专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
抛物线与几何问题的参考答案
我要中考网 整理收集抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2)(. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t .令0=y , 得-=t OB t b，+=t OC tb , ∴ -=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb == , 即22t t tb ±=-, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.-- 2分 (2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2)(,解得1,121+=-=t x t x . 在∆Rt AOB 中,1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B , 当01>-t 时, 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t , 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832-+-=x x y ; 当01<-t 时, 由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 53, 此时，二次函数解析式为-=y 532x +2518x +12548. 2) 当0<t 时, 由 ||||OC OB <, 将t -代t , 可得=t 53-, 3-=t ,（也可由x -代x ，y -代y 得到） 所以二次函数解析式为 =y 532x +2518x –12548或241832++=x x y . 【例2】(江苏常州) （1）∵4)2(422-+=+=x x x y∴A(-2,-4)（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(5452-，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(5854，-)四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(51256-，)（3）由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x①当点P 在第二象限时，x<0,△POB 的面积x x S POB 4)2(421-=-⨯⨯=∆ ∵△AOB 的面积84421=⨯⨯=∆AOBS ， ∴)0(84<+-=+=∆∆x x S S S PO B AO B ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-+≥+-2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥22412232S x∴x 的取值范围是22322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积44)2(21)2(224+=⋅⋅-+⋅+=-='∆'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积42421=⨯⨯='∆B A A S ∴)0(84>+=+='∆'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤++≥+2868426484x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≥21242223S x ∴x 的取值范围是21242223-≤≤-x【例3】（浙江丽水）（1）设O A 所在直线的函数解析式为kx y =，∵A （2，4）， ∴42=k , 2=∴k ,∴O A 所在直线的函数解析式为2y x =（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段O A 上移动， ∴2y m =（0≤m ≤2）.∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).∴抛物线函数解析式为2()2y x m m =-+. ∴当2=x 时，2(2)2y m m=-+224m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，224m m -+）. ② ∵PB =224m m -+=2(1)3m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当1m =时，PB 最短（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212+-=x y .假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M AS S = .设点Q 的坐标为（x ，223x x -+）. ①当点Q 落在直线O A 的下方时，过P 作直线PC //AO ，交y 轴于点C ， ∵3P B =，4AB =， ∴1A P =，∴1OC =，∴C 点的坐标是（0，1-）.∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为2=x y ∵Q M A P M AS S = ，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴223x x -+=21x -. 解得122,2x x ==，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合.∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.②当点Q 落在直线O A 的上方时，作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线DE //AO ，交y 轴于点E ，∵1A P =，∴1E OD A ==，∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE 函数解析式为12+=x y . ∵Q M A P M AS S = ，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴223x x -+=21x +. 解得：12x =22x =. 代入12+=x y ，得15y =+，25y =- ∴此时抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.综上所述，抛物线上存在点(12Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F ，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2171+=R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0）， 则N （r+1，－r ），代入抛物线的表达式，解得2171+-=r∴圆的半径为2171+或2171+-． （4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．设P （x ，322--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22++-=x x ．3)2(212⨯++-=+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG 当21=x 时，△APG 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,21，827的最大值为APG S ∆．【例5】（山东济南）(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- 将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 34a =∴ 抛物线的解析式为23(1)34y x =--，即：2339424y x x =--（2）是定值，1PM PNBE AD+= ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE ∴ △APM ∽△ABE ，∴ PM APBE AB=① 同理:PN PB AD AB = ② ① + ②:1PM PN AP PBBE AD AB AB+=+=（3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB∴ EA =EB ∵ ∠AEB =90°∴ △AEB 为等腰直角三角形． ∴ ∠EAB =∠EBA =45° ...................... 7分如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形， ∴PH =ME 且PH ∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45° ∴ PH =BH且△APM ∽△PBH∴ PA PMPB BH=∴PA PM PMPB PH ME==① 在△MEP 和△EGF 中，∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90° ∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP ∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF ∴PM EFME EG=② 由①、②知：PA EFPB EG=【学力训练】 1、（广东梅州）（1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ，∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ，∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，∠DAB +∠DBA =90， ∴∠DAB =60， ∠DBA =30， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）． （2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，3）的坐标代入上式得， a =33-． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x 其对称轴L 为直线x =1． （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ， ∆P 1DB 为等腰三角形；②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5．由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个． 2、（广东肇庆）（1）由5x x 122+=0， （1分）得01=x ，5122-=x ．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． · （3分） （2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+=5（个单位面积）（3）如：)(3123y y y -=．