新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编
极坐标与参数方程专题复习汇编
坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1•坐标系（1） 理解坐标系的作用；（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2•参数方程（1） 了解参数方程和参数方程的意义；（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。
由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。
三、知识点回顾坐标系的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简称伸缩变换?2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。
3•点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的• xOM 叫做点M 的极角，记为二。
有序 数对（OR 叫做点M 的极坐标，记为M （几旳.极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ・Z ）表示同一个点。
极点 0的坐标为（0门）（” R ）.4.若?:：: 0,则- ?0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）表示同一点。
如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表示;、题型分布:1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿X 「X, ( ■0),同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程1. （安徽）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____。
2.（北京）直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
3.（福建）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。
（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。
4.( 广东) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:(x t C t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数） 和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.5.（湖北）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .6.（湖南）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.7.（江苏）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8（江西）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
高三极坐标与参数方程分类解析
第十七模块 极坐标与参数方程设P 是角θ终边上任意一点，θ为从ox 轴到射线OP 的到角， OP =ρ，由三角函数定义⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 由此可见P 点坐标只与θρ,有关， 把直角坐标系去掉y 轴，x 轴负半轴及x 轴上的刻度。
规定射线OP 上单位。
这样直角坐标系就变成极坐标系。
其中Ｏ叫极点，ρ叫极径，θ叫极角。
ｏx 叫极轴，()θρ,叫P 点的极坐标注把P 点顺时针或逆时针旋转π2后所得的点与P 点重合，所以 ()θπρ+k 2,都是P 点的极坐标。
所以极坐标系上任意点P 的极坐标不唯一。
一般情况下[)(]πππθ,2,0-∈或，在这个约定下，P 点的极坐标就唯一了。
探索直角坐标与极坐标的转化关系⑴极坐标()θρ,P 化直角坐标，()θρθρsin ,cos P ⑵直角坐标P （x,y ）化极坐标yx 22+=ρxy=θtan 利用点的位置求θ 注[)(]πππθ，或-∈2,0例把()13P ，-变成极坐标 ()21322=+=ρ，33tan -=θ，P 在第2象限，[)πθ2,0∈ ∴65πθ=在极坐标系中，圆C 的圆心为C ⎪⎭⎫⎝⎛6,6π,半径r=6 写出圆C 的极坐标方程 二、参数方程过去用含有x,y 的方程表示曲线，这样的方程是直角坐标方程。
现在用形如()()⎩⎨⎧==t g y t f x 方程表示曲线，它就是参数方程。
例1：把⊙C:R y x 222=+用参数方程的形式表示122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛R y R x 令⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos Ry R x即⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x反过来把⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x 化成参数方程，想一想怎么做？练习：把⊙C ：()()R b y a x 222=+--写成参数方程例2：写出过点()y x P 0,，倾斜角为α的直线l 的参数方程。
用t 表示有向线段P P的数量即P t P=注：有向线段的数量就是有向线段的长度加正负号有向线段的首字母为有向线段的起点，有向线段的方向由起点指向终点 当有向线段水平或垂直放置有向线段与坐标轴正方向同向时，符号为正，当有向线段倾斜放置，有向线段终点在始点上方，符号为正 过点()y x P 0,，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y t x y x想一想怎样把⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y t x y x 化成直角坐标方程？练习：已知直线l 经过点P （1,1），倾斜角6πα=⑴写出直线l 的参数方程 ⑵设l 与圆422=+yx 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 的距离之积答案 ：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21231t y t x ①x,y ）⑵设PB PA t t==21,∴tt PB PA 21⋅=⋅将①代入422=+yx 得()04132=-++t x221-=⋅tt∴tt PB PA 21⋅=⋅=2已知直线l 是过点P （-1,2），倾斜角为π32的直线，圆方程⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ ⑴求直线l 的参数方程⑵设直线l 与圆交于M,N 两点，求PN PM ⋅的值解：⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 23221 ⑵法一：代数法 圆⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πθρ 化简得0322=+-+y x yx将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 23221代入圆方程 ()03263232=++++t t32621+=⋅=⋅tt PN PM法二：几何法l 为过P （-1,2），倾斜角为π32的直线， 过P 引圆的切线PT 圆C ：0322=+-+y x yxCNT圆心C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21，半径r=1 3272+=PC PN PM r PCPT⋅=+=-=326222问题与思考：l 为过P （1,1），倾斜角为4π的直线，设l 与⊙O ：422=+yx 交于M ，N ，求P M ·PN=？设l 与⊙O 交于A ，B2-=-=r PO r PA 2+=+=r PO r PB 222=-=⋅r PB PAP A ·PB=PM ·PN例：已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23cos 21y x 若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系。
