第七章方差分析(心理)

3、方差分析的过程
建立假设
H0：无处理效应
H1：有处理效应
求平方和 确定自由度 求均方（方差） 进行F检验 ，单侧 列出方差分析表
4、方差分析的条件
总体正态分布、变异可分解、各组方差一致
方差分析中的方差齐性检验
方差分析中的方差齐性检验，常用哈特莱（Hartley）所 提出的最大F值检验法，其计算公式为
例：研究人员采用四种不同的心理治疗方案， 对每个志愿参加治疗的患者进行心理治疗。他们 用录音机记录了每个被试在一段时间中所讲的词 数。由于录音的困难每种方案记录的人数各不相 同，问这几种方案是否有差异？
序号
治疗方案
X1
1 2 3 30 74 46
X2
50 38 66
X3
18 56 34
X4
88 78 60
j 1 2

组间平方和,自由度为k 1,
2
SSw X ij X j
j 1 i 1

组内平方和,自由度为N k
总变异 组间变异 组内变异
即：
SST SSB SSW
2 X 2 X
为了计算方便，上述平方和公式可用原始数据计算
表： 四组记录数据的完全随机设计方差分析表
变异 来源 组间 变异 组内 变异 总变异
平方和
自由度
方差
F 值
概率
2850.4
3
950.1 3.77* P<0.05
4786.5 7636.9
19 22
251.9
三、单因素随机区组设计的方差分析 （repeated measures analysis of varicace）
例：为探讨噪音对解数学题的影响，把12名被试随机分为 三 组，各在不同噪音情况下解数学题，被试解错的题数如 下表，问噪音对解数学题是否有影响
A（强）B（中）C（无） (k=3) 16 14 (n=4) 12 10 Xj 13 4 5 5 6 5 1 2 2 3 2 Xt=6.67
这里只有噪因一个自变量，因而是单因素设计。 噪因的“强、中、无”是自变量的三个水平；也是三种 实验处理；做错题数是因变量。
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
一、方差分析的基本原理
1、方差分析中的几个概念
实验中的自变量称为因素。只有一个自变量的实验称 为单因素实验，两个或两个以上称为多因素实验。 某一因素的不同情况称为因素的“水平”。 每一个实验条件称为实验处理。单因素实验中因素的 一个水平就是一个实验处理，多因素实验中不同因素的不 同水平的交叉形成不同的实验处理。 自变量影响的结果因变量。
组间方差
MSB
SSB dfB
区组方差
SSR MS R dfR
MS E SSE dfE
误差方差
MS B F MS E
MS R F MS E
例 四名空中交通管制员分别在三种压力情境中接受压 力 测试， 结果见下表，问不同压力情境下空中交通管制员 的抗压能力是否有差异
被试序号 1 2 3 4
n
n
SSW X 2
2 X 76444 71657 .5 4786 .5
n
SST
2 X X 2
n
1258 76444
23
2
7636 .9
dfB k 1 4 1 3
dfW n k 23 4 19
4
5 6 7
ni
ΣX
58
62 38
6
62
44 58 80
7
24
66 52
6
76
4
Σn＝23 ΣΣX＝1258
308 51.33
398 56.86
250 41.67
302 75.5
X
X 2
17144 2857.33
23844 3406.29
12252 2042
23204 5801
X 2 =76444
Fmax
2 S max 2 S min
各组容量不等时，用最大的n计算自由度
df n 1
二、单因素完全随机设计的方差分析
完全随机设计(Complete randomized design):把被试随 机分成若干组,每个组分别接受一种实验处理。完全随机分 组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计 又称“ 独立组设计” 或被试间设计。 该设计的不足之处：误差项既包括实验本身的误差又 包括个体差异引起的误差，因而它的检验效率往往不高。
n
dfT nk 1
SSB
2 X
n
2 X
n
dfB k 1
dfR n 1
SSR
2 X
k
2 X
nk
SSE SST SSB SSR
dfE dfT dfB dfR
n为区组数，k为实验处理数
计算方差、进行F检验
dfT n 1 23 1 22
3、计算方差并进行F检验
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW


2850 .4 950 .1 3
4786 .5 251 .9 19
MS B F MSW
950 .1 3.77 251 .9
4、做统计决断,列方差分析表
X
n
X X X X X
ij 2 n i 1 ij t i 1 ij j
X t X ij X j X j X t , 方程两边平方并对 n求和
j
Xt
j

