(完整版)平方差公式题型总结

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平方差公式典型易错题

平方差公式典型易错题摘要：1.平方差公式的概念及应用2.典型易错题分析3.解题技巧与策略4.实战演练正文：在我们的数学学习中，平方差公式是一个基础且重要的知识点。

它不仅应用于各种数学题目，更是解决许多复杂问题的重要工具。

然而，许多学生在运用平方差公式时，容易出现一些典型错误。

本文将针对这些典型易错题进行分析，并提供一些解题技巧与策略，帮助大家更好地掌握平方差公式。

首先，我们来回顾一下平方差公式的概念。

平方差公式是指两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。

用数学公式表示为：a - b = (a + b)(a - b)。

掌握这个公式，我们能轻松地解决许多有关平方差的问题。

接下来，我们来看一些典型易错题。

易错题1：求解下列等式a - 4 = 0许多同学会直接将平方差公式应用于此类题目，试图求解(a + 2)(a - 2) = 0。

然而，这类题目并不适合直接使用平方差公式。

正确的解法是先将4变为2，然后运用平方差公式，得到：a - 4 = a - 2 = (a + 2)(a - 2) = 0易错题2：求下列多项式的值f(x) = x - 9有些同学在求解此类题目时，会误将f(x) = x - 9视为平方差公式的形式，试图求解(x + 3)(x - 3) = 0。

实际上，这是一个完全平方公式的形式，正确的解法是：f(x) = x - 9 = (x + 3)(x - 3) = (x + 3) - 9为了解决这类题目，我们需要掌握解题技巧与策略。

1.仔细审题，正确识别题目类型，判断是否适合使用平方差公式。

2.在解题过程中，注意化简和变形，使题目更接近平方差公式的形式。

3.熟练掌握平方差公式的应用，特别是在解决实际问题时，能迅速找到解题思路。

最后，我们通过实战演练来巩固所学知识。

实战演练：求解下列等式a - 5a + 6 = 0解：首先，我们尝试将此等式化为平方差公式的形式。

通过观察，我们可以将6变为2，然后应用平方差公式：a - 5a + 6 = a - 2 + (2 × 3)a - 2 × 3 = (a - 2)(a - 3) = 0因此，a = 2，a = 3。

初中数学完全平方公式和平方差公式公式法

例3.知二求一 x+y x-y x2+y2 xy
②若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
解：1 x y 3,
(x 2)(y 2) 12， xy 2x 2y 4 12， xy 2(x y) 8，
xy 2
2 x y 3，xy 2，
例4.整体带入
已知x y 6，x2 y2 24求代数式5x 3y的值
解答： x2 y2 24，x y 6， x y 4，
即xx
y y
6 4
解得：xy
5 1
5x 3y 28.
(3)(m+n)2=(m−n)2+4mn.
(4)(a−b)2=(a+b)2−4ab=29.
例6.辨公式要使4x2+12x+m成为一个完全平方式，则m的值是__9_________ 若9x2+mx+4为完全平方式，则m=___+_1_2_________
三、平方差公式题型
例1.基本运算及变式
计算：（1）（3x+2）（3x-2）解原式=9x2-4
∵(5a+3b)2=(5a−3b)2+A ∴A=(5a+3b)2−(5a−3b)2
=(5a+3b+5a−3b)(5a+3b−5a+3b) =60ab，
例3.知二求一
x+y x-y x2+y2 xy
①已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值
解∵(x-y)2 +(x2 +y2 )=2xy ∴1+25=2xy ∴xy 13

第一章第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)(解析版)

