第26讲进位制问题
进位制 课件
类型 一 k进制数转化为十进制数
【典型例题】
1.把七进制数123化成十进制数为
.
2.下列各数85(9),301(5),
1000(4)中最小的数是
.
【解题探究】1.七进制数从右边数第二位的数字若是 k(k=0,1,2,3,4,5,6),其在十进制中表示的数是多少? 2.相同进制中,位数越多的数越大对吗?不同进制中的数如何比 较大小? 探究提示:1.表示的数是7k. 2.对,相同进制中,位数越多的数越大,不同进制中的数需化为同 进制中的数比较大小,通常都化为十进制数.
【互动探究】把题2中的四进制数化为十二进制数. 【解题指南】结合题2的解法,转化为十进制数458,然后再化 为十二进制数. 【解析】由本题2的解答知13022(4)=458, 再把十进数458化为十二进制数. 458=322(12), 故13022(4)=322(12).
【解析】1.选C.因为 所以15=1111(2),故C正确.
2.先把四进制数13022化为十进制数. 13022(4)=1×44+3×43+0×42+2×4+2×40 =256+192+0+8+2 =458. 再把十进制数458化为六进制数. 458=2042(6). 故13022(4)=2042(6).
除k取余法
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)七进制的基数是7,用0,1,2,3,4,5,6六个数字表示.( ) (2)任何进位制中都要用到数字0.( ) (3)不同进位制中,十进制的数比二进制的数大.( )
提示:(1)正确.由几进制的基数就是几知(1)正确. (2)正确.0在进位制中都是要用到的数. (3)错误.不同进位制中的数,要化为同一进位制下的数才能比 较大小. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
高中数学人教A版必修三全册课件进位制 公开课获奖课件
5 191
余数
5 38
1
57
3
51
2
191=1231(5)
0
1
理论迁移
例2 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022(4)=2042(6)
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数.
思考4:十进制数4528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类 比，二进制数110011(2),八进制数7342(8) 分别可以写成什么式子？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1 ×21+1×20
7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.
1.3 高中新课程数学必修③
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便 而约定的记数系统，如逢十进一，就 是十进制；每七天为一周，就是七进制； 每十二个月为一年，就是十二进制，每 六十秒为一分钟，每六十分钟 为一个小时，就是六十进制；等等.一 般地，“满k进一”就是k进制，其中k 称为k进制的基数.那么k是一个什么范 围内的数？
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307. 1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数？十进制数89化为二进制 数是什么数？
进位制教案
进位制一、设置情境，引入新课【提问】大家看这两个数相等吗？【PPT 】 1101=13【独白】可不可能存在某种情况，使得1101与13相等呢？本节课我们就来解决这样的问题。
下面我们将一起来进行进位制的学习。
二、讲授新知，了解概念【独白】首先，我们要知道什么是进位制？【PPT 】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统。
【独白】在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指技术有关。
【提问】 谁能说一说十进制数有什么特点？【板书】满十进一使用0~9十个数字计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一。
于是，我们得到下面的式子：【板书】 0^1011^1022^1073^1033721⨯+⨯+⨯+⨯=将基数按降幂排列，取系数从左到右排成一列即为3721由此：我们可以将3721表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式。
【独白】在日常生活中，并不是每一种数字都是十进制的，古人就有半斤八两之说，就是十进制与十六进制的转换。
爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制。
至今我们仍然使用一周七天，一年十二个月，一小时六十分的历法。
【PPT 】（我们约定）“满二进一”，就是二进制，“满十进一”就是十进制，（以此类推）“满 k 进一”，就是k 进制。
K 进制的基数就是k 。
基数k 都是大于1的整数.三、探求新知，激发潜能【独白】我们现在常用的计算机内部使用的就是二进制运算，计算机在进行数的运算时，先把接收到的数转化成二进制数运算，再把运算结果转化为十进制数输出。
【板书】我们先来研究一下计算机内部使用的二进制数有什么特点？由约定二进制数应该是满二进一，那么它会使用哪些数字来表示呢？【互动】满二进一使用0和1两个数字计数时，几个数字排成一行生：111000,1100等等【板书】（师：）为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数。
算法案例-进位制
a1
k
1
a0
k
0 (10)
2、十进制数化成k进制数
除k取余法
作业
Ｐ4５．
３
Ｐ48．
３
89=324（5）
练习
将下面的十进制数化为二进制数？
（1）10 （2）20
（3）128 （4）256
小结
一、进位制
anan1 a1a0(k) (0 an k,0 an1,
,a1,a0 k).
