放缩法证明不等式的基本策略
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
放缩法证明数列不等式的策略探究
2021年第2期(上)中学数学研究41放缩法证明数列不等式的策略探究甘肃省兰州市第六中学(730060)焦永垚数列不等式的证明是高中数学中的重点和难点,是历年 高中各类考试中的热门考点，这类问题通常难度较大，具有很高的综合性与灵活性.本文以2019年全国高中数学联赛 贵州省预赛试题(B)卷第16题为例，从不同角度探寻放缩法 证明数列不等式的策略与方法,重点阐述如何选择合理地放缩思路，如何准确把握放缩的“尺度”，以期能帮助同学们从根本上认识放缩法的规律，从而优化解题方法，提升解题能 力，提高解题效率.一、试题分析题目 设数列｛a ”｝的前n 项和S ”满足：S ” = k • q ”-k , 其中k, q 为非零常数，且a i = 3, a 4 = 81.(1)求数列｛a ”｝的通项公式;1 1 1 9b i 十瓦十•••十瓦 < 歪.⑵设b ” = a ” ——,证明: a ”分析 第(1)问考查数列的基础知识,易求得a ” = 3”.第(2)问是数列不等式的证明，数学归纳法是解决这类问题的优选方案.1 3 9当n = 1时，—=- < —,不等式成立.b 1 8 16假设当n = k (k e N *)时结论成立，即士 + 士 +b 1 b 219• • • +匸< 16,那么当n = k 十1时，因为b ” — 3b ”-1 =81莎 > 0,所以 b ” > 3b ”-i ,即—<1 1 1 1 1 1 ( 1 亠 | b i 十b 2十 十b k 十b k+i b i 十3 I b i 十b 2十 十b k 丿3 1 9 93 + 1 x 爲=爲，即当n = k + 1时不等式也成立.8 3 16 161 1 1 9综上，对于一切正整数n ,不等式十+十十…+厂< 土b 1 b 2 b ” 16都成立.莎・(n 2 2),则3b ”-i1; b 2 b k 可以看到,上述方法中我们需要克服以下三个难点：(1) 如何利用归纳假设？要证明当n = k + 1时结论也成立，如何利用归纳假设, 是解决问题的的关键，为了利用假设,我们需要找岀1与b ”1 1 1亠(n 2 2)的关系，要找岀二与亠的等量关系难度 b ”-1 b ” b ”-1太大,所以考虑它们的不等关系,也就是放缩.(2) 怎样放缩？因为b ” =3” -补,容易发现｛b ”｝为递增数列,3”所以1 < 占(n 2 2),因此我们会首先做这样的尝b ” b ”-1试：当n = k 十1时，岂+岂+ • ••十！1 + <b i b 2 b k b k+i1 1 1 1 3 9 15 9b i +(b 十厉十.…十瓦)< l + 注，但歪> 16，放缩过度了.(3) 如何调整放缩度？因为PA 2PE PF , 所 以 PE = 1, AE =VPA 2 - PE 2 = 73.故 AC = 2AE = 273.在 Rt AABCAB中，选取ZBAC 为自变量，记ZBAC = 0,则cos 0 = -&,所以 AB = 273 cos 0,又 sin 0 = B D , cos 0 = AD ,故AB ABBD = ^/3 sin 0 cos 0, AD = ^/3 cos 0 cos 0,所以S a abd = 2 AD • BD = 6 sin 0 cos 3 0.令sin 2 0 = x(0 < x < 1),则三棱锥P - ABD 的体积 为 V = 1 • S a abd • PE = 2 Jx(1 — x)3(0 < x < 1),令 f (x) = x(1 - x)3(0 < x < 1),通过求导可解得 V max =算1,8即三棱锥P - ABD 的体积的最大值为呼.8究竟怎样选取自变量角解题？通过以上几例的解答，我们可以发现，要先找岀题设中的变量,然后确定变量中的角 为自变量，再从多个变量角中选取一个变量角为自变量，结合正弦定理、余弦定理、三角公式、三角形的面积公式、三角函数等相关知识点，建立所求取值范围(最值)的变量与所选取自变量角的关系式，由此把问题转化为求所选取自变量角 的三角函数的值域(最值)问题,同时要注意所选取自变量角的取值范围.参考文献[1] 武增明•一道2015年高考题的评析与推广[J].数理化学习：高中版,2016(10) : 25-26.[2] 钱鹏•你若探究 花自盛开——一道河南模考解析几何题的探究[J].中学数学教学,2019(3) : 53-54.[3] 赵建勋.设角为自变量求图形的最值[J].中学生数学：高中版,2012(6) : 15-16.42中学数学研究2021年第2期(上)经历(2)的尝试，发现放缩过度了，需要调整放缩的度: 如果忽略b ” 一 3” - 3”中的1,则有b ” — 3b ”—i (n 2 2),于是我们猜想b ” > 3b ”—i ,是否成立呢？