函数，且f (x ) 在[0,1]上单调递减，由f (π)=1，f (2π)=2 ，得f (4−π)=1，f (2π−6)=2，且4−π，2π−6∈[0,1].由1≤x ≤2 得 0≤2−x ≤1，所以{1≤x ≤2,1≤f (x )≤2得:{1≤x ≤2,f(4−π)≤f (2−x )≤f(2π−6)，所以 {1≤x ≤2,2π−6≤2−x ≤4−π.解得π−2≤x ≤8−2π .所以原不等式组的解集为π−2≤x ≤8−2π. 故选D .二、多选题【答案】 A,D【考点】平面向量的夹角向量的共线定理基本不等式【解析】本题考查基本不等式，平面向量基本定理【解答】解：A ,若AB →⋅AC →<0,则夹角A 为钝角，△ABC 是钝角三角形，故正确； B ,若a ∈R ，当a 为负值时等式不成立，故错误； C ,∀x ∈R ，x 2−2x +1=(x −1)2≥0，故错误；D ,若P ，A ，B 三点满足OP →=14OA →+34OB →，则P,A,D 三点共线，故正确. 故选AD . 【答案】 A,C,D 【考点】平面向量数量积的运算平面向量的夹角【解析】得出2|F 1|cos (12θ)=|G |，即可分析求解.【解答】解：受力如下图所示，行李包处于平衡状态，且F 1，F 2大小相等，则有2|F 1|cos θ2=|G |，θ越大，|F 1|就要越大，所以越费力，则θ=0时，2|F 1|=|G |，故A 正确；当θ=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，θ的范围为[0,π），故B 错误；当θ=π2时，解得|F 1|=√22 |G |，故C 正确；当θ=2π3，解得|F 1|=|G |，故D 正确.故选ACD .【答案】 A,B,C 【考点】数列递推式等比数列的通项公式等比数列的前n 项和等比数列的性质【解析】直接利用等比数列的定义和等比数列的性质的应用判定A ，B ，C ，D 的结论．【解答】解：由2S n −S n−1=2p(n ≥2)，得2S 2−S 1=2p ，整理得a 2=p2.当n ≥3时，2S n−1−S n−2=2p ，相减可得2a n −a n−1=0.又a 2a 1=12，所以数列{a n }为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确；当p =1时， S 4=1−1241−12=158，故B 正确；当p =12时，可得a n =(12)n ，则a m ⋅a n =(12)m ×(12)n =(12)m+n =a m+n ，故C 正确； |a 3|+|a 8|=|p|(122+127)=|p|⋅33128， |a 5|+|a 6|=|p|(124+125)=|p|⋅12128，则 |a 3|+|a 8|>|a 5|+|a 6|，故D 错误. 故选ABC ．【答案】 B,D【考点】不等式恒成立问题分段函数的应用【解析】由“相关函数对”的定义可得两个函数的图象有交点，交点两侧图象一侧满足f (x )>g (x )，另一侧满足f (x )<g (x )，据此求解. 【解答】解：A ，令F(x)=f(x)−g(x)=e x −x −1，则F ′(x)=e x −1. 由F ′(x)>0得：x >0；由F ′(x)<0得：x <0,所以F(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以F(x)min =F(0)=0,所以F(x)=f(x)−g(x)≥0恒成立.但在R 上，不存在x 0使得x −x 0≥0恒成立，故A 不符合题意； B ，令F(x)=f(x)−g(x)=ln x −1x (x >0)，可得F(x)在(0,+∞)上为增函数. 又F(1)=−1<0，F(e)=1−1e >0，所以存在x 0∈(1,e)使得F(x 0)=0，所以当x ≥x 0时，F(x)≥0，即f(x)−g(x)≥0，所以[f(x)−g(x)](x −x 0)≥0.当0<x <x 0时，F(x)<0，即f(x)−g(x)<0，所以[f(x)−g(x)](x −x 0)>0.综上，[f(x)−g(x)](x −x 0)≥0恒成立，故B 符合题意； C ，令F(x)=f(x)−g(x)=x −x 2，可得F(x)存在两个零点x =0和x =1，无法找到一个x 0∈R 满足[f(x)−g(x)](x −x 0)≥0，故C 不符合题意； D ，令F(x)=f(x)−g(x)=√x −(12)x (x ≥0)，显然F(x)在(0,+∞)上为增函数. 又F(0)=−1<0,F(1)=12>0，所以存在x 0∈(0,1)使得F(x 0)=0.