二、各进制数之间的转化（只限整数）
1、其它进制数化成十进制数公式 anan1 a1a0(k )
an k n an1 k n1
上述方法可以推广为把k进制数化
十进制数的算法
探究：P34
若anan1 a1a0(k)表示一个k进制数，请你把它写成各位 上数字与k的幂的乘积之和的形式。
anan1 a1a0(k ) ank n an1k n1a1k来自1a0k
0 (10)
K进制数化成十进制数公式
练习：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) (2) 10212(3) (3) 2376(8)
一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起 的形式：
anan1 a1a0(k)(0 an k,0 an1, , a1, a0 k).
下列写法正确的是： （ A ）
A、751（16）
B、751（7）
C、095（12）
D、901（2）
注意书写及读法
anan1 a1a0(k) (0 an k, 0 an1, , a1, a0 k).
（2）十进制数化为二进制数
例5 把89化为二进制数。 解：
把上式各步所得的余数 从下到上排列， 得到89=1011001（2）
进位制的知识
进位制的知识嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一个超级有趣的数学概念——进位制。
你可别一听“数学概念”就觉得头疼，这进位制啊，就像咱们生活中的魔法密码一样，可好玩啦！我先给你们讲个小故事吧。
我有个朋友叫小李，他去一个古老的集市上玩。
在一个小摊位上，他看到一个奇怪的算盘。
这个算盘和咱们平常看到的不太一样，上面的珠子分布很奇特。
小李就好奇地问摊主：“大爷，您这算盘怎么这么奇怪呀？”大爷笑着说：“小伙子，这可不是普通的算盘，这是按照一种特殊的进位制做的呢。
”小李当时就懵了，进位制？这是什么东西？其实啊，咱们平时最常用的就是十进制。
为啥是十进制呢？你看啊，咱们的手指头，是不是正好十个呀？这十进制就像是顺着咱们手指头的数量来的。
在十进制里，满十就进一。
比如说，数字9再加1，就变成10了。
这就像咱们把九个小苹果放在一个篮子里，再放一个苹果进去的时候，这个篮子满了，就得换一个新篮子，并且在新篮子上记个1，表示一个满篮子，原来的篮子就清空重新开始装苹果了。
这多像咱们生活中的道理啊，东西装满了就得换个新的容器。
那除了十进制，还有其他的进位制呢。
像二进制，这在计算机世界里可太重要了。
我有个搞计算机的同学小王，他就天天和二进制打交道。
我就问他：“小王啊，你这二进制到底是啥玩意儿，看着那些0和1我就晕。
”小王就跟我解释：“嘿，你看啊，二进制就是满二进一。
就好比有两个盒子，一个装0个东西，一个装1个东西，再想放东西，没地儿了，那就得新开一组盒子，然后在前面记个1，表示新的一组开始了。
计算机里面，所有的信息都可以用0和1来表示，就像咱们生活中的东西都能用不同的符号表示一样神奇。
”我又想起来，还有八进制呢。
这八进制啊，满八就进一。
这就好比是一个特殊的部落，他们计数的时候，不是用咱们的十个手指头，而是用八根手指头，或者是他们有八个一组的什么东西来计数。
比如说在八进制里，数字7再加1就变成10了。
这是不是很有趣呢？感觉像是进入了一个不同的数字王国。
第26讲 进位制问题
第26讲进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52 < 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】 (abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2．于是，35a=15+80×2；a=5．于是(abc)6 =(552)6=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且x y z++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及b．【分析与解】我们注意2()19871987bxyz b x by zx y z⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b-1)x+(b-1)y=1987-25．则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962，即(b-1)[(b+1)x+y]=1962．所以，1962是(b-1)的倍数．