华中农业大学微积分方红a2期中试卷
高数 下期中试题
武汉大学2011—2012学年下学期期中考试试卷《高等数学A2》（总学时216）一、选择题（每小题6分，共24分）1、已知()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数),(y x f 的全微分，求a 和b 的值。
2、求曲面sin sin sin()z x y x y =+上点(,63ππ处的法线与xoy 面交角的正弦值。
3、求母线平行于x 轴且通过曲线2222222160x y z x y z ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程。
4、设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于(1,2,5)-，求a 、b 的值。
二、（10分）证明函数2222222;0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(连续且偏导数存在,但在此点不可微。
三、（8分）设(,,)()z f x y u xy xF u ==+，其中F 为可微函数，且y u x=，试证明：zzx yz xy xy∂∂+=+∂∂四、（8分）求曲面x u v =+，u y ve =，z u v =-在0u v ==处的切平面方程。
五、（8分） 已知函数(,)u u x y =满足方程：22220u u u u b xy x y ∂∂∂∂⎛⎫-++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭。
（1）试选取参数,αβ，利用变换(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=将原方程变形，使方程中不出现一阶偏导数项。
（2）再令x y ξ=+，x y η=-使方程变换形式。
六、（8分）设(sin )xz f e y =，()f u 具有二阶连续导数。
（1）求2222z zx y∂∂+∂∂；（2）若2222z zx y∂∂+∂∂2xze =，且(0)0,(0)1f f '==，求()f u 。
2007-2008(2)期中试卷参考答案
1华南农业大学期中考试试卷2007学年第2学期 考试科目： 数学分析II考试类型：（闭卷） 考试时间： 110 分钟 学号 姓名 年级专业一. 填空 (每小题4分，共20分)1．已知()ln x f x x '=，则()f x =()2ln 2x c +.2．反常积分()21 0adx a x+∞>=⎰1a.3. 曲线段[] 1,y x e =∈绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π.4. 对于积分20x⎰，若作变换sin xt =是否可以？说明理由。
不可以，因为原来积分中02x ≤≤，而0sin 1t ≤≤.○5. 极限1111lim 122n nn n n →∞⎛⎫++++= ⎪++⎝⎭ln 2.二. 计算下列积分（每小题8分，共40分）)1011. 21212ln12t dt t+==-+⎰()11002. ln lim ln lim 1ln 1 1.uu u xdxxdxu u ++→→==--⎡⎤⎣⎦=-⎰⎰()()()()()()332222222222223. 11111111ln(1)221xx x xdx dxx x x x x x xdx dx dx x x x x cx+-=+++-==-+++=++++⎰⎰⎰⎰⎰2()4. 1arcsin , 01 arcsin 01arcsin , 0x x c x x x x =⎧=->⎪⎪⎪==+≠⎨⎪-=<⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰ ()2225. cot 2cos 2sin 3cos 13cot dx dxdx d x xx xxπππ==-+++⎰⎰⎰213dx du u+∞-∞==+⎰三. 讨论下列反常积分的敛散性。
（每小题10分，共20分）○1. 1x+∞⎰ （条件收敛） ○2.11xdx xα-+∞+⎰（见课本例题）四. 应用题 （每小题10分，共20分） ○1．利用定积分求由曲线22y x =-与2y x =-所围图形的面积。
12-13-2高等数学A2期中试卷
2012-2013学年第二学期高等数学A2期中考试试卷一、选择题（每小题3分，共21分）1．曲面2222x y z a ++=与222(0)x y az a +=>的交线是（ ）(A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 圆周 (D) 椭圆2．函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数连续是(,)f x y 在该点可微的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件3．若曲面(,,)0F x y z =在000(,,)x y z 的切平面经过坐标原点，那么在000(,,)x y z 点（ ）(A) 0000x y z x F y F z F ++= (B)000y x z F F F x y z == (C) 0001y x z F F F x y z ++= (D) 000(,,)(0,0,0)x y z = 4．空间曲线22sin sin cos cos x a t y b t t z c t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩在4t π=处的法平面（ ） (A) 平行于z 轴 (B) 平行于y 轴(C) 平行于xoy 平面 (D) 平行于yoz 平面5．记00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，那么当(,)f x y 在驻点00(,)x y 处满足（ ）时，(,)f x y 在该点取到极小值。
(A) 20,0B AC A −>> (B) 20,0B AC A −><(C) 20,0B AC A −<> (D) 20,0B AC A −<<6．设D 是第一象限的一个有界闭域，且01y <<，则31D I yx d σ=∫∫，232DI y x d σ=∫∫，33DI d σ=的大小顺序为（ ）(A) 123I I I ≤≤ (B) 213I I I ≤≤ (C) 321I I I ≤≤ (D) 312I I I ≤≤7．函数(,)f x y =在(0,0)点（ ）(A) 不连续 (B) 偏导数不存在 (C) 偏导数连续 (D) 极限不存在二、填空题（每小题3分，共21分）1．设2,a b == 2a b = i ，则a b × = 。
微积分A(2)期中样卷 答案
并考察 f ( x, y ) 在 (0,0) 的连续性和可微性.