当x≥x0时，F(x)≥0，即f(x)−g(x)≥0，所以[f(x)−g(x)](x−x0)≥0.当0<x<x0时，F(x)<0，即f(x)−g(x)<0，所以[f(x)−g(x)](x−x0)>0.综上，[f(x)−g(x)](x−x0)≥0恒成立，故D符合题意.故选BD.三、填空题【答案】9,{1,8,10,64}【考点】数列递推式循环结构的应用【解析】根据题意，依次列出相应的步骤，即可得出结论．采用倒序相推的方法，由a7⇒a6⇒a5⇒a4⇒a3⇒a2⇒a1，注意分类讨论.【解答】解：初始值m=13，第一步：m=13×3+1=40，第二步：m=20，第三步：m=10，第四步：m=5，第五步：m=5×3+1=16，第六步：m=8，第七步：m=4，第八步：m=2，第九步：m=1，故需要9步雹程.因为a1为整数，再由数列{a n}的递推公式得数列{a n}中的各项均为正整数．所以a7=1⇒a6=2⇒a5=4⇒a4=8或a4=1，①当a4=8时，a3=16，则a2=32或a2=5，当a2=32时，a1=64；当a2=5时，则a1=10.②当a4=1时，a3=2，a2=4，则a1=8或a1=1．因此a1即m所有可能的取值为64，10，8，1．故答案为：9；{1,8,10,64}．四、解答题【答案】解：选①由sin B+√3cos B=2得：sin(B+π3)=1，所以B=π6.选②由cos2B+√3cos B−2=0得: 2cos2B+√3cos B−3=0，解得cos B=√32，所以B=π6.选③由b2−a2=c2−√3ac得：c2+a2−b2=√3ac，得cos B=a2+c2−b22ac=√3ac2ac=√32，所以B=π6.又因为sin Csin B=cb=√3，所以sin C=√32，所以C=π3或C=2π3.当C=π3时，A=π2.又因为a=4，所以b=2，c=2√3，所以S=12×2×2√3=2√3；当C=2π3时，A=π6，所以A=B.又因为a=4，所以b=4.，所以面积S=12×4×4×√32=4√3．【考点】余弦定理正弦定理两角和与差的正弦公式【解析】【解答】解：选①由sin B+√3cos B=2得：sin(B+π3)=1，所以B=π6.选②由cos2B+√3cos B−2=0得:2cos2B+√3cos B−3=0，解得cos B=√32，所以B=π6.选③由b2−a2=c2−√3ac得：c2+a2−b2=√3ac，得cos B=a2+c2−b22ac=√3ac2ac=√32，所以B=π6.又因为sin Csin B=cb=√3，所以sin C=√32，所以C=π3或C=2π3.当C=π3时，A=π2.又因为a=4，所以b =2，c =2√3，所以S =12×2×2√3=2√3；当C =2π3时，A =π6，所以A =B . 又因为a =4，所以b =4.，所以面积S =12×4×4×√32=4√3．【答案】解：(1)由题意f (x )=√32sin 2ωx +12cos 2ωx +12−a=sin (2ωx +π6)+12−a ，∵ f(x)的最小正周期为4π，最大值为1. ∴2π2ω=4π，1+12−a =1.∴ ω=14，a =12， ∴ f (x )=sin (x2+π6).令2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， ∴ 4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3，k ∈Z .∴ 函数f (x )的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k ∈Z )．(2)由题意得g (x )=sin (x −π12)， ∵ sin (x −π12)≥√32， ∴ 2kπ+π3≤x −π12≤2kπ+2π3，k ∈Z ，∴ 2kπ+5π12≤x ≤2kπ+3π4，k ∈Z .又∵ x ∈(0,π)， ∴ 5π12≤x ≤3π4.故x 的取值范围为[5π12,3π4]．【考点】正弦函数的单调性二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：(1)由题意f (x )=√32sin 2ωx +12cos 2ωx +12−a=sin (2ωx +π6)+12−a ，∵ f(x)的最小正周期为4π，最大值为1. ∴ 2π2ω=4π，1+12−a =1. ∴ ω=14，a =12，∴ f (x )=sin (x 2+π6).令2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， ∴ 4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3，k ∈Z .