绝对值几何意义应用
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值的几何意义--实际应用问题
绝对值的几何意义--实际应用问题【知识点】一个数的绝对值越小，距离原点越近【练习题】1.四只毛毛虫在数轴上的位置如下，则距离原点最近的是______2.一只蚂蚁在数轴上来回爬行，记录的位置分别为：-2、-1、4、-3则距离原点最远的位置是______3.矿井下A、B、C三处的高度分别为-35.2m，-129.1m，-72.6m，最深的是______（填“A、B、C”）4.记录1、2、3号3个零件的长度，大于标准值为+，小于标准值为-，记录结果（单位：mm）分别为+0.10、-0.07、-0.02，则最接近标准值的是______号5.某班测量身高，超过平均身高记为正数，低于平均身高记为负数，甲、乙两位同学的记录情况分别为+3，-5。
最接近平均身高的是______（填“甲、乙”）6.某商店全年第一、第二、第三、第四季度盈亏情况（盈利为正，亏损为负）依次是：68万元、-140万元、-95万元、145万元，则亏损最多的是第______季度（填“一、二、三、四”）7.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数。
从轻重的角度看，最接近标准的工件是（）A.-2B.-3C.3D.78.某次数学单元测试，1班第1小组4位同学的平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数登记为正数，低于80分的分数登记为负数，甲、乙、丙、丁4位同学的分数记录情况为：10、-2、5、-13。
则最接近80分的是______同学。
（填“甲、乙、丙、丁”）9.某公路养护小组若干人各自乘车沿南北方向公路巡视维修，某天早晨他们从A地出发，约定A地以北为正方向，A地以南为负方向，他们几人当天相对与A地的行驶记录分别如下（单位：千米）：+18，+9，-2，-14，+5，-19。
当天距离A地最远的距离是______千米。
10.某市监管部门抽查一商店4个水果罐头的质量，超出标准质量记为正，不足质量记为负，则最接近标准质量的罐头是（）A.-3B.4C.2D.1答案1.-22.43.B4.35.甲6.二7.A8.乙9.1910.D。
绝对值几何意义应用
q n 10, p m 85 则l n p_____________ ；若15 5绝对值几何意义应用一、几何意义类型：类型一、a a 0:表示数轴上的点a到原点0的距离；类型二、a b b a :表示数轴上的点a到点b的距离(或点b到点a的距离)；类型三、a b a ( b) b ( a):表示数轴上的点a到点b的距离(点b到点a的距离)；类型四、x a:表示数轴上的点x到点a的距离；类型五、x a x ( a):表示数轴上的点x到点a的距离.二、例题应用：例1. ( 1 )、x 4的几何意义是数轴上表示x的点与表示___________ 的点之间的距离，若x 4=2，贝yx .(2)、x 3的几何意义是数轴上表示x的点与表示__________ 的点之间的距离，若x 3 1，贝y(3)、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m n、p、q.若m q 15& p n 1 n3则点A，B，C 在数轴上的位置关拓展：已知a、b、c、d均为有理数, |a b 9]c d(4)、不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点为A, B，C,如d c的值.解析:a b) c d | l a bc d 9 16 25 且 a b c d \ 25.a b9,cd | 16 ba d c 9 16 7.例2. (1 )、①当x _2 x 3取最大值，最大时，x 3取最小值；②当时，值为(2)、①已知x 3 x 2 7，利用绝对值在数轴上的几何意义得疔个单位餐険人JL 个单位虬康二~O 寸 亠刀②已知5，利用绝对值在数轴上的几何意义丄个处位战度③已知X 3 x 2 4 ,利用绝对值在数轴上的几何意义得________ ；-2 O 3拓展：若2a 7 2a 1 8,贝V整数a的个数是4 .倉个单位长度④当X满足_______ 条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义I x 3 x 2取得最小值，这个最小值是_________ .由上题③图可知，X 2 x 3 5，故而当2 X 3时，最小值是5.⑤若x 3 x 2 a时，探究a为何值，方程有解？无实数解？档案：a 5; a<5.特别要注意的是：当x在2 x 3这个范围内任取一个数时，都有x 3 x 2 5例题拓展：①若X 3 X 2>a恒成立，则a满足什么条件？答案：a<5.②若x 3 x 2<a无实数解，则a满足什么条件？答案：a < 5.③若X 3 X 2>a恒成立，则a满足什么条件？答案：a V 5.由上图当x < 2时，x 3 x 2 5 ；当x > 3时，x 3 x 2 5 ；当2 V x V 3 ,5 V x 3 x 2V 5，所以 5 < x 3 x 2< 5.则 a V 5.④若x 3 x 2<a时，则a满足什么条件？答案：a>5.拓展应用：已知x 1 x 2 y 2|y 1 z 3 |z * 36，求x 2y 3z的最大值和最小值.解析：|x 1|x 2 3, |y 2 |y 1 3 , |z 3 z 14x 1 x 2 y 2 y 1 z 3 z 1 36x 1 x 2 3 y 2 y 1 3 z 3 z 1 41x2, 1 y 2 , 1 z 32 2y 4,3 3z 9 6 x 2y 3y 15(3)、当x满足_________ 条件时，x 2 x 1 x 3取最小值，这个最小值是____ .特别要注意的是:当X 在1 X 3这个范围内任取一个数时，都有11(5)、当x 满足 ________ 条件时， X 2 x 1 X 3 X 5 X 7取最小值，x 2 x 1 x 3 > 5故而x 2 x 1 x 3 5,这个最小值是 5 .