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01 平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.　即(a +b )(a -b )=a ²-b ² 公式的几种变化：①位置变化：（b +a )（-b +a ）=(a +b )(a -b )=a ²-b ²；（-a -b ）(a -b )=(-b -a )(-b +a )=(-b +a )(-b -a )=(-b )²-a ²=b ²-a ²②系数变化：（2a +3b ）(2a -3b )=(2a )²-(3b )²=4a ²-9b ²③指数变化：（a ²+b ²）(a ²-b ²)=（a ²）²-（b ²）²=44a b -④增项变化：（a -b -c ）(a -b +c )=(a -b )²-c ²⑤连用公式变化：（a +b ）(a -b )(a ²+b ²)=（a ²-b ²）(a ²+b ²)=（a ²）²-（b ²）²=44a b -⑥公式逆运算：a ²-b ² =(a +b )(a -b )知识点02 完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和 (a +b )²=a ²+2ab +b ² 完全平方差 (a -b )²=a ²-2ab +b ² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ； ③(a +b )²=(a -b )²+4ab ； ④ (a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab 知识点03 平方差和完全平方差区别　平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式： (a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01 判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-【答案】D【详解】解：A 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；B 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；C 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；D 、能使用平方差公式，故本选项符合题意；故选：D2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---【答案】B【详解】解：A 、()()22x y x y -+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；B 、()()()()x y x y x y x y -+-=---，不能用平方差公式进行计算，符合题意；C 、()()b a b a -+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；D 、()()()()x y y x x y x y ---=--+，能用平方差公式进行计算，不符合题意；故选B ．题型02 运用平方差公式进行运算.（5）解：()()22x y y x x y +-+=-．【变式训练】题型03 利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502´ (2)2202220232021-´【答案】(1)249996(2)1【分析】（1）根据()()49850250025002´=-´+，利用平方差公式计算即可得；（2）根据()()2220222023202120222022120221-´=-+´-，利用平方差公式计算即可得．【详解】（1）解：原式()()50025002=-´+225002=-2500004=-249996=．（2）解：原式()()220222022120221=-+´-()222202220221=--22202220221=-+1=．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键．【变式训练】题型04 平方差公式与几何图形.(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-故答案为：()()22a b a b a b =--´+；（3）①2268.531.5-()()68.531.568.531.5=-´+37100=´3700=；②∵42m n +=，∴()()()222212121m m n n --+++-()()()()1121212121m m m m n n n n =+-++++-+++-218m n=++()241m n =++221=´+5=．【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011´+；（4）计算：22222111111111123420232024æöæöæöæöæö-´-´-´´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ．【答案】（1）22a b -；（2）()()22a b a b a b +-=-；（3）250000；(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）A ．()2a ab a a b +=+ B ．2a b -(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2题型05 运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【答案】(1)222222x y z xy xz yz +++++(2)22469x y y -+-【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知()()()222222a b a ab b a b a b a b +=++-+=-，是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把()3y -看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式()()222x y z x y z =++++222222x y z xy xz yz =+++++；（2）解：原式()()2323x y x y =+---éùéùëûëû()2243x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．【答案】(1)229144y y x x ++(2)22254016b ab a -+(3)2244m mn n -+(4)224129x xy y ---【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；【详解】（1）解： ()()2222272771449x y x x y y x xy y +=+××+=++；（2）解：()()()()222222455452544254016a b b a b b a a b ab a -+=-=-××+=-+；（3）解：()()()2222222222244m n m n m m n n m mn n --=+=+××+=-+；（4）解：()()2323x y x y +--()223x y =-+()()2222233x x y y éù=-+×+ëû()224129x xy y =-++224129x xy y =---．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．【答案】(1)22244x y yz z -+-(2)2222520304129a ab ac b bc c +-+-+(3)222252092412a ac b bc c +-+-【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案；（2）两次利用完全平方公式计算即可得答案；（3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案．【详解】（1）解：()()22x y z x y z +--+()()22x y z x y z éùéù=+---ëûëû()222x y z =--()22244x y yz z =--+22244x y yz z =-+-．（2）解：()2523a b c +-()2523a b c éù=+-ëû()()()225225233a b a b c c =+-+×+()2222520230129a ab b ac bc c =++--+2222520304129a ab ac b bc c =+-+-+．（3）(532)(536)a b c a b c +--+.()()()()52345234a c b c a c b c éùéù=++-+--ëûëû()()225234a c b c =+--22222520492416a ac c b bc c =++-+-222252092412a ac b bc c =+-+-．【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创造条件套用公式．题型06 利用完全平方公式进行简便运算1．用简便算法计算(1)2201720162018-´ (2)2220220219698´++【详解】（1）解：原式()()220172017120171=--+()222201720171=--22201720171=-+1=．（2）解：原式2220222029898=+´´+()220298=+2300=90000=题型07 通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【答案】(1)5(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算．（1）根据公式()2222a b a ab b +=++变形计算即可．（2）根据公式()2222a b a ab b -=-+计算即可．【详解】（1）解：∵3a b +=-，2ab =，∴()29a b +=，()2222a b a ab b +=++，∴22922a b =+´+，解得225a b +=．