抛物线中的存在性问题
存在性问题
存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、函数中的存在性问题（相似）1.（枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、函数中的存在性问题（面积）3. （日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4、（德州12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的12．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．5.（济宁10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。
问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。
通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。
然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。
抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。
1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。
当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。
3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。
抛物线与 y 轴相交的点就是 c。
顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。
- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。
因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。
实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。
而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。
结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。
通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。
只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。
与抛物线有关点的存在性问题
Ｙ
ｋ ＋ ，由其 过点Ａ（ ，０ 、Ｂ（ ，一 ） ｘｂ ３ ） Ｏ ３ ，知
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Ｐ
Ｚ ／
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直线Ａ Ｂ的解 析式 为ｙ 一 ． ３ 抛 物 线 ＋ ＋ 经 过点Ａ（ ，０ 、 ， ｎ ３ ）
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ＡＰ Ｂ ＩＡ 为 底边 的等腰 三 角形 ． Ａ 是） Ｂ ２
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存 在符 合要 求 的点Ｐ，其 坐标 为 （Ｉ，０ ）．
说 明 ：求 点Ｐ 的坐 标 时 ，要 注 意发 现 ＡＢ Ｐ 直 角三 角 形 ，利 Ｏ是 用勾股 定理 构造关 于ｍ的方 程． 例２ （ 广西南 宁 市 中考试 题 ）如 图 ，抛 物线 ） ＋眦＋ 经 过 点Ａ ， ， ｎ （ ，０ 、Ｂ （ ，一 ） ３ ） ０ ３ ，点Ｐ 是直线Ａ 上 的动点 ，过 点腓 的垂线 交 Ｂ 轴 抛物 线于 点 ，设 点Ｐ 的横 坐标 为ｐ ． （ ）分别求 出直 线Ａ １ Ｂ和这条 抛物线 的解 析式 ；
（ ）若点脏 第 四象 限 ，试求 线段Ｐ ２ Ｍ的最大值 ；
（）是否存在这样 的点Ｐ ３ ，使得以点Ｐ Ｍ、Ｂ、０ 、 为顶点的四边
形 为 平 行 四边 形 ？ 若 存 在 ，请 直 接 写 出 点Ｐ 的横坐 标 ；若 不存 在 ，请 说 明理 由．
解决存在性问题的几种常用方法
解决存在性问题的几种常用方法〔关键词〕数学教学;问题;存在;分类讨论法;解析法;比例线段法;图象法一、分类讨论法例1已知,在直角坐标系中,A、B两点是抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴的交点(A在B的右侧),x1、x2分别是A、B两点的横坐标,且|x1-x2|=3.(1)当m>0时,求抛物线的解析式;(2)如果(1)中所求抛物线与y轴交于点C,问y轴上是否存在点D(不与点C重合),使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.分析:要求抛物线的解析式,只需求出m的值,可通过条件“|x1-x2|=3”,结合根与系数的关系及根的判别式确定m的值为2.解:(1)略,所求抛物线的解析式为y=x2+x-2.(2)假设在y轴上存在点D,使得△DOA∽△AOC. 设点D的坐标为(0,y),由(1)知抛物线y=x2+x-2与y轴的交点C的坐标为(0,-2),与x轴的交点A的坐标为(1,0),如图①、②所示分以下两种情况讨论:①当∠ACO=∠ADO时,则△ACD为等腰三角形,此时AO垂直平分DC.∵点C、D关于原点对称,∴D1的坐标为(0,2).②当∠DAO=∠ACO时,有两种情况,如图②所示点D2、D3的位置,并且此时点D2与点D3关于原点对称,下面求D2点的坐标.∵△DAO∽△ACO ,∴OA2=OC·OD.∴OD=■=■,∴点D2的坐标为(0,■),而D3是D2关于原点的对称点,即D3的坐标为(0,-■),综上所述,D点存在,有3个,其坐标分别是(0,2)、(0,■)与(0,-■).评注:本题所探索的是点的存在性问题,用了分类讨论的方法,解题时要注意将任何可能的情况都要考虑到,否则易将D3漏解,而在探求此点时又利用了对称性原理巧妙地进行了解答.二、解析法例2 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,顶点C在y 轴的负半轴上,tan∠ABC=■,点P在线段OC上,且PO,PC(PO<PC)是方程x2-12x+27=0的两根.(1)求P点的坐标;(2)求AP的长;(3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在请直接写出直线PQ的解析式;若不存在,请说明理由.分析:该题前两问是常规求解问题,只需根据已知条件和已有知识进行推理论证,解答出结果即可,而最后一问将函数和几何的有关知识有机结合在一起,形成一道“是否存在”的综合题目,应以“假设存在,去伪存真”作为解答策略.解:(1)略,点P的坐标为(0,-3);(2)略;(3)假设存在,分两种情况讨论,如图③所示:(i)过P作PQ1∥AC交x轴于点Q1,由(1)(2)知,点A、C、P的坐标分别为(-9,0),(0,-12),(0,-3),设直线AC的解析式为y=k1x+b1,将点A、C的坐标分别代入解析式得-9k1+b1=0b1=-12 解得k1=-■b1=-12又∵AC∥PQ1,∴直线PQ1的解析式为y=-■x-3.(ii)过点C作CQ2∥AP交x轴于点Q2,设直线AP的解析式为y=k2x+b2,同(i),解得k2=-■,b2=-3. ∵CQ2 ∥AP, ∴CQ2的解析式为y=■x-12. 令y=0,得x=-36, ∴点Q2的坐标为(-36,0).再设直线PQ2的解析式为y=kx+b,将P(0,-3),Q2(-36,0)分别代入y=kx+b,可得k=■,b=-3,∴直线PQ2的解析式为y=-■x-3.三、成比例线段法例2中的第三问还可以用下面的方法解答.分两种情况:如图③所示:当PQ∥AC时,则由△OPQ∽△OCA得■=■,∴OQ=■=■ =■ ,∴点Q的坐标为(-■,0) ,再设PQ的解析式为y=kx+b,将点P、Q的坐标分别代入解析式,有b= -3-■k+b=0 解得b= -3k= -■∴直线PQ的解析式为y= -■x-3.当AP∥QC时,则由△OAP∽△OQC得■=■,∴OQ=■=■=36.∴点Q的坐标为(-36,0),利用待定系数法可确定此时直线PQ2的解析式为y=-■x-3.评注:此题在解关于“是否存在”的问题时解法灵活,既可以利用“解析法”中两直线平行的特点,并以一次项系数k相同作中间桥梁进行解答,又可以利用平行线等分线段定理确定线段的长度,进而得到解析式.四、图象法例3如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于0、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段OM上,点A、O 在抛物线上.(1)请写出P、M两点的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)设矩形ABCD的周长为L,求L的最大值;(3)连结OP、PM,则△PMO为等腰三角形,请判断在抛物线上是否存在点Q(除点M外),使得△OPQ是等腰三角形,简要说明理由.分析:此题第一问可以直接将已知条件中的距离转化为点的坐标形式,再利用待定系数法确定解析式即可;第二问利用矩形的性质及抛物线的对称性,设点A的横坐标为xA,找出点A的坐标与矩形的长、宽之间的关系,列出L关于xA的二次函数关系式,从而求出最值;第三问直接通过作图的方法来探究“是否存在”.解:(1)略,点P的坐标为(2,4),点M的坐标为(4,0),抛物线的解析式为y=-x2+4x;(2)略,L的最大值为10;(3)假设存在点Q(除点M外),使得△OPQ是等腰三角形.若△OPQ是等腰三角形,OP可以为底,也可以为腰.①以OP为底,作OP的垂直平分线RS,可以交抛物线于Q1,Q2,∴这样的点存在,有两个.②以OP为腰时,可以以O为圆心,OP的长为半经作圆(除M点外)还有3个点,∴存在点Q,使△POQ为等腰三角形.评注:对“是否存在”的问题是通过猜测、分析、作图的方法,探究到结果,体现出数学图形的简洁性、直观性、形象性.。