2023年高考数学分类汇编极坐标与参数方程
2012高考数学分类汇编-极坐标与参数方程1000字极坐标1.极坐标的概念和表示极坐标是在平面直角坐标系中，以一个定点O为极点，以一个单位长度的线段为极轴，用一个有序数对(r,θ)表示平面直角坐标系中的一个点P，其中r是极点O与点P之间的距离，θ是极轴与线OP 之间的角度，且角度θ的单位是弧度制。
2.直角坐标系到极坐标系的转化确定一个直角坐标系到一个极坐标系的转化方法需要以下步骤：①确定直角坐标系的原点O和极轴的方向；②确定一个点P的坐标(x,y)以及极点O与点P之间的距离r和极轴与线OP之间的角度θ。
可得：r^2=x^2+y^2 ①tanθ=\\frac{y}{x} ②其中，当x>0时，θ为第一象限的角；当x<0时，θ为第二或第三象限的角；当x=0且y≥0时，θ为第一或第四象限的角；当x=0且y≤0时，θ为第二或第三象限的角。
3.某些极坐标图形的方程(1)圆心在极点处的极坐标方程：r=a，其中a为正数。
(2)以极点为端点的直线的极坐标方程：θ=k(k为常数)。
(3)不经过极点的圆的极坐标方程：r=a\\cdot cos(θ-θ_0)，或r=a\\cdot sin(θ-θ_0)，其中a为正数，θ=θ_0和θ=π+θ_0是圆上对称的两个点。
(4)心形线的极坐标方程：r=a(1+cosθ)，其中a为正数。
4.极坐标系下的一般曲线方程一般地，假设有一个极坐标系，其中极点为O，极轴为正x轴，单位长度为1。
如图，假设一点P在该极坐标系下的坐标为(r,θ)，P 到O的极角θ在x轴上的角度为α，OP边在x轴正半轴上的投影为P'，长度为x。
则，r=\\sqrt{x^2+y^2}，θ=\\arctan{\\frac{y}{x}}，x=r\\cosθ=r\\cos(\\arctan{\\frac{y}{x}})=\\sqrt{x^2+y^2}\\cos(\\arct an{\\frac{y}{x}})=\\frac{y}{\\tan(\\arctan{\\frac{y}{x}})+\ \frac{x}{\\sqrt{x^2+y^2}}},y=r\\sinθ=r\\sin(\\arctan{\\frac{y}{x}})=\\sqrt{x^2+y^2}\\sin(\\arct an{\\frac{y}{x}})=\\frac{y}{\\tan(\\arctan{\\frac{y}{x}})-\\frac{y}{\\sqrt{x^2+y^2}}}。
高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=⎧⎨=⎩为参数； 抛物线22y px =的参数方程是22()2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数 极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan yx θ=。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念1．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
1)求曲线c 的极坐标方程2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ 即曲线c 的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ (2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225-=23 .2．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝sin （θ＋4π），曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a 的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 解：（1）1C ：2)1()1(22=-+-y x ， 2C ：a y =， 因为曲线1C 关于曲线2C 对称，1=a ，2C ：1=y （2）)4sin(22||πϕ+=OA ；ϕsin 22||=OC ，【题型2】直线参数方程几何意义的应用1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点.（1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为⎛⎝，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，， 所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =． 2．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
高考数学极坐标及参数方程专题
高考数学极坐标及参数方程专题1.设(,)P x y 是曲线（θ为参数，02θπ≤≤）上任意一点， （1）将曲线化为普通方程;（2）求的取值范围.2.知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为。
（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥, 02θπ≤<）。
3.已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x x y y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ． (1)求曲线2C 的参数方程； (2)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．4.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的方程(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x x y5.在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求1C ，2C 的极坐标方程；(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积6.极坐标系中，已知射线1C :(0)6πθρ=≥动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈． (1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两个不同点，求0x 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） （1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x t t y t=-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程。
2011-2019高考数学极坐标与参数方程分类汇编
2011-2019新课标《坐标系与参数方程》分类汇编【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP→ =2OM→ ，P 点的轨迹为曲线C 2.（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||AB ρρ-==【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++-- []22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.【2013年新课标1】已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝【答案】(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.【2013年新课标2】已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π＝，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【答案】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的轨迹的参数方程为cos cos2,sin sin2,xyαααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离d=＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．【2014年新课标2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
