最新初一数学上册《 角》
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
七年级数学上册《角》教案、教学设计
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、讨论等教学活动，让学生掌握角的定义、分类和性质。
2.引导学生运用量角器、三角板等工具进行角的度量，培养学生的动手操作能力。
3.通过解决实际问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
4.利用图形、实物等直观教具，帮助学生形象地理解角的性质，提高学生的空间想象力。
-利用多媒体教具和实物模型，增强学生对角的直观认识，帮助学生形象地理解角的性质。
-设计富有启发性的问题和实际案例，激发学生的学习兴趣，培养学生的解决问题能力。
2.教学策略：
-针对重点内容，通过反复练习和变式训练，帮助学生巩固知识，形成技能。
-对于难点问题，采用分步教学法，逐步突破，让学生在理解的基础上逐步提高。
二、学情分析
七年级的学生在数学学习上已经具备了一定的基础，掌握了基本的几何图形和几何概念，但对角的深入学习还较为陌生。学生在小学阶段对角的认识主要停留在直观层面，对角的性质和分类理解不够深入。因此，在本章节的教学中，教师需要关注以下几点：
1.学生对角的定义和性质的理解程度，注意引导他们从直观认识上升到理论认识。
-结合实际生活，找出一至两个含有角的物体，画图并标出各角的类别和大小，强化角的直观认识。
-解决以下问题：如果一个三角形的三个内角分别为45°、60°和75°，求这三个角的和，并判断这个三角形是什么类型的三角形。
2.选做题：
-设计一道关于角的和差运算的问题，并给出解答过程，培养学生的创新意识和问题解决能力。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
-通过PPT和实物模型，向学生介绍角的定义、分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）和性质（轴对称性、和差运算等）。
人教七年级数学上册《角》课件(共15张PPT)
5
4 3
D
A
∠1
∠3
∠BAC
2 1
C
∠4
∠ABC
E
平角和周角
分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成 角的度数 。
巴黎时20°
90°
除了“度”之外，还有其它的度量单位吗？
1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⒊角的度量单位是度、分、秒，是六十 进制。
探索与思考：
如果一个角（小于平角）内有一条射线， 则图中共有多少个角？有两条射线呢？三条？ n条？
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
例1 计算： ⑴ 1.45°等于多少分？等于多少秒？ ⑵ 1800″等于多少分？等于多少度？
用度、分、秒表示： ⑴0.75°＝ 45 ′＝ 2700″ ⑵(1－45)°＝ 16 ′＝ 960″ ⑶16.24°＝ 16 ° 14 ′ 24″ ⑷34.37°＝ 34 ° 22 ′ 12″
用度表示：
⑴1800″＝ 0.5°
射边线
6.3.1角的概念 课件(共35张PPT) 初中数学人教版(2024)七年级上册
图例 A
O
B
用一个大写 字母表示
O
用数字表示
1
用希腊字母 表示
记法
方法解读
字母O表示顶点，要写在中 间，A，B表示角的两边上 的点，用该表示法可以表 示任何一个角。
当以某一个字母表示的点为 顶点的角只有一个时，可以 用这个顶点的字母来表示
在靠近角的顶点处加上 弧线，并标上数字或希 腊字母。该表示法形象 直观
巩固练习
1、下列图形是角吗？
2、判断题： （1）两条射线组成的图形叫角。 （2）角的大小与边的长短无关。 （3）角的两边是两条射线。
总结
定义
图例
组成元素
“静” 态的观
点
“动” 态的观
点
有公共端点的
边
两条射线组成
的图形叫做角 顶点
边
角可以看作由 一条射线绕着 它的端点旋转 而形成的图形。
终边 始边
因此，54.26°= 54°15′36″.
