高阶谱估计

显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为 的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。
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结论
第 三 章 高 阶 谱 估 计
对于任何高斯随机过程{x(n)}的阶 次高于二的k阶累量恒等于零，即

ckx ( 1 , 2 ,, k 1 ) 0 (k 3)
这是高阶累量作为数学工具，抑制高斯 噪声的基础
3 1
2 1
2 1
c3 m3 3m1m2 2m
c4 m4 3m 4m1m3 12m m2 6m
4 1
对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累 量相等,而
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c4 m4 3m m4
2 2
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3、平稳随机过程的累量
第 三 章 高 阶 谱 估 计
对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其k阶矩 (k阶相关函数)和k阶累量分别为:
( ) E[e
ix
] f ( x)e dx
pk p{x xk }
2

ix
( ) E[e jx ] e jxk pk ,
k
为 x 的第一特征函数。其中 f ( x)为概率密度函数
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随机变量的特征函数
第 三 章 高 阶 谱 估 计
此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即
Bx (2 ,1 2 )
x
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Bx (1 , 2 ) B (, 2 )
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
所以,双谱共有12个对称区域(如图所示)
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
综合考虑周期性与对称性, 双谱的主值区域为:
包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:
j
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j 1,2,, k 1
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
高阶谱具有对称性(源于累量的对称性), 以双谱为例

Bx (1 , 2 )
源自文库
Bx ( 2 , 1 ) Bx (1 2 , 2 )
Bx (1 ,1 2 ) Bx (1 2 , 1 )
高 阶 1 k 1 k 谱 估 此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量 计 等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪
cum( x1 y1 ,, xk yk )
cum( x ,, x ) cum( y ,, y )
声之和的k(k>2)阶累量就等于信号的累量.即累 量可抑制高斯噪声.
不为零。通常阶数p、q取为p>q。一般取q=2， 。当采用归一化累积量时，显然有 成立，即归一化累积量与信号 的幅度无关。
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3.1.3、高阶谱
第 三 章 高 阶 谱 估 计
1、定义：假定随机过程{x(n)}的k阶累 量是绝对可和的，则其k阶谱是k阶累 量的(k-1)维富里叶变換，即
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
高斯过程的高阶矩只取决于二阶 矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩 更多的信息. 与某一高斯过程具有相同二阶矩 的任意随机过程,其k>2的高阶累量 是衡量该过程偏离高斯分布的量 度.

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3.1.2、累量的性质
第 三 章

常量乘积的线性
对于随机矢量 其阶数为
X [ x1 , x2 ,, xn ] ,
的累量为
r k1 k 2 k n
c k1 ,k2 ,,kn
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r Ψ(V) r (i) k kn k2 1 1 2 n 1 2 n 0
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2、优缺奌：
第 三 章
非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实 现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传 统方法一样，它存在以下三个主要问题： 高 频谱泄漏 ：平稳随机过程的样本序列应为双边 阶 无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定 n<=0 谱 估 或n>=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的 计 估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方 法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱 泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频 谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加32 2014-12-20
mkx (1 , 2 ,, k 1 ) E[ x(n) x(n 1 )x(n k 1 )]
ckx ( 1 , 2 ,, k 1 )
cum [ x(n), x(n 1 ),, x(n k 1 )]
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
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累量的性质
第 三 章 高 阶 谱 估 计
设有一组线性独立的随机变量 机变量y，且有： 积量为：
和随 ，则y的k阶累
其中 是随机变量 的k阶累积量，i=1， 2，…，P .
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累量的性质
第 三 章
两统计独立的随机向量的组合向量的累量 高恒为零.即若{x}与{y}统计独立,则
k
高 阶 谱 估 计
cum(1 x1 , , k x k ) i cum( x1 , , x k ) i 1

各随机变量的对称性
cum( x1 ,, xk ) cum( xi1 ,, xik )
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累量的性质
第 三 章

若{x}和{y}统计独立,则
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第 三 章

当
k1 k 2 k n 1
时,
高 阶 谱 估 计
其n阶累量可记为:
cum( x1, x2 ,, xn ) cnx c1,1,,1
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高阶矩与高阶累量的关系
第 三 章 高 阶 谱 估 计
(M-C公式):
c1 m1
2 2
c2 m2 m
高斯随机矢量 其方差矩阵为 其中
c11 c 21 c c n1
c12 c 22 cn 2
c1n c2n c nn
cik E[ xi xk ]
i, k 1,2, n
1
令联合概率密度函数为
1 T 1 p ( x) exp x c x 1 / 2 n/2 2 (2 ) c
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4、高斯过程的累积量
第 三 章 则特征函数为： 高 阶 谱 估 计
1 T (ω) exp ω cω 2
ω [1 , 2 ,, n ]T
1 T 1 n n (ω) ln (ω) ω cω ciji j 2 2 i 1 j 1
( ) ln ( ) 2
4
第 三 章 高 阶 谱 估 计
( )
令 则