解:
f x (0,0) = lim
Δx →0
(Δx) 3 f (0 + Δx,0) − f (0,0) = lim = 1 , ………………………2 分 Δx → 0 ( Δx ) 3 Δx
f (0, 0 + Δy ) − f (0, 0) ( Δy ) 3 = lim − = −1 . ……………………2 分 Δy → 0 ( Δy ) 3 Δy
y cos( xy )esin( xy ) dy + 2esin(2 x ) − esin x
∫
x
二．计算题（每题 10 分，共 40 分）
⎧ x3 − y3 , ⎪ 2 2 1. 求函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y ⎪0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0 x +y =0
2 2
在原点的偏导数 f x (0,0) 与 f y (0,0) ,
∫
1
0
x p −1 (1 − x r ) q −1 dx 可以表示为
。
2
答案：
∫x
0
1
p −1
(1 − x r ) q −1 dx =
1 p B( , q), p > 0, q > 0, r > 0; r r
。
2 2
15. 设 F ( x) = 答案： F ′( x ) =
∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x x 2x
esin( xy ) dy ，则 F ′( x) =
6
微积分（2）期中考题 答案
一．填空题（每空 3 分，共 15 空） （请将答案直接填写在横线上！ ）
2017-2018第二学期高等数学A2试题
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
华中农业大学 概率论与数理统计期中考试模拟试题
得分
并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者，该题 不得分。每小题 3 分，共 15 分。）
1．对两事件 A 和 B ,下列命题正确的是
【】
（A）如果 A , B 互不相容,则 A , B 也互不相容；
（B）如果 A , B 相容,则 A , B 也相容； （C）如果 A , B 互不相容,且 P(A) 0 , P(B) 0 ,则 A , B 独立；
(D) f1 (x)F2 (x) f2 (x)F1 (x) ．
4．设 X 1, X 2 , X 3 是随机变量，且 X 1 ~ N (0,1), X 2 ~ N (0,22 ),
X 3 ~ N (5,32 ), Pj P{2 X j 2}( j 1,2,3), 则：
【】
(A) P1 P2 P3 ；
取到安慰剂的概率是
.
3．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为，
X0123 P 1/2 1/4 1/8 1/8
Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3
则 P{X Y 2}
.
4．设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~ N (0,1), 则 E( Xe2X )
.
概率为 0.9 的自然数是多少？（（1.645） 0.95）
【第 4 页 共 4 页】
(B) P2 P1 P3 ；
(C) P3 P1 P2 ；
(D) P1 P3 P2 ．
姓名
※※※ 班级
【第 1 页 共 4 页】
5．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从区间 (0,1) 上的均匀分布，则
P{X 2 Y 2 1}
【】
(A) 1 ； 4
(B) 1 ； 2
华中农业大学畜牧微生物学课程试题附参考答案与评分标准
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华中农业大学本科课程考试试卷考试课程与试卷类型: 畜牧微生物学A 姓名:年学期: - -1 学号:考试时间: -01-18 班级: 动物科技学院级1-4班___________________________________________________________________________________________一. 单项选择题( 从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代号写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者, 该题不得分。
每小题1分, 共10分)1．创造了低温消毒法的是____。
标准答案: BA. 荷兰人吕文虎克B. 法国学者巴斯德C. 德国学者柯赫D. 德国学者贝哲林克2．酵母菌属____。
标准答案: BA. 单细胞原核微生物B. 单细胞真核微生物C. 多细胞原核微生物D. 多细胞真核微生物3．对乙醇这个药剂来说, 其消毒效果最好的浓度是____。
标准答案: CA. 25%B. 55%C. 70%D. 95%4． ____含量越高, 青贮饲料的品质越差。
标准答案: BA. 乳酸B. 丁酸C. 酒精D. 醋酸5．类毒素具有____。
标准答案: CA. 免疫原性和毒性B. 非免疫原性和毒性C. 免疫原性和非毒性D. 非抗原性和非毒性6．金黄色葡萄球菌的拉丁文命名正确的为____。
标准答案: CA. staphylococcus aureusB. Staphylococcus AureusC. Staphylococcus aureusD. staphylococcus Aureus7．担子菌是以产生____的方式进行繁殖。
标准答案: CA. 节孢子B. 分生孢子C. 担孢子D. 孢子囊孢子8．沙门氏菌的吲哚试验为阴性, 说明该菌不能分解____。
标准答案: DA. 葡萄糖B. 胱氨酸C. 吲哚D. 色氨酸9．大肠杆菌(Escherichia coli)在麦康凯琼脂培养基上生长时, 产生____菌落, 据此可与沙门氏菌(Salmonella)相区别。
华南农业大学期中考试试卷(2011-4-25)2022
华南农业大学期中考试试卷（2011-4-25）学号 姓名 专业班级 ___ 成绩一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+ 的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是。
3.(,)lim x y →= 。
4. 已知(,)arctan()y f x y xe =，则全微分df = 。
5. 把二次积分221()00x y I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z-++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( )A.有极限B. 偏导数存在C.可微D. A,B,C 都不正确。
3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（）．A ．1B ．12 C ．13 D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)D f x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x =，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ） A xy B 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2z x y∂∂∂ 4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx 5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤ 四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221222C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211000()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰。