例3 .把45°25′48″化成度．
解：45°25′48″ =45°+25′+48×(610)' =45°+25.8' =45°+25.8×(610)° =45.43°
巩固练习
例2：填空 ① 1小时= 60分， 1分= 60 秒. ② 3.3小时= 3 小时 18 分， 2小时30分= 2.5 小时. ③ 1°= 60 ′，1′= 60 ″. ④ 0.75°= 45 ′= 2700 ″， ⑤ 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
向两端 无限延 伸
0个
不可 度量
射线
·
A
B· l
1.射线AB 2.射线l
6.3.1 角的概念(课件)人教七年级数学上册
【选自教材P172 练习 第1题】
3. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？ 8时呢？8时30分呢？
解：分别是180°，120°，75°的角.
【选自教材P172 练习 第2题】
4.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表 示出来.
表示 方法1
表示 方法2
∠1 ∠CAD
∠2
∠3
∠ACB ∠BAC
A ∠AOB或 顶点字母写 ∠BOA 在中间
用一个大写英 文字母表示 O
A 用数字或希腊
字母表示
α O1
在顶点处只有一
B ∠O
个角时才能用这 种方法表示
∠AOB记 作∠α B ∠BOC记 C 作∠1
要在靠近顶 点处加上弧 线并标注
知识点三 角的度量及换算
探究：角的度量单位有哪些？它们又是如何定义的？
探究2：继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
当终边OB和始边OA 重合时，形成周角
A
O
（B）
注意：周角的两边重合形成一条
射线，但不能说周角就是射线.
今后，若无特别说明， 本套书所说的角都是指 还没有旋转成平角时所 成的角.
归纳 角的概念
类型
概念
举例
静态 描述
有公共端点的两条射
边
线组成的图形叫作角. 顶点
边
动态 由一条射线绕着它的端点
终边
描述 旋转而形成的图形叫作角. 顶点
始边
知识点二 角的表示方法
想一想：类比表示直线、射线、线段的方法，如何 表示一个角？
注意：“∠”不 角的几何符号为“∠”要与“＜”混淆
记法1 用三个大写英文字母表示
A
记作：∠AOB或∠BOA
人教版数学七年级上册 角的概念
素养考点 1 度分秒的转化
例1 度分秒的互化.
按1°＝60′，1′＝60″，
(1) 57.32°= 57 ° 19′ 12 ″； 先把度化成分，再把分化成
解析：57.32=57+0.32×60′
秒. (小数化整数)
=57+19.2′ =5719′+0.2×60″
=5719′12″
(2) 17°6′36″= 17.11 °.
60°
货轮C和海岛D方向的射线.
C 10° ● 南
A
●
费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当 时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、 二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六 号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中 画出当时神舟六号所处的位置吗？
●
远望一号
●
1°=60′，1′=60″
方位角
北 西北
45° 45°
方
东位
东南
3. 甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时 针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对 的是（ D ） A．甲：“3时整和3时30分” B．乙说“6时15分和6时45分” C．丙说“9时整和12时15分” D．丁说：“3时整和9时整”
4. 如图所示：
(1) 图中共有多少个角？请写出能用一个字母表示的角；
东北方向：射线 OH 东南方向：射线 OG
说一说 如图，说出下列方位.
(1) 射线 OA 表示的方向为北__偏__东___4_0_°.
(2) 射线 OB 表示的方向为_北__偏__西__6_5_°. B
(3) 射线 OC 表示的方向
为南__偏__西___4_5_°__(_西__南_) .
七年级数学上册《角》PPT课件
④∠O
⑤∠COP ⑥∠P。
其中正确的有__①_____③_____⑥__（把你认为 正确的序号都填上。）
C
A
P
O
2.将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表
： ∠1
∠ ∠2
∠ ∠B
∠BCE ∠ACB ∠BAC ∠BAD ∠ABC
B
2
D
A
1
C
E
角的定义（2）: 动态定义
角也可以看做一条射线绕端点旋转所形成的图形
你真棒
3、下列对角的表示方法理解错误的是（ B）
（A）角可用三个大写字母表示，顶点字母写 在中间，每边上的点写在两旁 （B）任何角都可用一个顶点字母来表示 （C）表示角时有时可靠近顶点加上弧线，注 上数字来表示 （D）表示角时有时可靠近顶点加上弧线，注 上希腊字母来表示
太好了
4、判断下面说法对不对： A
(a) ∠1就是∠A； (b) ∠2就是∠B；
1
２
３
BＤ
ＣＭ
(c) ∠3就是∠C .
