数学建模课后作业第七章

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数学建模知到章节答案智慧树2023年山东师范大学

数学建模知到章节测试答案智慧树2023年最新山东师范大学第一章测试1.人类研究原型的目的主要有（）。

参考答案:优化;预测;评价;控制2.概念模型指的是以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的结构和机理进行描述的模型。

（）参考答案:对3.数学建模的全过程包括（）。

参考答案:模型应用;模型检验;模型求解;模型建立4.下面（）不是按问题特性对模型的分类。

参考答案:交通模型5.椅子放稳问题中，如果椅子是长方形的，则不能在不平的地面上放稳。

（）参考答案:错第二章测试1.山崖高度的估计模型中，测量时间中需要考虑的时间包括（）。

参考答案:物体下落的时间;声音返回的时间;人体的反应时间2.落体运动模型当阻力趋于零时变为自由落体模型。

（）参考答案:对3.安全行车距离与（）有关。

参考答案:车辆速度;车辆品牌;驾驶员水平4.人体反应时间的确定一般使用测试估计法进行。

（）参考答案:对5.当车速为80-120千米/小时时，简便的安全距离判断策略是（）。

参考答案:等于车速1.存贮模型的建模关键是（）。

参考答案:一个周期内存贮量的确定2.下面对简单的优化模型的描述（）是正确的。

参考答案:没有约束条件的优化模型3.商品生产费用因为数值太小，所以不需要考虑。

（）参考答案:错4.同等条件下，允许缺货时的生产周期比不允许缺货时的生产周期（）。

参考答案:偏大5.开始灭火后，火灾蔓延的速度会（）。

参考答案:变小1.如果工人工作每小时的影子价格是2元，则雇佣工人每小时的最高工资可以是3元。

（）参考答案:错2.下面关于线性规划的描述正确的是（）。

参考答案:可行域是凸多边形;最优解可以在可行域内部取得;目标函数是线性的;约束条件是线性的3.在牛奶加工模型中，牛奶资源约束是紧约束。

（）参考答案:对4.在牛奶加工模型中，A1的价格由24元增长到25元，应该生产计划。

（）参考答案:错5.求整数规划时，最优解应该采用（）获得。

参考答案:使用整数规划求解方法重新求解1.人口过多会带来（）。

数学建模第七章图与网络方法建模-72竞赛排名

3 5
G2
8
7
6
G1 , G2 , G3 子图之间的边被简化了，实际上两子图的
每对顶点之间都有边相连，而这些边的方向必是一致的，否则相应的子图可以合并为更大的双向连通子竞赛图。在每个这样的图中按上面介绍的方法排名次，而子图之间的名次不难由它们相连边的方向决定。例如：G1 的名次为{1,2,4,3}，G2 的名次 5,6,7 相同，G3 只一个顶点 8 ，故全部顶点的名次排列为 {1,2,4,3, （5,6,7）,8}。
1 存在从顶点i到j的有向边 aij 0 否则
1
例如：
2 4 3
的邻接矩阵为
0 0 A 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
(1) T S ( S , S , , S ) 记顶点的得分向量为，其中 Si 是 1 2 n
( 2) (1) (k ) ( k 1) k 1 (1) i S AS , , S AS A S ，顶点 1、竞赛图在每条边上都标出方向的图称为有向图。每对顶点间都有一条边相连的有向图称为竞赛图。如何由竞赛图排出顶点的名次？（1）两个顶点的竞赛图只有一种形式
1 2
（2）三个顶点的竞赛图只有两种形式
2 2
1
3
1
3
（1）
（2 ）
对（1），顶名次排序为{1,2,3}；对（2），三个顶点名次相同。
于是可排出名次为{1,3,2,5,4,6}。
三、其他情况（不属于 1 0 和 2 0 ）下的名次排序对于既没有唯一完全路径，又不是双向连通的竞赛图，通常可分解为若干个双向连通的子竞赛图。例如下图 8 个顶点的竞赛图分解为 3 个双向连通子竞赛图

