5-Galton钉板实验

和 binopdf(x,n,p)中是一样，运行该指令后，得到一个 s×
m 的矩阵。 执行命令 disttool，可以进入概率分布的 demo。 执行命令 randtool，可以进入随机数生成的 demo。
2、动画模拟 Galton 钉板试验 运行观察程序 Gaห้องสมุดไป่ตู้ton_1.m，屏幕将出现一个图形窗口，动画模拟扔球过程。
型。
例如，若学校的电话总机设有 99 个分机，已知每号分机平均每小时有 3 分
钟要使用外线，在考虑该总机应设置多少条外线合适的问题时，可归结为 n 重
Bernoulli 试验的问题。在任一时刻考察一部分机是否占用外线时，其可能结果只
有 两 个 ：“ 占 用 ”（ 发 生
A ）、“ 不 占 用 ”（ 发 生
有多种情况，但若只关心明天是否下雨，则观察明天的天气（作为一次试验），
其结果只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是个 Bernoulli 试验。
实际上常要考察独立重复进行一 Bernoulli 试验的序列，并将这一独立重复
试验序列作为单独一个复合试验来对待。这里，所谓独立重复进行一 Bernoulli
图 1-1 Galton 钉板模型（n＝5）
1
问题：1、向 Galton 钉板扔进一个小球，它将落到哪一个格子中？事先能预 测吗？
2、如果不断地重复扔球过程，将会发现什么结果呢？落入各个格子中 的小球的堆积形状如何？反映了什么信息？
3、如果这是一个抽奖游戏，扔一次小球需要付出 1 元代价，同时在不 同的格子中设置了不同价值的奖品，如表 1-给出了一种奖品设置的 情况。抽奖者一般的希望是奖品回报大于所付出的代价，这一点能 够实现吗？
拷贝动画矩阵
Movie(mat,m)
播放动画矩阵 m 次
Binopdf(x,n,p)
概率密度函数。
计算二项分布列，参数 n 和 p 分别为试验次数和成功概率。
给定 x，就可以计算 x 处的概率。x 可以是向量或矩阵。
Binocdf(x,n,p)
累计概率密度函数。
binornd(n,p,s,m)
二项分布发生器，模拟二项分布的随机变量。参数 n 和 p
问题 2、小球自上方落下，经过 n 个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能 结果：向右或向左。这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验 E，将向
右视为成功，成功的概率为 p ，向左为失败，失败的概率为 q 1 p 。小球碰到
一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验 E。小球自顶端落下，碰到 n 个钉子， 最终落在某个格子的过程，恰好相当于将试验 E 重复了 n 次，因此一次投球过 程就是一个 n 重贝努利试验（将仅有两个相互排斥结果的试验 E 独立重复 n 次，
构成了 n 重贝努利试验 E n ）。
n 重贝努利试验的成功次数 X 正好是小球向右移动的次数，它是一个随机变
量。根据概率论的结果有 X ~ B(n, p) 。对于一个随机变量，我们首先要弄清楚
它的取值范围，X 的取值范围为 0,1, 2,, n ，这是什么意思呢？在 Galton 钉板模
型中 X ＝0 表示小球向右移动的次数，也就是小球一直向左移动，所以它恰好要 落在编号为 0 的格子里；同理 X ＝1 表示小球恰好要落在编号为 1 的格子里，依 次类推，这就是说， X 是小球最终落进的格子编号数，当然它也对应为小球向 右移动的次数。
如果将这样的抽检一件产品看作是进行一次试验，则试验的结果可以是发生 A
（这是件不合格产品）或
A
（A
不发生，即产品质量合格）。称这种只有两个可
能结果
A（称“成功”）或
A
（称“失败”）的试验为
Bernoulli
试验。
有很多试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常只对试验是否发生某一
3
种特定结果感兴趣，因而可将之归结为 Bernoulli 试验、例如，明天的天气可以
实验五 Galton 钉板实验
一、实验目的与要求 1.复习概率论中随机变量、概率分布、二项分布、均值和分布函数等概念。 2.理解 Galton 钉板实验中小球落入格子所服从的规律。 3.了解 Matlab 软件中进行动画演示的命令。 4.了解 Matlab 软件中计算二项分布概率、产生二项分布随机数的命令，了 解计算离散型随机变量数学期望的方式。 5.了解 Matlab 软件中进行随机模拟的方法。