九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题8
抛物线与存在性-8一、解答题（共30小题）1、（2010?河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．2、（2010?江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．3、（2010?吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2010?昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）5、（2010?荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．6、（2010?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥A C，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2010?江西）如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．8、（2010?江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2010?丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC 可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当a=，b=﹣，c=﹣时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=﹣2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2010?龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2010?临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．12、（2010?茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．13、（2010?南宁）如图，把抛物线y=﹣x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y 轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．14、（2010?綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2010?盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．16、（2010?攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax2+b（a≠0）交于A（﹣4，﹣2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P使得△P AC的面积是△ABC面积的，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2010?曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18、（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2010?三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（﹣4，0）、C （0，﹣12）．顶点为M，过点A的直线y=kx﹣4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)[例]已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1.注：作铅垂线求S△ACD也是可以的（2）方法一：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．方法二：（K 值法）结论1：直线1111:l y k x b =+与直线2222:l y k x b =+垂直⇔121k k =-； 结论2：点11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x ≠）分别是直线:l y kx b =+上两个不同的点，则2121y y k x x -=-.（证明：11y kx b =+……①22y kx b =+……②， ②－①得，2121()y y k x x -=-，2121y y k x x -=-） 解：90932(5)3AD a a k a ---===----，9(5)42202CD a a a k a ----===---， ∵∠ADC =90°，∴1AD CD k k =-，即23261a a a -⨯=-=-，12a a ==. ∴抛物线的解析式为：y =（x +5）（x ﹣1）=x 2+x ﹣． 练习.已知抛物线c bx x y ++-=221与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
初三数学专题三抛物线中的存在性问题(教师版)
抛物线中的存在性问题复习1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .例1：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。
变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例2：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．A B C O xyD变式3：点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例3：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．A B CO xy M NA BCO xy变式5：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.变式6：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法： 三、巩固训练1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .（第1题） （第2题）A BC O xy DA B CO xyD2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （12-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．（1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上。
九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题1
抛物线与存在性-1一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2、（2000•甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．（1）求点M和N的坐标；（2）求系数a的取值范围；（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2000•内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是，过A（0，4）作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2001•哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、（2001•山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC．（1）求a与c的关系式；（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6、（2001•温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．7、（2001•无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．8、（2002•鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B （x2，0）（x l＜x2），且x12+x22=34．（1）求m，x1，x2的值；（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2002•贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．