因为b ” - 3b ” —i — 3” > 0,所以 b ” > 3b ”_i ,可得右 < (n 2 2),再进行计算发现刚刚好. ""1从以上过程可以看到，放缩法是证明数列不等式的重点 和难点，因此我们有必要进一步探究放缩法证明数列不等式的思路与策略.二、思路探究1 1 1 9综上，对于一切n e N *,都有 + +…+ < —.b i b 2 b ” 16点评此证法中如果只保留第一项，从第二项开始放大, 则寺+占+ ••• +丄< 1 +1 — 5 > 9,放缩过度了;b i b 2 b ” 8 4 8 16如果保留前两项,从第三项放大，则+寺+…+岂<b i b 2 b ”3 9 1 137 98 + 80 + 12 = 240 > 16，依然太大了，只有保留前三项, 从第四项开始放大，才能得到符合的结果.因此，当岀现放缩 过度的情况时，就要适时进行“局部调整”，保持前若干项不 变,从后面的项开始放缩，反复尝试，直至成功.数列.思路1放缩成一个等比数列为了便于求和，我们尝试将数列｛右｝放缩成一个等比策略1利用不等式一a ” -b ”中a > b > 0.因为3” -丄3”3”—iI 3”_____1_____放缩苴a”- (a - b)放缩，苴 (3 - 3 • 32”—r) 21 3 1匸工4 8 •尹，3n393 < ,不等式成立；当n 2 2时，8 16思路2向裂项相消放缩除了将数列｛右｝放缩为一个等比数列，我们还 可以尝试将其放缩"为可以“裂项相消”的形式，结合1 3”-=(3”一 1)(3” + 1)的结构，有以下两种策略.3”—i-i ，所以b ”于是,当n =1时,b i1亠 亠 亠” 1 3/1 1b i + - + ••• + 瓦 4b i + 8(3 + 羽 + •••+3 3 9< —+ ———8 16 ,11b i b 2 (3 3 1 (—+ — • — ( 18 8 2 \b ”1 1 1 9综上，对于一切n e N *,都有r +厂+…+厂 < 毎.b i b 2 b ” 16点评 在证明数列不等式的问题中，对于形 如 一「(a>b> 0)的数列，通常可以利用不等式a ” -b ”4 —二_応将其放缩为一个等比数列.a ” -b ” a ”—i (a - b)策略2利用不等式3” 2 2 • 3”-】+ 1放缩.因为3” - 2 • 3"—i — 3"—i 2 1,所以，对任意 e N *,都有3” 2 2 • 3"—i + 1 成立.所以，1 —b ”4 13” - 1、2 • 3"—i '3 < 2;当n — 2时,丄+丄8 16' n bl b 2鶴；当n =3时,b i ++右 4095 9< 7280 =花；当 n 2 4 时，1 1 1b i + 瓦 + •••+ -<丄+丄+丄+1 <b i + — — 2n 3”3”(3” - 1) • 3”1忘=4580 =3819------<--------7280 7280(3” 一 1) (3” + 1) <于是，当n — 1时,3 9 39—+ ——— <8 80 803 9 27—+ — +-----—8 80 7283 9 27 18 + 80 + 728 + 233 + 34 + •••+ 善「-黠3)3 9 27 1< I + I0 + 7lI + 361 - 1336191 36855 9 --------< ---------—65520 65520 16’策略1放缩成入(3”, 一丄-莎一万)的形式,入为 常数.当n 2 2时，1---—-----------------------< -----------------b ” (3- - 1) (3- + 1) (3- - 3) (3- - 1)—________里二_______ — 1(_________」)(3”—】-1)(3” - 1) 2 ,3”—】-1 3” - 1)1 3 9 1 1所以，当n — 1时，b- — 8 < —；当n — 2时，汗+ —b i 8 16 b i b 23 9 39 45 9 业、° 冶8 80 80 80 16， " '1 1 1-+ 厉 + •••+ -111/1 1 1 b i b 2 2 \32 - 1 33 - 1 33 - 1+_________)3”—i - 1 3” - 1_3 9 1 (1 1 )=8 + 80 + 2(8 - 3”—!丿3 9 1 44 45< —+ -- + -- -- < --8 80 16 80 803”3”1----------------34 — 1 +916综上，对于一切正整数n ,都有寺+寺+ •b i b 21策略2放缩成入(莎—亍一莎百3”119••+ - < 16.的形式,入为常数.因为右—(3”一 1)(3” + 1)，为了便于用裂项相消法求和，所以我们联想能否把｛右｝中的全部或者部分的形式.