如何求球体的体积和表面积

直径 2x ≈ 4.5( cm) .
答： 空心钢球的内径约为 4.5cm .
例2.
一个正方体的顶点在球面上， 一个正方体的顶点在球面上，它的棱长 4cm，求这个球的体积和表面积。 为4cm，求这个球的体积和表面积。
解： 该球的半径为
1 × 4 = 2cm 2cm 2
C′
o
4 32 3 V球 π × 2 ＝ π ( cm) ＝ A 3 3
R n
第 层
i
r i
随着
的增大， n的增大，n 越来越小
1 1 1− n 2 − n . ∴ V半球 ≈ π R3 1− 6 1
①
1= 1 当 n=1000时， n 1000 1 1 当 n=10000 时， n =10000
如何求 球体的体 积和表面 积呢？
教学目标 重点难点 球的体积 球表面积 例题讲解 课堂练习 课堂小结 课后作业
教学目标
掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的表面积公式、 掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和 精确求和的思想方法． 近似求和→精确求和的思想方法 想进一步理解分割 近似求和 精确求和的思想方法． 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题， 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接” 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 的几何体问题． 切”的几何体问题．
O
R
已知棱锥的体积公式为 1 ∆vi ≈ hi ∆si , 3 用近似量代换得 1
∆Vi ≈ R∆Si , 3
∆si
hi
∆vi
球体积为
1 ∆Vi ≈ R∆Si , 3
O
V = ∆V1 +∆V2 +⋯+∆Vi +⋯,
1 1 1 V ≈ ∆S1R + ∆S2 R +⋯+ ∆Si R +⋯. 3 3 3 1 = R( ∆S1 +∆S2 +⋯+∆Si +⋯) O 3
设空心球的内径为2x 设空心球的内径为 cm,那么钢球的质量是 那么钢球的质量是
4 5 4 3 7.9⋅ ⋅π ⋅ − π x =142, 2 3 3
3
142×3 5 x = − ≈11.3. 2 7.9× 4×3.14
3 3
得
x ≈ 2.24,
当
∴由①式得 V半球 =
n→∞ 时，1→0 n
定理
2 3 πR 3 半径是 R 的球的体积是
4 3 V半球 = π R 3
思考：我们能用同样的方法推导球
的表面积公式吗？ 的表面积公式吗？
∆Si
o
把球面任意分割为一些“小球面片”，分别 把球面任意分割为一些“小球面片” 用S , ∆S ,⋯, ∆S ,⋯ 表示 ∆
O
∵∆S1 +∆S2 +⋯+∆Si +⋯= S
∴ V ≈ 1 RS
3
1 V ≈ RS 已知球的体积 3 4 3 V = πR 3 所以 4 1 3 π R = RS 3 3 从而
O
S = 4π R
2
O
定理
半径是
R的球的表面积是
S = 4π R
2
O
例1
有一种空心钢球，质量为142g，测得外径等 于5.0cm,求它的内径（钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm).
教学重难点
教学重点
球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用
教学难点
球的表面积公式的推导 球的体积公式的推导
分割⇒ 求近似和⇒ 化为准确和思想方法
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来． 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分， 我们把一个半径为 的圆分成若干等分，然后如上图重新 的圆分成若干等分 拼接起来， 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 πR和R的矩形 .
那么圆的面积就近似等 πR2 . 于
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高； 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
2
2.一个球的表面积是100 , 500 那么它的体积是_____。
3 π
3.一个球的体积是36 ， 那么它的表面积是_____. 36π
1.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r， 圆柱、圆锥的高都是2r，求它们的体积比。 2.球的表面积膨胀为原来的2倍， 请计算体积变为原来的几倍？ 3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里 所装的水深度为8cm，将一个钢球完全 浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm， 求钢球的半径。
i =1 ,3⋯ n ,2 , , .
V半球 = V +V2 +⋯+Vn 1
≈
πR
3
n
3
( n −1) 12 22 1+ 1− 2 + 1− 2 +⋯+ 1− n n n2
2
2

12 + 22 +⋯+ ( n −1) πR = n − n n2 π R3 1 ( n −1)ini( 2n −1) n− 2 i = n n 6 ( n −1)( 2n −1) = π R3 1− 6n2
1 2 3
∆Si
为底， 为顶点的“小锥体” 设以小球面片∆Si 为底，球心 O 为顶点的“小锥体” 个小锥体， 为第 个小锥体，则球表面积为
S = ∆S1 +∆S2 +⋯+∆Si +⋯, 三个近似 ∆S ≈∆si
i
i
O
R ≈ hi
当“小锥体”的底面非常小时，V 小锥体”的底面非常小时， ∆
i
≈ ∆vi
1 地 S火 4πR 2 R 2 ( 2R ) 1 火 火 = = = = 2 R 2 2 S地 4πR 4 R 地 地 地
3 4 1 πR 3 R 3 ( R ) 火 V火 3 2 地 1 火 = = = = V地 4 8 R 3 R 3 地 地 3 πR 地 3
1.一个球的直径为3cm，则 它的表面积是_______，体 9π 9 积是_______。 π
S球 4π ×2 =16π ( cm) ＝
2
地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约 为6370km，火星的直径约为地球的一半。 (1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？
例3
解：
S地地 πR2=4π x 63702 ≈5.10x108(km2) =4
4 3 4 V地地= πR = π x 63703 ≈1.08x1012(km3) 3 3 2
P74 习题 习题9.11 5.6.7
分割
近似
求和
逼近
4 3 V = πR 3
S = 4π R
2
A
O
O
切割半球为 层 每层近似于“薄圆片” 每个“薄圆片”近似于薄圆柱
（取其底面为“薄圆片”的下底面）
n圆片“ i “薄圆片“的体积
r= i 2 2− R( i− ) , R 1 n i= ,2⋯n 1 , ,
由勾股定理
第 i “薄圆片”的体积是 层 薄圆片” 2 R=π R3 1− i − , 1 V ≈πr2i n i n n i 半球的体积是
法导出球的体积公式 下面我们就运用上述方
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 即先把半球分割成 部分，再求出每一部分的近似体积， 部分 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．