极坐标及参数方程
坐标系与参数方程1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取一样的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，那么⎩⎨⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0.2．直线的极坐标方程假设直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程假设圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .真题感悟1．(2021·)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为________． 2．(2021·)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t y ＝t2(t 为参数)，假设以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，那么曲线C 的极坐标方程为________．3．(2021·)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么AB 的最小值为________．5．(2021·)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________.6.[2021·XX 卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．7．[2021·XX 卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．8． [2021·XX 卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．题型与方法题型一 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化例1 直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 (θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．变式训练1 直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝4t ＋a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)假设圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为2，XX 数a 的值．题型二 曲线的极坐标方程例2 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．变式训练2 (2021·)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．题型三 曲线的参数方程及应用例3 (2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．变式训练3直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)．(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．典例 (10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)求直线OM 的直角坐标方程；(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 规X 解答1．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________．3．点P (x ，y )在曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，那么yx 的取值X 围是________．4．假设直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt(t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s(s 为参数)垂直，那么k ＝______.6．(2021·)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．专题限时规X 训练一、填空题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，假设以点O (0,0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么该曲线的极坐标方程是________．2．两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎨⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．3．曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝3sin φ(φ为参数，a >0)，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t y ＝－1－t(t 为参数)，曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，那么曲线C 的普通方程为________．4．(2021·)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么AB＝________.二、解答题5．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，求l 1与l 2间的距离．6．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．7．(2021·)在极坐标系中，圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．8．直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合． (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．9．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)假设PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．10．(2021·)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．2021、2021年全国高考理科数学试题分类汇编：坐标系与参数方程一、选择题1 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和二、填空题2 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 那么|CP | = ______.3 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 ．〔2021年高考卷〔理〕〕在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________.5 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔含答案〕〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,那么______AB = 6 ．