我们先逆向进行探3” + 11 2 3”—i 1项放大成3-^1 -1索，因为L!- 要使 b ” < 3”-1 + 1 - 莎+!2• 3”—】 口需^ <(3"—i + 1)(3” + 1)'只需 3” - 1 < 3 < 2 • 3” - 2,即 3” > 5,显然当 n n 2 2 时,有 1 < 1 1b ”3” + 1 _ (3”-+ 1)(3” + 1)，所以1 □需_______二________ <，只需(3” - 1)(3” + 1)2 口需 3” +3”—i + 1，只需3十2 2时成立，所以，当, 于是当 n — 1 时,3”—】+ 1 一 3” + 13”2021年第2期(上)中学数学研究433 9 1一 < —；当 n = 2 时，----+8 16’ b i 9 1 116 ；当 n = 3 时，^- + 厂 +16 b 1 b 24095 9< 7280 =歪；当 n 24 时，13 9 39—+ —=— <8 80 803 9 27—+ — +-----=8 80 728b 211+ 1b 21b =4580 —3819 < 7280-----72801 1 1b 十厉十•••十瓦1 1 1 1bib 2b 3 33 + 1 34 + 1 丁 34 + 111十...---------------------------3”-1 + 1 3” + 11 1 1 1 1 =-------------------------------------------------------------b i b2 b3 33 十1 3n + 13 9 27 1 4079 4095 9< —+ — +----+ — ------- < ------ —8 80 728 28 7280 7280 16综上，对于一切正整数n ,都有当+当+…十右 b 1 b 2 b ”思路3利用“糖水不等式”放缩135 + 119< 16b ”3”33”我们都熟悉这一不等式模型：设n > m > 0, c > 0, 则m < m+^jjj .由于它体现了 “糖水加糖变甜了”n n+c的生活实际，因此通常将其称为“糖水不等式”.因为””瓦=莎二r ，且0 <莎二r < 1，所以由“糖水不等” 1 3” 3” + 1 1 1式”可得b ” = E <掳厂=3”十9”，所以，当139n = 1时，—=- < —,不等式成立；当n 2 2时，b 1 8 161 1 1 b 十厉十•••十石<b i 十(32十33十…•十=3 + 1 (1-丄)+ 丄(1-丄)8 6 I 3”-i 丿十 72 I 9”-i 丿3 1 1 5 9< —+ — + —=— < —8 6 72 9 161+------------+-------十93十 十9”91”〕综上,对于一切正整数n ,都有1十1十…十右思路4利用分项比较法放缩9< 16需证b i 十十…十策略1执果索因，逆推探源.不等式的左边是数列 的前n 项和，右边为一个常数，结合1 = -3— b ” b ” 32” - 19的结构，我们联想，把右边常数-9缩小成某个等比数列16｛c ”｝的前n 项和，然后只需证明1 < c k 就可以了，其 中k = 1,2,...n .那么｛c ”｝究竟等于什么呢？我们可1 1 1 9以逆推回去：要证右+右+…+右 < 爲成立，只 b 1 b2 ( b ” ) 16/ <16(1-3”)成立,设数列=箱(1-3”)，则当n 2 2时,3—,当n = 1时,c i = T i =—,符合上 8・3”‘ '丄 i 8’9 1 3k 9式,故=厂莎.于是，由b 一c k =站二！ 一 E =｛c ”｝的前n 项和几9T n - T ”—i9=Ti 3k 9 32k 18.3k (32k - 1) < 0 可得瓦 < %，其中 k =】,2,_n ，所以右十右十…十右< T ” = 1H 1-3”)< 16，即1 1 1 9.b i 十厉十•••十石 < 歪.9策略2逆用累加法.同思路4,先把常数為缩小为161H 1-3”)，即要证右十右十…十b ” < 16,只需证b 十瓦十•• •十瓦 < 花(1-莎丿，而三、小结反思数学归纳法和放缩法都是证明数列不等式的常用方法,而放缩法通常学生感觉无从下手，不知所措,主要表现在以 下几个方面：(1)用什么方法放缩？首先要搞清楚到底是放大还是缩小,再考虑采用哪种放缩方法.常见的方法有利用均值不等式、“糖水”不等式、放大(或缩小)分子(或分母)、一些常用的不等式等等.(2) 向什么方向放缩？对于像母题中与数列前n 项和有关的不等式，放缩的原则是经过放缩后能够求和，比如放缩成一个等比数列、向裂项相消放缩等等.(3) 如何把握放缩的度？我们经常会遇到放得“太大”或“太小”的问题,这就要求调整放缩的尺度,例如在本文中，当我们发现放缩得“太大”时，就要采取补救措施，即保留前若干项不变,对后面的项进行放缩，逐一尝试，直至成功.另外,本文中的这道竞赛题是一道典型而设置巧妙的考 题,它之所以能引起我们强烈的共鸣与反响，不仅仅是因为其独特的解题思路与技巧，更是因为问题中所蕴含的丰富的 数学知识思维和思想方法.这样的题目有利于学生模式化解题的总结,不仅仅教会了学生怎样解题，而且还有效地培养 了学生思维的广阔性和灵活性，提高了解题效率.参考文献[1]曹莹，李鸿昌.利用糖水不等式证明一类数列不等式[J].数学通讯(上半月),2019(11):2-3.。