(新教材适用)高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布课后习题新人教A版选择性

7.5 正态分布A组1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,则( )A.μ=2,σ=3B.μ=3,σ=2C.μ=2,σ=D.μ=3,σ=解析:由f(x)=,得μ=2,σ=.答案:C2.若随机变量X的密度函数为f(x)=,X在区间(2,1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )A.p1>p2B.p1<p2C.p1=p2解析:由正态密度函数的解析式知,μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称.所以p1=p2.答案:C3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=( )解析:由P(X<4)=0.8,知P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,故P(0<X<2)=×(10.2×2)=0.3.答案:C4.工人加工机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2).在一次正常的测验中,随机取出10 000个零件,不属于[μ3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件个数可能为( )解析:正态变量的取值落在区间[μ3σ,μ+3σ]上的概率约是0.9973,则不落在区间[μ3σ,μ+3σ]上的概率约是0.0027.因此随机取出10000个零件,不属于这个尺寸范围的零件个数可能是27.答案:C5.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重(单位:kg)数据,抽查结果表明他们的体重X服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数约是( )解析:由题意及题图可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683.答案:D6.已知一次考试共有60名考生参加,考生的成绩X~N(110,25).据此估计,大约应有57名考生的分数在区间( )A.(90,110]内B.(95,125]内C.(100,120]内D.(105,115]内解析:=0.95,故可得大约应有57人的分数在区间(μ2σ,μ+2σ]内,即在区间(100,120]内.答案:C7.(多选题)下列说法中正确的是( ),则P(X=3)=C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3解析:∵随机变量X服从二项分布B,∴P(X=3)=,故A正确;∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴正态曲线的对称轴是直线x=2.∵P(X<4)=0.9,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,∴P(2<X<4)=×(12×0.1)=0.4,故B正确;已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)=(1P(|X|<2))=,故C错误;E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=4D(X),故D错误.综上,选AB.答案:AB8.如果正态变量的取值落在区间(3,1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么正态变量的数学期望为.解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,即μ=1,所以正态变量的数学期望为1.答案:19.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合得分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合得分为80分,则该考生在这次公务员考试中的名次大约是第名.解析:依题意,P(6020≤X≤60+20)≈0.9545,则P(X>80)≈×(10.9545)≈0.0228.故成绩高于80分的考生人数约为10000×0.0228=228.所以该考生在这次公务员考试中的名次大约是第229名.答案:22910.在一次测试中,测试结果X服从正态分布N(2,σ2),若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在区间(0,4)内取值的概率;(2)P(X>4).解:(1)由X~N(2,σ2),知对称轴为直线x=2,作出正态曲线大致如图所示.因为P(0<X<2)=P(2<X<4),所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=[1P(0<X<4)]=×(10.4)=0.3.11.已知公司职工年均收入X服从正态分布,其正态密度曲线如图所示.(1)写出该公司职工年均收入的正态密度函数的解析式;(2)求该公司职工年均收入在80 000~85 000元之间的人数所占的百分比.解:设该公司职工年均收入X~N(μ,σ2),由题图可知μ=80000,σ=5000.(1)该公司职工年均收入的正态密度函数解析式为f(x)=.(2)因为P(75000≤X≤85000)=P(800005000≤X≤80000+5000)≈0.6827,所以P(80000≤X≤85000)=P(75000≤X≤85000)≈0.3414.即该公司职工年均收入在80000~85000元之间的人数所占的百分比约为34.14%.B组1.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令X表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是( )A.P(120<X<130)B.P(125<X<135)C.P(130<X<140)D.P(135<X<145)解析:由题意知X~N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.答案:C2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于( )解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),知P(X≥1.96)=P(X≤1.96)=0.025.所以P(|X|<1.96)=P(1.96<X<1.96)=12P(X≤1.96)=0.950.答案:C3.已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)=0.135 9,则m等于( )(附:P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 5.)解析:∵随机变量X服从正态分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.6827,P(96≤X≤104)≈0.9545.∴P(102≤X≤104)=×(0.95450.6827)=0.1359.又P(m≤X≤104)=0.1359,∴m=102.答案:C4.在某市高二下学期期中考试中,理科学生的数学成绩X~N(90,σ2),已知P(70<X≤90)=0.35,则从全市理科生中任选一名学生,他的数学成绩小于110分的概率为( )解析:∵X~N(90,σ2),∴μ=90.又P(70<X≤90)=0.35,∴P(90≤X<110)=0.35.∴P(X≥110)=×(10.70)=0.15,从而P(X<110)=10.15=0.85.∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85.答案:A5.(多选题)已知某批零件的质量指标Y(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,σ2),且P(Y≥25.45)=0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值Y不位于区间(25.35,25.45)内的产品件数,则( )解析:由正态分布的性质得P(25.35<Y<25.45)=12P(Y≥24.45)=12×0.1=0.8,故1件产品的质量指标值Y不位于区间(25.35,25.45)内的概率P=0.2,所以X~B(3,0.2),所以E(X)=3×0.2=0.6,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,P(X≥1)=1P(X=0)=10.83=0.488,故选AC.答案:AC6.若一批灯泡的使用时间X(单位:h)服从正态分布N(10 000,4002),则这批灯泡的使用时间在区间[9 200,10 800]内的概率约是 .解析:由已知得μ=10000,σ=400,所以P(9200≤X≤10800)=P(100002×400≤X≤10000+2×400)≈0.9545.答案:0.954 57.某校的一次数学考试有600人参加,已知学生的考试成绩X~N(100,a2),试卷满分150分,统计结果显示考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有人.,所以考试成绩在120分以上的人数约为总人数的.所以此次数学考试中成绩不低于120分的学生约有×600=120人.答案:1208.某品牌摄像头的使用寿命X(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命多于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 .解析:∵P(X≥2)=0.8,P(X>6)=0.2,∴P(X<2)=P(X>6)=0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x=4.∴P(X≥4)=,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为.∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为.答案:9.一投资者要在两个投资方案中选择一个,这两个方案的利润X1,X2(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应选择哪个方案?解:由题意知,只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率较大者即为应选择的方案.对于第一个方案X1~N(8,32),则μ1=8,σ1=3.于是P(83≤X1≤8+3)=P(5≤X1≤11)≈0.6827.所以P(X1≤5)=[1P(5≤X1≤11)]≈×(10.6827)=0.15865.所以P(X1>5)≈10.15865=0.84135.对于第二个方案X2~N(3,22),则μ2=3,σ2=2.于是P(32≤X2≤3+2)=P(1≤X2≤5)≈0.6827,所以P(X2>5)=[1P(1≤X2≤5)]≈×(10.6827)=0.15865.由于P(X1>5)>P(X2>5),故应选择第一个方案.10.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,若正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且f(80)=.(1)求正态密度函数的解析式;(2)估计尺寸在72~88 mm之间的零件大约占总数的百分比.解:(1)因为正态曲线在区间(0,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,,所以σ=8.故正态密度函数的解析式为f(x)=.(2)由μ=80,σ=8,得μσ=808=72,μ+σ=80+8=88.所以零件的尺寸X的取值落在区间[72,88]内的概率约为0.6827.故尺寸在72~88mm之间的零件大约占总数的68.27%.。

数学建模课后习题答案

实验报告姓名：和家慧专业:通信工程学号：20121060248 周一下午78节实验一：方程及方程组的求解一实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MA TLAB 函数直接求解法等。