事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ∴)(3123y y y -=．3、（青海西宁）（1） 圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，， ∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+-（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠ 为锐角，130OOM ∴∠=1cos302OM OO ∴===在Rt MOF △中，3cos302OF OM ===．1sin 3022MF OM === ．∴点M 坐标为322⎛ ⎝⎭，设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴=∴切线OM的函数解析式为y x =（3）存在．①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APOMOO △∽△（两角对应相等两三角形相似）11tan tan 30P A OA AOP =∠==，113P ⎛∴ ⎝⎭， ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt APO O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似） 在2Rt OP A △中，1OA =，2cos302OP OA ∴==， 在2Rt OP H △中，223cos 4OH OPAOP =∠== ，2221sin 2P H OP AOP =∠==，234P ⎛∴ ⎝⎭∴符合条件的P点坐标有1⎛ ⎝⎭，34⎛ ⎝⎭4、（辽宁12市）解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C点A C ，都在抛物线上，0a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为233y x x =-顶点1F ⎛ ⎝⎭（2）存在1(0P2(2P （3）存在理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于 点M ，则点M 就是所求的点．过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴，x在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=， 30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '=，3OH ∴=，(3B '∴--，设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=y y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177M ⎛∴- ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，．5、（四川资阳） (1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC ，又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC ∽ ΔCOB ， ∴OA OC OC OB=． 又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴19OC OC =，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(0，–3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9)， ∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=13，∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9)，即y=13x 2–83x –3．(2) ∵AB 为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，图10图10答案图1∴OO′=4，O′(4，0)，∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45°，连结O′D 交BC 于点M ，则∠BO′D =2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=12AB=5． ∴D(4，–5)．∴设直线BD 的解析式为y=kx+b （k≠0） ∴90,4 5.k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得1,9.k b =⎧⎨=-⎩∴直线BD 的解析式为y=x –9.(3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ，设射线DP 交⊙O′于点Q ，则 BQCD =． 分两种情况(如答案图1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)． ∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°，使点D 与点B 重合，则点C 与点Q 1重合，因此，点Q 1(7，–4)符合 BQCD =， ∵D(4，–5)，Q 1(7，–4)，∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=13x –193．解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴点P 1坐标为)，[坐标为)不符合题意，舍去]．②∵Q 1(7，–4)，∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7，4)也符合 BQCD =． ∵D(4，–5)，Q 2(7，4)．∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x –17．解方程组2317183.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．∴符合条件的点P 有两个：P 1，P 2(14，25)．6、（辽宁沈阳）（1）点E 在y 轴上 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上．（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD = ，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，OM = 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，点A的坐标为(抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+（3）存在符合条件的点P ，点Q ．10分 理由如下： 矩形ABOC的面积AB BO == ∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边，又OB =OB ∴边上的高为2依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线28299y x x =--+上28229m ∴-+=解得，10m =，2m = 1(02)P ∴，，22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时， 点Q的坐标分别为1(Q，2Q ；当点2P的坐标为28⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，428Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．7、（苏州市） (1)OH ＝1；k ＝33，b ＝332；(2)设存在实数a ，是抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶点的三角形与等腰直角△AOB 相似∴以D 、N 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN 为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN 为斜边的等腰直角三角形． ①若DN 为等腰直角三角形的直角边，则ED ⊥DN ． 由抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)得：M(－1，0)，N(5，0) ∴D(2，0)，∴ED ＝DN ＝3，∴E 的坐标是(2，3)． 把E(2，3)代入抛物线解析式，得a ＝31- ∴抛物线解析式为y ＝31-(x ＋1)(x －5) 即y ＝31-x 2＋34x ＋35②若DN 为等腰直角三角形的斜边，则DE ⊥EN ，DE ＝EN ． ∴E 的坐标为(3.5，1.5)把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a ＝92-．∴抛物线解析式为y ＝92-(x ＋1)(x －5)，即y ＝92-x 2＋98x ＋910当a ＝31-时，在抛物线y ＝31-x 2＋34x ＋35上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E 点，不妨设为E ’点，那么只有可能△DE ’N 是以DN 为斜边的等腰直角三角形，由此得E ’(3.5，1.5)．显然E ’不在抛物线y ＝31-x 2＋34x ＋35上，因此抛物线y ＝31-x 2＋34x ＋35上没有符合条件的其他的E 点．当a ＝92-时，同理可得抛物线y ＝92-x 2＋98x ＋910上没有符合条件的其他的E 点．当E 的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y ＝31-x 2＋34x ＋35时．∵△EDN 和△ABO 都是等腰直角三角形，∴∠GNP ＝∠PBO ＝45°． 又∵∠NPG ＝∠BPO ，∴△NPG ∽△BPO ． ∴PBPNPO PG =，∴PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜210．当E 的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y ＝92-x 2＋98x ＋910时，同理可证得：PB ·PG ＝PO ·PN ＝2×7＝14，∴总满足PB ·PG ＜210．。
高考文科数学专题九 解析几何第二十七讲 抛物线答案