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕(坐标系与参数方程选讲选做题)曲线C的参数方程为x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么的极坐标方程为_____________.7 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 那么圆220y x x +-=的参数方程为______ .x8 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩(为参数),假设以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么曲线c的极坐标方程为__________9 ．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在平面直角坐标系xoy 中,假设,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,那么常数a 的值为________.10．〔2021年高考XX 卷〔理〕〕在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.假设直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,那么椭圆C 的离心率为___________.三、解答题11．〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〔理〕〔纯WORD 版含答案〕〕选修4—4;坐标系与参数方程动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.12．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔WORD 版〕〕选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.13．〔2021年普通高等学校招生统一考试XX 数学〔理〕试题〔纯WORD 版〕〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.14．〔2021年普通高等学校招生全国统一招生考试XX 卷〔数学〕〔已校对纯WORD 版含附加题〕〕C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题总分值10分.在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.〔2021年高考新课标1〔理〕〕选修4—4:坐标系与参数方程 曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[2021·XX 卷] 选修44：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[2021·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．[2021·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．。
新课标下极坐标及参数方程高考趋势及考题汇总
新课标下极坐标及参数方程考点及经典例题一、重点✓ 参数方程与普通方程的转化 一般都是参数方程转化为普通方程 ✓ 利用设参数求解曲线方程或者问题的最值 ✓ 利用极坐标求曲线方程二、方法✓ 消除参数的各类方法求得与普通方程的转化 ✓ 极坐标化为参数方程的方法 ✓ 设参的方法三、高考考点求曲线的极坐标方程、参数方程及极坐标方程、参数方程与普通方程的转化、并用极坐标及参数方程研究交点问题、值域问题、距离问题、位置判定问题。
四、考点剖析1、(2014·福建高考理科·Ｔ21)已知直线l 的参数方程为2()4x a tt y t =-⎧⎨=-⎩为参数，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程； (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2..（2014·辽宁高考）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.3..(2014·新课标全国卷Ⅱ高考·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈错误！未找到引用源。
.(1)求C 的参数方程. (2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.4.（15年新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.5.（2015新课标（II ））直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB的最大值．6.（2013·辽宁高考）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(完整版)高考文科数学复习专题极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1) 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点 O引一条射线Ox，同时确立一个长度单位和计算角度的正方向( 往常取逆时针方向为正方向) ，这样就成立了一个极坐标系．此中，点O称为极点，射线 Ox 称为极轴．(2)极坐标 ( ρ，θ ) 的含义：设 M 是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对( ρ，θ) 称为点 M的极坐标．明显，每一个有序实数对 ( ρ，θ) ，决定一个点的地点．此中ρ 称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大差别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，关于给定的有序数对 ( ρ，θ) ，能够确立平面上的一点，可是平面内的一点的极坐标却不是独一的．(3) 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线 C 上的随意一点的极坐标知足方程f( ρ，θ ) ＝ 0，而且坐标合适方程f( ρ，θ ) ＝ 0 的点都在曲线 C 上，那么方程f ( ρ，θ ) ＝ 0 叫做曲线 C 的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1) 过极点且与极轴成φ 0角的直线方程是θ＝φ 0和θ＝π－φ 0，以下列图所示．(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ， 0) 的直线的极坐标方程是ρ cosθ＝a，以下列图所示．(3) 与极轴平行且在x 轴的上方，与 x 轴的距离为 a 的直线的极坐标方程为ρsinθ＝a，以下列图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为 r 的圆的方程为ρ＝ r ，如图 1 所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝ 2rcos_ θ，如图 2 所示．(3) 圆心在过极点且与极轴成πr 的圆的方程为ρ 2rsin_ θ，2的射线上，过极点且半径为如图 3 所示．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标 M(ρ，θ ) 化为平面直角坐标 M(x ， y) 的公式以下：x ＝ρ cos θ， 2＋ y 2， tan θ＝ y，或许 ρ＝ xy ＝ρ sin θx 此中要联合点所在的象限确立角 θ 的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数，即x ＝ f （ t ），M(x ， y) 都在这条曲线上，而且关于 t 的每一个同意值，由方程组所确立的点y ＝ g （ t ），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x ， y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．常有曲线的参数方程．(1) 过定点 P(x 0， y 0) ，倾斜角为 α 的直线：x ＝x 0 ＋ tcos α，y ＝y 0 ＋ tsin(t 为参数 ) ，α此中参数 t 是以定点 P(x ， y ) 为起点，点 M(x ， y) 为终点的有向线段PM 的数目，又称为点 P 与点 M 间的有向距离．