人教版九年级下册数学专题23 直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理一.选择题1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，点D 在BC 上，∠ADC =2∠B ,AD =5,则BC 的长为（ ）A .3－1B .3+1C .5－1D .5+1 【答案】D【解析】解：在△ADC 中，∠C =90°，AC =2，所以CD =()1252222=-=-AC AD ,因为∠ADC =2∠B ，∠ADC =∠B +∠BAD ,所以∠B =∠BAD ,所以BD =AD =5,所以BC =5+1，故选D .2.（2015•四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1:（D ）1:【答案】D 【解析】试题分析：设AC 与BD 的交点为O ，根据周长可得AB =BC =2，根据AE =可得BE =1，则△ABC 为等边三角形，则AC =2，BO =，即BD =2，即AC :BD =1：.考点：菱形的性质、直角三角形.3．（2015•四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A．13cm B．261cm C．61cmD．234cm考点：平面展开－最短路径问题．.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A ′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===13（Cm）．故选：A．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．4. （2015•浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( )A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分图5【答案】B【解析】试题分析：根据题意和图形可知△AOB始终是直角三角形，点C为斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知OC始终等于AB的一半，O点为定点，OC 为定长，所以它始终是圆的一部分.故选B考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5. （2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G 分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4B. CD−DF=2−3C. BC+AB=2+4D. BC−AB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设⊙O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证△OMG≌△GCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BC－BM－GC=BC－2.又因AB=CD,所以可得BC−AB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, ⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b －c），所以c=a+b－2. 在Rt△ABC中，由勾股定理可得，整理得2ab－4a－4b+4=0，又因BC−AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）－4a－4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在Rt△ONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CD−DF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；6. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图，错误!未找到引用源。

中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的半径为（▲）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5 （D）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理．.分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC•BC=AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．解答：解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即CD===，∴⊙C的半径为，故选B．点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．8. （2015•四川乐山,第7题3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．格型．9, （2015•四川眉山，第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接C D．若BD=1，则AC的长是（）A．2B．2C．4D．4考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理．.分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD =2BD =2， 由勾股定理得：BC ==，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，BC =，∴AC =2BC =2，故选A ．点评： 本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC 的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．10. （2015•浙江省台州市，第8题）如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）A .8cmB .52cm C .5.5cm D .1cm二.填空题1、（2015•四川自贡,第13题4分）已知，AB 是⊙O ，延长AB 至C 点，使AC 3BC =,CD 与⊙O 相切于D 点，若CD 3=则劣弧AD 的长为 .考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等.分析：本题劣弧AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧AD 所对的圆心角的度数.在连接OD 后，根据切线的性质易知ODC 90∠=o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt △OPC 获得解决.D CB A O13题D CBO13题略解：连接半径OD .又∵CD 与⊙O 相切于D 点 ∴OD CD ⊥ ∴ODC 90∠=o∵AC 3BC = AB 2OB = ∴OB BC = ∴ 1OB OC 2= 又OB OD =∴1OD OC 2= ∴在Rt △OPC cos OD 1DOC OC 2∠== ∴DOC 60∠=o ∴AOD 120∠=o ∴在Rt △OPC 根据勾股定理可知：222OD DC OC += ∵CD 3= ∴()()222OD 32OD += 解得：OD 1=则劣弧AD 的长为120OD 120123180180πππ⨯⨯⨯⨯==o o o o. 故应填 23π2. （2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为 .【答案】（10,3）考点：折叠的性质，勾股定理3. （2015•四川省内江市，第22题，6分）在△ABC 中，∠B =30°，AB =12，AC =6，则BC = 6 ．考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理．. 分析： 由∠B =30°，AB =12，AC =6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长． 解答： 解：∵∠B =30°，AB =12，AC =6，∴△ABC是直角三角形，∴BC===6，故答案为：6．°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．4.（2015•江苏泰州,第16题3分）如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.【答案】4.8.【解析】试题分析：由折叠的性质得出EP=AP, ∠E=∠A=90°,BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可.试题解析：如图所示：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，在△ODP和△OEG中∴△ODP≌△OEG∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x，∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2即：62+（8－x）2=（x+2）2解得：x=4.8∴AP=4.8.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.5.（2015•江苏徐州,第17题3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．考点：正方形的性质．.专题：规律型．分析：首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解答：解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6.（2015•山东东营,第17题4分）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．【答案】.考点：1.正方体的侧面展开图；2.最值问题；3.勾股定理.7．（2015•广东广州,第16题3分）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3 ．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．8.（2015•泉州第11题4分）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD =∠BAC =30°， 故答案为：30°．9．(2015•湖南株洲,第15题3分)如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于第15题图G HFE【试题分析】本题考点为：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等； 由全等可知：AH ＝DE ，AE ＝AH ＋HE由直角三角形可得：222AE DE AB +=，代入可得 答案为：610．(2015•江苏无锡,第17题2分)已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的线和角平分线，AD ⊥BE ，AD =BE =6，则AC 的长等于 _________ ． 考点： 三角形位线定理；勾股定理． 专题： 计算题．分析： 延长AD 至F ，使DF =AD ，过点F 作平行BE 与AC 延长线交于点G ，过点C 作CH ∥BE ，交AF 于点H ，连接BF ，如图所示，在直角三角形AGF ，利用勾股定理求AG 的长，利用SAS 证得△BDF ≌△CDA ，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD =∠BFD ，证得AG ∥BF ，从而证得四边形EBFG 是平行四边形，得到FG =BE =6，利用AAS 得到三角形BOD 与三角形CHD 全等，利用全等三角形对应边相等得到OD =DH =3，得AH =9，然后根据△AHC ∽△AFG ，对应边成比例即可求得A C ．解答： 解：延长AD 至F ，使DF =AD ，过点F 作FG ∥BE 与AC 延长线交于点G ，过点C 作CH ∥BE ，交AF 于点H ，连接BF ，如图所示， 在Rt △AFG ，AF =2AD =12，FG =BE =6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．11．（2015·湖北省武汉市，第16题3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________【解析】作M关于ON对称点M1，点N关于OA的对称点N1，连接M1N1分别交OA、ON 于Q，P，此时MP+PQ+NQ的值最小.由对称性质知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.连接ON1、OM1，则∠M1OP=∠POM=∠N1OM=30°，所以∠N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以M1N1=11ONOM =10.【指点迷津】线段和的最小值问题，一般都是将几条线段转化为同一条线段长度，根据两点之间线段最短来说明.一般是通过做对称点转化到同一条线段上，根据勾股定理计算最小值.三.解答题1. （2015辽宁大连，24，11分）如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD>DA,DA=2.点P、Q同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动。