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线答案部分1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆ 为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NF 323NF =C ． H O y xNMF2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由P F x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ． 3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12px =-=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)．4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩， 两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切， 所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <，即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．5．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =，所以||:||3:4PQ PF =，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．6．D 【解析】易知抛物线中32p =，焦点3(,0)4F ，直线AB 的斜率3k =，故直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线方程23y x =，整理得22190216x x -+=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x +=，由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==， 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=． 7．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上，∴22p-=-．∴4p =，∴28y x =， 设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与28y x =联立， 得2824160y ky k -++=②，则△=2(8)4(2416)0k k --+=，即22320k k --=，解得2k =或12k =-（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ，又(2,0)F ，∴43BF k =，故选D ． 8．C 【解析】∵2OF P 点的坐标(32,26±，∴POF ∆的面积为112262322P OF y == 9．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12x y +=代入x 2=4y 得35y -=， 又|FM |：|MN |=（1-y ）：（1+y ）＝1:．10．C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=11．D 【解析】∵双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以2.c b a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=. 故选D ．12．C 【解析】设抛物线的方程为22y px =，易知||212AB p ==，即6p =，∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ∆面积为36，故选C ．13．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，2y a =±，由于l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以44a =，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)． 14．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(2,0)-，所以22p-=，22p = 15．1+BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以||AD p a ==，D (,0)2p (,)2p F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22pb p b a ab =+=+，变形得22()10b ba a --=， 解得12b a =+12b a =，所以12b a=+16．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12px =-=-．17．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知A （–2，–2），B （2，–2） 则有()222-⨯=-a ，∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则y=–3，此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米．18．4【解析】由题意可得p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B19．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．20．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是1510[62,4． 21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x=，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2221x m =±+ 从而12||=2|42(1)AB x x m -=+．由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)m m +=+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
专题九 解析几何第二十八讲 抛物线(含答案)
专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅FM FN = A ．5B ．6C ．7D ．82．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．103．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A B ．23C ．2D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．（2015浙江）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++6．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，7．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．72 B ．52C ．3D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332 D ．949．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4310．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．17．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 ．19．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．21．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题22．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。
(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。
p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。
(2021年整理)(完整)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
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焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,，消y 得：(1）当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2)当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点;ox ()22,B x yFy ()11,A x yΔ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线,)0( p① 联立方程法:⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M ， 2210x x x +=, 2210yy y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程,得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ,021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =, 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2,－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
抛物线解答题及答案
1．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）2．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．4．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF•h=S△ABC，∴（﹣x）•（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC交y轴于点W，∵四边形ACBP是平行四边形，∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，∵BC∥AP，∴∠CBO=∠AWO，∵PH∥WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．5．如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．解：（1）∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），∴y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过点A（0，1），∴a（0﹣1）2+2=1，∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；（2）∵A（0，1），C（1，0），∴OA=OC，∴△OAC是等腰直角三角形．过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，∴l与抛物线的交点即为点P．如图，直线l的解析式为y=x，解方程组，得，（不合题意舍去），∴点P的坐标为（，）；（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．