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
用放缩法证明数列不等式的策略与技巧
寿 鲜 春 ： 放 缩 法 证 明数 列 不等 式 的 策 略 与 技 巧 用
・１ ・ ７
用 放 缩 法 证 明 数 列 不 等 式 的 策 略 与 技 巧
●寿鲜春 （ 牌头中学 浙江诸暨 ３１ ５ １ ２） ８
类 似 的 ， 可 以证 明下 面一 个不 等式 ： 还 例 ２ 已知数 列 ｛ 满 足 ： ＝ａ ａ｝ ａ＋ 一ａ ＋１ ， ａ＝ ， 证： 】 ２求 — ＋ —＋… ＋ ——＜ （ ≥２ ∈ ・ ． —＋ － ＋ … ＋— ＜１ ｎ ， ） — 【 ≥Ｚ ／∈Ｎ Ｊ 。 ７ ，
利用 加糖后 糖水 变 甜 的结论 ， 以得 出 ： 可 若ａ＞
ｂ ＋ ｒｌ ＜ ２ ３ ． ａ ‘ ｔ ＿
２ ２ 利 用浓度 不等 式 建 立项 与项之 间的对 应 关 系 ．
３２ ＋３３ ’… ＋ ３ 一 ＜一 ， ＋ 。 。 １、 ６ ’
＜ ＜
２ （ ≥３ ｎ 凡 ）
（ 凡≥３ ），
，
ｇ 一ｌｎ）ｇ ． （ ÷（＿－艚 ２ ） ｇ １ｌ ２
然 后用 错位 相减 法计算 得 到
６ ８
一 ＋
这 问 就 转 为 明ｌ１ ） 样 题 可 化 证 ：（ ＞ ｇ＋
ｇ
２
７
＜ ，
＋
√等即明 ＞ 等显成． ， √ ， 立 证 然
与 要证 结果 不符． 事买是 放缩 时放 得 太大 ！
ｌ＋ ）把 边 作 一 数 之 ， ３ ｇ ． 右 看 某 个 列 和则 （ １ 若
对应 的数列 通项 为 ：
１１
尝试 ２ 用 数学 归纳法 容 易 证 明 ： ｎ≥３时 ， 当 ＞ ｎ 则 由浓度 不等式 可 以得 到 以下不 等式 ： ２，
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
例谈放缩法证明不等式的基本策略
03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等 式的两边，以达到证明不等式目的的 方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整 的不等式，通过逐步调整该不等式的 两边，使不等式的左边逐渐增大，右 边逐渐减小，从而证明原不等式成立 。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析 和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。
放缩法的注意问题以及解题策略
Ti
i 1
n
3 n 1 1 3 1 1 1 1 1 1 ( i i 1 ) ( 1 2 2 3 n n 1 ) 2 i 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
=
3 1 1 3 ( 1 n 1 ) 2 2 1 2 1 2
∵a, b, c, dR+ ∴m
例 2、求证：（1） 证：
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 n
1 1 1 1 ， 2 n(n 1) n 1 n n
∴
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 11 2 2 2 2 2 3 n 1 n n 1 2 3 n
a b c d 2 abd bca cd b d ac a b c d 证：记 m = abd bca cd b d ac
例 1、若 a, b, c, dR+，求证： 1
a b c d 1 abcd abca cd ab d abc a b c d m 2 ， ∴1 < m < 2 即原式成立 ab ab cd d c
例 5、 在数列 {a n }中,已知a1 2, a n 1
（I）求数列 {a n } 的通项公式；
2a n an 1
（II）求证： a1 ( a1 1) a 2 ( a 2 1) a n ( a n 1) 3 解：（1）数列 {a n }的通项公式是a n
n
n n2 n n2 2 2； n2 n n2 n
（4）二项式定理放缩：如 2 1 2n 1( n 3) ； （ 5）舍掉（或加进）一些项，如： | an a1 || a2 a1 | | a3 a2 | | an an 1 | ( n 2) 。 例题选用