二问题：路灯照明问题。

在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m 和6m 。

在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时（1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？（2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？（3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？三数学模型解：根据题意，建立如图模型P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：2sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；P 为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为21111sin R p k I α= 22222sin R p k I α=22121x h R += 111sin R h =α22222)(x s h R -+= 222sin R h =αQ 点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(x x x s h h P x h h P x I -+++=-+++=要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(x x x x x s h x s h P x h x h P x I -+-++-=-+-++-=算法与编程利用MATLAB 求得0)('=x I 时x 的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1计算结果运行结果： s1 =19.97669581 9.338299136 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x 值后，利用MATLAB 求出对应的I(x)的值，如下表：综上，x=9.33m 时，为最暗点；x=19.97m 时，为最亮点。

数学建模课后作业第七章

数学建模课后作业第七章(总45页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章.多元分析实验基本实验1.线性回归；解：由题可以得出如下的R程序：> X1<-c, , , , , , , , , , 239)> X2<-c, , , , , , , , , ,> X3<-c, , , , , , , , , ,> Y<-c, , 19, , , , , ,, ,>> <-lm(Y ~ X1+X2+X3)> summary运行后可以得知；Call:lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3)Residuals:Min 1Q Median 3Q MaxCoefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) ***X1X2 ***X3 *---S ignif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’ ‘ ’ 1Residual standard error: on 7 degrees of freedomMultiple R-squared: , Adjusted R-squared:F-statistic: on 3 and 7 DF, p-value:则可以得出Y关于X1、X2、X3的线性回归方程；Y= X2+由上述的结果可以得知方程的常量与X2显著性为***表示十分的显著，X3显著性为*表示显著，而X2为不显著。

（2）由（1）中的数据可以得知新的分析函数anovaR程序如下：X1<-c, , , , , , , , , , 239)X2<-c, , , , , , , , , ,X3<-c, , , , , , , , , ,Y<-c, , 19, , , , , ,, ,<-lm(Y ~ X1+X2+X3, data=blood)summaryanova运行后可以得出：Min 1Q Median 3Q MaxCoefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) ***X1X2 ***X3 *---Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’ ‘ ’ 1Residual standard error: on 7 degrees of freedomMultiple R-squared: , Adjusted R-squared:F-statistic: on 3 and 7 DF, p-value:>> anovaAnalysis of Variance TableResponse: YDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)X1 1 ***X2 1 ***X3 1 *Residuals 7---Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’由此结果可以看出X1、X2、X3均能通过显著性检验，所以选择全部变量作回归方程是十分合理的。

数学建模习题及答案课后习题

第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）节中的Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。

将3种方法两次分配的结果列表比较。

（4）你能提出其他的方法吗。

用你的方法分配上面的名额。

2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支元，120g装的元，二者单位重量的价格比是：1。

试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。

解释实际意义是什么。

3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。

若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

高等数学课后答案第七章习题详细解答

习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-；（2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =；（4）z =；（5）z =（6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yzu x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。