5.如图 (1)用三个大写字母表示角: ∠1为 ∠EDB或∠ EDC ; ∠2为 ∠DBE或∠DBA ; ∠3为__∠_A__B_C__或∠EBC . (2)可以用一个大写字母表示的角是
_______∠_D__,_∠_A_，__∠_C__________
字母.但要记住在角内部靠近顶点处 画上一段小的圆弧，标上数字或者
希腊字母
图中有几个角？你能把它们表示出来吗？并指出每个角的顶点和边
O
13C2
A
B
答： ∠ AOC(∠1 或者∠ ）, ∠ BOC(∠2或者
∠ ） , ∠AOB （∠3）
练习1
1.把图中的角表示成下列形式：
6.3.1 角的概念 课件(共24张PPT) 人教版七年级数学上册
√
×
×
2．将图中的角用不同方法表示出来，填在下表中．
用数字或小写希腊字母表示
∠1
∠3
∠4
∠α
用三个大写英文字母表示
∠BCA
∠BAC
∠ABF
∠ABC
∠2
∠β
∠BCE(或∠FCE)
∠BAD
3．计算：(1)1.45°＝______′＝________″；(2)1 800″＝______′＝_______°；(3)58.37°＝_______°_______′______″；(4)15°32′24″＝_______°＝__________″.
解：(1)①22.5°＝22°30′. ②51.23°＝51°13′48″.
【题型二】度、分、秒的换算
(2)①18°36′＝18.6°. ②13°37′48″＝13.63°.
例4：灯塔在货轮的南偏东50°方向的30海里处，则货轮相对于灯塔的位置是( )A．北偏西50°方向，30海里处 B．西偏北50°方向，30海里处C．北偏西40°方向，30海里处 D．南偏东50°方向，30海里处
把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角；把1度的角平均分成60份，每一份就是1分的角；把1分的角平均分成60份，每一份就是1秒的角
360
180
60
60
1.判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”．(1)两条射线组成的图形叫作角；( )(2)角的两边是两条射线；( )(3)平角是一条直线；( )(4)周角是一条射线．( )
知识点2：角的度量及单位换算(难点)
度量单位
换算方法
度量工具
(1)度：把一个周角360等分，每一份是1度的角，1度记作1°.(2)分：把1度的角60等分，每一份是1分的角，1分记作1′.(3)秒：把1分的角60等分，每一份是1秒的角，1秒记作1″
人教版七年级数学上册教学课件角
人教版七年级数学上册教学课件角
学以致用
例题1：比较47.44°和47°40′48″的大小
解：47.44°=47°+0.44° 0.44°=0.44×60′=26.4′ 26.4′=26′+0.4′ 0.4′=0.4×60″=24″ ∴47.44°=47°26′24″ ∴47.44°＜47°40′48″
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1平角= 180°
1′=（610）° 1″=（610）′
人教版？
人教版七年级数学上册教学课件角
人教版七年级数学上册教学课件角
角度制和测量工具
1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度 量制，叫做角度制。 2.除了角度制外，还有弧度制、密位制。
【义务教育教科书人教版七年级数学上册】
第四章 几何图形初步 4.3.1 角
（1）
（2）
（3）
（4）
A O
A BO
C
1
α
B
②用一个数字或希腊字母表示 注意：要自行标注弧线和数字或希
腊字母，希腊字母写法要规范
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B 3
2 αβ1
D
A
C
E
∠1
∠α
∠BCA
∠2
∠ABC
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角思也考可：以看角作是：有由公一共条端射点线的绕两着条它射的线端点组旋成转 的图形，下而图形把成射的线图绕形着。它的端点旋 转组成怎样的图形？
终边
顶点
始边
A
B
平角
A(B)
周角
人教版七年级数学上册教学课件角
初中数学北师大版七年级上册《角》课件
练习12.(1)把 26.19°转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把 33°14′24″转化为用度表示的形式.