放缩法证数列不等式的常用技巧和2个关键的把握
～
＞
， ＜ ； （＞ ） ‘ 『 ＝ ｎ ） Ｄ ３． ‘
１ ３ 利 用最 大项 （ ． 或最 小项 或指定 项的边界 值 ） 代替 各 项
进 行 放 缩
而
＞ｌ Ｉ （ ａ ，ｎ＋１ ＞ｎ ｎ＋１ ｎ． ） （ ）＞
２０ ０ ８年 第 ９期
凼 此 当 ｋ≥ １时 ，
１
。 ≤ 。３≤ ，
中学教研 （ 学） 数
・ｌ ５・
例 ５ 已知 数列 ｛ 的通项 公 式 为 。 丁 ［ 一 ｎ｝ ＝ ２ ２～
故
（ 一 ｔ 。 ）
≤
＝ ・ －
（ 一 － ） ＋） ‘ 。 １
÷一 ＋ ＋ ＜ ． 一 …＋ ‘ 丁 ÷＜ ’ ÷
（ ０６年福建省数学 高考试题改编 ） ２０
证明 因 为
Байду номын сангаас
证明 由０ ＝： ＜ ÷ ， ０， ｎ≤ 可得 ０
ｎ ≤
÷。 去０ ＜ ＝２， ， ， ， ｌ， ） ］ ＜ ≤ ， … ３
维普资讯
例 ３ 已知 数列 ｛ 满足 ＋ ＝口 ， ０＜Ⅱ ≤ ｎ｝ 。 当 。 １时 ，
１ ２ 利 用放 大或 缩 小 分 式 的 分 子 或 分母 进 行 放 缩 ．
证 ： 明 ∑（
） ＜ ： 寺
（０ ３年 江苏省数 学高考试题 改编 ） ２０
例 ２ 已知数列 ０ ２ 一１ ｎ∈Ｎ ， 明 ： ＝ “ （ ） 证
（一０ 一１ ｕ［ ， ） ， １个交点． ０， ］ １ ＋ 时 有
放 缩 法 证 数 列 不 等 式 的 常 用 技 巧 和 ２个 关 键 的 把 握
掌握放缩法基本技巧,拓宽不等式证明思路
掌握放缩法基本技巧,拓宽不等式证明思路摘要：运用放缩法证明与数列相关的不等式是近几年高考命题的一个热点，学生在运用时普遍感到难以驾驭，究其原因是在于使用放缩法时不仅需要较高的变形技巧，还要把握好放缩的“尺度”。
本文通过对一道数列不等式证明题进行分析，阐明用放缩法证明数列不等式的重要性，介绍使用放缩法的常见形式和基本技巧方法，拓宽数列不等式证明的思路。
关键词：放缩法；数列；不等式证明；放缩形式；放缩技巧使用放缩法证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要学生有较强的分析判断、探索和研究问题的能力，能全面、综合地考查学生的潜能与后继学习能力，成为高考命题的一个热点内容。
本文对用放缩法证明数列不等式进行了一些探究，以供参考。
一、数学归纳法证明数列不等式证明的局限性应用数学归纳法证明与正整数有关的不等式是一种常用的方法，我们看如下例题：1：（湖北省荆州市2010年质检ⅱ试题）已知曲线y=x2在点(n,n2)处的切线方程为xa n-yb n=1,其中n∈n* （1）求a n、b n关于n的表达式;（2）设c n=1a n+b n，求证:c1+c2+…+c n+43;（3）设d n=4a nλ4a n+1-λ,其中0＜λ＜1,求证:d1+d2+…+d n＞nλ+λ-1λ2。
【分析】此题第（1）问很简单，由y’|x=n=2n故所求切线方程为y-n2=2n(x-n)，即xn-yn2=1，可以求得：a n=n2,b n=n 2第（2）问右边为常数，不好用数学归纳法证明。
第（3）问从形式上看可以用数学归纳法来证明：由d n=2nλ2n+1-λ(1)当n=1时：d1=22λ+1-λ=2λ+1，由2λ+1-2λ-1λ2=2λ2-(λ+1)(2λ-1)λ2(λ+1)=1-λλ2(λ+1)＞0，显然成立。
(2)假设n=k时成立，则：d1+d2+…d k＞kλ+λ-1λ2当n=k+1时：d1+d2+…+d k+d k+1kλ+λ-1λ2+2k+1λ2k+1+1-λ=［(k+1)λ-1］［(2k+1-1)λ+1］+2k+1λ2λ2(λ2k+1 +1-λ)由kλ+λ-1λ2+2k+1λ2k+1+1-λ-(k+2)λ-1λ 2 =2k+1λ2k+1+1-λ-1λ=λ2k+1-λ2k+1-1+λλ［（2k+1-1）λ+1］=λ-1λ［(2k+1 -1)λ+1］∵0＜λ＜1，∴λ-1＜0，λ［(2k+1-1)λ+1］＞0，即λ-1λ［(2k+1-1)λ+1］＜0与要证的式子d1+d2+…+d k+d k+1λ-1［(2k+1-1)λ+1］我们发现对此题用数学归纳法直接证明，会出现与要证明的不等式不等号方向相反的错误结论。
放缩法证明不等式的基本策略
5
ak 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 证明： k 1 k . k , k 1, 2,..., n, k 1 k ak 1 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ... n ( 2 ... n ) (1 n ) , a2 a3 an1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