依据 t 的几何意义，有以下结论：①设 A ， B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和 t B ，则 |AB| ＝ |t B － t A | ＝（ t B ＋ t A ） 2－4t A · t B ；t A ＋ t B②线段 AB 的中点所对应的参数值等于.2(2) 中心在 P(x 0， y 0) ，半径等于 r 的圆：x ＝x 0＋ rcos θ， ( θ 为参数 )y ＝y 0＋ rsinθ(3) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的椭圆：x ＝acos θ，x ＝ bcos θ， y ＝bsin( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asin θx ＝ x 0＋ acos α， 中心在点 P(x 0，y 0) ，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为y ＝ y 0＋ bsin α( α 为参数 ) ．(4) 中心在原点，焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 上的双曲线：x ＝asec θ，x ＝ btan θ， y ＝btan ( θ 为参数 ) 或.θy ＝ asec θ(5) 极点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线：x ＝2p ，(t 为参数， p>0) ．y ＝2p1注： sec θ＝ cos θ .3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ， y 的限制．1．已知点 A 的极坐标为5π，则点 A 的直角坐标是 (2 ，－ 2 3) ．4，3π2．把点 P 的直角坐标 ( 6，－ 2) 化为极坐标，结果为2 2，－6 ．3．曲线的极坐标方程ρ＝ 4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋ (y －2) 2＝ 4．ππ4．以极坐标系中的点 1， 6 为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 ρ＝ 2cos θ－ 6 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：x ＝ t ，为参数 ) 过椭圆 C ：x ＝ 3cos θ， (t y ＝ 2sin θy ＝ t －a( θ 为参数 ) 的右极点，则常数a 的值为 3．x ＝ t ，x ＝ 3cos θ， x 2 y 2分析： 由直线 l ： y ＝ t －a ， 得 y ＝ x － a. 由椭圆 C ：y ＝ 2sin θ， 得 9 ＝ 4 ＝ 1. 因此椭圆 C 的右极点为 (3 ，0) ．由于直线 l过椭圆的右极点，因此0＝ 3－ a ，即 a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1 ，－3) ．若以原点 O 为极点， x轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点P 的极坐标能够是 ( C)A. 1，－ πB. 2， 4π3 3π4πC. 2，－ 3D. 2，－ 32．若圆的方程为x ＝ 2cos θ， x ＝ t ＋1， y ＝ 2sin ( θ 为参数 ) ，直线的方程为(t 为参数 ) ，则θ y ＝ t －1直线与圆的地点关系是( B)A ．相离B ．订交C ．相切D．不可以确立3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，两种坐标x ＝ t ＋1，系中取同样的长度单位，已知直线l 的参数方程是 (t 为参数 ) ，圆 C 的极坐标方y ＝ t －3程是 ρ＝ 4cos θ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( D)A. 14B ．2 14C. 2D．2 2分析： 由题意可得直线和圆的方程分别为x －y － 4＝ 0，x 2＋y 2＝ 4x ，因此圆心 C(2，0) ，半径 r ＝ 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d ＝ 2，由半径，圆心距，半弦长组成直角三角形，解得弦长为 2 2.l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝1，则直线 l 与圆 O ： x ＝3cosθ，( θy ＝ 3sin θ为参数 ) 的地点关系是 ( A)A ．订交B ．相切C ．相离D．过圆心分析： 动直线 l 均分圆 C ：(x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 1，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆 O ：x ＝ 3cosθ，的一般方程为 x 2＋ y 2＝ 9 且 22＋ 12<9，故点 (2 ， 1) 在圆 O 内，则直线 l 与圆 Oy ＝ 3sin θ的地点关系是订交．二、填空题5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线y＝sinθ－ 2，C 的参数方程是( θ是参数 ) ，x＝ cosθ若以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线 C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρ sin_ θ＋ 3＝ 0．分析：在平面直角坐标系y＝ sinθ－ 2，y＋2＝ sin θ，xOy 中，( θ是参数 ) ，∴根x＝ cos θx＝cos θ .据 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，可得 x2＋(y ＋ 2) 2＝1，即 x2＋ y2＋ 4y＋3＝0. ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ2＋4ρ sin θ＋ 3＝0.x＝ 2cos θ，6．在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为 ( θ为参数 ) ，以原点 O为极y＝ 2＋ 2sin θπ点，以 x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，2．三、解答题17．求极点到直线2ρ＝π ( ρ∈ R)的距离．sinθ＋4分析：由 2 ρ＝1sinπ ? ρ sin θ＋ρ cos θ＝ 1? x＋ y＝1，θ＋4|0 ＋0－1|2故d＝12＋12＝2.8．极坐标系中， A 为曲线ρ2＋2ρ cos θ－ 3＝0 上的动点， B 为直线ρ cos θ＋ρ sinθ－ 7＝ 0 上的动点，求|AB| 的最小值．x＝ cos θ，9．(2015 ·大连模拟) 曲线 C1的参数方程为( θ为参数 ) ，将曲线 C1上全部y＝ sinθ点的横坐标伸长为本来的 2 倍，纵坐标伸长为本来的3倍，获得曲线C2. 以平面直角坐标系xOy 的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样的单位长度成立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－ 2sinθ)＝ 6.(1)求曲线 C2和直线 l 的一般方程；(2)P 为曲线 C2上随意一点，求点P 到直线 l 的距离的最值．分析： (1)由题意可得 C 的参数方程为x＝ 2cosθ，x2y2y＝ 3sinθ(θ为参数 ) ，即 C ：4＋3＝ 1，22直线 l ：ρ(cosθ－ 2sin θ ) ＝ 6 化为直角坐标方程为x－ 2y－ 6＝ 0.(2) 设点 P(2cosθ， 3sin θ ) ，由点到直线的距离公式得点P 到直线 l的距离为|2cosθ－ 23sinθ－ 6|d＝56＋ 43sin1θ－ cos θ＝2256＋ 4sin θ－π＝655π＝56＋ 4sin θ－6.2525因此5≤ d≤ 25，故点 P 到直线 l的距离的最大值为25，最小值为 5.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x＝ 1＋4cosθ，y＝ 2＋4sin ( θ为参数 ) ，θπ直线 l 经过定点P(3， 5) ，倾斜角为 3 .(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程．(2)设直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，求 |PA| ·|PB| 的值．x＝ 1＋4cos θ，2分析： (1) 由曲线 C 的参数方程( θ为参数 ) ，得一般方程为 (x － 1)y＝ 2＋ 4sin θ＋(y － 2) 2＝ 16，即 x2＋ y2－ 2x－ 4y ＝11＝ 0.1x＝ 3＋ t ，π2直线 l 经过定点 P(3 ， 5) ，倾斜角为3，直线的参数方程为3(t 是参数 ) ．y＝ 5＋2 t(2)将直线的参数方程代入 x2＋ y2－ 2x－4y － 11＝0，整理，得 t 2＋ (2 ＋3 3)t － 3＝ 0，设方程的两根分别为 t 1， t 2，则 t 1t 2＝－ 3，由于直线 l 与曲线 C 订交于 A， B 两点，因此 |PA| · |PB| ＝ |t 1t 2| ＝3.。