（2）解：∵225a b +=，2ab =，∴()2222a b a ab b -=-+，∴()2222541a b a ab b -=-+=-=．【变式训练】19=．题型08 求完全平方式中的字母系数题型09 完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +³，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++³，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【答案】(1)2，11(2)3，大，6-(3)14-【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；（2）将等式右边配方后即可确定当x 取何值时能取到最小值；（3）首先得到有关x y +的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可．【详解】（1）解：∵()22415211x x x +-+-=，∴当2x =时，有最小值11；故答案为：2，11；（2）解：∵()2261536y x x x =-+-=---，∴当3x =时有最大值6-；故答案为：3，大，6-；（3）解：∵25100x x y -+++=，∴()22410214x y x x x =-=--+-，∵()220x -³，∴()221414x --³-，∴当2x =时，y x +的最小值为14-．【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解：Q ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，Q ()220x +³，\()2299x +-³-，\当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，仿照以上方法，完成下列问题：(1)求代数式232023x x -+的最小值；(2)求代数式223x x -++的最大值.(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；②由①可知：2221002(25)1250x x x -+=--+，Q 当25x =时，100250100x -=<，且22(25)0x --£，\当25x =时，花圃的最大面积为1250平方米．题型10 完全平方公式在几何图形中的应用(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a 、b 的关系式：图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若8x y +=，2240x y +=，则()2x y -= ；(3)如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设【详解】（1）解：8x y +=Q(1)利用正方形ABCD 面积的不同表示方法，直接写出是；(2)若m 满足()()22202420234047m m -+-=，请利用（(3)若将正方形EFGH 的边FG 、GH 分别与图①中的求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）【详解】（1）2222a b a b ab+=++（）则()()20242023m m ab --= ，1a b +=，由已知得：224047a b +=()2222a b a b ab +++＝，∴2140472ab =+，∴2023ab =-，∴()()202420232023m m --=-（3）设正方形EFGH 的边长为x ，则8PG x =-，32NG x =-，∵2APGM PBNG CQGNS S S S +=+阴正方形长方形正方形∴()()()()228283232S x x x x =-+--+-阴∵()2222a b a b ab+++＝∴()()2283224576S x x =-+-==éùëû阴一、单选题1．（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（）A ．()()x y y x ++B ．()()x y x y ---+C ．()()x y x y --+D ．()()x y y x --【答案】B【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解．【详解】解：A 、()()()2x y y x x y +++=，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B 、()()()()x y x y x y x y =---++-，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、()()x y x y --+，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、()()x y y x --，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：B 2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列式子：①22)()x y x y +=--（；②()()22x y y x -=- ； ③22()()x y x y x y ---+=-，其中正确的是（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．【详解】解：由图2可得()2222222a b c a b c ab bc ac++=+++++∵22245,38a b c ab bc ac ++=++=，∴()()2222245238121a b a b c b c a bc ac ++=++´++++==，又∵0a b c ++>∴11a b c ++=故选为：B ．二、填空题【答案】()()22a b a b a b -=-+【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为2a -三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -×．【答案】(1)2216249x xy y -+(2)2221x xy y ++-(3)21210xy y +(4)58x y -【分析】本题考查的是整式的混合运算．（1）利用完全平方公式计算即可求解；（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；（4）先乘方，再计算乘法．【详解】（1）解：()2224316249x x y xy y =-+-；（2）解：()()11x y x y +++-()21x y =+-2221x xy y =++-；（3）解：()()()22322x y x y x y +-+-x xy y x y 222212944=-+++21210xy y =+；（4）解：()()325x y xy -×()2533x y x y =-×58x y =-．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+(4)()()()()()2222a b a b a b a b a b +---++【答案】(1)224n m -(2)2269x xy y -+(3)20018(4)22422a b b -+【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用完全平方公式求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可．【详解】（1）()()22m n m n ---()()222n m =--224n m =-；（2）()23x y -+2269x xy y +=-；（3）2210397+()()2210031003=++-100006009100006009=+++-+20018=；（4）()()()()()2222a b a b a b a b a b+---++()()()()22222a b a b a b a b =+---+éùëû()()22244a b a b =---4224442a a b b a b =-+-+(1)设图1中阴影部分的面积为S的代数式表示，只需表示，不必化简）(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()448212121=-´+´+()()882121=-´+1621=-．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．【答案】(1)222()2a b a b ab +=++；(2)需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张；(3)①ab 的值为7；②20223x -=±．【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）大正方形的面积直接求和间接求，得到等式即可；（2）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后即可判断；（3）①利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算即可求出答案；②令2022a x =-，则有20231,20211x a x a -=+-=-，代入化简求值即可．【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：2()a b +，或表示为：222a b ab ++；因此有222()2a b a b ab +=++；（2）解：Q ()()222222232a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，\需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张，（3）解：①222()2a b a b ab +=++Q ，5a b +=，2211a b +=，25112ab \=+，7ab \=，即ab 的值为7；。