matlab第七章课后题答案

matlab第七章课后题答案第一题分解因式syms x y z>> A=x^9-1;>> factor(A)ans =(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1) 解（1）>> B=x^4+x^3+2*x^2+x+1;>> factor(B)ans =(x^2+1)*(x^2+x+1) 解（2）> C=125*x^6+75*x^4+15*x^2+1;>> factor(C)ans =(5*x^2+1)^3 解（3）> D=x^2+y^2+z^2+z*(x*y+y*z+z*x);>> factor(D)ans =x^2+y^2+z^2+z*x*y+y*z^2+z^2*x 解（4）第二题化简表达式syms x y a b>> s=y/x+x/y;>> simplify(s)ans =(x^2+y^2)/x/y 解（1）s=sqrt(a+sqrt(a^2-b))/2+sqrt(a-sqrt(a^2-b))/2;ans =1/2*(a+(a^2-b)^(1/2))^(1/2)+1/2*(a-(a^2-b)^(1/2))^(1/2) 解（2）s=2*cos(x)^2*x-sin(x)^2*x;>> simplify(s)ans =x*(3*cos(x)^2-1) 解（3）s=sqrt(3+2*(sqrt2)) 第三题求函数的极限> syms x>> f=(x^2-6*x+8)/(x^2-5*x+4);> limit(f,x,4)ans =2/3 解（1）>> f=abs(x)/x;>> limit(f,x,0)ans =NaN 解（2）f=(sqrt(1+x^2)-1)/x;>> limit(f,x,0)ans =0 解（3）f=(x+1/x)^x;>> limit(f,x,inf,'left')ans =Inf 解（4）第四题求函数的符号导数f=3*(x^2)-5*x+1;>> diff(f)ans =6*x-5 解(1)y’>> diff(f,x,2)ans =6 解（1）> y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)));>> diff(y)ans =1/2/(x+(x+x^(1/2))^(1/2))^(1/2)*(1+1/2/(x+x^(1/2))^(1/2)* (1+1/2/x^(1/2))) 解（2）diff(y,x,2)ans =-1/4/(x+(x+x^(1/2))^(1/2))^(3/2)*(1+1/2/(x+x^(1/2))^(1/2)*(1+1 /2/x^(1/2)))^2+1/2/(x+(x+x^(1/2) )^(1/2))^(1/2)*(-1/4/(x+x^(1/2))^(3/2)*(1+1/2/x^(1/2))^2-1/8/(x+x^(1/2))^(1/2)/x^(3/2)) 解(2)y=sin(x)-x^2/2;> diff(y)ans =cos(x)-x 解（3）>> diff(y,x,2)ans =-sin(x)-1 解（3）syms x y z>> z=x+y-sqrt(x^2+y^2);>> diff(z,x,y)ans =1-1/(x^2+y^2)^(1/2)*y 解（4）>> diff(y,x)ans =0 解（4）第五题求不定积分x=sym('x');>> f=1/(x+a);>> int(f)ans =log(x+a) 解（1）>> f=(1-3*x)^3;>> int(f)ans =-1/12*(1-3*x)^4 解（2）>> f=(1/(sin(x)^2*cos(x)^2));>> int(f)ans =1/sin(x)/cos(x)-2/sin(x)*cos(x) 解（3）>> f=x^2/(sqrt(a^2+x^2));>> int(f)ans =1/2*x*(a^2+x^2)^(1/2)-1/2*a^2*log(x+(a^2+x^2)^(1/2)) 解（4）第六题求定积分> x=sym('x');> int((x*(2-sin(x)^2))^12,0,1)ans =-13072167041243000966100527033032931/1439431206610157 332070400000000000*sin(1)^19 *cos(1)-6398861758307370972493847449067915934618360845299932 3027852007/820274272 498737105178830959457441284892917760000000000*cos(1)*s in(1)+417844027386435896683 78350956709518241555640967463723429593/1230411408748 105657768246439186161927339376640000000000*sin(1)^3*cos(1)-6287598784304532394386769772554886862775718358540 017487607/179434997109098741757869272381315281070325 7600000000000*sin(1)^7*cos(1)-117903417317/3522410053632*sin(1)^23*cos(1)+93129118771 020938708526771772323524014639/1529945519744217245425650892800000000000*sin(1)^1 7*cos(1)-2677966496932891906 2789407028617562008014032541099/65676988573810175970 43504106365255680000000000* sin(1)^10-9093666156737053001410403050886921533204877134531540 1/53375584364747317 6140678428961747763200000000*cos(1)^2+2541573211/1467 67085568*sin(1)^24+940325057 70279736611460220749/16522396770089041920000000000*si n(1)^20+2704734082846637530 0822998906838403821858600396601/46703636319153902912 30936253415292928000000000*sin(1)^8+5542192477209543230894137867604219553503/255 75581466676109936796106752000000000*sin(1)^16+6290548805350754451916704658025155 325352197570086424587493/20 1864371747736084477602931428979691204116480000000000 0*sin(1)^9*cos(1)-74888453896 484988301898479573506809/175613581237857810540134400 0000000*sin(1)^18-66275838868 9551809679364987359346538465101954279/84285468669723 0591620583026983541145600000000*sin(1)^14+47417160064207694184289443781709965432 75038000761225969993/153801 4260935132072210308048982702409174220800000000000*sin(1)^5*cos(1)-273698005143037 11474211657412466731397670944577/1002665095819570213 96215456910540800000000000*sin(1)^15*cos(1)+18044178399358284974551495/22109663333 532016**********sin(1)^21*cos(1)+159018588498544047612814017616772807534595903672 788230889/18504234076875807 7437802687143231383603773440000000000*sin(1)^13*cos(1)-42990929319556261053136947 04999192498272936575705473777243/2220508089225096929 253632245718776603245281280000000000*sin(1)^11*cos(1)+7264479585721640057236136324 9893595045872001672201/160 1267530942419528422035286885243289600000000*sin(1)^4-179168559345113148705406926 00563709435304263998599/3002376620517036615791316162 909831168000000000*sin(1)^6-3 228431702614231399553/6979060395685611307008*sin(1)^22 +1809464903223467961506769 2014871302547716716561173/86693624917429432280974254 20402137497600000000*sin(1)^12+90821203400667453448262867129549773153665801090519 0650989336891/1066356554248 3582367324802472946736703607930880000000000 解（1）int(x/(x^2+x+1),-1,1)ans =1/2*log(3)-1/6*3^(1/2)*pi 解（2）> int((x*sin(x))^2,0,pi)ans =1/6*pi^3-1/4*pi 解（3）第七题求级数之和n=sym('n');>> s1=symsum((-1)*(2*n+1)/2^n,n,0,inf)s1 =-6 解（1）>> s2=symsum(x^(2*n-1)/2^n-1,n,1,inf)s2 =sum(x^(2*n-1)/(2^n)-1,n = 1 .. Inf) 解（2）s3=symsum(1/(2*n+1)^2,n,0,inf)s3 =1/8*pi^2 解（3）s4=symsum(1/n*(n+1)*(n+1),n,1,inf)s4 =Inf 解（4）第八题求泰勒展开式>> x=sym('x');f1=x^4-5*x^3+x^2-3*x+4;f2=(exp(x)+exp(-x))/2;f3=tan(x);f4=sin(x)^2;f5=sqrt(x^3+x^2+5*x+3);taylor(f1,4,4)ans =-140+21*x+37*(x-4)^2+11*(x-4)^3 解（1）taylor(f2,5,0)ans =1+1/2*x^2+1/24*x^4 解（2）taylor(f3,3,2)ans =tan(2)+(1+tan(2)^2)*(x-2)+tan(2)*(1+tan(2)^2)*(x-2)^2 解（3）taylor(f4,8,0)x^2-1/3*x^4+2/45*x^6 解（4）taylor(f5,5,0)ans =3^(1/2)+5/6*3^(1/2)*x-13/72*3^(1/2)*x^2+137/432*3^(1/2)*x^3-2909/10368*3^(1/2)* x^4 解（5）第九题求非线性方程的解x=solve(‘a*x^2+b*x+c=0’,’x’)x =1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2)) 解（1）x=solve(‘2*sin(3*x-pi/4)=1’,’x’)x =5/36*pi 解（2）x=solve(‘sin(x)-sqrt(3)*cos(x)=sqrt(2)’,’x’)x =-atan(2*(1/4*2^(1/2)+1/4*3^(1/2)*2^(1/2))*2^(1/2)/(3^(1/2)-1))+pi-atan(2*(1/4*2^(1/2)-1/4*3^(1/2)*2^(1/2))*2^(1/2)/(1+3^(1/2)))-pi 解（3）x=solve(‘x^2+10*(x-1)*sqrt(x)+14*x+1=0’,’x’)x =(2^(1/2)-1)^2(-4+17^(1/2))^2 解（4）第十题求方程组的解[x,y]=solve(‘ln(x/y)=9’,’exp(x+y)=3’,’x,y’)x =exp(9)*log(3)/(exp(9)+1)log(3)/(exp(9)+1) 解（1）[x,y,z]=solve(‘(4*x^2)/(4*x^2+1)=y’,’(4*y^2)/(4*y^2+1) =z’,’(4*z^2)/(4*z^2+ 1)=x’,’x,y,z’)x =y =0 解（2）z =第十一题求初值y=dsolve('x*(D2y)+(1-n)*(Dy)+y=0','y(0)=Dy(0)=0','x')第十二题，求特解[x,y]=dsolve(‘Dx=3*x+4*y’,’Dy=5*x-7*y’,’x(0)=0’,’y(0)=0’,’t’)x =y =解（1）。