工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用 p 0.001 的 n 重 Bernoulli 试验模型，
这里 n＝5000。
3、二项分布
在“成功”概率是 p ，即 p P ( A) 的 n 重 Bernoulli 试验中，事件 A 出现的
次数 是二项分布随机变量，其可能的取值为：
0，1，……，n
有分布律
如 1-1 是模拟向一个 5 层 Galton 钉板扔 100 次小球的过程的最后的结果。在模拟 过程中我们看到，每一个小球落在哪一个格子是无法预测的，但小球逐渐堆积成 一种单峰的形状，落在中间格子的小球数较多，落在两端格子的小球数很少。你
可以增加投球次数，观察小球堆积的分布有无改变；你也可以改变概率 p ，观察
二、问题描述 所有现象的“因”和“果”，即“条件”和“结果”之间在客观上都存在着
一定的规律，这种规律通常可以分成两类：一是确定性的规律，另一类是非确定 性规律。对于确定性的系统，当已知条件是充分时，那么实验的结果也是确定的， 即在每一次试验进行以前，可以预见试验产生的结果。但若条件不充分时，就无 法预测试验的结果，这就产生了“因果律的缺失”的随机现象。随机现象在实践 中是大量遇到的，如掷骰子。虽然无法由“因”预测“果”，但是当进行大量重 复试验时，因果之间仍会呈现一种统计规律。概率方法建立在“重复试验”的基 础上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量。分布、均值、 方差等概念无一不体现了重复的思想。
数学期望可以理解为由于随机变量 X 以 pi 的概率取到值 i （即小球落入第 i
格的概率为 pi ），这意味着抽奖者以 pi 的概率获得价值 fi ，所以若以概率 pi 对函
数值 fi 做折扣：即计算折扣值 fi pi ，并把所有折扣值加总，就得到了理论均值
或数学期望 Ef ( X ) 。
根据上述公式可计算，抽一次奖所得回报的理论均值为
A
）。 而 且 据 已 知 数 据 有
p P ( A) 3 / 60 0.05 ，所以这是一个 p 0.05 的 Bernoulli 试验。由于各分机是
否在占用外线可合理地认为是相互独立的，因而这个问题可看成涉及了一个
p 0.05 的 99 重 Bernoulli 试验。
再比如，已知某疾病的发病率为 0.001，当卫生部门要对一个拥有 5000 名员
Ef ( X ) 5 C50 p0q5 2 C51 p1q4 0.2 C52 p2q3 0.2 C53 p3q2 2 C54 p4q1 5 C55 p5q0 0.75 <1
因此，抽奖者总体上是要亏的。
四、背景知识介绍
1、随机变量
随机变量是随机试验结果的函数，其特点是在试验前，并不能预知这个函数
将取何值，这要凭机会，就是“随机”的意思。一旦试验后，取值就确定了。例
如，你在 3 月 31 日买了一张奖券，到 6 月 30 日开奖。当你买这张奖券时，可以
对你说：“你中奖的金额 是个随机的变量，其值在 6 月 30 日'抽奖试验'做过之
后才能确定。”
明白了这一点就不难举出许多随机变量的例子。例如，某出租车公司的电话
试验的意思是，这个序列中的每一试验的结果都只能发生
A
或
A
，且发生
A
的
概率一样，是某个值
p
P(
A)
。当然，发生
A
的概率也就是一样地是
q
P(
A)
，
并且每一试验发生的结果不会影响其他试验出现的结果。
独立重复试验序列最重要的特性是序列由独立重复进行 n 次 Bernoulli 试验
组成，简称为 n 重 Bernoulli 试验。在很多问题中可以用上 n 重 Bernoulli 试验模
二项随机变量 X 的分布列为：
pi P( X i) Cni piqni , i 0,1,, n
问题 3、由（1）可知，扔一次小球无法预测它到底会落到 0，1，2，3，4， 5 中的哪一个格子，因此抽一次奖有可能获得 5 元收入，也可能只获得 0.2 元收 入，即结果是不确定的。如果继续抽奖 m 次，将每次获得的奖品价值相加并除
格子编号
表 1-1 奖品的设置
0
1
2
3
4
5
奖品的价值 fi（元） 5
1 0.2 0.2 1
5
三、问题分析 问题 1、当扔小球时，关心的是小球落入格子的编号数 X。在扔小球之前虽