平方公式考点总结及练习

平方差公式及完全平方公式一、知识点讲解（一）平方差公式：1、概念及公式推导：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

()()b a b a b a 22-=-+2、公式特点：（1）左边的两个二项式中，其中一项（a ）完全相同，另一项（b 和b -）互为相反数（2）右边是相同项的平方减去符号相反项的平方（3）公式中的b a ,可以是具体数字，也可以是单项式或多项式3、变形归纳：（1）位置变化 ()()()()b a b a b a a b a b 22-=-+=++-（2）符号变化 ()()()b a b a b a b a 2222-=-=--+--（3）系数变化 ()()()()yx x x y x y x 943222223232-=-=-+（4）指数变化()()()()n m n m n m n m 4622232323-=-=-+（5）增项变化 ()()()c b a c b a c b a 22-=-++++（6）增因式变化()()()()()()b a b a b a b a b a b a 2222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+---- （7）连用公式变化()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 8844444422224422-=+-=++-=++-+例1、计算：（1）()()b a b a 2323-+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222x x（4）()()12001200-+ （4）()()z y x z y x -+++（二）完全平方公式1、概念及公式推导：两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数的积的两倍。

()()bab a b a b ab a b a 22222222+-=++=-+2、公式特点：（1）只有一个符号不同（2）公式中的b a ,可以是数，也可以是单项式或多项式（3）注意()b a ab 222=与(),2222b ab a b a ++=+()b a b a 222+=+（是错误的做法）3、变形归纳：（1）()ab b a b a 2222-=++（2）()ab b a b a 2222+=+-（3）()()b a b a ab 2222+-=+（4）()()b a b a ab --+=2222（5）()()ab b a b a 422+=-+ （6）()()ab b a b a 422-=+-例2、化简：（1）()b a +32（2）()y x 32+-（4）()n m --2（4）()()c b c b --+例3、已知：.3,4-==-ab b a 求（1）b a 22+ （2）()b a +2二、题型剖析题型一平方差公式及完全平方公式的运用例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a 313122 （2）6.94.10⨯（2）()()()3932++-x x x （4）()()a b b a ---33（5）()()z y x z y x 3232-++- （6）()c b a ++22（7）()()y x y x 323222+-题型二利用公式简化计算例2、计算：（1）2016220172015-⨯ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛601602（3）8.92 （4）29930122+题型三推广公式的逆用例3、计算：（1）()()z y x z x y 3232-----（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2016432222211111111题型四与完全平方公式有关的开放题例4、多项式192+x 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是例5、（1）求代数式的322++m m 的最小值（2）求代数式4332++-m m 的最大值题型五解决实际问题例6、某住宅小区的花园，起初被设计成边长为a m 的正方形，后应道路的原因，设计修改为北边往南平移2.5m ，而东边往东平移2.5m ，则修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？巩固提升1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2； ③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（）A ．5B ．6C ．－6D ．－5 5.（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 6．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 7．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．9.下列展开结果是n m mn 222--的式子是（） A. ()n m +2B.()n m +-2B. ()n m --2D.()n m +-210.下列计算：①()b a b a 222+=+ ②()b a b a 222-=-③()b ab a b a 2222+-=- ④()bab a b a 2222+----=.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个11. 小明在做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了x 21+x ，看不清x 前面的数字是什么，只知道这个二次三项式能配成一个完全平方式，这个被墨水污染了的数字是12.计算（1）2023×2113．（2）（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（3）9.1992 （4）7655.0469.27655.02345.122⨯++（5）2012（6）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－40163212. 已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值13. 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

知识点059 平方差公式(解答)