1962=2×9×109：当b-1=9时，b=10，显然不满足；当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，所以，545,(929911bx x xy y yz⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足．于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?【分析与解】于是，我们知道n=4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数.【分析与解】 我们现把1024转化为二进制：(1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数． 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8．所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd)9在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef)8在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab)10在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和 1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 …2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天．。
高中进位制练习题及讲解
高中进位制练习题及讲解### 高中进位制练习题及讲解#### 练习题一：二进制转换为十进制题目：将二进制数 1101 转换为十进制数。
解答：1101（二进制）= 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1= 13（十进制）#### 练习题二：十进制转换为二进制题目：将十进制数 13 转换为二进制数。
解答：将 13 不断除以 2，并记录余数，直到结果为 0。
13 / 2 = 6 (1)6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 (1)1 / 2 = 0 (1)将余数从下到上读取，得到 1101（二进制）。
#### 练习题三：八进制转换为十进制题目：将八进制数 173 转换为十进制数。
解答：173（八进制）= 1 * 8^2 + 7 * 8^1 + 3 * 8^0= 64 + 56 + 3= 123（十进制）#### 练习题四：十进制转换为八进制题目：将十进制数 123 转换为八进制数。
解答：将 123 不断除以 8，并记录余数，直到结果为 0。
123 / 8 = 15 (3)15 / 8 = 1 (7)1 / 8 = 0 (1)将余数从下到上读取，得到 173（八进制）。
#### 练习题五：十六进制转换为十进制题目：将十六进制数 1A3 转换为十进制数。
解答：1A3（十六进制）= 1 * 16^2 + 10 * 16^1 + 3 * 16^0 = 256 + 160 + 3= 419（十进制）#### 练习题六：十进制转换为十六进制题目：将十进制数 419 转换为十六进制数。
解答：将 419 不断除以 16，并记录余数，直到结果为 0。
419 / 16 = 26 (3)26 / 16 = 1 ... 10（十六进制中的 A）将余数从下到上读取，得到 1A3（十六进制）。
#### 讲解：进位制转换是计算机科学和数学中的一个基本概念。
在进行进位制转换时，我们通常使用以下步骤：1. 二进制转换为十进制：从最右边的位（最低位）开始，将每一位的值乘以 2 的相应权重（从 0 开始递增），然后将结果相加。
高二数学进位制(新编201912)
第一课时
主讲教师
高中新课程数学必修③
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便 而约定的记数系统，如逢十进一，就 是十进制；每七天为一周，就是七进制； 每十二个月为一年，就是十二进制，每 六十秒为一分钟，每六十分钟 为一个小时，就是六十进制；等等.一 般地，“满k进一”就是k进制，其中k 称为k进制的基数.那么k是一个什么范 围内的数？
理论迁移
例1 将下列各进制数化为十进制数. (1)10303(4) ； (2)1234(5).