2012-2013(2)微积分A2期中试卷答案
浙江农林大学天目学院 2012 - 2013 学年第 二 学期期中考试卷课程名称： 微积分A Ⅱ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间 120分钟。
一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。
每小题3分，共21分）1. 设向量{1,2,},{2,4,3}a l b =-=-，当a b ⊥时，则l 等于 ( D )。
A.32 B. 32- C. 103 D. 103- 2. 平面3510x z -+= ( B )。
A. 平行于zox 平面B. 平行于y 轴C. 垂直于y 轴D. 垂直于x 轴 3.设函数(,)f x y =+的定义域=D ( C )。
A. {(,)}x y x y x -≤<B. {(,)}x y x y x -<≤C. {(,)}x y x y x -<<D. {(,)}x y x y x -≤≤4. 下列函数在(0,0)点处极限存在的是 ( D )。
A. x y x y +- B . 224xy x y + C. 2222x y x y -+D.系（部）： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题5. 设函数22,(,)0(,)0,(,)0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则在原点(0,0)处(,)f x y 的 ( D )。
A. 偏导数不存在且连续B. 偏导数不存在且不连续C. 偏导数存在且连续D. 偏导数存在且不连续 6.函数(,)f x y =(0,0)( D )。
A. 是驻点B. 是驻点且为极值点C. 不是驻点但是极大值点D. 不是驻点但是极小值点 7. 二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处满足关系( B ) A. 可微⇔可导⇒连续 B. 可微⇒可导，可微⇒连续 C. 可微⇒可导⇒连续 D. 可导⇒连续，反之不行.二、填空题（每空3分，共27分）1. 点(1,2,1)M 到平面:22100x y z π++-=的距离是 1.2. 设向量3,{1,1,1}a b a b ⋅=⨯=-，则a 与b 的夹角为6π.3. 微分方程2d 2d 0,|1x x y y x y =+==的特解为24x y =.4.极限(,)(0,0)lim x y→=16-.5. 设函数(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,0)y f '=12.6. 设2()z f xy =，其中f 为可微函数，则zx∂=∂2()()yf xy f xy '. 7. 设xyz u e =，则d u =(d d d )xyz e yz x xz y xy z ++.8. 曲线222y xz x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程为112126x y z ---==；法平面方程为26150x y z ++-=.三、计算题（每小题6分，共30分） 1. 求微分方程1sin x y y x x'+=的通解. 解：方程是一阶非齐次线性方程，其中1sin (),()xP x Q x x x==，代入公式，则通解 ()d ()d [()d ]P x xP x x y e Q x e x C -⎰⎰=+⎰11d d sin [d ]x x xx x ee x C x-⎰⎰=+⎰………………2分 ln ln sin [d ]x xx e e x C x-=+⎰ ………………4分 1[sin d ]x x C x =+⎰1(cos )C x x=-. ………………6分2. 设函数2(2)x y z x y +=+，求zy∂∂. 解：令2,2u x y v x y =+=+，则v z u =，从而z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂12ln v v vu u u -=+ …………………4分 212(2)(2)2(2)ln(2)x y x y x y x y x y x y +-+=+++++22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ …………………6分 或 函数变形为(2)ln(2)x y x y z e ++=，则 …………………2分(2)ln(2)2[2ln(2)]2x y x y z x y e x y y x y++∂+=++∂+ ………………5分 22(2)[2ln(2)]2x y x yx y x y x y++=++++ ………………6分3. 设函数arctanu z v =，且,u x y v xy =+=，求z x∂∂ 解：z z u z vx u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222111()1()1()u y u u v v v v=⋅+⋅-⋅++ ……………………4分 22v uy u v -=+222()()y x y xy -=++ ……………………6分 4. 设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=确定，求z x ∂∂，zy∂∂ 解：令(,,)z F x y z e xyz =-，则(,,)0F x y z =，从而x F yz '=-，y F xz '=-，z z F e xy '=-，则 …………………3分x z F z x F '∂=-'∂z yz e xy -=--yz xyz xy =-(1)zx z =- y z F zx F '∂=-'∂z xz e xy -=--xz xyz xy =-(1)z y z =- …………………6分5. 求曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面与法线方程. 解：令22(,,)F x y z z x y =--，则2x F x '=-，2y F y '=-，1z F '=于是曲面在点(1,2,5)处的法向量(1,2,5)|{2,4,1}n =-- …………………2分 从而切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z ----+-=即 2450x y z +--= …………………4分而法线方程为125241x y z ---==-- …………………6分四、(10分)已知点(1,0,2)P -及直线20:220x y z l x y z -+=⎧⎨-+=⎩，求(1) 过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程； (2) 过点P 且与直线l 垂直的平面方程； (3) 过点P 且与直线l 垂直相交的直线方程. 解：(1) 由题意知，取直线l 的方向向量12s n n =⨯，即1221133{0,3,3}//{0,1,1}122i j ks n n j k =⨯=-=--=---…………………2分 则过点P 且与直线l 平行的直线点向式方程为12011x y z +-== …………………4分 (2) 取直线的方向向量{0,1,1}为所求平面的法向量n ，则由平面的点法式方程得20y z +-= …………………6分(3) 设直线l 与平面20y z +-=的交点坐标为000{,,}x y z ，则交点满足00000000220220y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 则交点的坐标为{0,1,1}， …………………8分 从而由直线的两点式方程得所求直线方程为12111x y z +-==--或者11111x y z --==-- …………………10分五、（12分）求函数322423z x x xy y =-+-+的极值.解：解方程组23820220z x x y xz x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ …………………2分则驻点为(0,0),(2,2). …………………4分二阶偏导数为2222268,2,2z z zx x x y y ∂∂∂=-==-∂∂∂∂，则 …………………7分在点(0,0)处，8,2,2A B C =-==-,则2120AC B -=>且0A <，则(0,0)3f =为极大值。