“放缩法”证明不等式的基本策略
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的 一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基 本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知 识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往 往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试 题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 用放缩法证明不等式的方法与技巧
1
（8） 1
1 1 1 1 1 1 n n 等等 2 3 n n n n n
1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例 1、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
2
例 3、已知 an=n ，求证： ∑ 证明：∑
n
n
2 k=1 ak
k
n
＜3．
k a
2 k
k=1
=∑
高考数学：“放缩法”解不等式8例
高考数学：“放缩法”解不等式8例近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。
“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对同学们能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。
处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+； 假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-； （3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+； （4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。
4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。
这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。
当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。
下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。
具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。
举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。
策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。
对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略放缩法是数学分析中常用的重要证明方法之一，它可以通过对不等式中的某些项进行放缩操作，将原不等式转化为更为简单的形式，从而便于进行进一步的推导和证明。
在数列不等式证明中，放缩法同样具有重要作用，通过巧妙地运用放缩法，可以有效地解决数列不等式问题。
下面就来简要地介绍一些关于用放缩法证明数列不等式的策略。
一、确定放缩目标在运用放缩法证明数列不等式时，首先需要明确的是放缩目标，即要将原不等式中的哪些项进行放缩操作，将其转化为更为简单的式子。
一般来说，放缩目标应当具有以下特点：一是需要能够通过放缩将不等式中的某些项化简为“好看”的形式，便于进行后续的推导；二是放缩过程中要注意不应当改变原不等式的基本属性，比如不等式的符号方向、不等式的等号成立条件等。
二、选择合适的放缩方式在确定放缩目标后，接下来就是选择合适的放缩方式。
放缩方法有很多种，可以根据具体的情况选择不同的放缩方式。
常见的放缩方式包括以下几种：1. 引理放缩：根据已知的一些数学结论，将原不等式中的某些项进行代换或简化操作，使得原不等式变得容易推导证明。
比如，常见的幂平均不等式、均值不等式等就是通过引理放缩来证明的。
2. 手工放缩：通过手工的方式，对不等式中的某些项进行展开、化简、移项、分组等基本操作，将原不等式化简为更为简单的形式。
这种方法需要具有较强的数学功底和逻辑思维能力。
3. 对称放缩：对于一些对称的不等式，可以通过对称放缩的方式来进行证明。