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307. 1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二 进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中 10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数， 则以k为基数的k进制数可以表示为一串数 字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1， a0的取值范围如何？
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；
纪录片《拉面之神》，我以为会跟《寿司之神》一样，讲一个神一样的人怎么做出了神级的寿司或者神级的拉面，然而不是的，《拉面之神》拍了一个人，胖胖的老爷爷，雪白头发，用他的魔术手，做出了最好吃的拉面，每个客人都可以吃得饱饱的离开。“同学们都说我们很像啊，我们就结 了婚，开了这家面店，一起做拉面，直到她患癌病离开。家乡？我只在新婚后和妻子一起回去过一次。”胖胖的老爷爷是这么说的，“之后，我再也没有回过家乡。” （选自2017年3月31日《光明日报》） 21.文章以“拉面”为题，有何作用？（2分） 答： 22.根据提
进位制教案
《进位制》教案
教学目标：
1．了解进位制的概念，学会表示进位制数，理解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；
2．学生经历得出各种进位制与十进制之间转换的规律的过程，进一步掌握进位制之间转换的方法；
3．学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系，培养他们的合作精神和严谨的态度．
教学重点难点：
1．重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换；
2．难点：“除k取余法”的理解．
教法与学法：
1．教法选择：以探究式互动教学法为主，范例教学为辅，利用课件等媒体辅助教学；
2．学法指导：在学习各种进位制特点的同时探讨各种进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法．
教学过程：
一、设置情境，引出概念
二、思维拓展，方法探究
三、讲练结合，内化知识
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析：这一节所讲授的都是算法案例的知识，这对提高学生的数学素养很有帮助．就单独的算法初步这一内容，则是为了提高学生有条理地处理和解决数制问题的能力，并能理解非十进制与十进制的转化．
2．学生现实分析：学生在先前算法案例学习的基础下，对于进位制知识和方法的理解应该不难，难就难在学生能否快速且准确无误的计算．
3．由学生熟悉的十进制数出发，引导学生分析得到“除10取余法”，再将这一算理进行迁移得到“除2取余法”，在此基础上进行拓展，进而得到“除k取余法”，从而解决了十进制转化为k进制的问题．精品文档word文档可以
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26 进位制问题
本讲不着重讨论n 进制中运算问题，我们是关心n 这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n 进制就是逢n 进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．1．计算：(234)7+(656)7【分析与解】 我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进l ，如下：10于是，和为(1223)7．2．在几进制中有4×13=100．【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0． 也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2． 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52 < 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n <10．所以，n 只能是6．3．在几进制中有125×125=16324．【分析与解】注意(125)10×(125)10=(15625)10，因15625 < 16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以，n < 10．我们再注意尾数分析，(5)10×(5)1010=(25)10，16324的末位为4，于是25-4=21进到上一位．所以说进位制n为2l的约数，也就是2l，7，3．因为出现了6，所以n只能是7．4．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．5．在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】我们还原为十进制(abc)7=a×72+b×7+c=49a+7b十c；(cba)9=c×92+ b×9+a=81c+9b+a．于是49a+7b+c=81c+9b+a；48a=80c+2b，即24a=40c+b；因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数．于是b=0或8，但是在7进制，不可能有8这个数字．于是b=0，所以24a=40c，则3a=5c；所以a为5的倍数，c为3的倍数．所以，a=0或5，但是，首位不可以是0，于是a=5, c=3；所以(abc)7 =(503)7=5×49+3=248.于是，这个三位数在十进制中为248．6．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】 (abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2．于是，35a=15+80×2；a=5．于是(abc)6 =(552)6=5×62+5×6+2=212．所以．这个三位数在十进制中为212．7．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．【分析与解】我们将b进制中数改写为10进制，则(777)b=7×b2+7×b+7；则有7×b2+7×b+7=4x，我们知道N是7的倍数，所以4x也是7的倍数，又7为质数，所以x是7的倍数．于是，令x=7t，则7×b2+7×b+7=2401t4,则b2+b+1=343t4；当t＝1时，6。