2020_2021学年高中数学第七章随机变量及其分布7.5正态分布课后习题含解析新人教A版选择性必修

第七章随机变量及其分布7.5 正态分布课后篇巩固提升基础达标练1.关于正态分布N (μ,σ2),下列说法正确的是( )A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件2.(2020山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),若P (ξ<4)=0.9,则P (-2<ξ<1)=() A.0.2 B.0.3C.0.4D.0.6x=1对称,P (ξ>4)=1-P (ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P (ξ<-2)=P (ξ>4)=0.1,故P (-2<ξ<1)=0.5-P (ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.3.已知X~N (0,1),则X 在区间(-∞,-2)内取值的概率为( )A.0.954 5B.0.045 5C.0.977 3D.0.022 75x=0,所以P (X<-2)=0.5-12P (-2≤X ≤2)≈0.5-12×0.9545=0.02275.4.若随机变量X~N (1,22),则D (12X)等于( )A.4 B .2C .1D .1X~N (1,22),所以D (X )=4, 所以D (12X)=14D (X )=1.5.若随机变量X~N (1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为 .X~N (1,22),∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,D(Y)=9D(X)=62.∴Y~N(2,62).(2,62)6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.,P(ξ>110)=1-2P(90≤ξ≤100)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.7.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式;(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比.X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8000,σ=500.(1)此地农民工年均收入的密度函数解析式为f(x)=500√2π-(x-8000)22×5002,x∈R.(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000<X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%.故此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数所占的百分比为34.135%.8.设X~N(4,1),证明P(2<X<6)=2P(2<X≤4).μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2<x≤4)=P(4<X<6).又因为P(2<X<6)=P(2<X≤4)+P(4<X<6),所以P(2<X<6)=2P(2<X≤4).能力提升练1.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=√2π-x22,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为()A.p1>p2B.p1<p2C.p 1=p 2D.不确定μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p 1=p 2.2.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1),若P (ξ>1)=p ,则P (-1<ξ<0)=( )A.12+pB.1-pC.1-2pD.1-pP (-1<ξ<0)=12P (-1<ξ<1) =12[1-2P (ξ>1)]=12-p.3.(2019山东菏泽一中高二月考)设随机变量ξ服从正态分布N (3,7),若P (ξ>a+2)=P (ξ<a-2),则a=( )A.1B.2C.3D.4随机变量ξ服从正态分布N (3,7),P (ξ>a+2)=P (ξ<a-2),∴a+2+a-2=6,解得a=3.4.已知X~N (4,σ2),且P (2≤X ≤6)≈0.682 7,则σ= ,P (|X-2|≤4)= .X~N (4,σ2), ∴μ=4.∵P (2≤X ≤6)≈0.6827,∴{μ+σ=6,μ-σ=2,∴σ=2.∴P (|X-2|≤4)=P (-2≤X ≤6)=P (-2≤X<2)+P (2≤X ≤6) =12[P (-2≤X ≤10)-P (2≤X ≤6)]+P (2≤X ≤6)=12P (-2≤X ≤10)+12P (2≤X ≤6)≈0.84.0.845.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X (单位:万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?X~N (8,32),其中μ1=8,σ1=3,P (X>5)=1+P (5≤X≤11)2≈1+0.68272=0.84135.对于第二个方案有X~N (7,12),其中μ2=7,σ2=1,P (X>5)=1+P (5≤X≤9)2≈1+0.95452=0.97725.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.素养培优练从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:√150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 5.抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈0.6827.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.。

北京工业大学数学建模-实验7答案

数学建模作业7&8基本实验解：（1）根据题意使用interval estimate()函数进行区间估计，编写R程序如下：X <- c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)interval_estimate(X)运行结果为：mean df a b1 997.1 9 902.9965 1091.203根据运行结果可知，这种灯泡的使用寿命的均值为997.1小时，置信系数为0.95的置信区间为[902.9965,1091.203]，因此这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用902.9965小时。

（2）编写R程序如下：pnorm(1000,mean(x),sd(X))运行结果为：[1] 0.5087941根据运行结果可知，这批灯泡能够使用1000小时以上的概率为50.87941%。

解：题中给出了正常男子的血小板计数均值为μ0=225×109/L。

我们可以假设血小板的计数分布服从正态分布。

那么从事油漆作业工人的血小板计数就是均值μ和方差σ2未知的正态分布。

可以根据题中给出的20名男子的血小板计数值，估计出从事油漆作业工人的平均血小板计数值μ1。

然后对比正常男子和从事油漆作业男子的血小板计数值，来判断油漆作业对人体血小板计数是否有影响。

这里可以使用函数t.test()做单个正态总体的单边检验。

假设H0:μ1<μ0，H1:μ1>μ0。

编写R程序如下：X<-c(220,188,162,230,145,160,238,188,247,113,126,245,164, 231,256,183,190,158,224,175)t.test(X, alternative = "greater", mu = 225)运行结果为：One Sample t-testdata: Xt = -3.4783, df = 19, p-value = 0.9987alternative hypothesis: true mean is greater than 22595 percent confidence interval:175.8194 Infsample estimates:mean of x192.15由运行结果可知，p-value=0.9987>0.05，不能拒绝原假设，接收H0，即认为油漆作业工人的血小板计数均值小于正常男子的血小板计数均值。