错解：(1)26.19°＝26°1′9″. (2)33°14′24″＝33.142 4°.
诊断：角度相邻单位是六十进制，即 1°＝60′，1′＝60″，要注意 与数的相邻计数单位的十进制区分开．
角的表示方法:
1.用三个字母及符号“∠”来表示.
2.用一个数字及符号“∠”来表示
3.用一个希腊字母及符号“∠” 来表示. 4.当顶点只有一个角时可用顶点字
母及符号“∠”来表示.
α1 B ∠ABC 或∠α
C 或∠1
或∠B
作业布置
完成习题4.3问题解决
4.3
角
第二课时，角度计算
数学北师大版 七年级上
开动脑筋
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
钟表上有12大格，
4：00
每小时时针走1大
格，时针转 30°
钟表上有60小格，
每分钟分针走1小
格，分针转 360°÷60=6°
120°
15.归纳与猜想：
(1)观察下图填空：图①中有
3
角，图③中有 10 个角；
个角，图②中有
6个
(2)猜想：从同一个端点 O 出发的 6 条射线一共可以组成多少个
B
O
A
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边
成一条直线时，所成的角叫做平角.
O
A（B）
终边继续旋转，当它有和始边重合时，所成 的角叫做周角.
在不做特别说明的情况下，我们说的角 都指不大于平角的角
角的表示方法:
A
1.用三个英文字母及符号“∠”来表示.
七年级数学上册《角》PPT课件
05
角的证明与推理
2024/1/28
19
等量代换法证明角相等
定义法
根据角的定义，通过证明 两个角所对的边或顶点关 系来证明它们相等。
2024/1/28
等量代换法
通过证明两个角分别与第 三个角相等，从而得出这 两个角相等。这种方法常 用于几何图形的证明中。
推理法
结合已知条件和图形性质 ，通过逻辑推理证明两个 角相等。
角的表示方法
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两 边的字母表示角的两条边；也可以用一个大写字母表示，这个字 母就是角的顶点；还可以用一个数字或希腊字母表示。
4
角的度量单位与换算
2024/1/28
角的度量单位
角的度量单位是度，用符号“°” 表示。把一个圆周分成360等份 ，每一份叫做1度，记作1°。
角的换算
1度等于60分，1分等于60秒。因 此，角度可以换算成分和秒。例 如，45°可以换算成45°00'00''。
5
角的基本性质
2024/1/28
• 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小 有关，与边的长短无关。
• 角的平分线性质：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角 分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
两个角相加，将它们的度 数相加即可。
2024/1/28
角的减法
两个角相减，将它们的度 数相减即可。
应用
利用角的加减运算进行角 度的计算和证明，解决与 角度相关的问题。
14
04
角在生活中的应用
2024/1/28
15
时钟上的角度问题
时钟面上的角度计算
时钟面平均分成了12份，每份对应的角度是30度。可以用这个知识点来解决时 钟上时针和分针之间的角度问题。
人教课标版七年级(上册)角-【完整版】
人教课标版七年级上册 角-精品课件ppt(实用版)
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1.角的概念
▲有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。(静) ▲由一条射线绕着它的端点旋转形成的图形叫做角。(动) 2.角的表示方法
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角的大小与角两边的长短有关系 吗？角的大小是用什么工具
测量出来的呢?
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把一个周角360等 分,每一份就是_1_o__ 的角;
把一度的角60等分, 每一份就是__1_′ __ 的角;
把一分的角60等分, 每一份就是_1_〞___ 的角.