1、化简：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]考点：平方差公式；完全平方公式。

分析：把（a+b）看成一个整体，利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式计算后化简即可．解答：解：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]，=（a+b）2﹣c2﹣（a﹣b）2﹣4ab，=（a+b）2﹣（a﹣b）2﹣4ab﹣c2，=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2﹣c2，=﹣c2．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题关键，要把（a+b）看成一个整体，计算时要注意运算符号的处理．2、（1）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．根据上面的规律，得（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+229+230的值．考点：平方差公式。

专题：阅读型；规律型。

分析：仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数加1，根据此规律就可求出本题．解答：解：（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（2）1+2+22+23+24+…+229+230=（2﹣1）（1+2+22+23+24++229+230）=231﹣1．点评：本题主要锻炼学生从已知的题中找规律．所以学生平时要注意培养自己的总结概括能力．3、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=考点：平方差公式。

分析：利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．解答：解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），=××××××…××××，=×，=．点评：本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．4、计算：（1）﹣3m（2m+n﹣1）；（2）（3x﹣2）（x+4）；（3）（x+y﹣2）（x+y+2）．考点：平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式。

第二讲平方差公式

第二讲：平方差公式一、知识总结()()b a b a b a -+=-22平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。

适合分解的多项式：（1）只有两项；（2）符号相反；（3）两项均能写成整体的平方。

口诀要领：系数能平方，指数要成双，减号在中央。

注意：公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解，能提取公因式的要先提取公因式，并且要进行到不能分解为止。

二、常见题型例1、分解因式（1）a 2-16 （2）64-b 2 （3）－y 2 +4x 2变式1-1、（1）a 2－91b 2 （2）2199a -+= （3） x 2－16y 2例2、把下列各式分解因式：（提高）（1）22916b a - （2）22)(4)(9b a b a --+（3）22)()(q x p x +-+ （4）)(6)(322n m n m m --+变式2-1、（1）x x 663- （2）)1()(23---x x x（3）22()()a b c a b c ++-+- （4）22(2)16(1)a a -++-变式2-2、（1）416a - （2）2394xy x -（3）()()x y n y x m 161622-+- （4）4m 2(2x –3y) 2–m 2(3x –2y) 2例3、利用因式分解计算22872131-）（ 49200722-）（299-100003）（433.1922.1422⨯-⨯）（变式3-1、（1）22200120031001- （2）22221628452152--。

变式3-2、（1）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101)例4、（公式的应用）如图，求圆环形绿地的面积。

402440222012201112106586434221222222222+-+++-++-++- ）（变式4-1、如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm 的小正方形，求剩余部分的面积。

(完整版)实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)

③（ 3－ x）（ x+3） =x 2－ 9；④（－ x+y ） ·（ x+y ） =－（ x － y）（ x+y ） =－ x2－ y 2．
A． 1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．若 x2－ y2=30 ，且 x － y= － 5，则 x+y 的值是（）
A．5 二、填空题
B．6
C．－ 6
D ．－ 5
其中 x=1.5
1．平方差公式（ a+b）（a－ b） =a2－ b2 中字母 a， b 表示（）
A ．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式 D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
(3) (2a b) 2
(2a b)(a b) 2(a
2b )( a
2b) ，其中 a
较小的正方形的面积，差是 _____．
三、计算题
- 2-
9．利用平方差公式计算： 20 2 ×21 1 ． 33
10．计算：（ a+2）（ a2+4）（ a4+16）（ a－2）．
二、提高题
1．计算：（ 1）（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1） … （22n+1） +1 （ n 是正整数）；
2、已知 (a b)2 16, ab 4, 求 a2 b2 与 (a b)2 的值。 3
- 3-
练一练 1 ．已知 (a b) 5, ab 3 求 (a b)2 与 3(a2 b2) 的值。 2 ．已知 a b 6, a b 4 求 ab 与 a2 b2 的值。
3、已知 a b 4, a2 b2 4 求 a2b 2 与 (a b)2 的值。

专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-

专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。

注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。

②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。

特别需要注意“-”的处理。

类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。

(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结

乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2z222⑦连用公式变化，x y x y x y2222x y x y44x y⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz完整平方公式活用: 把公式自己适合变形后再用于解题。

这里以完整平方公式为例，经过变形或从头组合，可得以下几个比较实用的派生公式：1. a22ab a2b2 b2. a22ab a2b2 b3. a2a22 a 2b2b b4. a2a24ab b b灵巧运用这些公式，常常能够办理一些特别的计算问题，培育综合运用知识的能力。