然可以知道，小球必会落到编号为 0，1，2，3，4，5 的某一个格子中，但是我 们无法预测小球到底会落到哪一个格子中。因此小球落入格子的编号数 X 是一 个随机变量，它的取值为 0，1，2，3，4，5。
小球堆积情况的变化；当然，你也可以增加钉子的数目，看看小球堆积分布的变 化情况（只是这是计算时间花费较长，可以修改程序，取消动画，只显示最终的 结果）。
模拟 Galton 钉板试验的步骤如下： （1）确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵 X 和 Y 之中。 （2）在 Galton 钉板试验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种可能性。向
右的概率为 p ，向左的概率为 q 1 p ，这里 p 0.5 ，表示向右和向左的机会是
相同的。
将[0，1]区间分成两段，区间[0, q) 和[ p, q q]。如果随机数 u [0, p) ，让小
球向右落下；若 u [q, p q] ，让小球向左落下。将这一过程重复 n 次，并用直
线连接小球落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端随机地落入某一个格子 的过程。
订车中心，一天内接到的订车电话的次数 ；某射手对一活动靶进行射击，到击
中目标为止，所进行的射击次数 ；从一批灯泡中，任取一只，测定这只灯泡的
寿命 ，等等，这些都是随机变量。
2、n 重 Bernoulli 试验
当依照一定的质量标准，从大批产品中抽出一件进行产品质量合格性检查
时，得出的结果可以是二者之一：“这是件不合格产品”或“这是件合格产品”。
k
k
E xk pk xk P ( xk )
数学期望表征的是随机变k量 取值的“k 平均值”。
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五、实验过程 1、Matlab 命令简介
命令
功能
rand(m,n)
产生 m×n 个(0,1)区间中的随机数，并将这些随机数存于
一个 m×n 矩阵中。每次调用 rand(m,n)的结果都会不同。
Getframe
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（3）模拟小球堆积的形状。输入仍球次数 m（例如 m＝50、100、500 等）， 计算落在第 i 格格子的小球数在总球数 m 中所占的比例，这样当模拟结束时，就
得到了频率
fi
mi m
,i
0,, n ，用频率反映小球的堆积形状。
程序 Galton_1.m： clear,clf,m=100;n=5;y0=2; ballnum=zeros(1,n+1);
以下围绕着 Galton 钉板模型来讨论。 Galton 钉板试验是由英国生物统计学家 Galton 设计的。在一板上有 n 排钉 子，图 1-1 所示的是 n＝5 的情况。图中 15 个圆点表示 15 颗钉子，在钉子的下 方有 6 个格子，分别编号为 0，1，2，3，4，5。自 Galton 钉板的上方扔进一个 小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落 下的机会相等、碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子。图 中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
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以 m，就得到了每次抽奖的平均回报。这个平均回报也是在变化的，这个人抽奖 m 次的平均 回报可能是 0.7 元，另外一个人可能是 1.2 元。平均来说，一次抽奖 理论上的回报到底是多少呢？
我们可以计算一次抽奖所得回报的平均值（数学期望），即为：
n
Ef ( X ) fi pi i0
若此平均值大于 1，说明抽奖者总体上会赢的；若平均值小于 1，说明抽奖者总 体上要亏的。
P (
k)
C
k n
pkqnk ,
0
k
n
这个值也被记作 b(k ; n, p ) ， 服从参数为 n ，p 的二项分布，也记作 ~ B (n, p ) 。 4、离散型随机变量的数学期望
设随机变量 具有概率分布列
x1 x2 xn
p1
p2 pn
则当 | xk | pk 时，称 xk pk 为随机变量 的数学期望或均值，记作