n次单位根

n次单位根

一.复数的几何表示-----关于模和辐角

1.复数的几何表示

(1)我们可以作为平面上以a和b为坐标的点来画出每一个复数x=(a,b).这个

用它的点来代表复数平面称为复数平面.对应于数0的坐标原点简称为原点.在这样的复数表示法下,横轴上的点代表实数.而纵轴上的点表示纯虚数.因此横轴称为实轴,纵轴称为虚轴.

(2)复数还可以用从原点出发的矢量α表示.在这样的复数表示法下,实数部分

a与虚数部分的系数b就称为该矢量的分量.

2.复数加法的几何意义

设x和y是两个复数,于是:

和数x+y可以表为它的分量等于矢量x和y的对应分量之和的矢量.

也就是说,数α+β可以用以矢量α与β为相邻边的平行四边形的对角形表示.

3.模与辐角的概念

设复数,x=a+bi,

r=(a^2+b^2)^(1/2),

这个正数r叫做复数x的模,记作|x|.与r为半径原点为中心的圆周上的点所表示的具有同一个模r.数0是唯一的以零为模的复数.

矢量x的方向是由Ox轴正方向与该矢量的方向间的交角确定的,用q表示.这个θ称为复数x的辐角.记作. arg x=q 有:

tan q=b/a .

对于每一个复数x,它的辐角可以有无穷多个,彼此间各差2\pi的若干倍.数0是唯一的数,其辐角没有定义.我们有,因此

a=rcosq, b=rsinq,

a+bi=r(cosq+isinq).

4.关于模和辐角的定理

作两个复数x=r(cosq+isinq), y=t(cosp+isinp).

的乘积可得:

xy=rt(cosq+isinq)(cosp+isinp)=rtr[cos(q+p)+isin(q+p)].

于是有如下性质:

|xy|=|x||y|, arg(xy)=argx+arg.

就是说,两个复数的乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数的乘积的辐角等于它们的辐角之和.

把上述的乘积推广到n个复数的乘积:

|xy...z|=|x||y|...|z|, arg(xy...z)=argx+argy+...+argz.

特别地, |x^n|=|x|^n, arg(x^n)=nargx.

我们得到如下的隶莫佛尔公式:

[r(cosq+isinq)]^n=r^n(cosnq+isinnq).

二.关于复数的n次根

设, x=a+bi=r(cosq+isinq),我们定义x^{1/n}为一个自乘n次后等于x的复数.这个数的模显然等于r^(1n),它的辐角等于[q+(2k\pi)]/n,其中k是任意的整数.令k=0,1,2，…,n-1,就得到表达式的n个不同的辐角值;所以按照下列公式x^{1/n}有n个不同的值:

x^{1/n}=r^{1/n}(cos{[q+(2k\pi)]/n}+isin{[q+(2k\pi)]/n}),k= 0,1,...,n-1.

从几何意义来看: x^{1/n}的这n个值显然可以用一个内接于以原点为中心r^{1/n}为半径的圆周的正n边形的顶点来表示.

特别地,当x=1时,上述论述中的r=1， =0，于是得到了的n个值,即多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根.

三.n次单位根

1. x^n-1的n个根

\xi_k=cos{(2k\pi)/n}+isin{(2k\pi)/n}, k=0,1,...,n-1,

就是多项式x^n-1的n个根,它们称为n次单位根.

2. n次单位根的性质

(1)令\xi=\xi_1,由上面关于复数辐角的讨论可知:

\xi_k=\xi^k.

(2)对于每一个单位根\xi_k:

1+\xi_k+\xi_k^2+...+\xi_k^{n-1} =0.

(3)对于每一个单位根\xi_k:

1+\xi_k+\xi_k^m+\xi_k^2m+\cdots +\xi_k^{n-1}m=0, 当n不整除m.

1+\xi_k+\xi_k^m+\xi_k^2m+\cdots +\xi_k^{n-1}m=n, 当n|m.

3. n次单位根的几何解释

由于1的模是1，所以n次单位根的这n个值的模都是1，且显然可以用一个内接于以原点

为中心1为半径的圆周的正n边形的顶点来表示.且\xi=\xi_1的辐角是(2\pi/n), \xi_k=\xi^k的辐角就是(2k\pi/n).

4.本原单位根

n个n次单位根1， \xi_1, \xi_2,...,\xi_{n-1}中, \xi_k称为本原单位根,如果每一个单位根

都可以表示成\xi_k的方幂.

按照如上定义,显然\xi是一个本原单位根.

\xi_k是本原单位根的充要条件是(k, n)=1(互素) .

例: 8次单位根中,本原单位根就是以与8互素的那些小于8的正整数为下标的单位根: \xi_1,\xi_3,\xi_5,\xi_7,其中

\xi_k=cos{(2k\pi)/8}+ isin{(2k\pi)/8}.