∴ 函数f (x )的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k ∈Z )．(2)由题意得g (x )=sin (x −π12)，∵ sin (x −π12)≥√32， ∴ 2kπ+π3≤x −π12≤2kπ+2π3，k ∈Z ，∴ 2kπ+5π12≤x ≤2kπ+3π4，k ∈Z .又∵ x ∈(0,π)， ∴ 5π12≤x ≤3π4.故x 的取值范围为[5π12,3π4]．【答案】解：(1)∵ f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴ a =0，且f (0)=0． ∴ f (x )=−13x 3+bx ，∴ f ′(x )=−x 2+b ．当b ≤0时，f ′(x )=−x 2+b ≤0，此时f (x )在R 上单调递减， f (x )在R 上只有一个零点，不合题意；当b >0时，令f ′(x )=−x 2+b >0，解得−√b <x <√b ．∴ f (x )在(−∞,−√b)，(√b,+∞)上单调递减，在(−√b,√b)上单调递增， ∵ f (x )在R 上有三个零点， ∴ f(√b)>0且f(−√b)<0，即f(√b)=−13(√b)3+b √b >0， f(−√b)=13(√b)3−b √b <0，即b √b >0，∵ b √b >0恒成立，∴ b >0．所以实数b 的取值范围为(0,+∞)． (2)f ′(x )=−x 2+2ax +b ，由已知可得f ′(1)=−1+2a +b =0，且f (1)=−13+a +b +ab =−223，解得{a =2,b =−3,或{a =−2,b =5．当a =2，b =−3时，f (x )=−13x 3+2x 2−3x −6，f ′(x )=−x 2+4x −3，令f ′(x )≥0，即−x 2+4x −3≥0，解得1≤x ≤3，易知x =1是f (x )的极小值点，与题意不符．当a =−2，b =5时，f (x )=−13x 3−2x 2+5x −10，f ′(x )=−x 2−4x +5．令f ′(x )≥0，即−x 2−4x +5≥0，解得−5≤x ≤1．易知x =1是f (x )的极大值点，符合题意，故a =−2，b =5．又∵ x ∈[−1,2]，∴ f (x )在[−1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减．又f (−1)=−503，f (1)=−223，f (2)=−323．所以f (x )在[−1,2]上的值域为[−503,−223]．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性由函数零点求参数取值范围问题函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数的最值【解析】无无【解答】解：(1)∵ f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴ a =0，且f (0)=0． ∴ f (x )=−13x 3+bx ， ∴ f ′(x )=−x 2+b ．当b ≤0时，f ′(x )=−x 2+b ≤0，此时f (x )在R 上单调递减， f (x )在R 上只有一个零点，不合题意；当b >0时，令f ′(x )=−x 2+b >0，解得−√b <x <√b ．∴ f (x )在(−∞,−√b)，(√b,+∞)上单调递减，在(−√b,√b)上单调递增， ∵ f (x )在R 上有三个零点， ∴ f(√b)>0且f(−√b)<0，即f(√b)=−13(√b)3+b √b >0， f(−√b)=13(√b)3−b √b <0，即b √b >0，∵ b √b >0恒成立，∴ b >0．所以实数b 的取值范围为(0,+∞)． (2)f ′(x )=−x 2+2ax +b ，由已知可得f ′(1)=−1+2a +b =0，且f (1)=−13+a +b +ab =−223，解得{a =2,b =−3,或{a =−2,b =5．当a =2，b =−3时，f (x )=−13x 3+2x 2−3x −6，f ′(x )=−x 2+4x −3，令f ′(x )≥0，即−x 2+4x −3≥0，解得1≤x ≤3，易知x =1是f (x )的极小值点，与题意不符．当a =−2，b =5时，f (x )=−13x 3−2x 2+5x −10，f ′(x )=−x 2−4x +5．令f ′(x )≥0，即−x 2−4x +5≥0，解得−5≤x ≤1．