华中农业大学《微积分》方红-第五章 第七节
平
面
xoy面及其平行平面
yoz面及其平行平面
zox面及其平行平面
截
痕
一点或椭圆
两相交直线或双曲线
两相交直线或双曲线
图形：
z
y
x
作业 习题5-7：1（2）（4）、2（2）（4）
面
xoy面及其平行平面
yoz面及其平行平面
zox面及其平行平面
图形：
z
截
痕
一点或椭圆
一点或椭圆
一点或椭圆
o
x
y
二、抛物面 1、椭圆抛物面
方程
x2 a2
y2 b2
z
截痕法所得结果：
平
面
xoy面及其平行平面
yoz面及其平行平面
zox面及其平行平面
截
痕
一点或椭圆
抛物线
抛物线
图形：
z
o
y
x
z
y
xo
2、双曲抛物面Leabharlann 方程x2 y2 z
a2 b2
截痕法所得结果：
平
面
xoy面及其平行平面
yoz面及其平行平面
zox面及其平行平面
截
痕
两条直线或双曲线
抛物线
抛物线
图形：
z
o
y
x
三、双曲面
1、单叶双曲面
方程
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
截痕法所得结果：
平
面
xoy面及其平行平面
yoz面及其平行平面
zox面及其平行平面
截
痕
椭圆
双曲线
双曲线
图形：
zz
o
y
2021高等数学下册习题期中测试题
期中考 试 试 卷
题号 一 二
总分 总分人
得分
一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1.求过点 0, 2, 4 且与两平面 x 2z 1, y 3z 2 交线平行的直线方程
.
2.函数 z arcsin( x y) ，则该函数定义域为
.
l
8.函数 u=xy 2z 在点 P(1, 1,1) 处的梯度为
.
9.曲面 3 ez z xy 在点 2,1, 0 处的切平面方程为
.
10.设 D 是闭区域： x 1 ， y 1，则 (x 2 y 2 )dxdy =
.
D
11. I
e
ln x
dx f (x, y)dy ,交换积分次序后， I
4x y 3z 1 0
3.
求直线
x
5
y
z2
0
在平面 2x－y+5z－3=0 上的投影直线的方程.
2
4.若 z
1 x2
y2
，求
2z x2
,
2z y2
.
5.计算二重积分 （2x y2）d ，其中 D 是由抛物线 y2 x 及直线 y x 2 所围 D
成的区域.
6. 计算二重积分 x2 y2 dxdy ，其中 D 是由 y 轴及圆周 x2 y2 1所围成的在第一
D
象限内的区域.
3
7. 计算三重积分 I= zdxdydz ,其中 是由曲面 z=x2+y2 与平面 z=4 所围成的闭区域.
8.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入 R (万 元)与电台广告费用 x1 (万元)的及报纸广告费用 x2 (万元)之间的关系有如下的经验公式: R 15 14x1 32x2 8x1x2 2x12 10x22 .若提供的广告费用为1.5 万元,求相应的最优广
A2及答案微积分期末复习卷
3. 计算dx x xdy y ⎰⎰-22411ln解：原式=dy x xdx x ⎰⎰-212211ln =dx x xy x 212121ln ⎰-=⎰21ln xdx =⎰-2121ln dx x x =12ln 2-4.某厂生产两种产品，总收入R 和两种产品的产量y x ,的关系是22(,)12014022R x y x y x xy y =+---。
总成本C 与y x ,的关系是y x y x C 6020700),(++= （1） 在产量x 与y 不受限制的情况下，如何安排生产，才能获得最大利润，这时最大利润是多少？（2） 在产量x 和y 不受限制的情况下，该厂应如何规定这两种产品的产量，方可获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）()222270080100),(),(,y xy x y x y x C y x R y x L ----+=-=令022********=--='=--='y x L y x L yx ， 解得3010==y x 又2,2,4-=''-=''-=''yy xy XX L L L ，于是()()()0242,0422<----=-<-=AC B A ,可知（10，30）是利润函数的极大值点，也是实际问题的最大值点，此时最大值为1000.（3） 方法1配方法22)30()30(202700)30(80100),(x x x x x y x L -------+==22)10(90020800--=-+x x x ，所以，当20,10==y x 时，利润达到最大值为900方法2用拉格朗日数法(,,)(,)(30)F x y L x y x y λλ=++-3002280024100=-+='=+--='=+--='y x F y x F y x F y x λλλ，解得唯一驻点（10，20） 且实际问题存在最大值，故20,10==y x 时取得最大利润900)20,10(=L。
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题-附答案
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则“”是“”的（ ）11(,)a x y =22(,)b x y =1212x x y y =//a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，1212x x y y =12210x y x y -=//a b当，即时，满足，而无意义，0b =120y y ==//a b 1212x x y y =所以“”是“”的充分不必要条件.1212x x y y =//a b故选：A2．如图，是水平放置的△OAB 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴O A B '''△x 'y '平行），则△OAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．24D ．48【答案】D【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，求解面积即可.【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，其面积为.1616482⨯⨯=故选：D.3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩()sin f x x=π3短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（ ）12()g x ()g x =A ．B ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()πsin 23x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 26x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，()sin f x x =π3πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12的图象.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.4．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）αβx 2450x x -+=αβαβ+=+A B ．C D ．【答案】A【分析】解得的虚根，代入求解即可.2450x x -+=αβαβ++【详解】由，，2450x x -+=()2441540∆=--⨯⨯=-<∴方程的两个虚根为，或，，2450x x -+=2i α==+2i β==-2i α=-2i β=+不妨取，2i α=+2i β=-==∴αβαβ+==+故选：A.5，则（ ）θ=sin cosθθ⋅=A ．B ．C ．D ．1313-2323-【答案】B【分析】先由二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，再求解即可.