方程组的解法举例

三元一次方程组的解法举例

1）．三元一次方程组的概念：

三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。

注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。

它的一般形式是

未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。

2）．解三元一次方程组的基本思想方法是：

【例1】解方程组

分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．（4）

①与④组成方程组

解这个方程组，得

把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，

∴．

∴

【例2】解方程组

分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。

解：①+③，得5x+6y=17 ④

②+③×2，得，5x+9y=23 ⑤

④与⑤组成方程组

解这个方程组，得把x=1，y=2代入③得：

2×1+2×2-z=3，∴z=3

∴

另解：②+③-①，得 3y=6，∴y=2

把y=2分别代入①和③，得

解这个方程组，得：

∴

注：①此题确定先消去z后，就要根据三个方程消两次z（其中一个方程要用两次），切忌消一次z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元的目的。

②此题的“另解”是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。

简单的二元二次方程组的解法举例

（1）二元二次方程及二元二次方程组

观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.

定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组

由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.

例如：都是二元二次方程组.

（2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

【例1】解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解这个方程，得.

把代入③，得；

把代入③，得.

所以原方程的解是

【例1】 解方程组⎩⎨⎧==+)2(10)1(7

xy y x

分析：可用“代入法”解。也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x ，y 。 解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程01072=+-t t 的两个根。

解此方程得5,221==t t ，t 的这两个值，不论哪一个作为x 、y 都可以。因此，

所求的解为 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2

5522211y x y x 或