易知x =1是f (x )的极大值点，符合题意，故a =−2，b =5．又∵ x ∈[−1,2]，∴ f (x )在[−1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减．又f (−1)=−503，f (1)=−223，f (2)=−323．所以f (x )在[−1,2]上的值域为[−503,−223]．【答案】解：(1)由题意得d (v )=d 0+d 1+d 2+d 3，所以d (v )=10+0.8v +0.2v +v 220k =10+v +v 220k ．当k =1时，d (v )=10+v +v 220， t (v )=10v+v 20+1≥1+2√10v ×v20=1+2×√22≈2.4（秒）．当且仅当10v =v20时，v =10√2等号成立，即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．(2)根据题意要求对于任意k∈[1,2]，d(n)<50恒成立，即对于任意k∈[1,2]，10+v+v 220k<50，即120k <40v2−1v恒成立.由k∈[1,2]，得120k ∈[140,120]．所以120<40v2−1v，即v2+20v−800<0，解得−40<v<20．所以0<v<20，20×36001000=72（千米/小时）．即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．【考点】一元二次不等式的应用基本不等式在最值问题中的应用函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：(1)由题意得d(v)=d0+d1+d2+d3，所以d(v)=10+0.8v+0.2v+v 220k =10+v+v220k．当k=1时，d(v)=10+v+v 220，t(v)=10v +v20+1≥1+2√10v×v20=1+2×√22≈2.4（秒）．当且仅当10v =v20时，v=10√2等号成立，即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．(2)根据题意要求对于任意k∈[1,2]，d(n)<50恒成立，即对于任意k∈[1,2]，10+v+v 220k<50，即120k <40v2−1v恒成立.由k∈[1,2]，得120k ∈[140,120]．所以120<40v2−1v，即v2+20v−800<0，解得−40<v<20．所以0<v<20，20×36001000=72（千米/小时）．即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．【答案】解：(1)由S n=2a n−2可得S n+1=2a n+1−2，两式相减可得a n+1=2a n，故数列{a n}是以2为公比的等比数列．又a1=2a1−2，得a1=2，∴a n=a1q n−1=2×2n−1=2n．(2)由(1)知a n=2n，a n+1=2n+1，由题意a n+1=a n+(n+2−1)d n，即2n+1=2n+(n+1)d n，∴d n=2nn+1．假设在数列{d n}中存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则(d k)2=d m⋅d p，即(2kk+1)2=2mm+1⋅2pp+1．化简得4k(k+1)2=2m+p(m+1)(p+1)．又因为m，k，p成等差数列，∴m+p=2k，∴4kk+1=22kmp+m+p+1=4kmp+2k+1，得(k+1)2=mp+2k+1，∴k2=mp，又∵m+p=2k，∴（m+p2)2=mp，即(m−p)2=0，∴m=p，即得m=p=k，这与题设矛盾．所以在{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．【考点】等比数列的通项公式等比数列的性质等差数列的性质数列的求和【解析】无无【解答】解：(1)由S n=2a n−2可得S n+1=2a n+1−2，两式相减可得a n+1=2a n，故数列{a n}是以2为公比的等比数列．又a 1=2a 1−2，得a 1=2，∴ a n =a 1q n−1=2×2n−1=2n ． (2)由(1)知a n =2n ，a n+1=2n+1，由题意a n+1=a n +(n +2−1)d n ，即2n+1=2n +(n +1)d n ， ∴ d n =2n n+1．假设在数列{d n }中存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，则(d k )2=d m ⋅d p ，即(2kk+1)2=2mm+1⋅2pp+1．