(4)、当x 满足 _________ 条件时，x 2 x 1 X 3 X 5取最小值，这个最小值是 ________ .内 |x 2 X 1 X 3 |x 5 > 11,故而 X 2 |x 1 |x 3 |x 5 11 ,这个最小值是11 .这个最小值是 _________18，其他范围内故而x 2 18,这个最小值是 18小结：有a 1,92,a35a 2n 1( 2n个正数，且满足a 1 < a 2V a3V …由以上图形可知：当 他范围内x 5 x 7> 13，故而 x 2 |x 1 x 3 |x 5|x 713,这个最小值是13.(6)、当x 满足 ________ 条件时，X 2 |x 1 X 3 |x 5 |x 7 |x 8取最小值，这个最小值是> 18,< a2n 1x = 3 时，|x 2 |x 1 |x 3 |x 5|x 713,其3>1人1. 求x a1x a2x a3 a2n 1的最小值，以及取得这个最小值所对应的x的值或范围;答案是：当X=_an1_时，x a1 x a2X a3X a2m取得最小值，这个最小值是a n1 a1a n 1 a2a n 1 a3a n 1 a2n 12.求X a1 X a2 X a3X a2n的最小值，以及取得这个最小值所对应的x的值或范围；答案是：当4 X a n1时，x a1x a2x a3x a2n取得最小值，这个最小值是3n a1 a 】na2a】n a3a n a2n或者a n1 4a n 1 a2a n 1 a3a n 1 a2n三、判断方程根的个数例3、方程199+ 2| = 1996共有（）个解.A..4;B. 3; C . 2; D . 1解：当x在—99〜—1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，199| = 98,+ 2| V98.此时，199+ 2| V 1996，故199 + 2| = 1996时，x必在—99〜—1之外取值，故方程有2个解，选（C）.四、综合应用若a v b v c v d ,问当x 满足 条件时，_条件时，例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知+ 21-= 9— — 5| - |1，求y 最大值与最小值.解：原方程变形得+ 2— 1 — 51= 9,+ 2 — 1| >3, — 51| >6,而+ 2— 1 — 51| = 9,.•• + 2 — 1| = 3, — 51| = 6,二一2w x W 1, — 1 w y w 5, 故y 的最大值与最小值分别为6和—3.五、练习巩固x ax bx cx d 取得最小值.2、若a v b V c v d v e ,问当x 满足xaxbxcxd x e取得最小值.3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中A 、B 、C D F 、G H K 到城市的距离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄 E 正好是的 中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应 建在什么位置？城市E------ •---- *• ------- •—・• • •・•--------------------------- —A B C D FGH K4、设x是实数，y X 1 X 1下列四个结论：①.y没有最小值；②.只有一个X使y取到最小值；③•有有限多个x（不只一个）使y取到最小值；④.有无穷多个X使y取到最小值。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的几何意义及应用
《绝对值的几何意义及应用》的课例研究海南吴立茂国培计划（2014）一线优秀初中数学教师赴清华附中观摩李娜老师执教的初中七年级数学“绝对值的几何意义及应用”的课堂教学。
就本节课本人有几下几点看法：课堂实录部分：复习引入：1.绝对值的几何意义（数形结合）||表示数的点与原点的距离；绝对值的代数意义设疑探讨：工作流水线上顺次等距排列5个工作台A、B、C、D、E，一个工具箱应放在何处，才能使工作台上操作机器的工人取工具所走的路程之和最短？探究：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离可以表示为AB，请把AB用a、b的式子来表示．数轴上A、B两点之间的距离：AB=|a－b||a－b|的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点间的距离设置练习：练习1、数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是．练习2、数轴上表示x与-1的两点A和B之间的距离是，如果 |AB|=2，那么x为．应用新知：利用数轴分析|x－1|+|x－2|的最小值：|x－1|+|x－2|+|x－3|的最小值|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|的最小值|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的最小值,你有什么发现？解决问题：本节课李娜老师以：复习引入--设疑探讨--设置练习--应用新知为教学主线, 以旧引新，寻找新旧知识的关联和生长点, 在研究分析绝对值几何意义的时候，应该放手让学生讨论后，教师在学生讨论的基础上收集起来再进行梳理归纳启发思考，集中讨论，师生共同参与,同时又设置了不同层次相关的练习题大大地激发学生的学习兴趣，引发学生的探究欲望。
因此，在教学过程中，教师要注重学生在教师引导下的自学和教师有的放矢的辅导，使自学和指导在教学活动中有机结合。