具体来说，就是将原不等式中的某些项根据对称性进行调整，使其符合对称性条件，从而便于证明。
4. 引入辅助不等式：有时候，对于一些复杂的不等式，可以引入一些辅助的不等式，从而辅助进行证明。
这种方法需要选择合适的辅助不等式，使其能够起到化简、重组原不等式的作用，从而推导出结论。
三、注意放缩过程中的细节问题在运用放缩法证明数列不等式时，还需要注意一些细节问题，以确保证明的正确性和完整性。
放缩法证明数列不等式的常见模型及调整策略
证 明： 利用 ｎ＜
＜ ｎ＋１
保 留 ｛ 五 项 。 即 ＋ ＋ ． ． ． ＋ 丽 证 明 ： 当 ｎ ＝ １ 时 ， 古 ＝ １ ÷ （ 二） 等 比数 列模 型 当 ｎ ＝ ２ 时 ， 古 １ ＝ 下 ５ 丁 ５ 例 题 ２ ： 已 知 ｎ ｓ Ｎ ‘ ， 求 证 ： １ ＋ ＋ … ＋ 署 当 ｎ ＝ ３ 时 ， 古 １ １ ＝ ４ ９ 丁 ５ 解 析 ： 数 列 ｛ 法 求 和 ， 根 据 其 通 项 特 点 ， 联 想 到 等 比 当 ｎ ＝ ４ 时 ， 古 ＋ ＋ ＋ 古 ＝ 篙＜ 孚 当 ｎ＝ ５时 ， １ １ １ １ １＝ ５ ２ ６ ９＜ 了 ５ 数 列 ｛ ） ｏ 证 明 ： 当 时 ， ＝ ÷ 署 当 ｎ ≥ ６ 时 ， １ ＜ ＝ 一 ÷ ， 当 Ｉ ＞２ 时， ＜ １， 则 则 古＋ ＋ ＋ 古＋ ＋ 古＋ … ＋ ＋ 芝 ＋ 。 一 ・ ＋ 三 １ ‘ ÷ 丁 ＋ ＋ 一 ・ ＋ ＝ ÷ 百 一 （ ÷一 吉 ） ＋ （ ÷一 手 ） ＋ ． ． ・ ＋ （ 一 ｉ １ ）
摘 要： 数 列不 等式 的证 明 常见 于各省 市每 年 的高考压 轴题 中， 学生对 此类 题通 常感 觉无从 下手。 下面就教 学 实际介 绍一 些 常见 的放 缩 模型及 调整 策略 ， 让 学生 学会 一 些 思考方 向 。 关 键词 ： 放缩法； 数列； 不等式 ； 模型 文章 编号 ： １ ０ ０ ５ － ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 Ｏ Ｉ 一 ０ ０ ４ ３— ０ ２ 中 图分类 号 ： Ｃ ， ６ ３ ３ 文 献标识 码 ： Ａ
一
、
放 缩 模 型
在 以上 四种放 缩梗 型 中 ， 根垢小 等 式 的结 构特 点 选 弹合 适 的
割线放缩法不等式证明
割线放缩法不等式证明
割线放缩法是一种常用的不等式证明方法。
它的基本思想是通过构造割线，将原不等式中的某一项进行放缩，使得放缩后的不等式更容易证明。
具体步骤如下：
1. 首先，找到原不等式中的任意一项，假设为 A，可以通过构造一个割线将其放缩。
这个割线能够触及某些已知的不等式，假设为B≤C。
2. 接下来，通过对不等式B≤C 进行变形和结合，可以得到构
造的割线的放缩形式 B+k(A-B)≤D，其中 k 为常数。
这里的 D
必须满足B≤D。
3. 将放缩的割线代入原不等式，就能得到放缩后的不等式。
这是因为原不等式中的其他项都是正数，所以放缩后的不等式仍然成立。
4. 最后，证明放缩后的不等式成立，可以通过对放缩后的不等式进行简化、变形和比较，找到满足放缩条件的常数 k 的范围。
这些方法包括使用数学领域的基本定理、不等式、数学归纳法等。
需要注意的是，割线放缩法是一种构造方法，只能用于证明不等式，而不能用于证明等式。
此外，割线放缩法只能对某个特定的不等式进行放缩，不能放缩整个不等式的所有项。
综上所述，割线放缩法是一种有巧妙构造的不等式证明方法，可以通过构造割线将原不等式中的某一项进行放缩，从而得到一个更容易证明的不等式。
该方法的关键在于选择合适的割线和放缩条件，并通过推导和比较来证明放缩后的不等式成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
放缩法”证明不等式的基本策略
近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点,
以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一
提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。
放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
n
J k
例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3-
它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运
用往往
对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。
下面结合一
例1、已知
a n 2n 1(n
N ).求证:
a
1
a
^
a 2 a 3
丑(n N
a n 1
).