数学建模第四版第七章课后答案

第七章第一题clc%数据输入x=[68 68 87 87 106 106 140 140];y=[ ];z=[ ];%²插值cx=99;cy=;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,'cubic')%做表面图%meshz(cx,cy,cz)cz =第二题x=[129 140 88 195 77 81 162 162 ];y=[ 23 147 -81 3 84 ];z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; %²插值cx=75::200;cy=-50::150;cz=griddata(x,y,z,cx',cy,'cubic')第三题x=1::10;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值plot(x,y,'+',x,y1) grid on title('一次拟合曲线'); figure(2);f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);grid on title('二次拟合曲');figure(3);f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3)grid ontitle('四次拟合曲线');figure(4);f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,'+',x,y4)grid ontitle('六次拟合曲线);运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）f1 =f2 =f4 =f6 =运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。

4.建模作业_MATLAB(3)

《数学建模》课程作业题第七章MATLAB(3)1.MATLAB图形处理的高级技术都有哪些？颜色映像。

1）colormap函数进行调用颜色映像；2）Pcolor、rgbplot、colorbar等函数用户可以条用所定义的颜色映像为图形服务；3）pcolor一般与函数shading相结合，用于以不同方式为图形着色；4）Rgbplot是一种直接显示颜色的函数；5）第三个用来显示颜色映像最常用的函数是colorbar。

视角与光照。

1）视角控制函数view,viewmtx及rotate3D；2）光照控制函数lighting‘光源模式’；3）图像处理。

2.MATLAB图形处理的基本技术都有哪些？1）图像控制坐标控制：axis([xmin,xmax,ymin,ymax])平面坐标网格函数：grid on/grid off2）图形的标注①．坐标轴标注：xlabel(‘标注’,’属性’),ylabel,zlabel②．文本标注：text（x,y,’标注文本及控制字符串’）③．交互式文本标注：gtext④．图例标注：legend （‘标注1’，‘标注2’） 3）图形的保持与子图：hold on,hold off,subplot(m,n,p) 3.3. 编写如下问题的M 文件7.4.1绘制下列曲线.(1) 21100x y +=, 运行程序：clear; clc; x=0:0.1:1; y=100./(1+x.^2); plot(x,y);(2) 2221xe y -=π, 运行程序 clear;clc; x=0:0.01:1;y=(1/(2*pi))*exp(((-x.^2)/2)); plot(x,y);(3) 122=+y x ,ezplot('x^2+y^2=1')(4) ⎩⎨⎧==325ty t x . t=0:1:50; x=t.^2; y=t.^3; plot(x,y)title('参数方程 ');7.4.2绘制下列极坐标图.(1) 4cos 5+=θρ,clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=5*cos(x)+4; polar(x,y)(2) θρ12=,clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=12./sqrt(x); polar(x,y);(3) 7cos 5-=θρ, clear; clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=5./cos(x)-7; polar(x,y)(4) 23θπρ=.clear;clc;x=0:0.01*pi:2*pi; y=pi/3*x.^2; polar(x,y)7.4.3绘制下列三维图形.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x sin cos ,clear; clc;t=0:0.01*pi:2*pi; x=cos(t); y=sin(t); z=t;plot3(x,y,z)(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=u z v u y v u x sin sin )cos 1(cos )cos 1(,u=0:pi/20:10*pi; v=0:pi/20:10*pi; x2=(1+cos(u)).*cos(v); y2=(1+cos(u)).*sin(v); z2=sin(u); plot3(x,y,z)(3) 5=z ,[x3,y3]=meshgrid(-100:100);%形成一个100×100的网格z3=5*ones(size(x3));%将Z与上面网格对应起来mesh(x3,y3,z3)(4) 半径为10的球面.x0=2;y0=3;z0=0;%球心r=10;%半径[x,y,z]=sphere;mesh(r*x+x0,r*y+y0,r*z+z0);axis equal7.4.4在同一图形窗口采用子图形式分别绘制正方形、圆、三角形和六边形.ord=[3 4 6 2^20] for i=1:4 subplot(2,2,i)theta=linspace(pi/ord(i),2*pi+pi/ord(i),ord(i)+1);%%圆等分点 plot(cos(theta),sin(theta));xlim(1.5*[-1,1]);ylim(1.5*[-1,1]);axis equal ; end7.4.5分别用plot 和fplot 函数绘制下列分段函数的曲线：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=>+++=0 ,510 ,00 ,51)(342x x x x x x x x ffunction y=work414(x) y=[];%定义空矩阵 for i = x if i > 0y = [y, i^2+(1+i)^0.25+5]; %将算出值与矩阵y 结合形成新矩阵y elseif i == 0 y = [y, 0]; elsey = [y, i^3+sqrt(1-i)-5]; end end endclearclcx=-10:0.5:10;y=work414(x);subplot(2, 1, 1);plot(x,y)grid on; title('plot');subplot(2, 1, 2);fplot(@(x)work414(x),[-5,5])grid on; title('fplot');7.4.6某工厂2005年度各季度产值(单位：万元)分别为：450.6、395.9、410.2、450.9，试绘制折线图和柄状图，并说明图形的实际意义.subplot(1, 1, 1); clear; clc;x = 1 : 4;y = [450.6, 395.9, 410.2, 450.9];subplot(1, 2, 1);plot(x, y);title('折线图-四个季度产值变化'); xlabel('第i个季度'); ylabel('产值/万元'); grid on; axis([0, 5, 360, 480]);subplot(1, 2, 2);pie(y);title('饼图-每个季度占总产值的百分比');意义：第一季度与第四季度产值高，二三季度产值偏低7.4.7绘制一个长方形，将长方形3等份，每等份分别着不同的颜色.vert = [0, 0; 1, 0; 2, 0; 3, 0; 3, 1; 2, 1; 1, 1; 0, 1]; %画最大长方形fac = [1, 8, 7, 2; 2, 7, 6, 3; 3, 6, 5, 4];%区域涂色分割mc = jet(3);patch('Vertices', vert, 'Faces', fac, 'FaceVertexCData', mc, 'FaceColor', 'flat'); %着色函数7.4.8生成一个长方体，每小面着不同颜色，并进行光照和材质处理.clear;clc;vert = [0, 0, 0; 1, 0, 0; 1, 1, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 1; 0, 1, 1];fac = [1, 5, 6, 2; 2, 6, 7, 3; 3, 7, 8, 4; 4, 8, 5, 1; 1, 4, 3, 2;5, 8, 7, 6];mc = jet(6);patch('Vertices', vert, 'Faces', fac, 'FaceVertexCData', mc,'FaceColor', 'Flat'); % 顶点集，小面上定点axis([-0.5, 2.5, -0.5, 2.5, -0.5, 2.5]); grid on; axis square;xlabel('x-axis'); ylabel('y-axis'); zlabel('z-axis');title('方块');light('Color', 'b', 'Style', 'local', 'Position', [1, 1, 1]);lighting flat; % 均匀入射光material shiny; % 镜面反射光hold on;plot3(2, 2, 2, 'p'); text(2, 2, 2, 'light');hold off7.4.9气象变换情况的可视化：下表是气象学家测量得到的气象数据，它们分别表示在南半球地区按不同纬度、不同月份的平均气旋数字，根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图，并计算2月份在纬度11度处的气旋值.南半球气旋数据表clear;clc;x=1:12;y=5:10:85;z=[2.4 1.6 2.4 3.2 1.0 0.5 0.4 0.2 0.5 0.8 2.4 3.6 ;18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16;20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5;22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6;37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4;48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9;25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3;5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.66.3 6.6;0.3 0 0 0.3 0 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.3];[xi,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');z=interp2(x,y,z,2,11,'cubic')mesh(xi,yi,zi)hold on;plot3(2,11,z,'*r')xlabel('月份'),ylabel('纬度'),zlabel('气旋'),axis([0 12 0 90 0 50])title('南半球气旋可视化图形')红点表示2月份在纬度11度处的气旋值z =16.2040。