教师要给学生提供大量地独立钻研和自主实践的时间、空和具体条件、教师不仅要“精”研教材，而且要在“导”字上下功夫。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
绝对值的应用
绝对值定 义示例剖析1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a 所对应 的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ．2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果 总是正数或0．③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．33=，1122-=，00=3．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 1(0)(0)1(0)aa a a a >⎧≠=⎨-<⎩⑷ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑸ a a =-；若a b =，则a b =或a b =-非负数性质：如果若干个非负数之和为0，那么其中的每一个非负数都为0例如：若0a b +=，则0a =，0b =4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小．总结：有理数大小的比较0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0模块一 绝对值的定义【例1】 ⑴ ① 1.5--= ；② 绝对值不大于3的整数有 ．⑵ 绝对值大于2而小于5的负整数是 ． ⑶ 下列说法正确的是 （ ） A. 符号相反的数互为相反数 B. 任何有理数都有倒数 C. 最小的自然数是1D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 ⑷ 3.5-的绝对值为 ， 3.5-的相反数为 ，3.5-的倒数为 ， 3.5-的负倒数为 ． ⑸ 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值.【例2】 ⑴ 已知a 、b 为有理数，且0a <，0b >，b a <，则a 、b 、a -、b -的大小关系是（ ）A ．b a b a -<<<-B ．b b a a -<<-<C ．a b b a <-<<-D ．a b b a -<<-<⑵ 230x y -+-=，则xy =________；7x y =--，则xy =________． ⑶ 若2a -与3b +互为相反数，则2b a -的值为（ ）． A ．8 B ．8- C ．8± D ．7 ⑷方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．无穷多(5) 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，.(6) 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【例3】 ⑴ 已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--的结果是cb⑵ 如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值能力提升夯实基础与c 无关.cba【例4】 ⑴ 已知1|2|0a ab -+-=，试求 1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b ++++++++++的值；⑵ 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【例6】 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【例7】 化简：⑴ 1x -； ⑵ 5x + ； ⑶ 523x x ++-模块二 绝对值代数意义的应用【例8】 已知a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值．【例9】 如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例10】 将1，2，3…100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式1()2a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．探索创新知识模块一 绝对值的定义 课后演练【演练1】 ⑴ a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值等于2的数，则()a b c d +-++= ．⑵ 若3x =，则x x -= ．⑶ 已知4a =-，||||a b =，则3b -的值为（ ）A ．1+；7-B ．1-；+7C ．7D ．1± ⑷ 已知||8a =，||5b =，且||a b a b +=+，则a b -= ．【演练2】 若450x y -++=，则______x =；_____y =．知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练【演练3】 ⑴化简：3x -⑵化简代数式24x x ++-【演练4】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．实战演练【演练5】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【演练6】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值几何意义的应用
4.三个仓库里面分别存放货物5吨、4吨、2吨。如果 想把所有的货物集中到其中一个仓库，已知每吨货 物每千米运费都是100元。请问把货物集中到哪个仓 库最省钱？