10、（2002•广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．11、（2002•内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC 三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实数根，且a=b；（1）试判定，△ABC的形状；（2）当时求此抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．12、（2002•泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13、（2002•青海）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点．（1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=S△OCB？若存在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．14、（2002•山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O 为坐标原点．（1）证明：△OAB为等边三角形；（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2002•武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）2=12CO+1．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．16、（2002•无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式．（2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．17、（2002•乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2．（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．18、（2003•北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2002•浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点，（1）求这条抛物线的解析式；（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2002•浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q 三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21、（2002•漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．（1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22、（2003•长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．23、（2003•福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x2﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．24、（2003•哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．25、（2003•汕头）已知抛物线y=﹣x2+（m+3）x﹣（m﹣1）．（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）；（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）26、（2003•山西）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．27、（2003•武汉）已知：二次函数y=x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由．28、（2003•无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC﹣S△OBC=OA•OB）（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．29、（2003•泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．30、（2004•长春）已知二次函数y=x2﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题：（1）求△ABC的面积；（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．考点：二次函数综合题。
存在性问题
数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ，33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。
抛物线中角的存在性问题
• 18 .理科考试研究•数学版2021年2月10日抛物线中角的存在性沔题罗峻1段利芳2(1•阳新县白沙中学湖北黄石435241; 2.汉南区纱帽中学湖北武汉430090)摘要：本文通过一道典型习题的“一题五问”来设置问题，破解抛物线中角的存在性问题，让学生了解抛物线存在性问题的题目设置特点及解答策略，培养学生逻辑思维能力和综合运用几何知识构造基本图形，运用函数、方程思想 解决问题的能力，从而领悟解题方法，提高解题效益.关键词：二次函数；角的存在性；一题多问；求解策略函数与几何是初中数学的重点知识和核心内容， 将这两方面的内容结合在同一题目中，难度及综合性 有所增大，这类题目可以考查学生灵活运用知识的能 力，创新意识和数学素养.下面通过一个问题的五问 来破解函数与几何相结合的角的存在性问题，供大家 参考[1].题目如图1,二次函数y =-2* -6与坐标轴交于点4，B ，C ，点为顶点.1 75°角存在问题问题1如图2，P 是B C 下方抛物线上一动点，若乙PCB =75°，求点/1的坐标.图2 图3分析由= 易发现zOCfi =45。
，构造平行线，将75°分成45。
和30。
角之和，出现30。
的特殊 角，利用30°的条件，构造直角三角形并运用含30°角 的直角三角形的三边之比，用某一字母表示点P 坐 标，代人函数解析式则问题获解.解析易求/1(-2,0)，5(6,0)，(：(0，-6)，如图 3，过点C 作C £ //4B 交抛物线于点£，过点P 作C £的垂线，垂足为点F .易求乙 B C F = Z 0BC =45。
，则乙 ECP = 30。
.设= m ■，贝ij C F =，P (爪，一6 - m ) •J E P (V 3m , - 6 - m )jt ；A y = y "*2 ~2x -6,^%爪=¥，所以二1^).2 45°角存在问题问题2对称轴上有一动点M ，使乙CMB =45。
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)(学生版)--2023-2024学年九年级数学上册重难点
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)【类型一存在性之等腰三角形】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B-3,0两点，与x轴的另一个交点为A．,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=；n=；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【类型二存在性之直角三角形】5如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x-2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．6如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与y轴交于点C0,3，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式和点A、B的坐标；(2)设点P为抛物线的对称轴直线x=2上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P的坐标．7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx-3与直线l:y=x+1交于A，B两点，点A的坐标为-1，0．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段AB上任意一点(不含端点)，若△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．8如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【类型三存在性之等腰直角三角形】9如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1-S2的值最大时，求P点的坐标和S1-S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．