高考数学笔记 极坐标与参数方程
∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分别为(
2, )， (2, ) ．
4
2
才哥数学
题型四：距离问题
例 1：已知曲线 C 的极坐标方程是 6 cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半
x 1 t cos
轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是
y t sin
x
y
4 5
5cos t 5sin t
消去参数 t
，化为普通方程
(x
4)2
(y
5)2
25
，
即
C1
：
x2
y2
8x
10 y
16
0
，将
x
y
cos sin
代入
x2
y2
8x
10 y
16
0
得，
2 8 cos 10 sin 16 0 ，
方法二，直线方程为 y x 4 ，圆心到直线 y x 4 的距离为 d 1 | AB | 2 1 1 2
2，
2
例 3 已知曲线 C 的极坐标方程是 2 cos ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半
轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线
x 2 cos t
例
2：已知曲线
C1
:
y
1
sin
t
x 4 cos
(t
为参数)，
C2
2023年新版极坐标及参数方程知识点及高考题汇编
1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。
3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。
极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。
假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。
5．极坐标与直角坐标旳互化：6。
圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳一、极坐标题型1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数。
题目中常常给出一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为极坐标方程。
2.同一直线与圆的极坐标方程给定一条直线的极坐标方程，如$r=k\\theta$，同时给出一个与该直线相交于两点的圆的极坐标方程，求该圆的半径和圆心的极坐标。
3.圆内切于另一圆与直线的极坐标方程给定一个圆的极坐标方程，要求找出与该圆相切的另一个圆和直线的极坐标方程。
4.线段与圆的极坐标方程给定一段线段的两个端点的极坐标和长度，要求求出与该线段相切的圆的极坐标方程。
二、参数方程题型1.直线的参数方程给定一条直线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.圆的参数方程给定一个圆的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
3.曲线方程的参数化表示给定一个曲线的直角坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
三、极坐标与参数方程的转换题型1.极坐标转换为参数方程给定一个极坐标方程，要求将其转化为参数方程形式。
2.参数方程转换为极坐标给定一个参数方程，要求将其转化为极坐标方程形式。
四、解析法求参数方程的题型1.螺线的参数方程给定一个螺线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
2.抛物线的参数方程给定一个抛物线的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
3.椭圆的参数方程给定一个椭圆的解析方程，要求求出其对应的参数方程。
五、参数方程与直角坐标系之间的关系1.参数方程的直角坐标系方程给定一个参数方程，要求将其转化为直角坐标系方程。
2.直角坐标系方程的参数方程给定一个直角坐标系方程，要求将其转化为参数方程。
以上是高考数学中关于极坐标与参数方程的常见题型归纳。
掌握了这些题型的解题方法和转换技巧，就能够更好地应对高考数学中的相关题目。
在解题时，可以根据题目给出的信息选择合适的坐标系，利用相应的公式和性质进行计算，从而得出准确的答案。
希望同学们通过对这些题型的学习和练习，能够在高考中取得优异的成绩！。
新课标极坐标与参数方程分类汇编
2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足，P 点的轨迹为曲线C 2.（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||AB ρρ-==2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2）设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【2013年新课标1】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝ 【答案】(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.【2013年新课标2】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π＝，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d =＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。
高考文科数学复习专题极坐标与参数方程
高考文科数学复习专题极坐标与参数方程1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线O 某，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线O某称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线O某为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ和θ＝π－φ，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcoθ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在某轴的上方，与某轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρinθ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rco_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为某轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(某，y)的公式如下：某＝ρcoθ，y＝ρinθ或者tanθ＝y某，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标某，y都是某个变数t的函数，即某＝f（t），y＝g（t），2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(某0，y0)，倾斜角为α的直线：某＝某0＋tcoα，y＝y0＋tinα(t为参数)，其中参数t是以定点P(某0，y0)为起点，点M(某，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论：①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB－tA|＝（tB＋tA）2－4tA·tB；②线段AB的中点所对应的参数值等于tA＋tB2.