数学建模概率统计方法

则有
D
(x
E )2
f
(x)dx
9
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（1）两点分布：
设随机变量只取 0 或 1 两个值，它的分布列为 P( k) pk (1 p)1k , k 0,1，则称服从于两点分布，且 E p, D p(1 p) 。
（2）二项分布：
设随机变量可能的取值为 0,1,2,, n ，且分布列为 P( k) Cnk p k (1 p)1k , k 0,1,2,, n
2. 常用的统计量
（3）表示分布形态的统计量
偏度： P1
1 S3
n i 1
Xi X
3。
当 P1 0 时称为右偏态；
当 P1 0 时，称为左偏态；
当 P1 0 时，则数据分布关于均值对称。
峰度： P2
1 S4
n i1
Xi X
4 ，是反映数据形态的另一个度量。
24
2021年4月17日
（4）均匀分布：
设
为连续随机变量，其分布密度为
f
(x)
b
1
a
,
x
[a, b]
，
0, x [a,b]
则称服从[a,b] 上的均匀分布，且 E a b , D 1 (b a)2 。
2
12
11
2021年4月17日
３ .常用的概率分布及数字特征
（5）正态分布：
若随机变量分布密度函数为
f , (x)
7
2021年4月17日
2. 随机变量的数学期望与方差
（1）数学期望
设为连续型随机变量，其分布密度函数为
f (x) ，如果 x f (x)dx 收敛，则称 xf (x)dx

数学建模第七章和第五章作业题目 (1)

第七章作业题目：数学模型15.人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积v 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。

分别在以下几种假设下建立模型，并讨论稳定情况。

（1）人体血液容积v 不变。

（2）v 随着注入溶液而增加。

（3）由于排泄等因素v 的增加有极限值解：模型假设：本模型中主要符号说明为：葡萄糖浓度g(t)注射速率r人体血液容积v基本模型为： g k Vr k dt dg 21-= (1k ,02>k ,常数) ⑴ (1)V 为常数时，平衡点V k r k g 210=稳定。

如果以g 为横轴、dt dg 为纵轴作出方程的图形（图1），可以分析葡萄糖浓度增长速度dtdg 随着g 的增加而变化的情况，从而大概地看出g(t)的变化规律。

令2.01=k ，5.02=k ,利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令：Plot[0.2/100-0.5g,{g,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]得到：图1 dt～g 曲线再利用matlab 在操作窗口中输入以下代码命令：g=dsolve('Dg=k1*r/v-k2*g','g(0)=g0','t')其解为g =k1*r/v/k2+exp(-k2*t)*(-k1*r+g0*v*k2)/v/k2整理得到：220112)(vk vk g r k e v r k t g t k +-+=- ⑵Plot[0.2/100+Exp[-0.5t],{t,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]得到：图2 g ～t 曲线由图可以知道它在平衡点V k r k g 210=稳定。