进位制要点及解题技巧
1、什么是进位制？例：（1）平时的计算，是满十进一的，我们称十进制（2）计算机里面，是满二进一的，我们称二进制（3）一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。
我们称是十二进制（4）一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。
即满二十四进一。
称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。
定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
即“满几进一”就是几进制。
几进制的基数就是几。
2.进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。
例：十进制：基数为10；表示十进制是使用0.1.2.…9。
十个数字。
二进制：基数为2；表示二进制是使用0和1。
两个数字七进制：基数为7；表示七进制是使用0.1.2.…6。
七个数字。
基数都是大于1的整数。
不同的进位制的基数是不同的。
注意：在计数时的最大数字必须小于基数。
3.关于进位制两个需要注意的地方：4.十进制与n进制的互换：5.十进制的两个特征：n进制就是逢n进一进位制例题及答案（一）例1.完成下列进位制之间的转化：1234=______【解答】由题意，1234除以4，商为308，，余数为2，308除以4，商为77，，余数为0，77除以4，商为19，，余数为1，19除以4，商为4，，余数为3，将余数从下到上连起来，即34102故答案为：34102例2.完成下列进位制之间的转化：10121（3）=_______【解答】先转化为10进制为：1*81+1*9+2*3+1=9797/5=19…219/5=3…43/5=0…3将余数从下到上连起来，即342故答案为：342例3.完成进位制之间的转化：120（6）=_______【解答】∵120（6）=1×62+2×61+0×60=48∵48÷2=24 024÷2=12…0，12÷2=6 06÷2=3…0，3÷2=1 (1)1÷2=0…1，∴转化成二进制后的数字是110000，故答案为：110000．例4.完成下列进位制之间的转化：101101（2）=_______【解答】∵101101（2）=1×25+1×23+1×22+1×20=45 ∵45÷7=6 (3)6÷7=0…6，∴转化成7进制后的数字是63，故答案为：63例5.试判断下式是几进位制的乘法123×302=111012．【解答】我们利用尾数分析来求这个问题：不管在几进制中均有：（3）10×（2）10=（6）10；但是式中111012的个位数是2，2≠6说明6向上一位进位了，进了6-2=4，所以进位制n为4的因数，即n=4或2；但是两个因数的数字最大是3，3＞2；所以不可能是2进制，只能是4进制．例6.完成下列进位制之间的转化：101101（2）=_____（10）=_____（7）．【解答】先101101（2）转化为10进制为：1*25+0*24+1*23+1*22+0*2+1=45∵45/7=6 (3)6/7=0 (6)将余数从下到上连起来，即63故答案为：45；63．例7.完成右边进位制之间的转化：110011（2）=_____（10）_____（5）．【解答】先110011（2）转化为10进制为：1×25+1×24+0×23+0×22+1×2+1=51∵51÷5=10 (1)10÷5=2 02÷5=0 (2)将余数从下到上连起来，即201．故答案为：51；201．例8.设n=99…9（100个9），则n3的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（）A．201B．200C．100D．199【解答】93=729；993=970299；9993=997002999…99…9；（100个9）3=99…97（99个9）00…0（99个0）299…9（100个9）共199个9．故选D．。
进位制 课件
进位制的概念
【问题导思】 十进制使用 0～9 十个数字，那么二进制使用哪些数字？ 六进制呢？ 【提示】 二进制使用 0～1 两个数字，六进制使用 0～ 5 六个数字．
进位制是人们为了 计数和运算方便 而约定的记数系 统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是 几 .
进位制之间的相互转化
例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋ 1.
十进制转化为k进制 (1)将 194 化成八进制数； (2)将 48 化成二进制数． 【思路探究】 除 k 取余→倒序写出→标明基数 【自主解答】 (1)
∴194 化为八进制数为 302(8)．
(2) ∴48 化为二进制数为 110 000(2)．
1．将十进制化成 k 进制的方法：用除 k 取余法，用 k 连 续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所 得的余数倒序写出，即为相应的 k 进制数．
2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十 进制数一般不标注基数．
不同进位制之间的转化 将七进制数 235(7)转化为八进制数． 【思路探究】 七进制→十进制→八进制 【自主解答】 235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124， 利用除 8 取余法(如图所示)．
∴124＝174(8)， ∴235(7)转化为八进制为 174(8)．
1．本题在书写八进制数 174(8)时，常因漏掉右下标(8)而 致误．
2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中 间桥梁，用除 k 取余法实现转化．
【问题导思】 二进制数 110 011(2)化为十进制数是多少？ 【提示】 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋ 1×21＋1×20＝51.