当每个仓库的货物重量不一样，我们可以想象成：每个仓库的每 吨货物也是直线排列（间隔零距离），如图.这样在整条直线上， 一共可以看做共有5+4+2=11个点依次排列，要在这条直线上找一 个点，使11个点到该点的路程和最小，我们知道应该选择位于这 11个点中间位置的第6个点，而第6个点是位于乙仓库，所以就可 以知道将所有货物集中到乙仓库最省钱.
人人参与，个个精彩
绝对值几何意义的应用
圆梦班，你们最棒！
一、知识回顾 绝对值的几何意义
︱x︱的意义：在数轴上，表示数x的点 与表示原点的点之间的距离.
︱x－a︱的意义：在数轴上，表示数x 的点与表示数a的点之间的距离.
︱x+a︱的意义：在数轴上，表示数x的 点与表示数－a的点之间的距离.
1．写出 ︱x－1︱的意义：______________ ︱x＋2︱的意义：_______________
2．求|x－1|+|x＋2| 的最小值，并求出得最小 值时x的取值范围。
3．求下列各式的最小值，并写出得最小值时x的取值或 取值范围。 （1）∣x+1∣+∣x－2∣+∣x－4∣ （2）∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－5∣+∣x－6∣ （3）∣x+2∣+∣x+2∣+∣x－1∣+∣x－2∣+∣x-4∣
4．求下列各式的最小值，并写出得最小值时x 的取值或取值范围。 ∣x+1∣+∣x－1∣+∣x－2∣+2∣x－6∣
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。
我们知道：一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
即：这是绝对值的代数意义。
绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如∣a∣表示数轴上a点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。
对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。
下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。
例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。
解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。
分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。
解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。
实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。
此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。
通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b ∣。
我们再看下面的一个问题：例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？解：由∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即∣∣x+1∣-∣x-2∣∣≤3，而∣∣x+1∣-∣x-2∣∣恒小于k，所以k＜3 我们再看一个问题：例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以，-1≤x≤3。
绝对值几何意义及动点问题
绝对值几何意义及动点问题
在数学中，绝对值有一个几何意义。
绝对值表示一个数距离原点的距离，既可以是正数，也可以是零。
在数轴上，绝对值表示一个点到原点的距离。
如果一个数的绝对值为3，则表示它在数轴上距离原点为3的位置。
绝对值也可以用来解决动点问题。
在动点问题中，通常涉及到一个或多个变化的变量，而我们需要找到满足特定条件的变量的取值。
利用绝对值可以将这些条件转化为等式或不等式，从而解决问题。
例如，假设有一个点P(x,y)，我们希望找到离原点(0,0)的距离为5的点。
可以将这个条件表达为|x|+|y|=5。
这个等式代表了所有满足条件的点的集合。
我们可以将这个等式进一步简化为两个不等式|x|≤5和|y|≤5，来确定满足条件的点的位置。
另一个例子是求两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们希望找到它们之间的距离。
可以使用绝对值表达式来表示：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
这个公式将两个点的坐标差的平方和开方，得到它们之间的距离。
综上所述，绝对值在几何中具有重要的意义，并且可以应用于解决动点问题。
绝对值几何意义的应用(零点秒杀技巧)
1841年，现代分析之父，德国 的数学家，教育家卡尔·魏尔斯 特拉斯，发明并首先引用了绝 对值的概念。
绝对值基础
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你思考过吗？
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几何意义的应用
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初中数学学习三部曲
记忆+理解 总结+应用 熟练掌握
绝对值的性质及运用