例 1．已知a b 2 ， ab 1，求a2b2的值。

例 2．已知a b 8， ab2，求 (a b)2的值。

解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3已知 a b4， ab5，求 a2b2的值。

解：2222a ab ab425262三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特色，认清公式中的“两数”．例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)剖析：本题两个因式中“-5 ”同样，“2x2”符号相反，因此“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b．例 2 计算 (- a2+4b) 2剖析：运用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b．（解略）（二）、注意为使用公式创建条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) ．剖析：粗看不可以运用公式计算，但注意察看，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因此，可运用添括号的技巧使原式变形为切合平方差公式的形式．例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) ．剖析：本题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推行计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推行获得：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y．（四）、注意公式的变换，灵巧运用变形公式例 7 已知：x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2的值．例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2剖析：本题能够利用乘法公式和多项式的乘法睁开后计算，但逆用完整平方公式，则运算更为简易．四、如何娴熟运用公式：熟习常有的几种变化有些题目常常与公式的标准形式不相一致或不可以直接用公式计算，此时要依据公式特色，合理调整变化，使其知足公式特色．常有的几种变化是：1、地点变化如（3x+5y）（5y－3x）互换3x和5y的地点后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变成－（2m+7n）（2m －7n）后即可用平方差公式求解了（思虑：不变或不这样变，能够吗？）3、数字变化如 98×102，992，912平分别变成（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后即可以用乘法公式加以解答了．4、系数变化如（ 4m+ n）（2m－n）变成2（2m+ n）（2m－n）2444后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵巧运用有些题目常常可用不一样的公式来解，此时要选择最适合的公式以使计算更简易．如计算（ a2+1）2·（a2－1）2，若分别睁开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法例后再进一步计算，则特别简易．即原式 =[ （a2+1）（a2－1）]2=（a4－1） 2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－1）（1－1）（1－1）（ 1223242－192）（1－1102），若分别算出各因式的值后再行相乘，不单计算繁难，并且简单犯错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则碰巧解本题．即原式 =（1－1）（1+1）（1－1）（1+ 1）× ×（ 1－1）（1+ 1）22331010 = 1× 3× 2× 4× × 9×11= 1× 11= 11．2233101021020有时有些问题不可以直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有： a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解相关问题常能收到事半功倍之效．2222如已知 m+n=7，mn=－18，求 m+n，m－mn+ n 的值．面对这样的问题即可用上述变式来解，2222即 m+n =（m+n）－2mn=7－2×（－ 18）=49+36=85，2222m－mn+ n= （m+n）－3mn=7－3×（－ 18） =103．以下各题，难不倒你吧？！1、若a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12，（2）（a－1）2的值．a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案： 1. （1）23；（2） 21．2. 6）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a ＋b)(a －b)=a 2－b2，(a ±b)=a 2±2ab＋b2，(a ±b)(a 2±ab＋b2)=a 3±b3．第一层次──正用即依据所求式的特色，模拟公式进行直接、简单的套用．例1计算( － 2x－y)(2x －y) ．．第二层次──逆用，马上这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：依据待求式的构造特色，探访规律，连续频频使用乘法公式；有时依据需要创建条件，灵巧应用公式．例 3 化简： (2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1．剖析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，假如再增加一个因式“ 2－1”即可连续应用平方差公式，从而问题水到渠成．解原式 =(2 －1)(2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=(2 2－1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能娴熟地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a ＋b) 2－2ab，a3＋b3=(a ＋b) 3－3ab(a ＋b) 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a＋b=9，ab=14，求 2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴ 2a2＋2b2 =2[(a ＋b) 2－2ab]=2(9 2－2·14)=106 ，第五层次──综合后用：将 (a ＋ b) 2=a2＋ 2ab＋ b2和(a －b) 2 =a2－2ab＋ b2综合，可得 (a ＋b) 2＋(a － b) 2=2(a 2＋b2 ) ；(a ＋b) 2－(a －b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式办理某些问题显得新奇、简捷．例 6 计算： (2x ＋y－z＋5)(2x －y＋z＋5) ．解：原式= 1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x ＋5) 2－(y － z) 2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz －z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：关于含负号许多的因式，往常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。

平方差公式的题

平方差公式的题平方差公式，这可是咱数学学习里的一个重要家伙！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开好多数学难题的大门。