小学教育ppt课件教案,掌握进位原理,解决二位数加法中的进位问题
目录
引言进位原理的介绍二位数加法中的进位问题练习与巩固总结与回顾
01
CHAPTER
引言
进位原理的讲解
详细讲解进位原理的概念、作用和应用，通过实例帮助学生理解进位的原理和计算方法。
02
CHAPTER
进位原理的介绍
总结词
理解进位概念是解决二位数加法中进位问题的关键。
03
对进位原理理解不透彻
针对学生对进位原理理解不透彻的问题，可以多举实例进行解释和演示。
01
进位时忘记加进位数
提醒学生注意进位时不要忘记加上进位数，可以通过多练习来加强记忆。
02
混淆进位与非进位情况
强调进位与非进位的区别，通过实例让学生明确何时需要进位。
建议学生多做练习，通过不断的实践来提高自己的计算能力和进位技巧。
练习二
练习一
综合运用各种进位加法技巧。例如：56 + 39 + 27 = ?。这个练习旨在提高学生综合运用进位加法技巧的能力，提高计算的效率和准确性。
练习二
解决生活中的实际问题。例如：计算购物时需要支付的总金额、计算两个地点之间的距离等。这个练习旨在让学生将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
练习一
连续进位加法。例如：46 + 79 = ?。这个练习要求学生能够正确处理连续进位的情况，进具体情境的进位加法。例如：小明有16个苹果，小华有23个苹果，他们一共有多少个苹果？这个练习旨在提高学生解决实际问题的能力，同时加深对进位原理的理解。
练习一
两位数的首位非十进位的加法。例如：37 + 48 = ?。这个练习要求学生掌握首位非十进位的加法计算方法，提高计算的准确性和速度。
进位制 课件
一 k进制化为十进制
【例1】 将下列各数化为十进制数． (1)1234(5)； (2)11001(2)； (3)2010(8)； (4)315(7)．
【解】 (1)1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝125＋ 50＋15＋4＝194.
(2)11001(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋0×2＋1×20＝16＋8 ＋1＝25.
四 k进制数的综合问题
【例4】 电子计算机使用二进制，它与十进制的换算关 系如下表：
十进制 1 2 3 4 5 6 … 二进制 1 10 11 100 101 110 … 观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的 数，二进制的6位数能表示十进制中最大的数是________．
【解析】 最大的6位二进制数是111111，它表示的十进 制数最大．由换算关系知，111111＝1×25＋1×24＋1×23＋ 1×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝6案 C
2．三位七进制数表示的最大的十进制的数是( )
A．322
B．402
C．342
D．365
解析 七进制的最大三位数是666，把它化为十进制数为 6×72＋6×7＋6×70＝342.
答案 C
3．下列各数85(9)、210(6)、1000(4)、111111(2)中最小的数是 ________．
【解】 (1)85(8)＝8×81＋5×80＝69(10)．
∴69＝1000101(2)， 即 85(8)＝1000101(2)．
(2)235(7)＝2×72＋3×7＋5×70＝124(10)， ∴124＝174(8)，即 235(7)＝174(8)．
规律技巧 k进制之间的转化，首先转化成十进制，再转 化为k进制.
数的进位和退位运算
数的进位和退位运算在数学中，进位和退位运算是一种常见的运算方式，主要用于整数或小数的运算中。
进位运算是指在两个相邻位相加时，当结果超过了当前位的进位数时，将进位数加到高一位。
而退位运算则是相反的操作，当两个相邻位相减时，如果结果小于当前位，则要从高一位借位。
进位和退位运算在实际应用中非常常见，尤其是在计算机科学、金融和工程领域。
本文将详细介绍数的进位和退位运算的定义、应用以及具体的计算方法。
一、进位运算进位运算是数学中常用的运算方式之一。
当我们计算两个相邻位相加时，如果结果超过了当前位的进位数，就需要进行进位运算。
进位运算的规则如下：1. 当两个相邻位相加的结果小于进位数（一般为10），则直接将结果写在当前位上；2. 当两个相邻位相加的结果等于进位数，则当前位写为0，进位数加1；3. 当两个相邻位相加的结果大于进位数，则当前位写为（结果减去进位数），进位数加1。
例如，我们使用进位运算来计算十进制数36和48的和：36-----84具体的进位运算步骤如下：1. 个位数相加：6 + 8 = 14，大于进位数10，所以个位数取4，进位数为1；2. 十位数相加：3 + 4 + 进位数1 = 8，不超过进位数，所以十位数为8。
总结起来，进位运算的步骤是：相邻位相加，判断是否超过进位数，根据情况确定当前位的值并计算进位数。
二、退位运算退位运算是进位运算的反操作。