2
X ij X j
i 1 n
n

X
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
dfE dfT dfB dfR 11 2 3 6
4、计算方差（均方）
SSB 5.Baidu Nhomakorabea7 MSB 2.74 dfB 2
3.48 SSR 1.16 MS R 3 dfR
SSE MS E dfE
0.46 0.08 6
5、计算Ｆ值、进行Ｆ检验 组间方差与误差方差的Ｆ比值
2 X =71657.5
X 2
n
n
1．提出假设
H0：μ 1＝μ 2＝μ 3＝μ 4 （或：无处理效应）
H1：至少有两个总体平均数不等（或：有处理效应）
2．计算平方和、自由度
2 2 X X 71657 .5 68807 .1 2850 .4 SSB
185426 .80 861.202 3 12
3.48
SSE SST SSB SSR 9.41 5.47 3.48
0.46
3、确定自由度
dfT nk 1
12 1 11
dfB k 1 3 1 2
dfR n 1 4 1 3
在完全随机设计中,SSt=SSb+SSw,即总变异=组间 变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反映了实 验的随机误差，而且还反映了实验组内被试间 个体差异。 单因素的完全随机化实验设计把可以控制的个体差异作为 随机误差而不加以控制，从而增大了实验误差，使F检验 不敏感。 随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个体差异 区分开来，从而增加实验数据的有效信息，降低实验误差。
2、方差分析的逻辑基础
所有数据总的变异来源于两部分：实验处理的不同（组 间变异）、各组内被试的个体差异（组内变异）。 如果能证明组间变异对总变异的贡献大于组内变异，即 证明了引起因变量变化的主要原因是自变量的变化。 变异的分解（平方和的分解 ） 平方和的优越性在于其可加性 方差只有在自由度相等时才可加
变异来源 组间变异 区组变异 误差变异 平方和 自由度 方差 F 值 概率
2 n i 1
j
Xt
2 X
2
Xt
X
n i 1
ij
Xj

X ij X j 0,
i 1 n


X ij X t
i 1

X
2 n i 1 2 k
ij X j
n X
2 2
j
Xt

2
对ｋ组求和 ,
X
k n j 1 i 1
ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
ＸA 71.1 71.5 70.1 70.5
ＸB 73.4 72.5 72.3 72.2
ＸC 72.3 72.1 70.8 71.6
表： 4位空管员抗压力测试的方差分析计算表
学生 序号
ＸA 71.1 71.5 70.1 70.5
ＸB 73.4 72.5 72.3 72.2
ＸC 72.3 72.1 70.8 71.6
第七章
方差分析
方差分析(Analysis of Variance)简称ANOVA,又叫变异 数分析,其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对 总体变异的贡献大小,从而确定实验中的自变量是否对因变
量有重要影响.
Z检验、ｔ检验是对两个均值差异的检验。当需要 同时检验两个以上均值的差异时也要用方差分析，这时可以 把方差分析看成是ｔ检验的扩展。
组内方差 计算F值
MS B F MSW
进行F检验
•如果F1, 说明数据的总变异中大部分是由实验误差或个体 差异造成的,不同的实验处理A、B、C之间差异不大，即实
验处理基本无效；
•如果F>1且落入F分布的临界区外,即只有实验处理的作用
显著地大于组内变异的作用时,才能确认实验处理的有效作
用, A、B、C三种处理之间的差异显著。 •方差分析的主要任务是检验组间方差在统计上是否显著地 大于组内方差。
861.20= ΣΣX= ΣΣR
X 2
61814.86= ΣΣX2
61810.92=
20149.80
70.98
21097.56
72.63
20563.56
71.70
2 X
n
1、 提出假设 H01: H11: H02: H12:
不存在处理效应 （ μ 1=μ 2=μ 3 ） 存在处理效应 （至少有两个处理平均数不等） 不存在区组效应 （ μ 1=μ 2=μ 3 =μ 4 ） 存在区组效应 （至少有两个区组平均数不等）
随机区组设计把从同一个总体中抽取的被试分成若干个 组（称为区组），原则是使同一区组内的被试应尽量 “ 同质 ”。被试的分配分三种情况：
(1) 一个被试作为一个区组,不同的被试(区组)均需接 受全部ｋ个实验处理;
(2) 每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍;
(3) 区组内的基本单元不是个别被试,而是以一个团体 为单元。
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt

2
令SSt X ij X t
j 1 i 1


2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k


2
n X j X t
MS B 2.74 F 34.25 MS E 0.08
区组方差与误差方差的Ｆ比值
1.16 MS R 14.50 F 0.08 MS E
对区组间的差异进行检验，主要是考察区组 之间在水平上是否存在显著性差异区组间差异的 显著与否并不影响各种实验处理间平均数差异的 显著性。
6、列方差分析表 4位空管员抗压力测试的方差分析表
2、计算平方和
SST
2 X X 2
n
861.202 61814 .86 12
9.41
SSB
2 2 X X
n
n
861.202 61810 .92 12
5.47
SSR
2 2 X X
k
nk