大学物理第5章 角动量守恒定律 刚体的转动

第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。

答：质点的动量守恒的条件是：
当0F =时，p mv ==恒矢量。

质点的角动量守恒的条件是：
当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
时，L =恒矢量。

可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。

5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：
当0M =时，L =恒矢量。

又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：
当0ex in nc
A A +=时，K P E E E =+=恒量。

5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。

卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？
答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：
a a
b b r mv r mv = a b b a
v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。

5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？
答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，
它的角动量守恒。

5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？
答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：
020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭
， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：
()()
x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：
201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t g
θ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k g
θθ=-。

5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？
答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。

5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？
答：如果0i i F =∑，但力不共轴，则力矩不为零0i i M ≠∑。

如果0i i M =∑，但力方向相同，则力不为零0i i
F ≠∑。

5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？
答:由刚体的转动定理：M J β=
当0,0M J ≠≠时，则0M J
β=≠ 可见，力矩与角加速度有关，力矩与角速度无关，所以角速度可以为零。

5-9 两个同样大小的轮子，质量也相同。

一个轮子的质量主要集中在轮緣，另一个轮子的质量主要集中在轮轴附近。

问：
（1）如果它们的角速度相同，哪一个飞轮的动能较大？
（2）如果它们的角加速度相等，作用在哪一个飞轮上的力矩较大？
（3）如果它们的角动量相等，哪一个飞轮转得快？
答：质量主要集中在轮緣的轮子的转动惯量用J A 表示，质量主要集中在轮
轴附近的轮子的转动惯量用J B 表示。

由∑=i
i i r m J 2
Δ可知，J A >J B 。

βJ M =
A 轮相当于圆环，转动惯量 2A J mR =
B 轮相当于圆盘， 转动惯量 212
B J mR = （1）当ω一定时，转动动能 2221122
KA A E J mR ωω== 2221124
KB B E J mR ωω== 所以 kB kA E E >
（2）当β一定时，转动定理 2A A M J mR ββ== 212
B B M J mR ββ== 所以 B A M M >
（3）当L 一定时，角动量 2A A A L J mR ωω==
212
B B B L J mR ωω== 2A A L L J mR ω== ， 22B B L L J mR
ω== 所以 B A ωω<
5-10 将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使其转动，如何判断哪一个是
生的？哪一个是熟的？为什么？
答：转动时，生、熟鸡蛋所受阻力矩相同。

根据角动量定理
00t
Mdt J J ωω=-⎰
停止时，0ω=，则 0J t M
ω∆= 因为熟鸡蛋内部凝固，而生鸡蛋内部不固定，转动惯量随转动而增大，即J J >生熟，
所以t t ∆>∆生熟
生鸡蛋转动时间较长，熟鸡蛋转动时间较短。

5-11 一半径为r 的均质小球，沿两个高度相同，倾角不同的斜面无滑动地滚下，在这两种情况下，小球到达斜面下端的速率是否相同？
答：因为小球只作滚动，没有滑动，故摩擦力不作功，机械能守恒。

221122
c c mgh mv J ω=
+ 其中：小球的转动惯量225c J mr =，质心的速度c v r ω=，代入上式得：
c v ∴= 可见，只要小球从同一高度滚下，与斜面的夹角无关，则小球到达斜面下端时的速率是相同的。

5-12 一个人将两臂伸平，两手各拿一只重量相等的哑铃坐在角速度为ω的转台上（ω为人与转台共同角速度），突然，他将哑铃丢下，但两臂不动，问角动量是否守恒？它们的角速度是否改变？
答：因为0i i
M =∑，所以角动量守恒。

设人和转台的转动惯量为J ，哑铃的质量为m ，手臂的长为l ，开始时角速度为ω，丢掉哑铃时角速度为ω'，由角动量守恒得：
()2
2J ml J ωω'+= 221ml J ωωω⎛⎫'∴=+> ⎪⎝⎭
可见，丢掉哑铃后，角速度变大。

5-13 你骑自行车前进时，车轮的角动量指向什么方向？当你的身体向左侧倾
斜时，对车轮加了什么方向的力矩？试根据进动原理说明这时你的自行车为什么要向左转弯。

答：当车轮前进时，角动量L方向与角速度ω方向一致，即：L Jω
=。

当你的身体向左侧倾斜时，对车轮施加了一个进动方向的力矩，即:
c d L
M r mg
dt
=⨯=
力矩改变了角动量的方向，所以自行车就向左转弯。