由（1）知，点C的坐标为（1，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．解方程组，代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，∵此点与AC距离最远，∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=．则x2﹣3x+﹣1=0，解之得x1=x2=，此时y=．∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．7．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x 轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，∵OA=1，OB=3，∴AB=，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．8．如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的对称轴及k值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，把C（0，﹣3）代入y=（x+1）2+k得﹣3=1+k，∴k=﹣4；（2）连接AC，交对称轴于点P，如图1，对于y=（x+1）2﹣4，令y=0，则（x+1）2﹣4=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），设直线AC的关系式为：y=mx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y=m x+b得，解得，∴直线AC的关系式为y=﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，∴P点坐标为（﹣1，﹣2）；（3）连接OM，如图1，设M点坐标为（x，（x+1）2﹣4）S四边形AMCB=S△AMO+S△CMO+S△CBO=×AO×|y m|+×CO×|x m|+×OC×BO=[4﹣（x+1）2]+×3×（﹣x）+×3×1=﹣x2﹣x+6=﹣（x+）2+，当x=﹣时，S最大，最大值为；此时M点坐标为（﹣，﹣）；（4）存在．点F的坐标为（﹣1，﹣4）、（3，12）、（﹣5，12）．当以AB为对角线，如图2，∵四边形AFBE为平行四边形，而EA=EB，∴四边形AFBE为菱形，∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，∴F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，如图3，∵四边形AFBE为平行四边形，∴EF=AB=4，即F2E=4，F1E=4，∴F1的横坐标为3，F2的横坐标为﹣5，对于y=（x+1）2﹣4，当x=3时，y=16﹣4=12；当x=﹣5时，y=16﹣4=12，∴F点坐标为（3，12）或（﹣5，12）．9．如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），∴9a﹣×3+2=0，解得a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+2，∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，∴顶点坐标为（﹣，）；（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），∴点A的坐标为（﹣6，0）．又∵当x=0时，y=2，∴C点坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC的解析式为y=x+2．∵S△AMC=S△ABC，∴点B与点M到AC的距离相等，又∵点B与点M都在AC的下方，∴BM∥AC，设直线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，得×3+n=0，解得n=﹣1，∴直线BM的解析式为y=x﹣1．由，解得，，∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，得，，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3，∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC==．。
抛物线答案
抛物线答案（压轴题） 1、[][][][][]分）有最大值。
（时，当分）（则设（综上所述，即分）（上方时，同理在直线当分）（即解得分）（则设下方时，在直线当）（（分）（）（，易得交于点轴的平行线与作过点分）（解得分）），（是顶点时，当）解：（1232225)23(2)43(24)42(21)4()42(21)42(21),(),42,()3)25313,2533(),25313,2533(),2510,253(),2510,253(2)25313,2533(),25313,2533()(2)2510,253(),2510,253(253,253210)4()42(21)42(21),(),42,()2112362116211,11)4,4(421(5-15)1(4212222224321432121222222OMB m m m m m m m m m m m m m m MNB OMN OMB m m m m m m m m m m m m m MNBOMN OMB m m m m m MNB OMN OMB S x x x x x x x x x x x x x x x S S S x x N x x x M M M M M M M AB M b M M x x x x x x x x x x S S S x x N x x x M AB M a S S S N N AB y M B x y x x y M M x x x y ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴+--=++-=⨯---⨯=-⨯---⨯+⨯---⨯=+=--++----++--++----++--+=-==-⨯---⨯+⨯---⨯=+=--=⨯⨯+⨯⨯=+=∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=∴--=--=Θ2、解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点， ∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴点C的坐标为：（0，3）； 3分（2）假设存在，分两种情况：①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x 2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P点坐标为（0，3），∴点P、C、D重合， 7分②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，∴∠DBF=45°，∴DF=4，∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4（舍），∴y=6，∴P点坐标为（﹣1，6），∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）； 10分求出一个得四分求出二个得七分（3）如图3：作EM⊥AO于M，∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，∴tan∠OAC=1，∴∠OAC=45°，∴∠OAC=∠OAF=45°，∴AC⊥AF，∵S△FEO=OE×OF，OE最小时S△FEO最小，∵OE⊥AC 时OE 最小， ∵AC⊥AF ∴OE∥AF ∴∠EOM=45°， ∴MO=EM， ∵E 在直线CA 上， ∴E 点坐标为（x ，﹣x+3）， ∴x=﹣x+3，解得：x=， ∴E 点坐标为（，）． 3、（1）在y = ax2 + bx －2中，令x = 0，得 y =－2， ∴ C （0，－2）．∵ ∠ACB = 90°，CO⊥AB，∴ △AOC∽△COB，∴ OA·OB = OC2，∴ OB = 4，即 m = 4．将A （－1，0），B （4，0）代入y = ax2 + bx －2，解得21=a ，23-=b ．∴ 抛物线的解析式为223212--=x x y ．（2）D （1，n ）代入223212--=x x y ，得 n =－3．由 y = x + 1和223212--=x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=01y x 或 ⎩⎨⎧==76y x ∴ E （6，7）．过E 作EH⊥x 轴于H ，则H （6，0），∴ AH = EH = 7，∴ ∠EAH = 45°． 过D 作DF⊥x 轴于F ，则F （1，0），∴ BF = DF = 3，∴ ∠DBF = 45°， ∴ ∠EAH =∠DBF = 45°．从而 ∠DBH = 135°，90°＜∠EBA＜135°， 则点P 只能在点B 的左侧：① 若△DBP1∽△EAB，则 AE BD AB BP =1，∴715272351=⨯=⋅=AE BD AB BP ，∴ 71371541=-=OP ，得 ），（07131P ．② 若△DBP2∽△BAE，则 AB BD AEBP =2，∴4223272⨯⋅=AB BD AE BP ∴52245422=-=OP ， 得），（05222-P ．综合①、②，点P 的坐标为），（07131P 或），（05222-P ．4、（1）)3,1(),2,3(D C ； ．．．．．．．．．2分 （2）设抛物线为cbx ax y ++=2，Q 抛物线过点),1,0()3,1(),2,3(，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩．．．．．．．．4分∴1617652++-=x x y ． ．．．．．．．．5分（3）①当点A 运动到点F 时，,1=t当01t <≤时，如图1， ∵'O F A G F B ∠=∠， ,21tan==∠OF OA OFA ∴,215''''tan ===∠t GB FB GB GFB ∴,25't GB =．．．6分∴21524F B GS F B G t '''=⨯=△； ．．．．．7分②当点C 运动到x 轴上时，2=t ， 当12t <≤时，如图2，''A B A =x图1∴,55'-=t F A ∴255'-=t G A，．．．．8分∵25'tH B =， ∴''1'')''2A B H GS A G B HA B =+⨯梯形（ 5)25255(21⨯+-=tt 4525-=t ； ．．．．．．9分③当点D 运动到x 轴上时，3=t ，当23t <≤时，如图3，∵255'-=t G A ，∴25532555'tt GD -=--=，．．．10分 ∵11212A O F S =⨯⨯=△，1OA =， A O F G D H '△∽△2G DH A O F S GD S O A ''⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△，2G D H S '∴=⎝⎭△， ．．．．．．11分∴22'''G A B C H S 五边形=425215452-+-t t ． ．．．．．．．．．12分5、⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴⎩⎨⎧=++=+-22392b a o b a 解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a ∴抛物线的解析式为y=-21x 2+23x+2⑵设AB 交y 轴于D ，则D （0，21），∴OA=1，OD=21，AD=25，∴AOD C △=253+，∵PN ∥y 轴, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt △ADO ∽Rt △PNM.