(2)不妨设β=dtdV （0>β，常数） ⑶ 方程⑴，⑵不存在平衡点。

高等数学课后习题答案--第七章

−( x+ y )
;
x2 − y2 （6） 2 ; x + y2
（8）
（7）
1 − cos( x 2 + y 2 ) ; x2 + y2
x2 . x2 + y2 − x
【答案】 (1) 0; (2) 2; (3) 0; (4) 不存在; (5) 0 ; (6) 不存在; (7) 0; (8) 不存在.
(2) z ′ x = −
y 1 + , x2 y
z ′y =
1 y , z ′y = , (4) y y y y 2 x cos sin x sin cos x x x x xy xy +1 ′ z′ ln x . x = x y (ln x + 1) , z y = x
1 x − ,(3) z ′ x = − x y2
14. 计算下列映射的导数： ⎛x+ y ⎞ ⎟ （1） f ( x, y ) = ⎜ ⎜ x 2 + y 2 ⎟; ⎝ ⎠
⎛ u cos v ⎞ ⎟ ⎜ （2） g (u , v) = ⎜ u sin v ⎟. ⎟ ⎜v ⎠ ⎝
⎛ dx ⎞ ⎛ dx + dy ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ df = J , 【解】 (1) J = ⎜ ⎜ dy ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 2x 2 y ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ ⎝ 2 xdx + 2 ydy ⎠ ⎝ ⎠
⎡ （4） u = sin 2 x + sin ⎢( y − 1) ln tan ⎣
【解】(1)
x ⎤ ⎛π ⎞ ⎥ 在 ⎜ , 1⎟ 处的 u ′ x。 y⎦ ⎝4 ⎠
6 1 12 6 6 ,− ; ; (2) − ,− , 12 36 18 36 3

数学建模习题---第七章

习题1．在 7.1节制订生产计划模型中，当1224k T k Q <时求最优解。

图7-2中1t 的确定可视为曲线3s 始端在直线0=x 上变动的泛函极值问题。

2．对于7.2节生产与贮存的控制问题，用条件极值和哈密尔顿函数方法直接求（1）、（2）、（3）、（6）的解。

3．有7.4节林木砍伐模型中验证最优解*t 满足（13）式。

* 4．下面是某林业公司林木实际价值)(t V 的一组数据（)(t V 的含义见7.4节（7）式）：①作出())~t V t 图形。

由此分析7.4节所作的假设是否合理。

②尽可能精确地得到)(t V。

设折扣因子0=δ.05，确定砍伐林木的最佳时刻]32[*.t 5．在7.5节渔业资源捕捞过度模型I 中，验证0=δ时的最优解*x 与6.2节的结果（13）式一致。

∞→δ时的*x 与6.2节的（17）式一致，解释一致的原因。

6．在7.5节捕捞过度模型II 中① 当r c p 2,2>>δ时证明不等式关系：)0)(()(x f x H <<'<ξξ，)()(x H x G >，作出)(x H 和)(x G 的示意图，证明最大效益将导致资源枯竭②证明只要r <δ则不论p 如何都不会导致资源枯竭。

7．在7.6节渔船模型中，将最优解*U 下渔场鱼量水平)(*ι>t x 与7.5节的（11）式比较，说明其一致性。

8．经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力，假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力)(t f 满足kt f t f 1)()(-= ，k 是冲力限制系数，F f =)0(为最大冲力。

将上述关系代入7.8节赛跑模型的（2）式，求出短跑比赛时速度)(t u 和距离)(t s 的表达式，及达到最高速度的时间，作出)(t v 的示意图。

汉城奥运会男子百米决赛前6名在比赛中，到达距离s 处所用的时间t 和当时的速度v 如下表所示（平均值）。

数学建模第七章作业 2

数学建模第七章作业1、不允许缺货的确定性静态库存模型的最优订货周期和最优订货量分别为：r p p T 21*2=，21*2p r p Q =因此*T 对r p p ,,21的灵敏度分别为：212212d d ),(12112*11*1*=⋅⋅⋅=⋅=p r p p p r p T p p T p T S ， 212)21(2d d ),(122321*22*2*-=⋅⋅-⋅=⋅=p r p p p r p T p p T p T S ，212)21(2d d ),(12321***-=⋅⋅-⋅=⋅=p r p r r p p T rr T r T S . *Q 对r p p ,,21的灵敏度分别为：212212d d ),(12112*11*1*=⋅⋅⋅=⋅=r p p p p p r Q p p Q p Q S ， 212)21(2d d ),(122321*22*2*-=⋅⋅-⋅=⋅=r p p p p r p Q p p Q p Q S ，212212d d ),(1221***=⋅⋅⋅=⋅=r p p r r p p Qrr Q r Q S .4、本题的目标是计算出最佳的脏毛巾存放天数，使得平均每天用于清洗毛巾的费用最低.首先引入以下记号：x ~ 存放脏毛巾的天数（天）； n ~ 每天产生的脏毛巾数（条/天）； 0p ~ 清洗店每次上门的费用（元）； 1p ~ 每条脏毛巾的清洗费用（元/条）；2p ~ 每天每条脏毛巾的存放费用（元/（天·条））； y ~ 平均每天用于清洗毛巾的费用（元/条）.模型假设：（1）600=n ，2500=p ，1.02=p ；（2）若2500<nx ，201=p ；若2500≥nx ，9.11=p .根据题意，只需以x 天为一个周期，计算一个周期内平均每天的费用，并使平均每天的费用最小，即计算出使y 最小的x 值.在一个周期内，清洗店上门费用为0p 元，脏毛巾清洗费用为nx p 1元，存放脏毛巾的费用为2)1(2+⋅x x n p 元，因此平均每天的费用为 222)1(2120210n p n p nx p x p x x x nx p nx p p y +++=+⋅++=代入模型假设中各参数的值，有⎪⎩⎪⎨⎧≥++<++=6002500,1170302506002500,123030250x x xx x x y （4.1）作出函数（4.1）的图像，如下：观察图像可知，存放天数5=x 时，每天平均费用最小，经计算，每天平均费用的最小值为1370元.6、本题需要在约束条件下确定内、外墙涂料的日产量，使得涂料公司的日总利润达到最大。

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