化简得4k (k+1)2=2m+p(m+1)(p+1)．又因为m ，k ，p 成等差数列，∴ m +p =2k ， ∴ 4k (k+1)2=22k mp+m+p+1=4kmp+2k+1，得(k +1)2=mp +2k +1，∴ k 2=mp ，又∵ m +p =2k ， ∴ （m+p 2)2=mp ，即(m −p )2=0，∴ m =p ，即得m =p =k ，这与题设矛盾．所以在{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列．【答案】解：(1)∵ f(x)的定义域(0,+∞)，f ′(x)=1x −m ，若m ≤0，f ′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值，若m >0，x ∈(0,1m )时，f(x)单调递增； x ∈(1m ,+∞)时，f(x)单调递减. ∴ x =1m时，f(x)取得最大值f(1m)=ln1m=0，∴ m =1．(2)对其定义域内任意x ，f (x )≤g (x )恒成立，即ln x −mx +1≤x(e x −2)在(0,+∞)上恒成立，即m −2≥1+ln x x−e x 在(0,+∞)上恒成立.设φ(x)=1+ln x x −e x ，则φ′(x)=−x 2e x +ln xx 2，设ℎ(x)=x 2e x+ln x ，则ℎ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1e)=1e 2⋅e 1e −1=e1e−2−1<0，ℎ(1)=e >0．所以ℎ(x)有唯一零点x 0，此时x 02e x 0+ln x 0=0. 即x 0e x 0=−ln x 0x 0，两边同时取对数得x 0+ln x 0=ln (−ln x 0)+(−ln x 0)，易知y =x +ln x 是增函数，所以x 0=−ln x 0，即e x 0=1x 0，由φ′(x)=−ℎ(x)x 2知，φ′(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减，所以φ(x)≤φ(x 0)=1+ln x 0x 0−e x 0=1−x 0x 0−1x 0=−1，所以m −2≥−1，所以m ≥1.故m 的取值范围是[1,+∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵ f(x)的定义域(0,+∞)，f ′(x)=1x −m ，若m ≤0，f ′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值，若m >0，x ∈(0,1m )时，f(x)单调递增；x ∈(1m ,+∞)时，f(x)单调递减.∴ x =1m 时，f(x)取得最大值f(1m )=ln 1m =0， ∴ m =1．(2)对其定义域内任意x ，f (x )≤g (x )恒成立，即ln x −mx +1≤x(e x −2)在(0,+∞)上恒成立，即m −2≥1+ln x x −e x 在(0,+∞)上恒成立.设φ(x)=1+ln xx−e x，则φ′(x)=−x 2e x +ln xx 2，设ℎ(x)=x 2e x +ln x ，则ℎ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且 ℎ(1e )=1e2⋅e 1e −1=e1e −2−1<0，ℎ(1)=e >0．所以ℎ(x)有唯一零点x 0，此时x 02e x 0+ln x 0=0. 即x 0e x 0=−ln x 0x 0，两边同时取对数得x 0+ln x 0=ln (−ln x 0)+(−ln x 0)，易知y =x +ln x 是增函数，所以x 0=−ln x 0，即e x 0=1x 0，由φ′(x)=−ℎ(x)x 2知，φ′(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减，所以φ(x)≤φ(x 0)=1+ln x 0x 0−e x 0=1−x 0x 0−1x 0=−1，所以m −2≥−1，所以m ≥1.故m 的取值范围是[1,+∞)．。

山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题

20．（1）（2），
【解析】
【分析】
（1）由的关系，因为，则，可得，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列，运算可得解；
（2）由（1）可得，再累加求和得，命题可得证.