【详解】，，θ=cos θθ=，cos θθ=∴，cos sin cos θθθθ+=两边同时平方，得，()222cos 2sin cos sin 3sin cos θθθθθθ++=∴，∴，()23sin cos 2sin cos 10θθθθ--=()()0sin cos 13sin cos 1θθθθ+=-解得或，sin cos 1θθ=1sin cos 3θθ=-又，πcos cos sin 4θθθθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭∴，.sin cos 1θθ≠1sin cos 3θθ=-故选：B.6．如图，在正三棱柱中，M 为棱的中点，N 为棱上靠近点C 的一个三等分点，111ABC A B C -1AA 1CC若记正三棱柱的体积为V ，则四棱锥的体积为（ ）111ABC A B C -B AMNC -A ．B ．512518V C ．D ．524V 536【答案】B 【分析】设，取AC 的中点D ，可得BD ⊥平面，分别计算四棱锥1,AB a AA b==11ACC A 的体积与正三棱柱的体积，即可得解.B AMNC -111ABC A B C -【详解】正三棱柱中，设，111ABC A B C -1,AB a AA b ==取AC 的中点D ，连接BD ，则BD ⊥AC ，BD ，，212ABC S a =⨯=正三棱柱的体积111ABC A B C -1ABC V S AA =⨯= 平面ABC ，BD 平面ABC ，则BD ，1AA ⊥⊂1AA ⊥又BD ⊥AC ，，平面，则BD ⊥平面，1AA AC A= 1,AA AC ⊂11ACC A 11ACC A ，111523212AMNC abS b b a ⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭则四棱锥的体积．B AMNC -1153312581B AMNCAMNC V ab V S BD -=⨯⨯=⨯==故选：B ．7．在ABC 中，Q 是边AB 上一定点，满足，且对于边AB 上任意一点P ，恒有14QB AB =，则（ ）PB PC QB QC ⋅≥⋅A ．B ．90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒C ．D ．AB AC =AC BC=【答案】D【分析】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．由可得PB PC QB QC ⋅≥⋅，即可判断各选项正误.QD AB ⊥【详解】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．故，()()()()22PB PC PD DB PD DC PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- ()()()()22QB QC QD DB QD DC QD DB QD DB QD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- 由，得，因点到直线垂线段最短，可知.PB PC QB QC ⋅≥⋅22PD QD≥ QD AB ⊥A 选项，因，则，则 ，故A 错误；QD AB ⊥90o DQB ∠=o 90ABC ∠<B 选项，由题目条件，无法判断大小，故B 错误；BAC ∠CD 选项，因，E 为AB 中点，则Q 为EB 中点，结合D 为BC 中点，可知，14QB AB =DQ CE ，又E 为AB 中点，则，又由题目条件不能判断AB ,AC 关系，故C 错误，D 正CE AB ⊥AC BC =确.故选：D8．如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若π3A =，则m =（ ）cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=A ．BCD ．112【答案】C【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，AB即可求的值.m 【详解】对于式子，两边同乘，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += AB 可得，cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB mAO AB mAB AB C B ⋅+⋅=⋅=⋅即，22cos cos cos sin sin B Cc bc A mc C B +⋅=由正弦定理化简可得，22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m CC B +⋅=由，两边同时除以得，sin 0C ≠sin C cos cos cos sin B A C m C+=∴()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A CB AC m C C-+++==cos cos sin sin cos cos πsin sin sin 3A C A C A C A C -++====故选：C ．二、多选题9．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项n 式在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则()f x n ω3=1x =（ ）2++1ωωA ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AD 【分析】分解因式，求解的值，分别代入计算.()()321110x x x x -=-++=w 【详解】解：因为，所以，即，所以或.即31x =310x -=()()2110x x x -++=1x =x =或1w =w =当时，；1w =213w w ++=当.w =210w w ++=故选：AD10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若，则sin sin A B >a b>B ．若，则△ABC 为等腰三角形sin2sin2A B =C ．若，，，则符合条件的三角形有2个30B =︒b =2c =D ．若△ABC 的面积，则)222S b c a =+-π3A =【答案】ACD【分析】对于A ：利用正弦定理直接判断；对于B ：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C ：由即可判断；对于D ：由条件及余弦定理，π2A B +=A B =sin c B b c <<三角形面积公式可得即可判断．tan A =A 【详解】对于A ：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），ABC 2sin sin a bRA B ==R ABC 因为，即，所以，故A 正确；sin sin A B >22a bR R >a b >对于B ：因为，即，sin 2sin 2A B =sin[()()]sin[()()]A B A B A B A B ++-=+--展开整理得，又，cos()sin()0A B A B +-=0π,ππA B A B <+<-<-<所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B 错误；π2A B +=A B =ABC对于C ：因为，，所以，所以，30B =︒b =2c =1sin 212c B =⨯=sin c B b c <<所以符合条件的三角形有两个，故C 正确；对于D ：三角形面积且，)222S b c a =+-222cos 2b c a A bc +-=12cos sin 2bc A bc A ⋅=因为，所以，故，故D 正确．0πA <<cos 0A ≠tan A =π3A =故选：ACD ．11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方a b a b ⨯ sin a b a b θ⨯=⋅ 向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结a bOACB O A C B '-'''论正确的是（ ）A ．12OABS OA OB =⨯△B ．