证明：Q
皀
a
k 1
2k 1 2k
1 2(2k1
1)
1 3.2k
2k
2
1,2,..., n.
a_
a
2
a
2 a
3
a n
a
n 1
1 （
1 1
二（二 二
1 a_ 3 a
2 a
2 a 3
多项式的值变小。
由于证
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。
本题在放缩时就舍去了
2k 2，从而是使和式得到化简
例2、函数f (x ) =±-
1 4x
，求证:
（1）+f （ 2）
+…+f (n ) 证明：由
f(n)=
羊7=1--
1 4n
1
得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1
4
1 1
丄
2 21
2 22
1 1 *
芦
>1
此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征
,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子,
分母如果同时存在变量时
,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分
1
证明：£
a k
1
< 1
+ 兰
肩 紀寸(k- 1)k(k +
1)
------------------------------ =1 V (k- 1)(k+1) ( )=
n
k ^A k 1)(k 1)
5(k-1)
—寸(k+ 1)
=1 +1 +
T n A/(n+1)
V
2+
¥ <3
.
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项,
最后又放缩,
有的放矢，直达目标
4、放大或缩小因式” 例4、已知数列｛a n ｝满足a n
证明Q0 1 a 1 2，a
2 a n , a 2 n (a k k 1
a k 1)a k 2 16 n (a k k 1 a 1 - ,求证： (a k a
k 1)a
k
2
k 1
1
—,a 3
丄L.
当k
1时,0 4 16
1
1
—(a 1 a n 1 ) — 16 32'
n
1
2
a k 1) a k n
(a k 2
a
3
a ；,。
32
1
16,
本题通过对因式a k
2放大，而得到一个容易求和的式子
a k 1)，最终得出证明.
k 1
5、逐项放大或缩小 例5、设a n
J n(n 1)求证：
n(n 1) 证明：-
J n(n 1)
J n(n 1) J (n 扌)2
2 2n 1
a n
(n 1)2 2
^/n(n1)
••• 1 2
a
n
2n 2 1 3 (2n 1) •n(n 1)
2 ， (2)
a
n
(n 1)2
2
本题利用n
J n(n 1)
2n 1 2
，对a n 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简
的目的。
6、固定一部分项, 放缩另外的项;
例6、求证: 1
~2
n
1
证明：Q 士
n
n(n 1)
8、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩
例8、.已知i , m 、n 是正整数，且 1 < i w m < n.
(1)证明：n i A m < m A 'n ; (2)证明：(1+m n > (1+n )
m
111 1 1 1 1
_ _ ___ I ___ 4 _ (_ 一 12 22 32 n 2 22 2 3
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧， 1 15
117
—-)1
-) 7- n 1 n 4 2 n 4
放缩拆项时，不一定从第一项开始， 须根据具体题型分别 对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
例7、已知a n 5n 4，证明：不等式 J 5a mn J a m a n 1对任何正整数 m, n 都成立 证明：要证 J 5 a mn
J a m a n 1 ，只要证5a mn 1 a m a n 2J a m a n .
因为 a mn 5mn 4 , a m a
In (5m 4)(5 n 4) 25mn 20(m n) 16 , 故只要证 5(5 mn 4) 1 25mn 20( m n)
16
2
J a m a n ,
即只要证 20m 20n 37
2
J a m a
n .
7、利用基本不等式放缩 因为 2
J a m a n a m a n 5m 5n 8 5m 5 n 8 (15m 15n 29)
20m 20n 37,
所以命题得证. 本题通过化简整理之后,
再利用基本不等式由
2J a m a n a m a n 放大即可.
证明: (1)对于 1 < i w m ,且 A m =m •- (m — i+1),
m i
m m 1 m i 1 同理 A m
m ' n i
由于 m < 所以
A n
n ,对于整数k=1, 2，…，i — 1,
A I
轸,即 m i A i n n i A m
m
(2)由二项式定理有:
(1 + m)n
=1+C 1
m+C n m 2
+ …+C n m n , (1 + n)m
=1+C m n+C m n 2
+…+C m
由(1)知 mA n > n i
A m (1 < i < m < n )，而
二 m i c i
n > n i C i
m (1 < m < n )
C i
A !
i!，C n
n
二 m 0c 0 = n 0
c n =1, mC n = nC m =m-
n ， m 2
C n >n 2
C m ，
1+c n m+c n m 2
+…+c n m n
> 1+c m
即(1 + m)n
> (1 + n)m
成立.
以上介绍了用 “放缩法 ”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方 法，有时还需要几种方法融为一体。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事 半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此，使用放缩 法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌 握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解 活， 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力， 分析问题和解决问题的能力。
希望大家能够进一步的了 解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段 .
m m c m >n m c m ，m m+1c m 1
>0，… m n
c n > 0, n+C 2
m n 2
+…+C m
n m
.。