(2)中心在P(某0，y0)，半径等于r的圆：某＝某0＋rcoθ，y＝y0＋rinθ(θ为参数)(3)中心在原点，焦点在某轴(或y轴)上的椭圆：某＝acoθ，y＝binθ(θ为参数)或某＝bcoθ，y＝ainθ.中心在点P(某0，y0)，焦点在平行于某轴的直线上的椭圆的参数方程为某＝某0＋acoα，y＝y0＋binα(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在某轴(或y轴)上的双曲线：某＝aecθ，y＝btanθ(θ为参数)或某＝btanθ，y＝aecθ.(5)顶点在原点，焦点在某轴的正半轴上的抛物线：某＝2p，y＝2p(t为参数，p>0)．注：ecθ＝1coθ.3．参数方程化为普通方程．由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对某，y的限制．1．已知点A的极坐标为4，5π3，则点A2．把点P的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4inθ化为直角坐标方程为某2＋(y－2)2＝4．4．以极坐标系中的点1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2coθ－π6．5．在平面直角坐标系某Oy中，若直线l：某＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：某＝3coθ，y＝2inθ(θ为参数)的右顶点，则常数a的值为3．解析：由直线l：某＝t，y＝t－a，得y＝某－a.由椭圆C：某＝3coθ，y＝2inθ，得某29＝y24＝1.所以椭圆C的右顶点为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0＝3－a，即a＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系某Oy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，某轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C) 2．若圆的方程为某＝2coθ，y＝2inθ(θ为参数)，直线的方程为某＝t＋1，y＝t－1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(B)A．相离B．相交C．相切D．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，某轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是某＝t＋1，y ＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4coθ，则直线l被圆C截得的弦长为(D)B．214D．22解析：由题意可得直线和圆的方程分别为某－y－4＝0，某2＋y2＝4某，所以圆心C(2，0)，半径r＝2，圆心(2，0)到直线l的距离d＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为22.4．已知动直线l平分圆C：(某－2)2＋(y－1)2＝1，则直线l与圆O：某＝3coθ，y＝3inθ(θ为参数)的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．过圆心解析：动直线l平分圆C：(某－2)2＋(y－1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l上，又圆O：某＝3coθ，y＝3inθ的普通方程为某2＋y2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O内，则直线l与圆O的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系某Oy中，已知曲线C的参数方程是y＝inθ－2，某＝coθ(θ是参数)，若以O为极点，某轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为ρ2＋4ρin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系某Oy中，y＝inθ－2，某＝coθ(θ是参数)，∴y＋2＝inθ，某＝coθ.根据in2θ＋co2θ＝1，可得某2＋(y＋2)2＝1，即某2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ2＋4ρinθ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C的参数方程为某＝2coθ，y＝2＋2inθ(θ为参数)，以原点O为极点，以某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1inθ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1inθ＋π4ρinθ＋ρcoθ＝1某＋y＝1，故d＝|0＋0－1|12＋12＝22.8．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcoθ－3＝0上的动点，B为直线ρcoθ＋ρinθ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2022·大连模拟)曲线C1的参数方程为某＝coθ，y＝inθ(θ为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2.以平面直角坐标系某Oy的原点O为极点，某轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(coθ－2inθ)＝6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程；(2)P为曲线C2上任意一点，求点P到直线l的距离的最值．解析：(1)由题意可得C2的参数方程为某＝2coθ，y＝3inθ(θ为参数)，即C2：某24＋y23＝1，直线l：ρ(coθ－2inθ)＝6化为直角坐标方程为某－2y－6＝0.(2)设点P(2coθ，3inθ)，由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为d＝|2coθ－23inθ－6|5＝6＋432inθ－12coθ5＝6＋4inθ－π65＝556＋4inθ－π6.所以255≤d≤25，故点P到直线l的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为某＝1＋4coθ，y＝2＋4inθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程．(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C的参数方程某＝1＋4coθ，y＝2＋4inθ(θ为参数)，得普通方程为(某－1)2＋(y－2)2＝16，即某2＋y2－2某－4y＝11＝0.直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为某＝3＋12t，y＝5＋32t(t是参数)．(2)将直线的参数方程代入某2＋y2－2某－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋33)t－3＝0，设方程的两根分别为t1，t2，则t1t2＝－3，因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.。
极坐标与参数方程
