专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案

4 13 2 y ⎨

1

专题九

解析几何

第二十八讲 抛物线

答案部分

2019 年

⎛ p ⎫2

1．D

解析 由题意可得： 3 p - p = ⎪ ⎝ ⎭

，解得 p = 8 ．故选 D ．

2.解析（I ）由抛物线C : x 2 = -2 py 经过点

(2, -1) ，得 p = 2 .

所以抛物线 C 的方程为 x 2 = -4 y ，其准线方程为 y = 1. 3

3.解析 设直线l : y = x + t , A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2 ) ．

2

（1）由题设得 F ⎛ 3 ,0 ⎫

，故| AF | + | BF |= x + x

+ 3 ，由题设可得 x + x = 5 ．

4 ⎪ 1 2 2 1 2 2

⎝ ⎭

⎧ y = 3 x + t

12(t -1) 由⎪ 2 ，可得9x 2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0 ，则 x + x = - ．

⎨ ⎪⎩ y

2 = 3x 1 2

9

从而- 12(t -1) = 5 ，得t =- 7 ．所以l 的方程为 y = 3 x - 7 ．

9 2 8 2 8

（2）由 AP = 3PB 可得 y 1 = -3y 2 ．

⎧

y = 3

x + t

由⎪

2

，可得 y 2

- 2 y + 2t = 0 ．

⎪⎩ y 2 = 3x

所以 y 1 + y 2 = 2 ．从而-3y 2 + y 2 = 2 ，故 y 2 = -1, y 1 = 3 ．

代入C 的方程得 x = 3, x = 1

．故| AB |= ．

1 2

3

3

4．解析（1）设 D ⎛

t , -

1 ⎫

,

A (x , y )，则 x 2 = 2 y .

2 ⎪ 1 1 1 1

⎝

⎭

由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x ，故 1 + 1 2 = x

，整理得2 tx

- 2 y +1=0.

1

1

1

x 1 - t

1+ t 2 t 2 +1

t 2 +1

1 2 设

B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 .

故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 .

所以直线AB 过定点(0, 1

) .

2

（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1

.

2

⎧

y = tx + 1 ⎪ 由⎨ 2

⎪ y = x ⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2 - 2tx -1 = 0 .

于 是

x + x = 2t , x x = -1, y + y = t (x + x )+1 = 2t 2

+1， 1

2

1 2

1

2

1

2

| AB |= x - x = ⨯ = 2 (t 2

+1).

设 d , d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d = t 2

+1, d =

2 .

1

2

1

2

因此，四边形ADBE 的面积

S = 1

| AB | (d + d ) = (t 2 + 3)

.

2

1 2

设M 为线段AB 的中点，则 M ⎛ t , t 2

+

1 ⎫

.

2 ⎪ ⎝ ⎭

由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (

t , t 2

- 2)

， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (

t 2

- 2)

t = 0 .解得 t =0或t = ±1.

当t =0时，S =3；当t = ±1时， S = 4 2 .

因此，四边形ADBE 的面积为3或4 .

2010-2018 年

1+ t 2 ( x + x - 4x x 1 2 ) 2

1 2 2

⎨ 1 1 1

k k 2 k = + + = + + ⎨

1．D 【解析】通解 过点(-2, 0) 且斜率为 2 的直线的方程为 y = 2

(x + 2) ，

3

⎧

y = 2

(x + 2)

3

⎧ x = 1

⎧ x = 4 由⎪ 3

，得 x 2

- 5x + 4 = 0 ，解得 x = 1 或 x = 4 ，所以 ⎨

y = 2 ，或⎨

y = 4

，

⎪⎩ y 2 = 4x

⎩

⎩

不妨设 M (1, 2) ， N (4, 4) ， 易知 F (1, 0) ， 所以 FM = (0, 2) ， FN = (3, 4) ，所以

FM ⋅ FN = 8 ．故选 D ．

2

2 ⎧ y = 2

(x + 2)

优解 过点(-2, 0) 且斜率为 3 的直线的方程为 y = (x + 2) ，由

⎪

3 ，得

3

x 2 - 5x + 4 = 0 ，设 M (x , y ) ， N (x , y ) ，则 y > 0 ， y ⎪⎩ y 2 = 4x

> 0 ，根据根与系数的关

1

1

2

2

1

2

系，得 x 1 + x 2 = 5 ，x 1 x 2 = 4 ．易知 F (1, 0) ，所以 FM = (x 1 -1, y 1 ) ，FN = (x 2 -1, y 2 ) ， 所以 FM ⋅ FN = (x 1 -1)(x 2 -1) + y 1 y 2 = x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) +1+

= 4 - 5 +1+

8 = 8 ．故选 D ．

2．A 【解析】由已知l 1 垂直于 x 轴是不符合题意，所以l 1 的斜率存在设为k 1 ，l 2 的斜率为k 2 ，

由题意有k 1 ⋅ k 2 = -1 ，设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， D (x 3 , y 3 ) ， E (x 4 , y 4 ) 此时直线l 1 方程为 y = k 1 (x -1) ，

⎧ y 2 = 4x

取方程⎨ ⎩ y = k 1 (x -1)

，得k 2 x 2 - 2k 2 x - 4x + k 2

= 0 ，

-2k 2 - 4 2k 2 + 4

∴ x 1 + x 2 = - 1 = 1

同理得 2 2 1 1

2k 2 + 4

x 3 + x 4

= 2

2

由抛物线定义可知| AB | + | DE |= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 2 p

2k 2 + 4 2k 2 + 4 4 4

1 2 4 8≥ 8 = 16 k 2 k 2 k 2 k 2

1 2 1 2