1 2 / 2 2 j e e d 2
z / 2
( ) 1
根据公式：




e
z 2 j 2z
dz

则


e
Ax2 2 BxC
四阶谱(三谱) ：
Bx (1 , 2 ) Tx (1 , 2 , 3 )
c kx ( 1 ,, k 1 ) ( )
1 k 1 2
高阶谱的逆变換公式为：
k 1 i j j j 1
s



kx
(1 ,, k 1 )e
2 0, 1 2 , 1 2
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第 三 章 高 阶 谱 估 计
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3.2 高阶谱估计
第 三 章 高 阶 谱 估 计
从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)} 出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类 似,也可分为非参数法和参数法两大类。 3.2.1、非参数法谱估计 1、基本思路： 假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值 x(n)=0, 由高阶谱的定义直接构造谱估计式。
由于 f ( x) 0
( ) (0) 1
第二特征函数：
( ) ln ( )
3
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高斯分布的随机变量特征函数
第 三 章 高 阶 谱 估 计
f ( )

1 2
2
e
( 2 2 )
其特征函数为:
( ) exp(

2
2
2
2
)
2
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rk 1 2 k 1 0 ck ( 1 , 2 ,, k 1 ) 其它 0
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归一化累积量
第 三 章

高 阶 谱 其中 估 这时 计
在盲解卷积中，有时希望累积量与信号的幅度无关， 即W和aW的累积量是一样的，a是非零常数。此时就 要定义(p，q)阶的归一化累积量：
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skx (1 ,,k 1 ) skx (1 ,,k 1 ) e
i kx (1 ,,k 1 )
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第 三 章

高阶谱是以2π为周期的多维周期函数,即
高 阶 谱 估 计
skx (1 ,, k 1 ) skx (1 2l1 , 2 2l 2 ,, k 1 2l k 1 )
第三章
第 三 章 高 阶 谱 估 计
高阶谱估计
3.1 3.2 3.3 3.4
累积量及高阶谱 高阶谱估计 有色噪声背景下的频率估计 高阶谱的应用
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1
3.1 累积量与高阶谱
第 三 章 高 阶 谱 估 计
(Cumulants and Higher Order Spectral 简记：HOS) 3.1.1、累积量的定义 1、随机变量的特征函数和矩函数
ix

ix
mk (i) (o)
k (k )
mk E[ x ] x f ( x)dx
k k

m1 E[ x]
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m2 E[ x ]
2
6
2、累积量的定义
第 三 章 高 阶 谱 估 计
d ( ) c k (i ) k d
k k
0
T
当 1 2 3 0
时,特别称 为方差 为斜度
c2 x (0) r
2
x 2
c3x (0,0) r
x 3
x 4
c4 x (0,0,0) γ
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为峭度
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4、高斯过程的累积量
第 三 章 高 阶 谱 估 计
单个高斯随机变量
c1 0
( ) ln ( ) 2
dx
1 2 2 2

A
e
AC B 2 A
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( ) e
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1、矩函数的定义
第 三 章 高 阶 谱 估 计
( ) E[e ] f ( x)e dx k d ( ) k k ix k ( ) i E[ x e ] k d
s kx (1 ,, k 1 ) k 1 c kx ( 1 ,, k 1 ) exp i j j 1 k 1 j 1

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2、高阶谱的对称性:
第 三 章 当k=3时,三阶谱(双谱),并特别记为： 高 阶 谱 估 计

阶 谱 估 计
cum( x1 ,, xk , y1 ,, yk ) 0
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第 三 章
高 阶 k 谱 估 计
推论:如果{w(t)}是独立同分布过程(I.I.d), 则其累量为δ函数.即
c ( 1 , 2 ,, k 1 )
cum[(n),(n 1 ),, (n k 1 )]
2
2
( ) exp(
2 2
2
)
c2
2
ck 0 (k 3)
k为偶数 k为奇数
T
12
[1 3 5, (k 1)] k mk 0
n 维零均值高斯随机矢量 x [ x1 , x2 ,, xn ]
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4、高斯过程的累积量
第 三 章 高 阶 谱 估 计

d1 d k 1
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第 三 章 高 阶 谱 估 计

两种特殊的高阶谱：
①高斯过程的k>2的k阶谱恒为零； ②非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱 为平坦谱，即
S kx (1 ,, k 1 ) kx

(常数)
高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息