当时，0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan OA OB OA OB AOB ⨯=⋅∠C ．若，，则2OA OB ==2OA OB ⋅= OA ⨯ D ．平行六面体的体积OACB O A C B '-'''()V OO OA OB'=⋅⨯ 【答案】ABD【分析】根据 的定义以及数量积的几何意义逐项分析.a b ⨯【详解】对于A ，，而，故1sin 2ABOS OA OB AOB =∠ △sin OA OB OA OB AOB ⨯=∠，正确；12ABO S OA OB=⨯△对于B ，，当，有意义cos OA OB OA OB AOB⋅=∠0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan AOB ∠则，正确；tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB⋅∠=⨯∠=对于C ，，，，，，错误；2OA OB == 2OA OB ⋅= 1cos 2AOB ∠=sin AOB ∠=OA OB ⨯= 对于D ，的模长即为平行六面体底面OABC 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何OA OB ⨯意义可知，就是在垂直于底面OABC 的方向上的投影向量的模长（即为高）乘()OO OA OB'⋅⨯OO ' 以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD ．12．已知平面向量，，满足，且，下列结论可能正确的是（ ）a b c 2,1a c == 1a b b c -=-=A ．向量，的夹角为B ．向量，共线a bπ6a cC ．D ．12b =54b c ⋅=【答案】ABD【分析】设，，，如图，不妨设，圆C 方程是，动点A OA a = OB b = OC c = ()1,0C 22(1)1x y -+=在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足．当1AB =A ；当A 的坐标为时，可判断B ；由，得，又由OB =()2,0AB OB OA +≥1OB ≥图易知，即，可判断C ；设，则，由及，可2OB ≤12b ≤≤ (,)B x y b c x ⋅= 12b ≤≤22(1)1x y -+=得，可判断D ．122x ≤≤【详解】由题意，，设，，，2,a = 1c = 1a b b c -=-= OA a = OB b = OC c = 如图，不妨设，圆C 方程是．()1,0C 22(1)1x y -+=动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足，1AB =对于A ，当时，△OAB 为直角三角形，此时，即向量，的夹角为，故A OB =30AOB ∠=︒a bπ6正确；对于B ，当A 的坐标为时，向量，共线，故B 正确；()2,0a c对于C ，当B 在圆C 上运动时，由，得，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取AB OB OA+≥1OB ≥等号，又由图易知，即，故C 错误；2OB ≤12b ≤≤ 对于D ，设，则，(,)B x y ()(),1,0b c x y x⋅=⋅=由得，又，则，即．12b ≤≤ 2212x y ≤≤+22(1)1x y -+=122x ≤≤122x ≤≤∴，故D 正确．1,22b c ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ 故选：ABD.三、填空题13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的360︒复数为______（用代数形式表示）．【答案】-【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.【详解】复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为360︒.()()cos 33060isin 33060=︒-︒+︒-︒=-⎤⎦故答案为：.-14．如图，在三棱锥中，，，过点A作截-P ABC 8PA PBPC ===40APB APC BPC ∠=∠=∠=︒面，分别交侧棱PB ，PC 于E ，F 两点，则△AEF 周长的最小值为______．【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小PA -P ABC AA 'AEF △值，在中，由余弦定理能求出的值．PAA '△AA '【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：PA -P ABC则即为的周长的最小值，AA 'AEF △在中，，，PAA '△340120APA '∠=⨯︒=︒8PA A P '==由余弦定理得：．AA '=故答案为：15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，ABC ∆A B C a b c cos C =，则的外接圆面积为__________．cos cos 2b A a B +=ABC ∆【答案】9π【分析】根据正弦定理得到，再根据得到答案.()1sin sin A B C R +==cos C =1sin 3C =【详解】由正弦定理知：，cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=即，，，()1sin sin A B C R +==cos C 1sin 3C =即.故.3R =29S R ππ==故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的ABC 顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．ABC 1P AB ()PA PB PC ⋅+【答案】52【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设C P 点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.P 【详解】由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，AB C 1以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由C BC x C BC y 已知，，，12A ⎛- ⎝()1,0B -()0,0C 由任意角的三角函数的定义，设，，()cos ,sin P θθ2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，1cos sin 2PA θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1cos ,sin PB θθ=--- ()cos ,sin PC θθ=-- ∴，()12cos ,2sin PB PC θθ+=--- ∴()()()1cos 12cos sin 2sin 2PA PB PC θθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭-⋅+-⎭---2212cos 2cos 2sin 2θθθθ=+++52θθ⎫=⎪⎪⎭令，则， cos ϕ=sinϕ=()()52PA PB PC θϕ=+⋅++ 当时，，πθφ+=πθϕ=-，()2π1cos cos πcos cos 32θϕϕ=-=-=<=-()2πsin sin πsin sin 3θϕϕ=-==<=∴存在，使，即，2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πθφ+=()cos 1θϕ+=-∴当时，的最小值为()cos 1θϕ+=-()PA PB PC ⋅+()52PA PB PC ⋅+= 故答案为：52四、解答题17．在复平面内，复数对应的点为，i 为虚数单位，且______．1z 1Z 从条件①；②为关于x 的方程的一个根，且点位于第一象限；220231(1i)3i 1i z +++=-1z 2250x x -+=1Z ③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择)1cos i sin 1z θθ=+⋅-π4θ=多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求；1z (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z 与之间距离的取值范围．