绝对值的性质及运用绝对值的性质及运用知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质绝对值【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c b a 0-11【例15】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例16】计算111111 (23220072006)-+-++-= ．【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）c a 0b【巩固】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c ++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________7.如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________ba0-118.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________9.化简代数式24x x++-【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜03.绝对值大于1且不大于5的整数有__________个．4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．5.当x __________时，|2-x|=x-2．6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________y x-1217.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。
用绝对值的几何意义来解题
关方键法： 一先:利－找用到|x2等-1|于|=－0的,|x点+|2，|=x再0－的分零析5点,|分表段讨示论去数绝对轴值 上的一点到表示数2和5两点的距离
不表等示式 数|轴ax的上-b到|<差1c和的|距a，x离-b加|当>上c是到P否2也的点适距用离在？大于2等的于5左的点边时，其差恒为－3；当P点在5的右
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
关键：先找到等于的点，再分析
例4不等式|x-3|<4的解是-1<x<7 ．
例5不等式|x-3|>4的解是x>7或x<-．1
4
4
-1
3
7
关键：找到什么时候等于，
然后“大于在两边，小于在中间”
不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
x 2 例5不等式|x-3|>4的解是
．
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解 : 原 不 等 式 化 为 |x 1 | |x 2 | 5 0 , 构造y函 x数 -1x2-5，化简得
练习：|x－2|－| x－5| 的最大值是 ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
，3 最小
值是 ．-3 练习：不等式|x＋2|+|x－3|<7的解是 ．
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合. 不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
绝对值应用
绝对值应用一. 绝对值的实质：正数与零的绝对值是其自身，负数与零的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。
总之，任何数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
a 的几何意义：在数轴上，表示数a 的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离. 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．例1． m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．例1．已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值例2. 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b解：∵由图形可知a 0，c b 0，且|c| |b| |a|，则a+b0，b-c 0．∴原式＝ 三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个 数，即|x| 0，绝对值最小的数是 。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都 它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为 的数。
绝对值的几何意义解不等式
绝对值的几何意义是表示一个数到另一个数的距离，通常用竖线“| |”表示。
例如，|x-3|表示x与3之间的距离。
对于一个不等式，例如|a| < b，其中a和b是实数，其几何意义为，表示以0为中心的数轴上，距离0点不超过b的数的集合，与距离0点大于b的数的集合的交集。
可以用图形化的方法来解决这种不等式，具体步骤如下：
1.在以0为中心的数轴上，标出b的位置，将数轴分成两个部分。
2.将a所在的点画在数轴上，然后根据其与0点的距离判断该点所在的集
合。
3.如果该点到0的距离小于b，则该点位于以0为中心、半径为b的圆内，
符合不等式，解为- b < a < b。
4.如果该点到0的距离大于等于b，则该点位于以0为中心、半径为b的圆
外，不符合不等式。
因此，对于不等式|a| < b，其解为-a < a < b，或者说a的取值范围是(-b, b)。
用绝对值的几何意义来解题
原 不 等 式(12x)x(1x2)5325x1x.