∴555AOD C PN PN C AD ==△PNM △.∴C △PNM =552×253+PN=5535+PN. ∴当PN 取最大值时, C △PNM 取最大值. 设P(m, -21m 2+23m+2) N(m, 21m+21).则PN=-21m 2+23m+2-(21m+21)=-21m 2+m+23. ∵-1﹤m ﹤3. ∴当m=1时,PN 取最大值.∴△PNM 周长的最大值为5535+×2=55610+.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线1C 为：y=-21(x-23)2+825,2C 为：y=21(x-n)2+t. ∵E 在抛物线1C 上，∴t=-21(n-23)2+825.∵四边形DFEG 为菱形. ∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG 与△DEF 均为正三角形.∴D 为抛物线1C 的顶点.∴D(23,825).∵DF ∥x 轴,且D 、F 关于直线x=n 对称.∴DF=2（n-23）. ∵DEF 为正三角形.∴825-21325(n )228⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23×2(n-23).解得：n=2343+. ∴t=-823.∴存在点E ，坐标为E(2343+,-823).6、解：（1）PA ＝ PB …………………………………………………………2分（2）①过点P 作PB ⊥x 轴于B ，由（1）得PA =PB ， 所以要使AP +CP 最小，只需当BP +CP 最小，因此当C ，P ，B 共线时取得，此时点P 的横坐标等于点C （2，5）的横坐标，所以点P 的坐标为（2，2）……………………………………………4分②当点P 在第一象限时，如图，作DE ⊥x 轴于E ，作PF ⊥x 轴于F ， 由（1）得：DA =DE ，PA =PF∵PA =2DA ，∴PF =2DE ，∵△ODE ∽△OPF ，∴21==PF DE OF OE 设P （m ，1412+m ），则D （m 21，21812+m ）∵点D 在抛物线1412+=x y 上，∴12141218122+⎪⎭⎫⎝⎛=+m m ，解得22±=m此时P （22，3），直线OP 的解析式为x y 823=………………6分 当P 在第二象限时，同理可求得直线OP 的解析式为x y 823-=综上，所求直线OP 的解析式为x y 823=或y =7、解：（1）据题意得 Rt △ABO 中 sin ∠ABO=AB OA =53又OA =3 ，所以 AB =5 OB =22OA -AB =4， 所以B （0, 4） (1分) 设AB ：y=kx+b （k ≠0）A （-3，0）、B （0，4）代入得⎩⎨⎧==+403b b k -解得⎩⎨⎧==434bk∴AB 直线解析式：434+=x y (1分)A （-3，0）、C （-1，0）、B （0，4）代入得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+40039c c b -a c b -a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===431634c b a (1分)∴抛物线解析式：4316234++=x x y (1分)（2）设P （x ，434+x ） 已知D （2，0） 据题意，当PDOBAP AB AD AO ==时 DPDP 453=320320APAOAD AB =AP 355=2223）434（）3（=+++x x （负舍去）524，5621-x -x ==512，56-320325325512，56-2352b 5=2223-⋅10b=3-2210y=x x+433-22AB OA OB 5+==2210y=55+4=433⨯-⨯2210y=22+4=033⨯-⨯5k+b=42k+b=0⎧⎨⎩4k=38b=3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩48y=x 33-524582y==3233⨯-5223 ，OM ONOB OD=t ON 42=t ON 2=()PFOM 112555S PF OM OF=+t =t+223246⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭梯形2MON 1111S OM ON=t t=t 2224∆=⋅⋅⋅⋅PME 1151215S NF PF=t =t+2222366∆⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅- ⎪⎝⎭MON PMEPFOM S=S S S ∆∆--梯形2255115117t+t t+t +t 46466412⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭22117117289S=t +t=t +41246144⎛⎫--- ⎪⎝⎭104<-17617t=6289144176⎪⎩⎪⎨⎧=-=++12039a bc b a ⎩⎨⎧=-=21b a 63221=⨯-⨯m 1414-1717（本题满分12分）(1)5－t －－－－－－－2分 (2)当DQ =AP 时，□AQPD 是矩形. 易证△APQ ∽△ABC 得 1082102=-t t －－－－4分解之 t =920 ∴当t =920时，DQ =AP －－－－5分 (3)当□AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP则 COS ∠BAC =AB AC AQ AE = 即 5425=-t t －－－－7分 解之 t =1325∴当t =1325时, □AQPD 是菱形 －－－－8分 PM(4)4165－－－－－12分10、解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx +c （a ≠0），且过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0），可得420,933,0,a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得1,2,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y=x 2+2x . （2）①当AO 为边时，∵A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ∴DE=AO =2，则D 在x 轴下方不可能， ∴D 在x 轴上方且DE =2， ∴D 1（1，3），D 2（﹣3，3）.②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分，因为点E 在对称轴上，且线段AO 的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C （﹣1，﹣1） 综上可知，符合条件的点D 有三个，分别是D 1（1，3），D 2（﹣3，3），C （﹣1，﹣1）.（3）存在，∵B （﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO 2=18，CO 2=2，BC 2=20，∴BO 2+CO 2=BC 2．∴△BOC 是直角三角形．假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与△BOC 相似， 设P （x ，y ），由题意知x ＞0，y ＞0，且y=x 2+2x ， ①若△AM P∽△BOC ，则AM PM BOCO=，即 x +2=3（x 2+2x ）得：x 1=13，x 2=﹣2（舍去）．当x =13时，y =79，即P （13，79）．②若△PMA ∽△BOC ，则AM PM BO CO=，即：x 2+2x =3（x +2） 得：x 1=3，x 2=﹣2（舍去）. 当x =3时，y =15，即P （3，15）．故符合条件的点P 有两个，分别是P （13，79）或（3，15）．11、解：（1）设反比例函数的解析式为kx y =． ∵点A （2，6）在反比例函数的图像上，∴6=2k， ∴12=k ，∴反比例函数的解析式为xy 12=． 作AM ⊥BC ，垂足为M ，交y 轴于N ，∴CM =2．在Rt △ACM 中，422tan =⨯=∠⋅=ACB CM AM ．∵BC x =MN 2=x 6=y 22++=bx ax y ⎩⎨⎧++=++=,26362,2246b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b a 23212++-=x x y x x x5122222=+=+OD OC 21,124(3)03.4b bc ⎧-=⎪⨯⎪⎨⎪-⎪=-+⎩12154141215403,4.k m k m =-+⎧⎨-=+⎩1,3.k m =-⎧⎨=-⎩141215414121544,5 5.p q p q +=-⎧⎨-+=⎩3,25.2p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩325232521232521412154343m 1543427427414121547474274OA OB OC OA =21OC 2=()()y=a x+1x 4-()()2=a 0+104-1a=2-()()1y=x+1x 42--213y=x +x+222-22131325y=x +x+2=x +22228⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x=2213y=x +x+222-213m m +m+222⎛⎫- ⎪⎝⎭，PFQO MAB CD xyM 1x =1 A 1232AOHP 11313S 2m +m+2m=m +m +2m22244⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭梯形()232PHC 11317S 4m m +m+2=m m +2m+422244∆⎛⎫=--- ⎪⎝⎭AOC 1S =42=42∆⋅⋅32322PHC AOC AOHP 1317S=S +S S =m +m +2m+m m +2m+44=m +4m4444∆∆-----梯形()22S=m +4m=m 2+4--m 2=m 2=213n=2+2+2=322-⨯⨯31,2233,32233,322 -3,3102+ 3,1023-222211(10)(2)(4)8042t t t t -++-++=4t =222211(10)80(2)(4)42t t t t -++=-++8t = 12分16、解：（1）A （8，0），B （0，4）。
专题九解析几何第二十八讲抛物线答案