121z z -=1z 1z 1Z 【答案】(2)1⎤-+⎦【分析】（1）条件①，利用复数的运算及模的定义求解即可；条件②，由实系数一元二次方程的解法及模的定义求解即可；条件③，利用复数的运算及模的定义求解即可；（2）解法1：设，可得，因此曲线是复平面内以圆心，半径i z a b =+22(2)(4)1a b -++=()02,4Z -为1的圆，结合圆的性质求解即可；解法2：由题意可得，因此曲线是复平面内以()24i 1z --=圆心，半径为1的圆，设，则，可求得()02,4Z -()cos 2,sin 4Z θθ+-()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+- .【详解】（1）条件①：，()()()()2202313i 1i (1i)3i 2i 3i 24i 12i 1i 1i 1i 1i2z ++++++-+=====+---+所以．11z =+条件②：由得，，，所以，2250x x -+=2(1)4x -=-12ix -=±12i x =±又点位于第一象限，所以，所以1Z 112z i =+11z =+条件③：因为，所以，π4θ=)1cos i sin 1112i z θθ⎫=+⋅-=-=+⎪⎪⎭所以．11z =+（2）解法1：设，，i z a b =+,R a b ∈由（1）可得，，，112i z =-()11,2Z ()()1224i z z a b -=-++由可得，，121z z -=22(2)(4)1a b -++=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -故与0Z 1Z =所以Z 与，1Z 1-1+故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦解法2：由（1）可得，，112i z =-()11,2Z 曲线，即，121z z -=()24i 1z --=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -设，，则，()cos 2,sin 4Z θθ+-[)0,2θ∈π()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+-，==tan 6ϕ=所以，11Z Z ⎤∈+⎦故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦18．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求函数在上的值域；()f x ()f x []1,0x ∈-(2)求方程在区间内的所有实数根之和．()12f x =-[]0,4【答案】(1)，；()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡-⎣(2)263【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，2A =2T =πω=1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 可得，从而求解得，即可得；由求得ππ2π62k ϕ+=+π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-的值域；π1sin π3x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x （2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四()f x 12y =-[]0,4()12f x =-个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【详解】（1）由图可知，，2A =212π436T ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭∴，∴，πω=()()2sin πf x x ϕ=+又点在的图象上，∴，1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，，即，，ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈π2π3k ϕ=+Z k ∈∵，∴，∴．π2ϕ<π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，所以，所以．[]1,0x ∈-π2πππ,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦1sin π3πx ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣故函数在上的值域为：．()f x []1,0x ∈-⎡-⎣（2）如图，作出函数与的图象，()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12y =-由图得在上的图象与直线有4个交点，()f x []0,412y =-则方程在上有4个实数根，()12f x =-[]0,4设这4个实数根分别为，且，1234,,,x x x x 1234x x x x <<<由，，得，，π3ππ2π32x k +=+Z k ∈726x k =+Z k ∈所以可知关于直线对称，∴，12,x x 76x =1273x x +=关于直线对称，∴，34,x x 196x =34193x x +=∴．1234263x x x x =+++19．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点OABC OA CB OA OC ⊥222OA BC OC ===M AB 的一个三等分点，为线段上的一个动点．B P BC(1)用和表示；OA OC OM (2)设，求的取值范围．OB CA OP λμ=+ λμ⋅【答案】(1)2233OM OA OC =+ (2)30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；23AM AB = O （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，12OB OC OA =+ OB CA OP λμ=+ ,OC OA根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.,λμ【详解】（1）依题意，，12CB OA = 23AM AB = ∴，()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA =-=+-=+-=- ∴21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭ （2）由已知，12OB OC CB OC OA =+=+ 因是线段上动点，则令，P BC 102CP xOA x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++- 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，OC OA 1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩，1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤在上递增，()2111()24λμμμμ⋅=-=--31,2μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，，，，1μ=min ()0λμ⋅=32μ= max 3()4λμ⋅=故的取值范围是．λμ⋅30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB 为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M 点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N 点．