(3)当x1时,
原 不 等 式(xx11)(x2)5
xx
1 2
x
2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解 : 原 不 等 式 化 为 |x 1 | |x 2 | 5 0 , 构造y函 x数 -1x2-5，化简得
|2x－3|＝4 ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
练习：|x－2|－| x－5| 的最大值是 ，最小值是 解：由绝对值的几何意义知，
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
．
பைடு நூலகம்
3
．2 x - 2 4
x-3 2 2
例2 、求|x－2007|+|x－2008|的最小值是
例1 方程|x－3|＝4的解为
-2.5 -2
1 1.5 2
表示数轴上到1和-2的距离之和等于4的点
二、求代数式的最值
例2 、求|x－2007|+|x－2008|的最小值是 1
2007
2008
解：由绝对值的几何意义知， |x－2007|+|x－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008 两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间 （包括这两个端点）取值，故|x－2007|+|x－2008|的最小值为 1.
然后“大于在两边，小于在中间”
不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值
绝对值几何意义的应用探究设计(一)1
绝对值几何意义的应用探究(一)成都石室冉云一、教学内容解析《绝对值》是七年级第二章《有理数及其运算》中第3节的内容，前面所学数轴是数学中数形结合的起点，绝对值概念的生成过程中更是在渗透数形结合的思想方法；同时，本节结合绝对值概念的几何意义，运用数形结合，将绝对值相关问题转化为绝对值几何意义来解决，从而还渗透了建模、化归的数学思想。
最值问题是阶段学生学习解决的一个难点问题，大多数学生理解起来都有难度。
于是很多教师在处理这节内容时候往往避难就易，很快带过。
而要解决以上问题，关键是要将绝对值的定义即几何意义理解吃透，利用“数形结合〞解决以上问题比拟方便！而本节内容对于最值问题的思考和探索，将为后面的有关学习打下根底。
二、学生学情分析x 的几何学生在新课阶段已经学习了绝对值的几何意义，知道了x，推广到a意义，以及两点间距离公式，多数学生能够解决含有一个绝对值的最小值问题，为这节课的学习奠定了知识根底。
但是涉及到绝对值的最值问题及动点问题时，都出现了“用字母表示数〞比拟抽象，局部学生理解起来有难度。
基于学生在阶段对线段有初步感知，本节课借助数轴将绝对值最值问题转化为线段问题解题直观形象，学生容易上手容易理解。
另一方面，我学生对于平板电脑的使用已经比拟熟练，所以整堂课借助平板、互动课堂、交互式白板等现代信息学技术手段辅助教学！三、教学目标设置1．能灵活的运用绝对值的几何意义解决绝对值的有关最值问题，初步体会转化和化归的数学思想；2．初步学会思考，逐步学会探究，训练学生思维的深度及有效性，体验数学活动的探究性和创造性；3. 借助数轴解决问题，开展学生图形思维，渗透“数形结合〞思想.4. 在教师的引导下学生层层深入探究，经历建立数学模型和提炼、归纳数学结论“建构知识〞的过程.教学重点：运用绝对值几何意义借助数轴解决绝对值和最小、差最大的问题。
教学难点:探究三个以上的绝对值和的最小及两个绝对值差最大问题四、教学方法〔1〕采用探究式为主的教学方法，通过问题引导，学生合作探究、小组交流，悟方法，得结论。
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4【例2】下列说法正确的有（）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．绝对值A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4【课堂检测2】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=，则x的值是多少？。
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仅供参考学习个人收集整理绝对值几何意义应用一、几何意义类型：0a?a?a类型一、0：表示数轴上地点地距离；到原点ab??b?a bb aa地距离（或点；类型二、：表示数轴上地点到点到点地距离）)?baa?b??()?ab?(?b?b aa?地距离）：表示数轴上地点到点类型三、到点；地距离（点ax?ax：表示数轴上地点地距离；到点类型四、)a?(?x?a?x xa?.类型五、到点：表示数轴上地点地距离二、例题应用：4?xx?4x，则、地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若例1.