【详解】
解：（1）因为，所以，即，
当时，，则，
整理得，
则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故 .
依题意可得，，
即 ①， ②，，得，解得，
把代入①，得，
故升.
【点睛】
本题考查数学文化与等差数列，考查运算求解能力与应用意识.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得：，求出，再求即可.
（2）由（1）得，，，由三角形面积公式运算可得解.
【详解】
解：（1）由，得，
当时，；当时，
故在上只有1个极值点
【点睛】
本题考查了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵活掌握隐零点的相关知识技巧是解题的关键.
23．（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析
A. B.
C. D.
10．已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）
A.-4B.4C.-5D.5
评卷人
得分
二、多选题
11．下列有四个关于命题的判断，其中正确的是（）
A.命题“ ， ”是假命题
B.命题“若，则或 ”是真命题
C.命题“ ， ”的否定是“ ， ”
D.命题“在中，若，则是钝角三角形”是真命题
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

山东省临沂市临沂一中2020届高三上学期10月份联考数学试题 Word版含答案

高三新高考备考监测联考数学2019.10考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.1.若集合M={x|-1<2-x≤1},N={x|x2-6x+8<0},则M∪N=A.(2,3]B.(2,3)C.[1,4)D.(1,4)2.若=(1,2),=(1,0),则=A.(2,2)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)3.函数f(x)=+ln|x|的定义域为A.[-1,+∞)B.[-1,0)∪(0,+∞)C.(-∞,-1]D.(-1,0)∪(0,+∞)4.若{a n}是首项为1的等比数列,则“>9”是“a2>3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=5e1-2e2,则|m|=A.B.C.2D.76.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC=6,则△ABC的最大内角的余弦值为A.B.-C.-D.-7.已知cos 27°≈0.891,则(cos 72°+cos 18°)的近似值为A.1.77B.1.78C.1.79D.1.818.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为9.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得曲线关于y轴对称,最后得到的曲线的对称轴方程为A.x=+(k∈Z)B.x=-+(k∈Z)C.x=+(k∈Z)D.x=-+(k∈Z)10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)的图象关于点(3,0)对称,当1≤x≤2时,f(x)=2x+log3(4x+3),则f()=A.-4B.4C.-5D.511.下列有四个关于命题的判断,其中正确的是A.命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题B.命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题C.命题“∀x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“∃x0∉N,lg(x0+1)>0”D.命题“在△ABC中,若·<0,则△ABC是钝角三角形”是真命题12.已知函数f(x)=,则A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的值域为(-2,2)D.f(x)的图象关于(-,0)对称13.若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在(,)上有最大值,则a的取值可能为A.-6B.-5C.-4D.-3第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.14.设函数f(x)=则f(-f(10))=▲.15.直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上的交点的个数为▲.16.张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x=▲;②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为▲.(本题每空2分)17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为▲,这9节竹子的总容积为▲.(本题每空2分)三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,a=8,b=8.(1)求tan B;(2)若△ABC不是直角三角形,求△ABC的面积.19.(12分)已知函数f(x)=x-a e ax(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范围.20.(14分)设数列{a n}的前n项和为S n,且2S n=3a n-1.