先来说说啥是平方差公式哈。

平方差公式就是：(a+b)(a - b) = a² - b²。

这看起来挺简单，对吧？可别小瞧它，运用起来那可是相当厉害。

就说我前段时间辅导我小侄子做作业的时候，就碰到了这么一道题：计算(5 + 3x)(5 - 3x) 。

这小家伙一开始抓耳挠腮，完全没头绪。

我就跟他说，咱可以用平方差公式啊！把 5 看作 a ，3x 看作 b ，那这不就是(a + b)(a - b) 的形式嘛！套上公式，就是 5² - (3x)²，算出来就是 25 -9x²。

小家伙一下子恍然大悟，眼睛都亮了，那表情别提多有趣。

再比如，有这么一道题：(101×99) 。

要是直接算，那可麻烦了。

但有了平方差公式，咱们可以把 101 看成 100 + 1 ，99 看成 100 - 1 ，这样就变成了 (100 + 1)(100 - 1) ，用公式一算，就是 100² - 1²，也就是10000 - 1 = 9999 。

是不是特别简单？还有啊，在一些几何问题里，平方差公式也能派上大用场。

比如说，一个正方形的边长增加了 5 厘米，面积就增加了 95 平方厘米，求原来正方形的边长。

咱们可以设原来正方形的边长为 x 厘米，那么新正方形的边长就是 (x + 5) 厘米。

新正方形的面积就是 (x + 5)²平方厘米，原来正方形的面积就是 x²平方厘米。

根据面积增加 95 平方厘米，就可以列出方程：(x + 5)² - x² = 95 。

这时候再用平方差公式把左边展开：(x +5 + x)(x + 5 - x) = 95 ，也就是 (2x + 5)×5 = 95 ，接下来解方程就能求出x 的值啦。

实用版平方差完全平方公式专项练习题精品

平方差与完全平方式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a)③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2二、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2随堂练习：1.下列各式中哪些可以运用平方差公式计算（1）()()caba-+（2）()()xyyx+-+（3）()()abxxab---33（4）()()nmnm+--2.判断：（1）()()22422baabba-=-+（）（2）1211211212-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+xxx（）（3）()()22933yxyxyx-=+--（）（4）()()22422yxyxyx-=+---（）（5）()()6322-=-+aaa（）（6）()()933-=-+xyyx（）3、计算：（1）)4)(1()3)(3(+---+aaaa（2）22)1()1(--+xyxy（3）)4)(12(3)32(2+--+aaa（4）)3)(3(+---baba（5）22)3(xx-+（6）22)(yxy+-4.先化简，再求值:⑴(x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.5(3) )2)(2(2))(2()2(2b a b a b a b a b a +--+--+，其中2,21-==b a .(4) (2a －3b)(3b ＋2a)－（a －2b ）2,其中：a=－2,b=35..有这样一道题，计算：2（x+y ）(x －y)+[（x+y ）2－xy]+ [（x －y ）2+xy]的值，其中x=2006，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由。

初三数学中考复习：平方差公式大全

以下是⽆忧考为⼤家整理的关于初三数学中考复习：平⽅差公式⼤全的⽂章，供⼤家学习参考。

表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平⽅差，这个公式就叫做乘法的平⽅差公式公式运⽤可⽤于某些分母含有根号的分式： 1/（3-4倍根号2）化简： 1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23 [解⽅程] x^2-y^2=1991 [思路分析] 利⽤平⽅差公式求解 [解题过程] x^2-y^2=1991 (x+y)(x-y)=1991 因为1991可以分成1×1991，11×181 所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995 如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995 或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85 有时应注意加减的过程。

常见错误平⽅差公式中常见错误有： ①学⽣难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”） ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应⽤难以掌握。

三⾓平⽅差公式三⾓函数公式中，有⼀组公式被称为三⾓平⽅差公式： (sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B) (cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B) 这组公式是化积公式的⼀种，由于酷似平⽅差公式⽽得名，主要⽤于解三⾓形。

注意事项 1、公式的左边是个两项式的积，有⼀项是完全相同的。

2、右边的结果是乘式中两项的平⽅差，相同项的平⽅减去相反项的平⽅。

平方差公式与完全平方公式知识点总结

乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

高考必考知识点总结：数学平方差公式大盘点

高考必考知识点总结：数学平方差公式大盘点本文为高三同学总结归纳了数学平方差公式，期望对2021届高三考生在备考中有所关心，欢迎大伙儿阅读作为参考。

表达式：（a+b）（a-b）=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，那个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2）^2；=（3+4倍根号2）/（9-32）=（3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991（x+y）（x-y）=1991因为1991能够分成1×1991，11×181因此假如x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”因此不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