在M 点时测得A 点位于北偏西方向上，B 点位于北偏西方向上；在N 45︒15︒点时测得A 点位于北偏东方向上，B 点位于北偏东方向上，且在N 点时观测A 的仰角的正15︒45︒．设A 点在地表水平面上的正投影为，B 点在地表水平面上的正投影为，A 'B '，，M ，N 在地表水平面上的分布如图2所示．A 'B '(1)该山的高度为多少千米？(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8km ，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？【答案】(1)0.4千米；(2)3.9π平方千米【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.【详解】（1）由题意可知，75B MN A NM ''∠=∠=︒45A MN B NM ''∠=∠=︒∴，在△A 'MN 中，由正弦定理60NA M ∠='︒sin sin MN A N NA M A MN'∠'='∠，660MN ==A N '=又∵N 点观测A ，，0.4AA '==所以，该山的高度为0.4千米．（2）设的外接圆为圆O ，'' A MB ∵，根据圆的性质，，，M ，N 四点共圆30A MB A NB ''''∠=∠=︒A 'B '在中，由正弦定理，圆O 直径为，A MN '△6sin MN NA M '=∠在中，由正弦定理，'' A MB 6sin 3A B A MB ''''=∠=延长与圆台交于C 点，A B ''由题意下底面圆半径为1.8km ，圆台的母线长BC 可在直角中由勾股定理得为0.5．BB C '△圆台的侧面积，()233ππ 1.5 1.80.5km 20⋅+⋅=圆台的上底面面积，229ππ1.5km 4⋅=所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．3.9π21．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．sin sin sin sin a A b B c C A +=+(1)求角C 的大小；(2)若，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．2c =【答案】(1)；π4(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；222a b c +-=（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，21CD =a A =，所以2cos 2sin b B A A ==+π4sin 24ab A ⎛⎫=-+⎪⎝⎭求得的范围，即可得出答案.ab 【详解】（1）已知，sin sin sin sin aA bB cC A +=+由正弦定理可得，即，222a b c +=222a b c+-=所以222cos 2a b c C ab +-===因为，所以．()0,πC ∈π4C =（2）由余弦定理可得，222222cos 4c a b ab C a b =+-=+=又，()12CD CA CB =+ 则，()()222222111π22cos 4444CD CA CB CA CB CA CB a b ab ⎛⎫=+=++⋅=++ ⎪⎝⎭()1414=+=由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===所以，，a A=3π2cos 2sin 4b B A A A ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭所以，21cos2cos 2A ab A A A A -=+=+4sin 24πA ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由题意得，解得，则，π023ππ042A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ42A <<ππ3π2,444A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，所以，sin 24πA ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(4ab∈+所以，所以中线CD 长的取值范围为．(25,3CD ∈+ 22．如图，已知△ABC 为等边三角形，点G 是△ABC 内一点．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设，，且，．AD AB λ= AE AC μ= 0λ≠0μ≠(1)若，求；2155AG AB AC =+ GAB ABC S S △△(2)若点G 是△ABC 的重心，设△ADE 的周长为，△ABC 的周长为．1c 2c （i ）求的值；11λμ+（ii ）设，记，求的值域．t λμ=()12c ft t c =-()f t 【答案】(1)；15(2)（i ）3；（ii ）．29⎡⎢⎣【分析】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，由AF mAG = 255m m AF AB AC =+B ，F ，C 三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得53m =13BF BC = 53AF AG = FAB ABC S S △△GAB FAB S S △△出结果.（2）（i ）由题意得，，又D ，G ，E 三点共线，所()12AF AB AC =+ 211333AG AF AD AE λμ==+ 以，即可得解；（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，在△ADE 中，由余弦11133λμ+=AD λ=AE μ=定理得化简DE =12c c =113λμ+=，所以的范围及二次函数的性质求解12c c =t λμ=()f t =t 即可得出的值域.()f t 【详解】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，AF mAG = 255m m AF AB AC =+ 又B ，F ，C 三点共线，所以，，2155m m +=53m =故，即，2133AF AB AC =+ 3311AF AB AC AB =-- 则有，所以，13BF BC = 13FAB ABCS BF S BC ==△△又，所以，所以.53AF AG =35GAB FAB S AG S AF ==△△15GAB ABC S S =△△（2）（i ）连接AG 并延长，交BC 于点F ，因为G 为重心，所以F 为BC 中点，所以，()12AF AB AC =+ 所以()22111111332333AG AF AB AC AD AE AD AE λμλμ⎛⎫==⨯+=+=+ ⎪⎝⎭ 又D ，G ，E 三点共线，所以，则．11133λμ+=113λμ+=（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，（）AD λ=AE μ=(],0,1λμ∈在△ADE 中，，222222cos60DE AD AE AD AE λμλμ=+-⨯⨯︒=+-所以DE =123c AD AE DE c ++==因为，，1133λμλμλμ+=⇒+=2222()29()2λμλμλμλμλμ+=+-=-所以，12c c==因为，所以t λμ=()f t t ===因为，，所以，，又，则有，01λ<≤01μ<≤11λ≥11μ≥1132λμ=-≤112λ≤≤因为，所以，31λμλ=-22211313113924λλμλλλλ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭因为，，所以的最小值为，最大值为，112λ≤≤213992244λ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭λμ4912所以，单调递增，则，41,92t λμ⎡⎤=∈⎢⎣⎦211636t ⎪⎝⎭-⎛⎫-241118163612t ⎛⎫-- ⎝≤⎪≤⎭所以，即的值域为．()29f t ⎡∈⎢⎣()f t 29⎡⎢⎣。