当我们计算两个相邻位相减时，如果结果小于当前位，则需要进行退位运算。
退位运算的规则如下：1. 当两个相邻位相减的结果大于等于0，则直接将结果写在当前位上；2. 当两个相邻位相减的结果小于0，则从高一位借位，当前位写为（结果加上退位数），退位数减1。
例如，我们使用退位运算来计算十进制数57减去38的结果：57-----19具体的退位运算步骤如下：1. 个位数相减：7 - 8 = -1，小于0，需要退位。
我们从十位数借位1，所以个位数为（7 - 8 + 10 = 9）；2. 十位数相减：5 - 3 = 2，大于等于0，所以十位数为2。
数的进位与退位
数的进位与退位数字是人类数数和计算的重要工具，我们经常会遇到数字的进位与退位问题。
进位是指将个位数加1后，超过10的部分进位到十位数；退位是指将个位数减1后，不足0的部分退位到十位数。
本文将探讨数字的进位与退位规律以及应用。
一、十进制与位数十进制是我们常用的数制系统，它由0-9这10个数字组成。
在十进制中，每一位的权值都是以10的幂次递增，从右至左，依次为个位、十位、百位等。
例如在数字123中，1代表百位，2代表十位，3代表个位。
二、数字进位规律在十进制中，数字的进位规律是当个位数为9时，向左一位的数需要进位，即十位数加1。
例如98+2=100，其中个位数9需要进位到十位数，得到100。
同样地，889+1=890，其中个位数9进位到十位数。
进一步延伸，当某一位的数大于或等于10时，都需要进位。
例如123+7=130，其中个位数3不需要进位，十位数2加7后等于9，也不需要进位，但百位数1加7后等于8，需要进位，所以结果为130。
三、数字退位规律与进位相反，退位是将个位数减1后，不足0的部分退位到十位数。
例如45-6=39，其中个位数5减6后结果为-1，所以需要退位到十位数，最终结果为39。
对于多位数的退位，需依次从右至左进行退位操作。
例如543-7=536，个位数3减7为-4，所以需要退位，十位数4减1后为3，不需要退位，最终结果为536。
退位操作也适用于小数。
例如3.9-0.2=3.7，其中个位数9减2后为7，不需要退位，最终结果为3.7。
四、进退位在实际运算中的应用进位与退位在实际的数学运算中经常被使用。
例如加法运算中，当两个数字相加时，如果某一位的和大于9，就需要进位到更高一位。
同样地，在减法运算中，如果被减数的某一位小于减数的对应位，就需要向高位借位，即退位。
进位与退位也在解决实际问题中发挥重要作用。
例如在计算货币时，进位与退位使得转换更加方便，可以快速计算出总额。
总结：数的进位与退位是数学中基本的概念与运算规则，掌握进位与退位的规律和应用对于数学计算和实际问题解决具有重要意义。
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=10 9＋ 10 9 8 7 ＋ 10 9 8 7 6 5＋ 10 9 8 7 6 5 4 3＋1 2 12 3 4 12 3 45 6 12 3 4 5 6 78
=45+210+210+45+1=511
于是，小于 1024 的“坏数”有 511 个 .
7． 计算： 3 3 3... 3 1 26 的余数．
【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大． 注意到， 三进制进动两位则我们注意到进动了 3 个 3，于是为 9．所以变为遇 9 进 1．也 就是九进制． 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3 进制 5 5 l 6 4 1 3 5 47 9 进制 所以，首位为 5．
于是 ( abc ) 6 =(552) 6 =5×６2+5×６+2=212．
所以．这个三位数在十进制中为 212．
4．设 1987 可以在 b 进制中写成三位数 xyz ，且 x y z =1+9+8+7，试确定出所有可能的 x 、
y、 z及b．
【分析与解】
我们注意 (xyz)b b2x by z 1987① x y z 19 8 7 ②
2003个3
【分析与解】
但b =5，则 35 a =3×5+80 c ；则 7 a =3+16 c ； mod 7 后， 3+2 c ≡ 0 所以 c =2 或者 2+7 k ( k 为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于 是 c =2． 于是， 35 a =15+80× 2； a =5．
3． 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少 ? 【分析与解】 ( abc ) 6 = a × 62＋ b ×6+ c =36 a +6 b + c ；
( cba ) 9 = c ×92+ b ×9+ a =81 c +9 b +a ． 所以 36 a +6 b +c =81 c +9 b + a ；于是 35 a =3b+80 c ；
之为“坏数” . 例如： 18=（ 10010） 2 是“坏数”．试求小于 1024 的所有坏数的个数 .