角的单位是_度__、__分__、__秒__
它们是__6_0__进制
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问题3：你能解决下列问题吗？试一试： （1）29°26′59″＋48°58′15″； （2）36°26′46″－29°46′29″； （3）32°25′24″×3； （4）180°—23°31′25″； （5）106°25′÷5
人教课标版七年级上册 角-精品课件ppt(实用版)
练一练
将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下
表
B
5
4 3Biblioteka 2 1ED
A
C
∠1
∠2 ∠3 ∠4
∠5
初一数学上册角类讲解
初一数学上册角类讲解一、角的概念，几何角与角的关系。
1、角的定义。
角是具有公共端点的两条射线组成的图形。
2、几何角：射线的公共端点和公共端点所张的大小相等方向相反的两个角叫做直角。
3、两角的关系。
（ 1）两角可以不在同一个平面内。
（ 2）两角可以不在同一条直线上。
（ 3）两角可以重合。
4、直角、锐角、钝角、平角、周角。
（ 1）直角（ 2）锐角（ 3）钝角（ 4）平角（ 5）周角二、角的分类1、按角所在位置分类：分为三种情况：一个角在角平分线上，这个角叫做直角；一个角在一条直线的两个位置上，这个角叫做锐角；一个角在另一条直线的两个位置上，这个角叫做钝角。
2、按角的顶点数目分类：分为三种情况：两个角是一个顶点的角叫做直角；三个角是一个顶点的角叫做三角形；三个角是三个顶点的角叫做六边形。
三、角的画法。
1、作一条射线，先用一条长度表示出它的端点在射线上的位置，再用箭头指明射线的延长方向。
2、先画一条射线，表示出它的端点在射线上的位置。
3、从端点引出两条射线，然后表示出它们的延长方向。
4、连接端点和中点的线段，把这两点之间的部分叫做射线的“一半”。
5、过每一条射线画一个角。
6、把表示角的点的线段的两端，按逆时针方向旋转到同一个方向，并且把两个端点重合起来。
7、作出每个角的两条边和一个顶点。
8、连接两个端点，并且把它们的端点重合在一起。
9、在同一个角里，连接两条边的中点的线段叫做这个角的“高”。
10、沿着某一条边或者某一个顶点，将其余各边依次首尾相接地连接起来，就得到了一个封闭的图形——角。
11、如果要求证一个角是直角，只需要找到这个角的顶点，使顶点落在这条边上即可。
12、如果已知一个角的两条边和一个顶点，那么根据题意可设计出多种证明方案。
13、利用勾股定理也能够判断一些特殊的角。
14、通常我们说的角都是指平角。
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.1角
例：28°7′12 〞 =28.12°（方法2）
角表示方法
记作：∠AOB 或∠BOA
记作：∠O
记作∠α
记作∠1
1. 判断下面各角的表示方法是否正确.
∠ACB
∠B
∠ABC
∠CAB
∠A
2. 下面表示∠DEF的图是( )
1.把图中的角表示成下列形式：①∠APO ②∠AOP ③∠OPC，④∠O ⑤∠COP ⑥∠P。其中正确的有___________
（1）两条射线组成的图形叫角。
（2）角的大小与边的长短无关。
（3）角的 两边是两条射线。（4）.角是一条线段绕着它的一个端点旋转而成的图形.
1、用三个大写字母表示，且把顶点字母放在中间
2、用一个大写字母（角的顶点）
4、用一个数字表示（在角的内部靠近角的顶点处画一条弧线,写上一个数字）
3、用小写希腊字母表示（在角的内部靠近角的顶点处画一条弧线,写上一个希腊字母）
角的度量单位 及换算
1.完成下列角度的换算: (1)0.4°=_____ ′ (2)4.5 ′ =_____ ″ (3)33 ′ =_____ ″(4)900 ″ =______ ′
化成度表示
28°7′12 〞
例：3.38° =3°+(0.38×60) ′ =3°+22.8′ =3°+22 ′+(0.8 ×60) 〞 =3°+22′+48〞
∠1
∠3
∠4
∠ACB
∠ABC
2.将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表。
北师大版(2024)数学七年级上册4.2 角 第1课时 角 课件(共22张PPT)
A．平角是一条直线
B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就形成一个平角
D．两个锐角的和不一定小于平角
随堂检测
4.（1）表示把48.26°化成用度、分、秒表示的角；
（2）把37°24′36″化成用度表示的角.
