人教A版高中数学必修5同步练习-等差数列的概念与通项公式

A级基础巩固
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是() A．n B．3n＋11
C．n＋4 D．n＋3
解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{a n}是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n}也一定是等差数列的是()
A．b n＝a2n B．b n＝a n＋n2
C．b n＝a n＋a n＋1D．b n＝na n
解析：{a n}是等差数列，设a n＋1－a n＝d，则数列b n＝a n＋a n＋1满足：b n
－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝2d.
＋1
答案：C
3．在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()
A．12 B．14 C．16 D．18
解析：设{a n}的公差为d，
因为d＝a3－a2＝2，
所以a1＝a2－d＝0，
所以a n＝0＋2(n－1)＝2(n－1)，
所以a10＝2×(10－1)＝18.
答案：D
4．2 018是等差数列4，6，8，…的()
A．第1 005项B．第1 006项
C ．第1 007项
D ．第1 008项
解析：由题易知通项a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2， 令2 018＝2n ＋2，所以n ＝1 008. 答案：D
5．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0
B ．log 25
C ．32
D ．0或32
解析：依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3)， 所以(2x －1)2＝2(2x ＋3)， 所以(2x )2－4·2x －5＝0， 所以(2x －5)(2x ＋1)＝0， 所以2x ＝5或2x ＝－1(舍)， 所以x ＝log 2 5. 答案：B 二、填空题
6．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点有________个．
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ， 又因为Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0， 所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个． 答案：1或2
7．已知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝________．
解析：设公差为d ，因为1a 6－1a 4＝14－16＝1
12＝2d ，
所以d ＝1
24
.
同理，1a 10－1a 6＝4d ＝4×124＝1
6，
所以a 10＝12
5.
答案：12
5
8．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．
解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，
令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，所以n ＝5. 答案：5 三、解答题
9．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝2
5
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5
.
(2)由(1)知，b n ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3
5＜2，b n ＝1；
当n ＝4，5时，2≤2n ＋3
5
＜3，b n ＝2；
当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3
5＜4，b n ＝3；
当n ＝9，10时，4≤2n ＋3
5
＜5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n
3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.
(1)求a 2，a 3的值．
(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n －λ为等差数列？请说明理
由．
解：(1)a 2＝13，a 3＝1
2
.
(2)存在．理由：假设存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n －λ为等差数
列，则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1
a 3－λ，
所以213－λ＝10－λ＋112
－λ，解得λ＝1.
因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n 3－a n
－1－1a n －1＝3－a n 2（a n －1）－1a n －1
＝
1－a n 2（a n －1）
＝－1
2，
又1
a 1－1＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－1
2
的等差数列．
B 级 能力提升
1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2
＝100，则a 37＋b 37等于( )
A ．0
B ．37
C ．100
D ．－37
解析：设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，
则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， 所以{a n ＋b n }为等差数列， 又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，
所以{a n ＋b n }为常数列，所以a 37＋b 37＝100. 答案：C
2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________．
解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.
答案：3n 2
3．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，其中n ∈N *.设b n ＝
1a n －2
. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明：因为b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2
＝a n
2a n －4，
所以b n ＋1－b n ＝a n
2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12，
b 1＝
1a 1－2＝12
， 所以数列{b n }是首项为12，公差为1
2
的等差数列．
(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －2构成以1a 1－2＝12为首项，d ＝12为公差的等差数
列，所以1a n －2＝12
＋(n －1)·12＝n
2，
所以a n ＝2＋2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2＋2
n (n ∈N *)．。