1 • D 解析由题意可得: 2.解析(I )由抛物线C 所以抛物线C 的方程为 3.解析设直线I: y(1)由题设得 3—x 2 3x 1) (2)由 9 uur AP 专题九解析几何第二十八讲抛物线答案部分2019 年3P P f 2 py 经过点2，解得p 8 •故选D •2, 1，得P4y ,其准线方程为t,A X i ,y i , B X 2,y 2 F 3,0，故 I AF I | BF | 4 ，可得 9x 2 2 12(t 1)x 4t X iX 2 3-，由题设可得X 12X 1 X 212(t 1)9X 23 —x 2 3x所以y 1y 2 5 2 uur 3PB 可得y 1 t ,可得y 27•所以1的方程为y2y 2t 0 • 2 •从而 3y 2 y 2 2，故 y ?1,%1代入C 的方程得x 13,x 2 - •故I ABI3441331 24•解析(1 )设 D t, 2， A x 1, y 1 ,则 X 12y 1.由于y' x ，所以切线DA 的斜率为X 1，故y1 2 x 1 t X 1 ，整理得 2 tx 1 2 y 1+1=0.设B X 2,y 2 ，同理可得2tX 2 2『2+1=0 .故直线AB 的方程为2tx 2y 1 0.所以直线AB过定点（0，-）.因此，四边形ADBE 的面积为3或4^2 .2010-2018 年（2）由（1）得直线AB 的方程为ytx于是X||AB |txX 2 12，可得X 22tx 1 0.2t, X 1X 21, y 1y 2 t X 1 x 21 2t 2X 1 X 2 X 24x 1X 22 t 2设d 1,d 2分别为点D , E 到直线AB 的距离，则d 12 J t 21因此，四边形ADBE 的面积S ^lABI d 12d 2t 2 3 7厂.设M 为线段AB 的中点，贝y M t,t由于 EM UAB ，而 EM t,t 2LUW22（1, t ）t t 22 t 0t=0 或 t 1.当t =0时，S=3 ;当t 1时，S472.1. D 【解析】通解 过点（2,0）且斜率为—的直线的方程为 y l(x 2),2 3l(x 2) 得 23 ，得x 2 35x 4 0,解得x 1或x4x，得 k 12x 22k 12x 4x k ；0,1)ik l 4 2k ； k 2k2 A 【解析】由已知h 垂直于x 轴是不符合题意，所以h 的斜率存在设为k 1, I 2的斜率为k 21，设 A(x i , y i ) , B(X 2,y 2), D(x 3, y a ) , E(X 4,y 4)由题意有k 1 k 2 此时直线l 1方程为y k 1(x 1),•-X 1X22k 12 4 2k 12 4 同理得X a X 4由抛物线定义可知k 2 k 22k ；k ；|AB| |DE | X 1 X 2 X a X 42 p所以1，或x 42 y 4不妨设UULUM(1,2) , N (4,4)，易知 F(1,0)，所以 FM (0, 2), uuurFN （3,4），所以uuu u FM uu ur FN8 .故选D •优解 过点222,0）且斜率为2的直线的方程为y 2（X3 32），由自X 2），得4x5x0 ,设 M (x i , y i ) , N(X 2, y 2)，则 y i 0 , y 2根据根与系数的关系，得x 1X 2 LUUU 5 , X 1X 24 •易知 F(1,0)，所以 FM (X 1UULT1,y 1), FN (x i 1,y 2)uuu u 所以FM Luur FN (X l 1)(X 2 1) ym X I X 2(X i X 2)1 4jxx4 5 188 .故选D •取方程4x k 1(x8 164 4kF k" 8'2当且仅当k 1k 2 1 （或1）时，取得等号.1 ,12,3. C 【解析】 2设 P 2pt,2pt , M x , y (不妨设o )，则 F P2pt 2 卫，2pt2uuu u ••• FM 1 uuuX P ,••3 P 2p 2一 ---- 12 32pt 3 ，2p t 2 3 2pt 3 ，…kOM 2t2t^1 2t…(k OM )max ，故选C . 4. B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 2p x(p 0), 由 |AB| 4^2 ,IDE I 2 曲，可取 A(4,2 72) , D( P护，设O为坐标原点,由 |OA| |OD I ， 2P 4 得P 4，所以选B .5. A 【解析】如图, S BCF S ACFBC x B AC X A，故选A .AF 16. D 【解析】当直线 I 的斜率不存在时，这样的直线 I 恰好有2条，即x 5 r , 所以0 r 5 ；所以当直线I 的斜率存在时，这样的直线 I 有2条即可. 设 A(X i ,y i ), B(X 2,y 2), M (x g , y o )，则 N % 2xo 又 * y 2 2y o 2 ¥1 2 y 24X 1 4x 2 两式相减得（y r y 2）（ y-iy 2) 4(x - x 2) , k ABy 1 y 2 X 1 X 2 y i y 2 y o 设圆心为C （5,0），则kCMy oX o 5因为直线I 与圆相切，所以2y o X o 5 y o2解得X o = 3，于是yo2 24 , r >2，又 y o 4x o ，即 r 4 所以0 r 4，又05, r 2所以 2 r 4，选 D .21设A(X 1, yj, B(X 2, y 2)，则％ x ? —，由物线的定义可得弦长|AB| x 1 x 2 p 12，结合图象可得 O 到直线AB 的距离所以 OAB 的面积S |AB | d4又 F (2,0) ,• • k BF —,故选 D .310. C 【解析】••• OF，由抛物线的定义可得 P 点的坐标3J 2,于 A( 4,2两 B( 4, 2两7. uuu C 【解析】过点Q 作QQ I 交I 于点Q ，因为PF uuu4FQ ，所以 | PQ|:|PF | 3:4 ,又焦点F 到准线I 的距离为4,所以IQF I I QQ I 3 .故选C .D 【解析】易知抛物线中P 3，焦点F(3,O),直线2 4AB 的斜率k旦，故直线AB 的3方程为y —(X -)，代人抛物线方程 y 23x ,3 4整理得x 221 一 x 2 9 16得：a 2( 4)2 (2 两2 4a 2 2a 49. D 【解析】•••2A( 2,3)在抛物线y2px 的准线上，••• -p ••• p 4 , ••• y 2 8x , 设直线AB 的方程为xk(y 3) 2①，将①与8x 联立,得 y 28ky 24 k 16 0 ②，则△=( 8k)24(24k 16)即 2k 2 3k2 0 ,解得k 2或k1(舍去)，2将k 2代入①②解得x 8,y8，即 B(8,8), ••• POF 的面积为丄 2OF Y P273.11. C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为y 1代入x 2 4y 得y 弓5又 |FM |:|MN | (1 Y):(1 Y) 1:75.12. C 【解析】设C: x22 2(y a (a0)交 y 216x 的准线l: x 44则X 1X 22k 2 4,X i X 2由 y ?k 4xy 4x)，消去X 得y 24(1y 1)，即y 24k yy 24 Q y1y2由 AMBUUr UJLT90°，得 MA MB (X i 1, y i 1)(X 2 1, y 2 1) 4X 1X 2X 2 1 ym (y 1 y 2)1将 X 1 X 2 2k 2 4，X 1X 2 1 与 y 1 y 24-,yy 4代入, k解法二 设抛物线的焦点为 F , A(x 1,y 1),B(X2, y 2)，则y 2y ；4为 4X 22 2所以 y 1 y 2 4(X 1 X 2)，则 ky 1 y 2 X 1 X 2y 1 y 2取AB 的中点M (X 0,y 0)，分别过点A , B 做准线x 1的垂线, 垂足分别为A , B ,又 MB 90°，点M 在准线X 1上,2y 2px ,易知 |AB | 2p 12，即 p 6,2 213. D 【解析】因为双曲线 G :与占1(a0,b 0)的离心率为2,a b所以C2 b aJ 3a.又渐近线方程为bx ay 0,所以双曲线G 的渐近线 方程为0.而抛物 C 2：X 22py(p 0)的焦点坐标为(0,卫),2所以有, _______ 2 J")2 12P 8.故选D .14. C 【解析】设抛物线的方程为15. 2【解析】解法- - 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为程为yk(x 1)(k 0)， 由y k(xU 滔土 宀 2,八2,2，消去 y 得 k (x 1) 4x ,y 4x即 k 2x 2(2 k 2 4)x k 20, 设 A(X 1,y 1), B(X 2,y 2),•••点P 在准线上，••• P 到AB 的距离为P 6，所以 ABP 面积为36，故选C . k 的直线方41 1 1所以 IMM I 2|AB| -(|AF| |BF|) -(|AA| |BB |).又M 为AB 的中点，所以 MM 平行于x 轴，且y 01，所以y 1 y 2 2 ,16. 6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F ',作MBl 与点B , N JA l 与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为AN FF 'x 2，则 AN 2,FF' 4，在直角梯形ANFF'中，中位线BM23,由抛物线的定义有: MF MB3，结合题意，有MN MF 3,故FNFM NM3 3 6 .20. 246【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 x 22py , I 与抛物线的交点为 A 、B ,根据题意知 A （ 2, 2），B （2, 2）21则有2 a 2,•••a117. 2J 2【解析】 y 2 =2 px 的准线方程为x线x 2 y 21的左焦点（72,0），所以-，又p >0,所以x2丘,p272.号必经过双曲18. 1 42【解析】由正方形的定义可知 BC CD ,结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD| p a , D （-p,0） , F （卫b,b ），将点F 的坐标代入抛物线的方程 22b 2 2b2ab ，变形得（―）2 —a a逅（舍去），所以b 1 a _p2得b 2解得ba19. 2, x 2p(| b) a 21 y/2 或 b 1 a 1【解析】-21,p 2 ；准线x 42 • O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为••抛物线的解析式为y2X 222 .1X , 1由(1)知 X-1 x 22k 4X 1X 2直线PA 的方程为?(X同理得点 ,uuur 由QM = 的纵坐标为N 的纵坐标为y N uuu uuu UUU E QO ,QN= QO 得y M kX 2 X 2 1=1辿 X 12kX 1 1yM ,•••此时水面宽为2屆米.21 • 3匣【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出4由题意可知直线I 的斜率存在且不为 0, 设直线I 的方程为y kx 1( k 0).4X得 k 2x 2(2k 4)x 10 •kx 1⑵设 A(X 1,y 1), B(X 2，y 2)• 水位下降1米，贝y y3，此时有X J 6或XV 6所以点B 到抛物线准线的距离为 3•4 22.【解析】 2(1)因为抛物线y 2px 经过点P(1,2),p 的值为, B 点坐标为(亞,)4所以4 2 P ,解得P 2，所以抛物线的方程为 y 24X • 依题意2 2 (2 k 4) 4 k 1又PA , PB 与y 轴相交，故直线 I 不过点(1, 2).从而 所以直线I 斜率的取值范围是 ,3)U( 3,0) U (0,1).2 2k 4F k 2=01 2.1—为定值.设 A(X 1, yj, B(X 2, y 2),因此I 的方程为y设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则22y 1 y 224.［解析】(1)设 P(x 0,y 0)，A(竺，yj ，B(盔，y 2).4 4因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以 y 1，y 2为方程23.【解析】 (1)由题意得F(1,0),的方程为k(x 1)(k 0).由y 2k(X 1)，得 k 2x 2y 24x(2k 2 4)x k 2216k 16 0 ,故 X 1 X 22k 2 4所以 I AB I |AF ||BF I (X11) (X 21)4k 2 4由题设知4k2 4k 28，解得k(舍去)，⑵由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 (X 3)，y 。