（1）=2?x.3x?1?x?3x，则（2）地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若、?x.15??qm若3）、如图所示数轴上四个点地位置关系，且它们表示地数分别为m、n、p、q.，（1 n?q?n，pp?m?，15m???m?8np??q?n?1，qp3 ;若，则，n?p?.则a?b?b?c?a?cc，，ba，，如果在数轴上地对应点为A，（4）、不相等地有理数B，C. 在数轴上地位置关系B，，C则点Aa?b?9，c?d?16且a?b?c?d?25da、cb、、，求均为有理数，拓展：已知b?a?d?c的值.??且a?b?c?d?25.25a?b?c?a (9b?)??16?ddc???解析：?b?9?a，c?d?16?b?a?d?c?9?16??7.3x??x?32?x?x时，取最大值，最大）（例2.1、①当取最小值；②时，当值为.1 / 8个人收集整理仅供参考学习x?3?x?2?7x?;利用绝对值在数轴上地几何意义得（2）、①已知，x?3?x?2?5，利用绝对值在数轴上地几何意义得②已知;x?3?x?2?4，③已知利用绝对值在数轴上地几何意义得;2a?7?2a1?8a地个数是拓展：若 4 ，则整数.x?3?x?2x取得最小值，满足条件时，利用绝对值在数轴上地几何意义④当b5E2RGbCAP . 这个最小值是x?2?x?3?5?2?x?3时，最小值是 5.，故而当由上题③图可知，x?3?x?2?a a为何值，方程有解？无实数解？⑤若时，探究a?5a<5.；档案：5x3??2?x??3?x?2x这个范围内任取一个数时，都有.特别要注意地是：当在x?3?x?2aaa<5.例题拓展：①若>恒成立，则满足什么条件？答案：2 / 8个人收集整理仅供参考学习2??xx?3aaa5. ≤满足什么条件？答案：<②若无实数解，则2x?x?3?5?aaa.满足什么条件？答案：③若>恒成立，则＜2?3?xx?3?x?2x?5??3?5xxx22??时，≥≤3 ＜；当；当由上图当，时，＜2?x?x?3?x?23?x555???55a≤≤..，所以则＜＜＜2?x?3?x aaa>5.满足什么条件？答案：④若<时，则??????36??1?y?1?x?1?x2?z3?zy?2z2y?3x?.地最大值和最小值，求拓展应用：已知3??1y?2?y1z?3x?2?z ?3?x?1?4?，，解析：????363?z1y?2??y1?x1?x?2z?，4z?1?1?y?x??3zx?1??2?3y?3??2，，3z??1?y?2，?11???x?2，?15?2y?3yx??6??934，?3?z?2??2?y? .3??x?x2?x?1x.3（）、当取最小值，这个最小值是满足条件时，3?x1x?????x2x1x32x????5?x = 1 由以上图形可知：当时，，其他范围内5﹥， 3 / 8个人收集整理仅供参考学习3?2?x?1?xx?5?.5 这个最小值是，故而5x?3?x??x?2?x?1x.、当取最小值，这个最小值是满足条件时，（4）5?3?x?x?1?x?x?23?x?111?内范围，时图由以上形可知：当其他，5?x??x??x?2?x?1?x?3?x52x?1?x?311?11 .这个最小值是，故而﹥11，5x3??x?2?x?1?x?3?x?1x11?都有在.特别要注意地是：当这个范围内任取一个数时，7?x?53?x?2?xx??1?x?x）、当满足条件时，取最小值，（5.这个最小值是7x??5?2?x?x?1??3?xx13?x，由以上图形可知：当其他范围内= 3 时，7?x?7x??5x??3x?5x?2??3?1?x??x?x2?x??1x13?，故而﹥13，13. 这个最小值是8??x?7?x5??x?2x??1?x3?x x、当6（）满足条件时，取最小值，.这个最小值是8??x?7x?5xx??x???2?x13?185?3x??由以上图形可知：其他范围时，当，4 / 8个人收集整理仅供参考学习8?x??7?x5??1?x3?xx?2?x?，﹥18内8x??7?x?5??x1?x?x?2x?3?18?18.，这个最小值是故而aaaaaaaa小结：12n?满足有. ＜）个正数，且，，＜，…，＜…＜（12nn?13?321122ax???a ?x?a?x?a?x地最小值，以及取得这个最小值1.求12312n?x地值或范围；所对应地a?? ?xx?a?x?a?x?aa x答案是：当时，取得最小值，123?12n=1n?a?a?aa?a?a??a?a? 这个最小值是求2.地最小值，以及取得这个最1n?12n1?3n?112n?n?1 .a?a?x?a? ?x?x?a?x小值n1322x地值或范围；所对应地a?a?x?a ?x?x?a?x?a?ax?时，取得最小值，答案是：当n32211nn?a?aa? ??a?aa?a?a?这个最小值是或者n3nn122nn a??a?aa?a??a?a?a n2nn?1n?11n?1?123.三、判断方程根地个数）个解．3例、方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（1 ．．3；C．2；D；A.．