11如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A的坐标为(0,2)，直角顶点C的坐标为(-1,0)，点B在抛物线y=ax2+ax-2上．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，连结BD、CD，求△DBC的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四存在性之平行四边形】13在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)，(3,0)和0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0))的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．15如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(b、c为常数)的顶点坐标为32,-258，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．(1)求b、c的值；(2)求点A、B的坐标；(3)求证：∠ADO=∠DBO；(4)点P在抛物线y=-12x2+bx+c上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．16如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．【类型五存在性之菱形】17如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0．,B3,0,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18综合与探究：如图，已知抛物线y=-38x2+94x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；(2)当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，直线y =mx +n m ≠0 ．与抛物线y =-x 2+bx +c 交于A -1,0 ，B 2,3 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线上，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)若点P 在抛物线上，PQ ⊥OA 交直线AB 于点Q ，点M 在坐标平面内，当以B ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在(2)中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=-32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y ，且新抛物线y 经过线段BC的中点F，新抛物线y 与y轴交于点M，点N为新抛物线y 对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．【类型六存在性之矩形】21如图①，抛物线y=ax2+x+c a≠0与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②．过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF=EF时，请求出m的值；(3)如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．22已知抛物线y =ax 2+bx -4a ≠0 交x 轴于点A 4,0 和点B -2,0 ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标及PD +PE 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．23综合与探究如图，抛物线y=ax2-3x+c a≠0与x轴交于A(4，0)，C两点，交y轴于点B(0，-4)，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当P在AB下方时，求△ABP面积的最大值；(3)当∠ABP=15°时，△BOP的面积为；(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．24如图，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-83x+c(a≠0)经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC=45°时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC，CA运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【类型七存在性之正方形】25如图，抛物线y=-14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求ACAB的值；(3)点D在抛物线上(点D在点C的左侧，不与点B重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x-4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，已知直线y=-x+4与抛物线y=ax2+bx交于点A4,0两点，点P为抛物线上和B-1,5一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，PN⊥AB于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AB下方时，求线段PN的最大值；(3)是否存在点P使得△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由28如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【类型八存在性之相似三角形】29如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，经过点x+2交抛物线于点D，点D与点A的横坐标互为相反数，P是抛物线上一动点，连接A的直线y=-12AC．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限内的抛物线上，当∠PBA=2∠BAD时，求直线BP的表达式；(3)点Q在y轴上，若△DQP∽△COA，请直接写出点P的坐标．30如图，已知抛物线过三点O0,0，弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB，B2,23，A8,0所在圆的圆心．(1)求该抛物线的解析式．(2)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上．(3)若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．31如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；32如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0，C0,-2．(1)求抛物线和直线AC的函数解析式；(2)若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．【类型九存在性之角度问题】33如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A-1,0为抛物线上、B4,0两点，与y轴交于点C，点D x,y 第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标；(3)该抛物线上是否存在点D，使得∠DCB=2∠ABC，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．34如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx a>0经过点A(-1,3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求∠AOM的度数；(3)联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP=∠ABM，求点P的坐标．36如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A1,0两点，，B3,0与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为0,-1，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．(1)求该抛物线的解析式．(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t>0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的一个专题训练并有试题详细解析及参考答案）