解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′
＝48°15′＋0.6×60″
＝48°15′36″；
（2）在图中，∠BAC，∠CAD和∠BAD能用∠A来表示吗？
B
解:（1）图中的角有∠BAC、∠CAD、
C
∠BAD（表示方法不唯一）；
（2）在图中，∠BAC，∠CAD和∠BAD
不能用∠A来表示；因为唯有在角顶
点处只有一个角的情况，才可用顶点
处的一个字母来记这个角。
A
D
讲授新课
怎么知道一个角的大小？
角的度量工具：
(2)先把36″化成分，即（ ）′＝0.6′，
.
再把24.6′化成度，即（ ）°＝0.41°，
所以37°24′36″用度来表示为37.41°.
随堂检测
5. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现
它的北偏东 60° 方向有白色漂浮物，同时，从 B 船也发现该
白色漂浮物在它的北偏西 30°方向.试在图中确定白色漂浮物
（2）哈尔滨在北京的北偏东大约45°。
借助角表示方向，通常以正北或正南为基准，以偏西或偏东的
角度来描述方向。
讲授新课
方位角：
射线OA 的方向是北偏东60°
射线OB 的方向是南偏西30°
表示方位的角
方位角
正北（或正南）方向线与目
标方向线所夹的锐角
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角
各位老师，大家好。
我为大家说课的内容是新人教版七年级上册第四章第三节第一课时角。
在“以学生发展”为本的前提下，为提高学生的学习兴趣，并为学生今后的学习打下坚实的基础，结合新课程标准,我对本节作如下说课。
一、说教材
1、地位作用：
本节知识建立在射线、线段等相关知识的基础上，同时也是进一步学习角的度量、比较、画法，以及深入研究平面几何图形的基础．
2、教学目标：
*1．知识与技能
（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，?学会角的表示方法．
（2）使学生用运动的观点理解角、平角、周角的定义
（3）认识角的度量单位度、分、秒，会进行角度制单位换算．
*2．过程与方法
提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题．
*3．情感态度
经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲．
3、重、难点
1．重点：角的定义，角的表示方法，会进行角度的简单换算
2．难点：会用不同的方法表示一个角，角度的换算二、说教法、学法
1.教法：启发诱导、讨论法、练习法、
2.学法：自主探究、合作交流、练习法三、说教学设计
（一）引入新课
观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?（多媒体出示:吊扇、时钟、飞机、剪刀、圆规等图案）
（1）提出问题：通过以上在学生回答的基础上，给予纠正和补充，最后给出角的静态定义举例和小学时你对角的认识，你会画一个角吗？（教师演示角的画法）同学们请观察，角的两边是前面我们学过的什么图形？它们的位置关系如何？你能否根据自己的理解和刚才老师的提问，描述一下怎样的几何图形叫做角？．
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边．
（2）提出问题：角的大小与角两边的长短有关系吗？
学生讨论并演示：拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角板对比演示．
总结：角的两边既然是射线，则可以向一方无限延伸，所以角的大小与所画角的两边长短无关，仅与角的两边张开的程度有关．
练习1:判断：下面的图形那些是角？
（二）角的表示方法
像直线、射线、线段一样，可以用字母表示．阅读课本第136页,总结角的表示方法有几种.学生活动：学生看书，可以相互讨论，然后归纳出角的几种表示方法．
学生阅读后，多找几个学生回答．最后通过不断补充、完善，归纳整理得出角的表示方法，角有以下几种表示方法(如图)
【说明】总结以上方法时，对前两种表示方法，应注意的问题要加以强调．第一种表示方法必须注意：顶点字母在中间．第二种表示方法只限于顶点