【分析与解】 我们现把 1024 转化为二进制：
(1024) 10 =2 10 =(10000000000) 2．
于是，在二进制中为 11 位数，但是我们只用看 10 位数中情况． 并 且 ， 我 们 把 不 足 10 位 数 的 在 前 面 补 上
于是为 (59B) 19 =(1987) 10 ， B 代表 11．
5． 下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制， 和为多少 ?
【分析与解】
于是，我们知道 n =4，所以为 4 进制，
A、B、C、D 的
2
则
A+B+C+D=3+1+2+0=．6
6. 一个非
零自然数，如果它的二进制表示中数码 l 的个数是偶数，则称
0， 如
111...10000...0 111...1 = 0111...1 则， * * * * * * * * * *
5个1 5个或以上 0 2
9个1 2
9个1
2
10个位置
6 个 1， 8 个 l ， 10 个 1．
可以含 2 个 l ，4 个 1，
于是为 C120
C120
C160
C180
C10 10
① - ②得： ( b2 -1) x +( b -1) y =1987-25 ．
则 ( b -1)( b +1) x +( b -1) y =1962，
即 ( b -1)[( b +1) x + y ]=1962 ．
所以， 1962 是 ( b -1) 的倍数．
1962=2×9×109：
当 b -1=9 时， b =10，显然不满足；
当 b -1=18 时，b =19，则（ b -1)[( b +1) x + y ]=18 ×(20 x + y )=1962 ；则 20 x + y =109，
b=19
x5 x4
所以，
,
(不满足 ),......
y 9 y 29
x5 则
y9
z 11
显然，当 b =109 不满足， b =2×109 不满足，当 b =9×109 也不满足．
1
因为 35 a 是 5 的倍数， 80 c 也是 5 的倍数．所以 3 b 也必须是 5 的倍数，又 (3 ， 5)=1 ． 所以， b =0 或 5． ①当 b =0，则 35 a =80 c ；则 7 a =16 c ；(7 ，16)=1 ，并且 a 、 c ≠0，所以 a =16， c =7：
第 26 讲 进位制问题
内容概述
本讲不着重讨论 我们要注意本质是：
n 进制中运算问题， 我们是关心 n 这个数字，即为几进制．对于进位制 n 进制就是逢 n 进一 ．
但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．
说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．
典型问题
1． 在几进制中有 4×13=10 0．
【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：
不管在几进制均有 (4) 10 ×(3) 10 =(12) 10 ．但是，式中为 100，尾数为 0．
也就是说已经将 12 全部进到上一位．
所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12， 6， 4， 3， 2．
但是出现了 4，所以不可能是 4， 3， 2 进制．
评注 ：若原为 n 进制的数，转化为 n k 进制，则从右往左数每 k 个数一组化为 n k 进制．
如： 2 进制转化为 8 进制， 2 3=8，则从右往左数每 3 个数一组化为 8 进制．
10 100 001 101 2
进制
2 4 1 58
进制
(10100001101) 2 =(2415) 8 ．
我们知道 (4) 10 ×(13) 10 =(52) 10 ，因 52 < 100 ，也就是说不到 10 就已经进位，才能是
100，于是我们知道 n <10． 所以， n 只能是 6．
2．在三进制中的数 12120120110110121121 ，则将其改写为九进制，其从左向右数第 l 位数 字是几 ?