高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数

课时授课计划

课次序号：01

一、课题：§1.1 映射与函数

二、课型：新授课

三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；

2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；

3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；

4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；

5.会建立简单实际问题的函数关系式．

四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.

教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）

八、授课记录：

九、授课效果分析：

第一章函数与极限

第一节映射与函数

高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.

一、集合

1. 集合的概念

集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．

通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记

作a∉A（或a∈A）．

含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用∅表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；

全体实数组成的集合是无限集；方程2x+1=0的实根组成的集合是空集．

集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作

A ={x｜x具有性质p（x）}．

例如，正整数集N也可表示成N={n｜n =1，2，3，…}；

又如A={（x，y）｜2x+2y=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合．

2. 集合的运算

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B （或B⊇A）；若A⊆B，且有元素a∈b，但a∉A，则说A是B的真子集，记作A⊂B．对任何集A，规定∅⊆A．若A ⊆B，且B⊇A，则称集A与B相等，记作A=B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即

A∪B={x｜x∈A或x∈B}．

由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即

A∩B={x｜x∈A且x∈B}．

由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即

A\B={x｜x∈A但x∉B}．

如图1-1所示阴影部分．

图1-1

在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作c A．

集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:

设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：

（1）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；

（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），

（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C），

（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）；

（4）幂等律A∪A=A，A∩A=A；

（5）吸收律A∪∅=A，A∩∅=∅．

设A i（i=1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：

（1）若A i⊆C（i=1，2，…），则

1i

i

A

∞

=

⊆C；

（2）若A i⊇C（i=1，2，…），则

1i

i

A

∞

=

⊇C．

设X为基本集，A i（i=1，2，…）为一列集合，则

1

c i

i

A ∞

=

⎛⎫ ⎪⎝⎭=

1

c

i

i

A

∞

=

，

1

c

i

i

A

∞

=

⎛⎫

⎪

⎝⎭

=

1

c

i

i

A

∞

=

．

3. 区间与邻域

（1）区间

设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）={x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a∉（a，b）且b∉（a，b）．

类似地，称数集［a，b］={x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．

称数集［a，b）={x｜a≤x＜b}和（a，b］={x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．

以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：

（-∞，+∞）={x｜-∞＜x＜+∞}=R，

（-∞，b］={x｜-∞＜x≤b}，

（-∞，b）={x｜-∞＜x＜b}，

［a，+∞）={x｜a≤x＜+∞}，