4 B ＝x解：当在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值地几何意义知，|x+1|+|x+99|199～－1996时，x必在－2||x+1|+|x+99|+|x98，|x＋2|＜98．此时，＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋＝）．C 之外取值，故方程有2个解，选（p1EanqFDPw四、综合应用最大值与最小x+ y|y＋2|+|1－x|＝9－－5|－|1+y|，求|x4例、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知值．DXDiTa9E3d－|x＋2|+|x1|+|y－5|+|y+1||＝9，解：原方程变形得，＝91|+|y|x5|+|y+1|32|+|x＋－1|≥，|y－≥6，而＋2|+|x－－5|+|y+1| |x∵RTCrpUDGiT≤≤，∴－＝－，＝－＋∴|x2|+|x1|3|y5|+|y+1|62x1≤≤1，－y5，5 / 8个人收集整理仅供参考学习故x+ y地最大值与最小值分别为6和－3．五、练习巩固x?a?x?b?x?c?x?d bd xac取得最小值，1、若问当＜.＜满足条件时，＜x?a?x?b?x?c?x?d?x?e bd xaec满足条件时，，、若2＜＜＜＜问当取得最小值.、、、、、、H、K F、如图所示，在一条笔直地公路上有9个村庄，期中A到城市地距BGC D3 离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E正好是AK地中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心地路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？y?x?1?x?1x下列四个结论：是实数，4、设yyx取到最小值； .①使没有最小值；②.只有一个yx取到最小值；使有有限多个)(不只一个③.yx取到最小值使④.有无穷多个.其中正确地是( )．A．① B．② C．③ D．④5PCzVD7HxAx?1?x?2?x?3? ?x?2003地最小值、试求.56 / 8仅供参考学习个人收集整理版权申明版权为个以及设计等在网上搜集整理本文部分内容，包括文字、图片、. 人所有This article includes some parts, including text, pictures, anddesign. Copyright is personal ownership.jLBHrnAILg用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得将本文任何内容或服务用于.除此以外，侵犯本网站及相关权利人地合法权利.其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬xHAQX74J0XUsers may use the contents or services of this article for or non-commercial and study, personal research or appreciation, othernon-profit purposes, but at the same time, they shall abide bytheprovisions of copyright law and other relevant laws, and shall notinfringe upon the legitimate rights of this website and its relevantis this content In obligees. addition, when any or service of articlebe shall permission and remuneration written other used for purposes,obtained from the person concerned and the relevant obligee.LDAYtRyKfE转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法.律责任Zzz6ZB2LtkReproduction or quotation of the content of this article must be7 / 8个人收集整理仅供参考学习informative news or use good-faith reasonable and citation for the ofpublic free information. It shall not misinterpret or modify thelegal shall bear and this content of original intention the ofarticle,liability such as copyright.dvzfvkwMI1 8 / 8。