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十三、坐标系与参数方程1．极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.3.直线、圆、椭圆的参数方程过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．（2019·北京（理））已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．（2019·天津（理））设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.3．（2018·北京（理））在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．4．（2018·天津（理））已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,23x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与该圆相交于A 、B 两点，则ABC ∆的面积为___________.5．（2017·北京（理））在极坐标系中，点A 在圆22cos 440sin ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为__________．6．（2021·全国（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．7．（2021·全国（理））在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．8．（2020·江苏）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．9．（2020·全国（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．10．（2020·全国（理））已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.11．（2019·江苏）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.12．（2019·全国（文））在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.13．（2019·全国（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．。
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2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足OP→ =2OM→ ，P 点的轨迹为曲线C 2.（1）求C 2的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. 【答案】（1）设P (x , y )，则由条件知(,)22x y M . 由于M 点在C 1上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而C 2的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.（2）曲线C 1的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线C 2的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||AB ρρ-==2. 【2012年新课标】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围. 【答案】（1）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （2） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.3.【2013年新课标1】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝ 【答案】(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.【2013年新课标2】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π＝，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d =＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．5.【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标。
【答案】（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1cos ,sin )D t t +由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同。
tan 3t t π==故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即3(26.【2015年新课标1】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程。
（2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积。
【答案】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为127. 【2015年新课标2】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值 【答案】（1）曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== 的直角坐标方程是.032:;0:222221=-+=-+x y x C y y x C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴====.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得C C y x y x （2）曲线.001），，（的极坐标方程为παρραρ<≤≠∈=R C .465.)3sin(4cos 32sin 2,,cos 32,,sin 2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点AB AB B A παπααααααα=∴-=-=8.【2016年新课标1】在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，a ＞0）。
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为a 0=θ，其中a 0满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。
【答案】 （1） （均为参数） ∴ ①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ∵∴ 即为的极坐标方程 （2） 两边同乘得即 ②cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为 ∴ ∴9.【2016年新课标2】在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =求l 的斜率． 【答案】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为． （2）记直线的斜率为，则直线的方程为，， 即，整理得，则10.【2016年新课标3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x =q y =sin q ìíïîï为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标. 解:（1）C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)，∵C 2是直线，∴|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (a )＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋π3)－2当且仅当α＝2kπ＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2， 此时P 的直角坐标为(32，12)3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =2212110x y +++=222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩C 212cos 110ρρθ++=k 0kx y -==22369014k k =+253k =k =【2017新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。
（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la 。