假如x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也能够是负数一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。

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平方差公式练习题
一、选择题
1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A.(x+y)(－x －y)
B.(2x+3y)(2x －3z)
C.(－a －b)(a －b)
D.(m －n)(n －m)
2、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a －b )(－b+a)
B.(xy+z) (xy －z)
C.(－2a －b) (2a+b)
D.(0.5x －y) (－y －0.5x)
4、(42x －5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )
A.－42x －5y
B.－42x +5y
C.(42x －5y ）
D.(4x+5y)
5、4a +(1－a)(1+a)(1+2a )的计算结果是( )
A.－1
B.1
C.24a －1
D.1－24a
6.下列计算正确的是( )
A.(2x+3)(2x －3)=22x －9
B.(x+4)(x －4)=2x －4
C.(5+x)(x －6)=2x －30
D.(－1+4b)(－1－4b)=1－162b
7.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( )
A.(x+5y)(－x+5y)
B.(－x －5y)(－x+5y)
C.(x －y)(x+25y)
D.(x －5y)(5y －x)
8.下列式中能用平方差公式计算的有( )
①(x-1
2y)(x+1
2y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.下列式中,运算正确的是( )
①222(2)4a a =, ②21
1
1
(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-,
④232482a b a b ++⨯⨯=.
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
10.乘法等式中的字母a 、b 表示( )
A.只能是数
B.只能是单项式
C.只能是多项式
D.单项式、•多项式都可以
11．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2＋1）等于………………（）
（A ）a 4－1 （B ）a 4＋1（C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4
二．填空题
1、(x －1)(x +1)=_____, (2a +b )(2a －b )=_____, (31
x －y )(31
x +y )=_____.
2、(x +4)(－x +4)=_____, (x +3y )(_____)=9y 2－x 2, (－m －n )(_____)=m 2－n 2
3、98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____.
4、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=_____.
5、(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____.
6、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2 ,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2
7、(xy －z )(z +xy )=_____, (65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 8、(41x +y 2)(_____)=y 4－161
x 2
9、观察下列各式：
(x －1)(x+1)=x2－1 (x －1)(x2+x+1)=x3－1 (x －1)(x3+x2+x+1)=x4－1 根据前面各式的规律可得： (x －1)(xn+1-n x +…+x+1)=
10.若（-mx-3y ）（mx-3y ）=22y 9x 49+—，则m=------------；
11. 已知991b 2a 21b 2a 2=+++））（—（，则a+b=----------； .
12.已知：（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，求a+b 的值--------------。

三、化简计算
1） .a (a －5)－(a +6)(a －6) 2）.(－2x 2+5)(－2x 2－5)
3） (x +y )(x －y )－x (x +y ) 4）.(2x －3y )(3y +2x )－(4y －3x )(3x +4y )
5）.(31
x +y )(31
x －y )(91
x 2+y 2) 6）.)32)(32(b a b a --+-
7）.3(2x +1)(2x －1)－2(3x +2)(2－3x ) 8）（a+4b-3c ）（a-4b-3c ）
10） ))()((22y x y x y x -+- 11) (a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1).
四．简算
79.8×80.2 9982－4 2003×2001－20022
1.计算：248151111
1
(1)(1)(1)(1)22222+++++.
2.计算：22222110099989721-+-++-L .
3.计算:222221
1111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L .
（4）计算20022004-20032003
2⨯
（5）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n +1）+1（n 是正整数）
五.化简求值
(1):(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2,其中x=-1.
（2）[][]222y x -y y -x -y -x y x -x 2++））（（））（（（其中x=-1，y=-2）
（3）（2x —y ）（y+2x ）—（2y+x ）（2y —x ）（其中x=1，y=2）
（4）[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷4x ，其中x=-2,y=-3。

六．解方程
（1）解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+1
3)=2.
（2）解方程：x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2+3）
七．求值
1.若2222y x .05y x 3y x —求）—（）—（=+++的值。

2.若6y x 24y x 22=+=，—，求x+2y 的值。

3.若（2x ＋px ＋q ）（2x －2x －3）展开后不含2x ，3x 项，求p 、q 的值．
4.已知9621-可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?
5.若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是。