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n=,求{b n}的前n项和T n,并比较T n与的大小.21.(14分)将函数g(x)=4sin x cos(x+)的图象向左平移φ(0<φ≤)个单位长度后得到f(x)的图象.(1)若f(x)为偶函数,tan α>2,求f(α)的取值范围;(2)若f(x)在(π,)上是单调函数,求φ的取值范围.22.(15分)已知函数f(x)=x(1-sin x).(1)求函数f(πx)在(-20,20)上的零点之和;(2)证明:f(x)在(0,)上只有1个极值点.23.(15分)已知函数f(x)= ax2-x+2a2ln x(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<+.数学试题参考答案1.C【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力.∵M=[1,3),N=(2,4),∴M∪N=[1,4).2.C【解析】本题考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力.=+=-=(0,2).3.B【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力.∵∴x∈[-1,0)∪(0,+∞).4.B【解析】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力.若>9,则q2>9,则a2=q<-3或a2>3;若a2=q>3,则=q2>9.故选B.5.A【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查运算求解能力.|m|====.6.D【解析】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力.因为BC边最长,所以A最大,且cos A==-.7.B【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力.cos 72°+cos 18°=sin 18°+cos 18°=sin(18°+45°)=sin 63°=cos 27°,(cos 72°+cos 18°)≈2×0.891=1.782,所以(cos 72°+cos 18°)的近似值为1.78.8.A【解析】本题考查函数图象的识别,考查推理论证能力.易知f(x)为偶函数,排除C.因为f()<0,f(π)=->->-1,所以排除B,D,故选A.9.D【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性,考查运算求解能力.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y=2sin(2x+),再将所得曲线关于y轴对称,得到曲线y=2sin(-2x+),令-2x+=-kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z).10.C【解析】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.因为f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0.又f(x)=f(2-x),所以f(2-x)+f(6-x)=0,所以f(x)=-f(x+4),则f(x)=f(x+8),所以f()=f(+100×8)=f().因为f()+f(6-)=0,f()=-f()=-(3+log39)=-5,所以f()=-5.11.AB【解析】本题考查命题的否定与命题真假的判断,考查推理论证能力.设f(x)=3x+cos x(x>0),则f'(x)=3-sin x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,从而命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cos x0<1”是假命题.若x=4且y=25,则xy=100,所以命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题.易知选项C是错误的.在△ABC中,若·<0,则·>0,则B为锐角,从而不能判断△ABC是钝角三角形,所以选项D也是错误的.12.ACD【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质,考查运算求解能力.∵f(x)==-2sin(2x+),cos(2x+)≠0,当且仅当cos(2x+)=0时,|sin(2x+)|=1,∴f(x)的值域为(-2,2),f(x)的最小正周期为π,f(x)的图象关于(-,0)对称.13.ABC【解析】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2= (a<0),当<x<0时,f'(x)<0;当x<或x>0时,f'(x)>0.从而f(x)在x=处取得极大值f()=-.由f(x)=-,得(x-)2(2x+)=0,解得x=或x=-.∵f(x)在(,)上有最大值,∴<≤-,∴a≤-4.14.16【解析】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力.f(-f(10))=f(-2)=42=16.15.3【解析】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法.∵cos(-)=-<-,∴直线2y+1=0与曲线y=cos x在(-,)上有3个交点.16.10;18.5【解析】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养.顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付120+70-x=180元,则x=10.设顾客一次购买干果的总价为M元,当0<M<150时,张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折.当M≥150时,0.8(M-x)≥0.7M,即M≥8x对M≥150恒成立,则8x≤150,x≤18.75,又2x∈Z,所以x的最大值为18.5.17.升;升【解析】本题考查数学文化与等差数列,考查运算求解能力与应用意识.将自上而下各节竹子的容积分别记为a1,a2,…,a9,依题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4-①×3,得66d=7,解得d=,把d=代入①,得a1=,S9=9a5=9×=升.18.解:(1)由=,得sin B==,3分则B=60°或120°,5分故tan B=±.6分(2)由(1)知,当A=30°,B=60°,C=90°时,此时△ABC是直角三角形;8分当A=30°,B=120°,C=30°时,此时△ABC不是直角三角形.10分故S△ABC=ab sin C=×8×8×=16.12分19.解:(1)f'(x)=1-a2e ax,1分所以f'(0)=1-a2.2分又f(0)=-a,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+a=(1-a2)x,即y=(1-a2)x-a.5分(2)因为a>0,所以a2>0.令f'(x)=0,得x=-;6分令f'(x)>0,得x<-;7分令f'(x)<0,得x>-.8分所以f(x)max=f(-)=-.10分因为f(x)<0恒成立,所以-<0,因为a>0,所以a>,故a的取值范围为(,+∞).12分20.解:(1)因为2S n=3a n-1,所以2S1=2a1=3a1-1,即a1=1.1分当n≥2时,2S n-1=3a n-1-1,则2S n-2S n-1=2a n=3a n-3a n-1,3分整理得=3(n≥2),4分则数列是以1为首项,3为公比的等比数列,5分故a n=a1q n-1=3n-1.6分(2)因为b n=,所以b n==×(-),9分所以T n=×[(-)+(-)+(-)+…+(-)],11分即T n=×(-)=-.12分因为T n<<,所以T n<.14分21.解:(1)∵g(x)=4sin x(cos x-sin x)=sin 2x-(1-cos 2x)=2sin(2x+)-1,3分∴f(x)=2sin(2x++2φ)-1.4分又f(x)为偶函数,则+2φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ≤,∴φ=,5分∴f(x)=2sin(2x+)-1=2cos 2x-1=-1=-1.6分∵tan α>2,∴f(α)=-3<-3=-,7分又f(α)=-3>-3,∴f(α)的取值范围为(-3,-).8分(2)∵x∈(π,),∴2x++2φ∈(2π++2φ,2π++2φ).9分∵0<φ≤,∴+2φ∈(,],+2φ∈(,].10分∵f(x)在(π,)上是单调函数,∴12分∴φ∈[,].14分22.(1)解:令f(πx)=πx(1-sin πx)=0,得x=0或sin πx=1,2分即x=0或πx=+2kπ(k∈Z),即x=0或x=+2k(k∈Z),4分所以f(πx)在(-20,20)上的零点之和为----…-+0+++…+==-10.7分(2)证明:设g(x)=f'(x),g'(x)=x sin x-2cos x,h(x)=g'(x),h'(x)=x cos x+3sin x,8分当x∈(0,)时,h'(x)>0,则h(x)=g'(x)为增函数.9分因为g'(0)=-2<0,g'()=>0,所以∃m∈(0,),g'(m)=0,10分所以当x∈(0,m)时,g'(x)<0;当x∈(m,)时,g'(x)>0,11分从而g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增.又g(0)=1>0,g()=0,所以必存在唯一的x0∈(0,),使得g(x0)=0,13分当x∈(0,x0)时,g(x)>0;当x∈(x0,)时,g(x)<0.14分故f(x)在(0,)上只有1个极值点x0.15分23.(1)解:f'(x)=ax-1+=,x∈(0,+∞).1分设p(x)=ax2-x+2a2(x>0),Δ=1-8a3,当a≥时,Δ≤0,p(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.3分当0<a<时,Δ>0,p(x)的零点为x1=,x2=,且0<x1<x2,令f'(x)>0,得0<x<x1或x>x2,所以f(x)在(0,),(,+∞)上单调递增;5分令f'(x)<0,得x1<x<x2,所以f(x)在(,)上单调递减.6分当a<0时,Δ>0,p(x)的零点为,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.7分(2)证明:由(1)知,当0<a<时,f(x)存在两个极值点.8分不妨假设0<x1<x2,则x1+x2=.9分要证<+,只需证f(x1)-f(x2)>=-,10分只需证(x1-x2)[a(x1+x2)-2]+2a2ln=- (x1-x2)+2a2ln>-,11分即证2a2ln-+> (x1-x2).12分设t=(0<t<1),设函数g(t)=2a2ln t-t+,g'(t)=-,因为Δ'=4a4-4<0,所以t2-2a2t+1>0,g'(t)<0,13分所以g(t)在(0,1)上单调递减,则g(t)>g(1)=0.14分又(x1-x2)<0,则g(t)>0> (x1-x2),则2a2ln-+> (x1-x2),从而<+.15分。