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4 13 2 y ⎨1专题九解析几何第二十八讲 抛物线答案部分2019 年⎛ p ⎫21．D解析 由题意可得： 3 p - p = ⎪ ⎝ ⎭，解得 p = 8 ．故选 D ．2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点(2, -1) ，得 p = 2 .所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 33.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ．2（1）由题设得 F ⎛ 3 ,0 ⎫，故| AF | + | BF |= x + x+ 3 ，由题设可得 x + x = 5 ．4 ⎪ 1 2 2 1 2 2⎝ ⎭⎧ y = 3 x + t12(t -1) 由⎪ 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ．⎨ ⎪⎩ y2 = 3x 1 29从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ．9 2 8 2 8（2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ．⎧y = 3x + t由⎪2，可得 y 2- 2 y + 2t = 0 ．⎪⎩ y 2 = 3x所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ．代入C 的方程得 x = 3, x = 1．故| AB |= ．1 2334．解析（1）设 D ⎛t , -1 ⎫,A (x , y )，则 x 2 = 2 y .2 ⎪ 1 1 1 1⎝⎭由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x，整理得2 tx- 2 y +1=0.111x 1 - t1+ t 2 t 2 +1t 2 +11 2 设B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 .故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 .所以直线AB 过定点(0, 1) .2（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1.2⎧y = tx + 1 ⎪ 由⎨ 2⎪ y = x ⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 .于 是x + x = 2t , x x = -1, y + y = t (x + x )+1 = 2t 2+1， 121 21212| AB |= x - x = ⨯ = 2 (t 2+1).设 d , d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d = t 2+1, d =2 .1212因此，四边形ADBE 的面积S = 1| AB | (d + d ) = (t 2 + 3).21 2设M 为线段AB 的中点，则 M ⎛ t , t 2+1 ⎫.2 ⎪ ⎝ ⎭由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (t , t 2- 2)， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 .解得 t =0或t = ±1.当t =0时，S =3；当t = ±1时， S = 4 2 .因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .2010-2018 年1+ t 2 ( x + x - 4x x 1 2 ) 21 2 2⎨ 1 1 1k k 2 k = + + = + + ⎨1．D 【解析】通解 过点(-2, 0) 且斜率为 2 的直线的方程为 y = 2(x + 2) ，3⎧y = 2(x + 2)3⎧ x = 1⎧ x = 4 由⎪ 3，得 x 2- 5x + 4 = 0 ，解得 x = 1 或 x = 4 ，所以 ⎨y = 2 ，或⎨y = 4，⎪⎩ y 2 = 4x⎩⎩不妨设 M (1, 2) ， N (4, 4) ， 易知 F (1, 0) ， 所以 FM = (0, 2) ， FN = (3, 4) ，所以FM ⋅ FN = 8 ．故选 D ．22 ⎧ y = 2(x + 2)优解 过点(-2, 0) 且斜率为 3 的直线的方程为 y = (x + 2) ，由⎪3 ，得3x 2 - 5x + 4 = 0 ，设 M (x , y ) ， N (x , y ) ，则 y > 0 ， y ⎪⎩ y 2 = 4x> 0 ，根据根与系数的关112212系，得 x 1 + x 2 = 5 ，x 1 x 2 = 4 ．易知 F (1, 0) ，所以 FM = (x 1 -1, y 1 ) ，FN = (x 2 -1, y 2 ) ， 所以 FM ⋅ FN = (x 1 -1)(x 2 -1) + y 1 y 2 = x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) +1+= 4 - 5 +1+8 = 8 ．故选 D ．2．A 【解析】由已知l 1 垂直于 x 轴是不符合题意，所以l 1 的斜率存在设为k 1 ，l 2 的斜率为k 2 ，由题意有k 1 ⋅ k 2 = -1 ，设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， D (x 3 , y 3 ) ， E (x 4 , y 4 ) 此时直线l 1 方程为 y = k 1 (x -1) ，⎧ y 2 = 4x取方程⎨ ⎩ y = k 1 (x -1)，得k 2 x 2 - 2k 2 x - 4x + k 2= 0 ，-2k 2 - 4 2k 2 + 4∴ x 1 + x 2 = - 1 = 1同理得 2 2 1 12k 2 + 4x 3 + x 4= 22由抛物线定义可知| AB | + | DE |= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 2 p2k 2 + 4 2k 2 + 4 4 41 2 4 8≥ 8 = 16 k 2 k 2 k 2 k 21 2 1 22 1 2 2 + = + = 当且仅当k 1 = -k 2 = 1 （或-1）时，取得等号．3．C 【解析】设 P (2 pt 2, 2 pt ), M (x , y ) （不妨设t > 0 ），则 u u u r = ⎛ 2 pt 2 - p , 2 pt ⎫，FP 2 ⎪u u u u r u u u r⎧x - p = 2 p t 2 - p , ⎝ ⎭ ⎧x = 2 p t 2 + p , 1 ⎪ 2 3 6 ⎪ 3 3∵ FM = FP ，∴ ⎨3⎪ y = ⎪⎩ 2 pt ,3 ，∴ ⎨⎪ y = ⎩ 2 pt ,32t 11∴ k OM ==2t 2 +1≤= t + 12 2t∴ (k OM )max =，故选 C ． 24．B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 y 2= 2 px ( p > 0) ，由| AB |= 4 ，| DE |= 24，可取A ( , 2 2) p， D (- p , 5) ，设O 为坐标原点， 2由| OA |=| OD | ，得16p 2p 28 5 ，得 p 4 ，所以选 B ．45．A 【解析】如图，S ∆BCF= BC =x B =BF -1，故选 A ． S ∆ACFAC x A AF -16．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有 2 条，即 x = 5 ± r ，所以0 < r < 5 ；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有 2 条即可．⎧ x + x = 2x⎧ y 2 = 4x 设 A (x , y ) ， B (x , y ) ， M (x , y ) ，则⎨ 1 2 0 ．又⎨ 11 ，1 12 2 0 0 y + y = 2 y y 2 = 4x ⎩ 1 2 0 ⎩ 2 2两式相减得( y + y )( y - y ) = 4(x - x ) ， k = y 1 - y 2 = 4 = 2 ．121212ABx - x y + y y 1 2 1 2 0设圆心为C (5, 0) ，则k CM = y 0 x - 5 ，因为直线l 与圆相切，所以 2 ⋅ y 0 y x - 5= -1 ，解得 x = 3 ，于是 y 2= r 2- 4 ， r > 2 ，又 y 2< 4x 0，即r 2- 4 < 12 ，所以0 < r < 4 ，又0 < r < 5 ， r > 2 所以2 < r < 4 ，选 D ．2 2 52 3 5 7．C 【解析】过点Q 作QQ ' ⊥ l 交l 于点Q ' ，因为 PF = 4FQ ，所以| PQ |:| PF |= 3 : 4 ，又焦点 F 到准线l 的距离为 4，所以| QF |=| QQ ' |= 3 ．故选 C ．8．D 【解析】易知抛物线中 p = 3 ，焦点 F ( 3 , 0) ，直线AB 的斜率k = 3 ，故直线AB 的 243方程为 y =3(x - 3) ，代人抛物线方程 y 2 = 3x ，整理得 x 2 - 21 x + 9= 0 ．3 4设 A (x , y ), B (x , y ) ，则 x + x 2 16 = 21，由物线的定义可得弦长1 12 21 22 | AB |= x + x + p = 12 ，结合图象可得O 到直线 AB 的距离d = p sin 30o = 3，1 22 8所以∆OAB 的面积 S = 1 | AB | ⋅d = 9．2 49．D 【解析】∵ A (-2, 3) 在抛物线 y 2= 2 px 的准线上，∴ - p = -2 ．∴ p = 4 ，2∴ y 2 = 8x ，设直线 AB 的方程为 x = k ( y - 3) - 2 ①，将①与 y 2= 8x 联立， 得 y 2- 8ky + 24k +16 = 0 ②，则△= (-8k )2- 4(24k +16) = 0 ， 即2k 2 - 3k - 2 = 0 ，解得k = 2 或 k =- 1（舍去）， 2将 k = 2 代入①②解得 x = 8, y = 8 ，即 B (8,8) ， 又 F (2, 0) ，∴ k= 4，故选 D ． BF 310．C 【解析】∵ OF = ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标(3 2, ±2 6 )，∴ ∆POF 的面积为 1 OF y = 1 ⨯2 ⨯ 2 = 2 ．2P211．C 【解析】依题意可得 AF 所在直线方程为 x+ y = 1代入 x 2= 4 y 得 y =3 - 5 ，22又| FM |:| MN |= (1- y ) : (1+ y ) = 1: ．12．C 【解析】设C : x 2- y 2= a 2(a > 0) 交 y 2 = 16 x 的准线l : x = -4于 A (-4, 2 3) B (-4, -2 3)得： a 2= (-4)2- (2 3)2= 4 ⇔ a = 2 ⇔ 2a = 46⎨ y 2= 4x⎩ 4 22x 2-y 2= >>13．D 【解析】因为双曲线C 1 ： a2b 21(a 0,bc0) 的离心率为 2,所以 = 2 ⇒ b = a3a . 又渐近线方程为bx ± ay = 0, 所以双曲线C 1 的渐近线方程为 3x ± y = 0. 