只有一个角．另外，让学生区分角的符号与小于号．注：在不做特别说明的情况下，我们说的角都指不大于平角的角。
练习2：(1)把图中的角表示成下列形式：
（1）∠APO，（2）∠AOP（3）∠OPC，
（4）∠O，（5）∠COP，（6）∠P（7）∠a_
其中正确
(2)指出图中有几个角，并用适当的方法表示它们．
(三)角的动态定义：
展示折扇和圆规，通过运动，展示出运动从初始状态到终止状态的过程。
然后电脑演示：显示一条射线，然后射线绕其端点旋转，
到另一个位置停止则形成一个角，
然后归纳出角的概念：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形也叫做角。
其中起始位置的射线叫做角的始边，终止位置叫做角的终边
【说明】角的旋转观点的定义是教学中的一个难点，学生不易理解．因此，结合电脑的显示，举出实例等手段加强教学的直观性．
继而用运动的观点展示角的分类：锐角，直角，钝角，平角，周角.
【说明】平角、周角概念学生不容易理解，所以要通过直观演示后教师加以解释.
（四）角的度量
1、学习角的度量
（1）教学生认识量角器
(2)认识了量角器，那怎样使用它去测量角的度数呢？这部分知识请同学们合作学习。
2、教师利用课件演示正确的操作过程，纠正学生中存在的问题。
3、归纳概括测量方法（两重合一对照）
（1）用量角器的中心点与角的顶点重合
（2）零刻度线与角的一边重合（可与内零度刻度线重合；也可与外零度刻度线重合）
（3）另一条边所对的角的度数，就是这个角的度数。
4．度、分、秒的进位制及这些单位间的互化
为了更精细地度量角，我们引入更小的角度单位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分记作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒记作1″.
1°=60′，1′=60″；1′=（）°，1″=（）′.
（五）单位换算
例1将57.32°用度、分、秒表示.例2把10°6′36″用度表示.
练习3：⑴1.45°等于多少分?等于多少秒?
⑵1800″等于多少分?等于多少度?
（六）实践应用
试一试1计算三叶草相邻叶脉中间线的夹角
试一试2如图：从3：00到3：
30
(1)时钟的分针转过多少度？(2)时钟的时针转过多少度？
(3)你会计算3:30时时针与分针的夹角吗？
试一试3
图中的A,B,C表示足球比赛中3个不同的射门位置。
(1)如果射门角度越大,则进球机会越大.请指出图
中哪一点射门最好。
(2)请估测图中所示各个角的大小，再用量角器
量一量,验证你的观点。
（七）拓展
（1）如图∠AOB内部画1条射线，问图中一共有多少个角？
如果是画2条、3条呢？
（2）∠AOB内部画99条射线，一共有多少个角？
(八)反馈与测试
1．下图中表示∠ABC的图是（）．
2．下列关于角的说法正确的是（）．
A．两条射线组成的图形叫做角；B．延长一个角的两边；
C．角的两边是射线，所以角不可以度量；D．角的大小与这个角的两边长短无关3 .如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）．是________________．
5.（1）25．72°=______°______′_______″．
（2）15°48′36″=_______°．
（3）3600″=______′=______°．
6.钟表在8：30时，分针与时针的夹角为______度．
7.右图是一个公园示意图．
（1）用线段把大门与各景点连接起来；
（2）通过测量，比较各景点与大门距离的长短；
（3）以大门为中心用字母表示两个景点之间的夹角；
（4）量出（3）中各角的度数．
（九）小结反思
通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么疑惑？
（十）布置作业
课本第138页1,2,3题
推荐作业:
将图中的角用不同的方法表示出来
:第4题4．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以为顶点的角有_______个，它们分别A?。