而抛物C 2 : x = 2 py ( p > 0) 的焦点坐标为 2| p|(0, p ), 22 = 2 ⇒ p = 8 .故选 D ．( 3)2 +1214．C 【解析】设抛物线的方程为 y 2= 2 px ，易知| AB |= 2 p = 12 ，即 p = 6 ，∵点 P 在准线上，∴ P 到 AB 的距离为 p = 6 ，所以∆ABP 面积为 36，故选 C ．15．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1, 0) ，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为 y = k (x -1) (k ≠ 0) ，由⎧ y = k (x -1) ，消去 y 得k 2 (x -1)2= 4x ，⎩ 即 k 2 x 2- (2k 2+ 4)x + k 2= 0 ，设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则 x 1 + x 2 =2k 2+ 4 k 211⎧ y = k (x -1) ， x 1 x 2 = 1 ．由⎨ y 2 = 4x22，消去 x 得 y2 = 4( 1 y +1) ， k 即 y 2 - 4 y - 4 = 0 ，则 y + y = 4 ， y y = -4 ，k 1 2 k1 2由∠AMB = 90o，得 MA ⋅ MB = (x +1, y -1) ⋅ (x +1, y -1)1122= 4x 1 x 2 + x 1 + x 2 +1+ y 1 y 2 - ( y 1 + y 2 ) +1 = 0 ，将 x 1 + x 2 = 2k 2+ 4k2， x 1 x 2 = 1 与 y 1 + y 2 = k ， y 1 y 2 = -4 代入，得k = 2 ． ⎧ y 2 = 4x解法二 设抛物线的焦点为 F ， A (x , y ) ， B (x , y ) ，则⎨11，1122所以 y 2 - y 2 = 4(x - x ) ，则k =y 1 - y 2 =4 ，⎩ y 2 = 4x 1 21 2x - xy + y1212取 AB 的中点 M '(x 0 , y 0 ) ，分别过点 A ，B 做准线 x = -1 的垂线，垂足分别为 A ' ，B ' ， 又∠MB = 90o，点 M 在准线 x = -1 上，2 2 2 2 6 所以| MM ' |= 1 | AB |= 1 (| AF | + | BF |) = 1(| AA ' | + | BB ' |) ．2 2 2又 M ' 为 AB 的中点，所以 MM ' 平行于 x 轴，且 y 0 = 1 ，所以 y 1 + y 2 = 2 ， 所以k = 2 ．16．6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x 轴交于点 F' ，作 MB ⊥ l 与点 B ， NA ⊥ l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为 x = -2 ，则AN = 2, FF' = 4 ，在直角梯形 ANFF' 中，中位线 BM =AN + FF ' = 3，由抛物线的2定义有： MF = MB = 3 ，结合题意，有 MN = MF = 3 ，故 FN = FMN M= 3 + 3 = 6 ．17． 2 【解析】 y 2= 2 px 的准线方程为 x =-p ，又 p > 0 ，所以 x =-p必经过双曲线 x 2- y 2= 1的左焦点(-2 22, 0) ，所以- p= - ， p = 2 ． 218．1+ 2 【解析】由正方形的定义可知 BC = CD ，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以| AD |= p = a ，D ( p, 0) ，F ( p+ b , b ) ，将点 F 的坐标代入抛物线的方程2 2 得b 2= 2 p ( p + b ) = a 2 + 2ab ，变形得 b 2 - 2b -1 = 0 ，( )2aabbb解得 = 1+ a 2 或 = 1- （舍去），所以 a a= 1+ 2 ．19．2， x = -1 【解析】 p = 1, p = 2 ；准线 x = - p= -1 ．2 220． 2 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为(0, 0) ，设抛物线的方程为x 2 = -2 p y ， l 与抛物线的交点为 A 、 B ，根据题意知 A (-2, -2) ， B (2, -2) 则有- 2 = a ⨯ (- 2)2，∴ a = - 1A B y NM F'OF26 22∴抛物线的解析式为 y = - 1x22水位下降 1 米，则 y = -3 ，此时有 x =或 x = -∴此时水面宽为2 米．21 3p 的值为，B 点坐标为（2，1 ）．【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 443 所以点 B 到抛物线准线的距离为2 ．422．【解析】(1)因为抛物线 y 2= 2 px 经过点 P (1, 2) ，所以4 = 2 p ，解得 p = 2 ，所以抛物线的方程为 y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为 0，设直线l 的方程为 y = kx +1 （ k ≠ 0 ）．⎧ y 2 = 4x 由⎨ ⎩y = kx +1 得k 2 x 2 + (2k - 4)x +1 = 0 ．依题意∆ = (2k - 4)2- 4 ⨯ k 2⨯1 > 0 ，解得k < 0 或0 < k <1． 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线l 不过点(1, -2) ．从而k ≠ -3 ． 所以直线l 斜率的取值范围是(-∞, -3) U(-3, 0) U (0,1) ．(2)设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ．2k - 41由(1)知 x 1 + x 2 = -k 2 ， x 1x 2 = k2 ．直线 PA 的方程为 y - 2 = y 1 - 2(x -1) ．x 1 -1 令 x = 0 ，得点 M 的纵坐标为 y = - y 1 + 2 + 2 = -kx 1 +1 + 2 ． Mx -1 x -1同理得点 N 的纵坐标为 y1 1=-kx 2 +1 + 2 ．x 2 -1由QM =λQO ， QN =μQO 得λ =1- y M ， μ = 1- y N ．6 6N1 1 =所以 λ + μ =1 1- y M + 1 1- y N = x 1 -1 (k -1)x 1 + x2 -1 (k -1)x 2 = 1 k -1 ⋅ 2x 1x 2 - (x 1 + x 2 )x 1x 2= 1 k -12 ⋅ k 2 +2k - 4k 2 1 k 2=2 ． 所以 1 + 1为定值．λ μ23．【解析】(1)由题意得 F (1, 0) ， l 的方程为 y = k (x -1)(k >0) ． 设 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，⎧ y = k (x -1), 由⎨ 得k 2 x 2 - (2k 2 + 4)x + k 2= 0 ．⎩ y 2= 4x∆ = 16k 2+16 > 0 ，故 x + x 2k 2 + 4．1 2k 2所以| AB |=| AF | + | BF |= (x 1 +1) + (x 2 +1) =4k 2 + 4．k 2由题设知 4k 2+ 4 k2= 8 ，解得k = -1 （舍去）， k = 1 ．因此l 的方程为 y = x -1．(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3, 2) ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y - 2 = -(x - 3) ， 即 y = -x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为(x 0 , y 0 ) ，则⎧ y 0 = -x 0 + 5,⎪⎧x 0= 3,⎧x 0= 11, ⎨ ( y - x +1)2解得⎨ 或⎨ ⎪(x +1)2 = 0 0+16. ⎩ y 0 = 2 ⎩ y 0 = -6. ⎩ 02因此所求圆的方程为(x - 3)2+ ( y - 2)2= 16 或(x -11)2+ ( y + 6)2= 144 ．y 2 y 224．【解析】(1)设 P (x 0 , y 0 ) ， A ( 1, y 1 ) ， B ( 2 , y 2 ) ．4 4因为 PA ， PB 的中点在抛物线上，所以 y 1 ， y 2 为方程2( y 2 - 4x ) 0 03 2 ⎩ 1 2 1 2 1 21y 2+ x( y 1 + y 0)2= 4 ⋅ 4y 2 - 2 y y8x - y 2 = 0 22所以 y 1 + y 2 = 2 y 0 ．即 10 1的两个不同的实数根．因此， PM 垂直于 y 轴．⎧ y 1 + y 2 = 2 y 0(2)由(1)可知⎨ y y = 8x - y 2⎩ 1 2 0 0 所以| PM |= 1 ( y 2 + y 2 ) - x = 3 y 2- 3x ， | y - y |= 2 ．8 1 2 0 40 0 1 2 1 3因此， ∆PAB 的面积 S = | PM | ⋅ | y - y |= ( y 2 - 4x )2 ．∆PAB21 240 0y 2 因为 x 2+ 0= 1 (x < 0) ，所以 y 2 - 4x = -4x 2 - 4x + 4 ∈[4, 5] ．4因此， ∆PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10]． 425．【解析】（1）设 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 ) ， l ： x = ym + 2⎧x = my + 2 由 可得 y 2- 2my - 4 = 0 ，则 y y = -4⎨ y 2= 2x1 2y 2 y 2( y y )2又 x = 1， x = 2，故 x x = 1 2 =41 2 2 2 1 24因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1 ⋅ y 2 = -4=-1，所以OA ⊥ OB ．故坐标原点O 在圆 M 上．x 1 x 2 4（2）由（1）可得 y +y =2m ， x +x =m ( y +y )+4=2m 2 + 4 故圆心 M 的坐标为(m 2+2，m )，圆 M 的半径 r = 由于圆 M 过点 P (4, -2) ，因此 AP g BP = 0 ， 故(x 1 - 4)(x 2 - 4)+ ( y 1 + 2)( y 2 + 2) = 0 即 x 1 x 2 - 4 (x 1 +x 2 ) + y 1 y 2 + 2( y 1 + y 2 )+ 20= 0 (m2+ 2)2+ m 2k 2+185 9 1 85 ⎪ 由（1）可得 y 1 y 2 =-4 ， x 1 x 2 =4 ．所以2m 2- m -1 = 0 ，解得m = 1 或m =- 1．2当 m = 1时，直线l 的方程为 x - y - 2 = 0 ，圆心 M 的坐标为(3,1) ，圆 M 的半径为，圆 M 的方程为(x - 3)2 + ( y -1)2= 10当 m =- 1 时，直线l 的方程为2x + y - 4 = 0 ，圆心 M 的坐标为( 9 , - 1) ，圆M 的半242径为 ，圆 M 的方程为(x - )2 + ( y + )2 = ． 4421626．【解析】（Ⅰ）设直线 AP 的斜率为k ，x 2 - 1k = 4 = x - 1，x + 1 2 2 因为- 1 < x < 3，所以直线 AP 斜率的取值范围是(-1,1) 。