中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的⼀个专题训练并有试题详细解析及参考答案）1、如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1．详细解析及参考答案：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂⾜为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH 3A (13)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代⼊点A (13)-，可得3a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x =-=．（2）由22323331)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,，得3tan 3ABO ∠=，23AB =233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展：在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底⾓的等腰三⾓形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底⾓为30°的等腰三⾓形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1详细解析及参考答案：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂⾜分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案
年级九科目数学班型一对一学生第次课课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月20日8:00——10:00教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
教学重点.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题教学过程：一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。
设运动时间为t〔秒〕，当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。
二、新课学习：〔一〕经典模型模型再现：已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M〔m, 0〕, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。
两线一圆找直角模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下列图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。
具体有以下三种情况：比方：〔1〕当以点A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔2〕当以点B为直角顶点时，过点B 作AB的垂线交x轴的点即为所求；〔3〕当以点M为直角顶点时，只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点〔一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点〕即为所求。
〔二〕解法：1.“K型相似”〔一线三直角〕提示：竖直型，上减下；水平型，右减左。
遇直角，构矩形，得相似，求结果。
2.勾股定理〔暴力法---两点间距离公式〕利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。
其基本解题思路是列点.列线.列式。
第一步，列出构建所求直角三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标；第二步，采用分类讨论思想，列出构建所求直角三角形的三个边，并分类讨论两两垂直的三种可能性；第三步，把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式，利用勾股定理的逆定理列出等式求解。
二次函数中存在性问题
二次函数中存在性问题典例分析例1．已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN＝1时，求点N的坐标；（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，若OA＝OC，一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为1和3，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．同步练习：1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-4ax＋1与x轴正半轴交于点A和点B，与y 轴交于点C，且OB＝3OC，点P是第一象限内的点，联结BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．2、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案例1、答案：（1）∵抛物线ya ＝ax 2+bxx 轴交于A （3，0），B （-1，0）两点，得0930a b a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2y x x = （2）∵233y x x =--∴当x ＝0时，y＝，∴C （0，，∴OC∵A （3，0），∴OA ＝3，∴∠OAC ＝30°，∵MN ＝1，∠MNA ＝90°，在Rt △AMN 中，AN过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，∴NH＝2，AH ＝32， 当点M 在点A 左侧时，N 的坐标为（32，-2）， 当点M 在点A 右侧时，N 的坐标为（，32）， 综上，点N 的坐标为（32，-32）或（，32）， （3）设M 点为（x ，0），则由（2）可得AB＝4，BC2，AC，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：MN=，∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则：①：＝，即2(3)4x-＝234x+，即6x＝6，所以x＝1，此时M为（1，0）；②：＝，即2(3)43x-＝234x+，即x2+3x＝0，解之可得：x＝0或x＝-3，∴M为（0，0）或（-3，0），综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（-3，0）．分析：（1）把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解；（2）过点N作NH⊥x轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可；（3）由题意可得△ABC为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则MN CMCB AB=或MN CMCA AB=，由这两种情况分别求出M的坐标即可．例2、答案：（1）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为1和3，∴OA＝OC＝3，OB＝1，∴点C（0，3），设二次函数的表达式y＝a（x-1）（x-3），∴a（0-1）（0-3）＝3，∴a＝1，∴y＝（x-1）（x-3），∴抛物线解析式为：y＝x2-4x+3；（2）分两种情况：①如图1，当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，则P1（1，0），②如图2，当点A为△APD2的直角顶点，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAD2＝45°，当∠D2AP2＝90°时，∠OAP2＝45°，∴AO平分∠D2AP2．又∵P2D2∥y轴，∴P2D2⊥AO，∴点P2，D2关于x轴对称，设直线AC的函数关系式为y＝kx+b．由题意得：303k bb+=⎧⎨=⎩，∴13kb=-⎧⎨-⎩，∴直线AC的解析式为：y＝-x+3，∵D2在y＝-x+3上，P2在y＝x2-4x+3上，∴设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），∴（-x+3）+（x2-4x+3）＝0，∴x2-5x+6＝0，∴x1＝2，x2＝3（舍），∴当x＝2时，y＝x2-4x+3＝22-4×2+3＝-1，∴P2的坐标为P2（2，-1），综上所得P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；（3）分两种情况考虑：①以AP为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，∵点P 的坐标为（2，-1），∴设点F 的坐标为（x ，1），∴x 2-4x +3＝1，解得：x 1＝，x 2＝，∴点F 的坐标为（1）和（，1）；②以AP 为对角线进行构造平行四边形，∵点A ，E 的纵坐标为0，∴点F 的纵坐标为-1，此时点P ，F 重合，∴不存在这种情况，舍去．综上所述，符合条件的F 点有两个，即（，1）和（，1）．分析：（1）先求出点C 坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．同步练习：1、解：（1）∵抛物线241y ax ax =-+∴点C 的坐标为（0,1）∵OB =3OC ∴点B 的坐标为（3,0）∴91210a a -+=∴13a =∴214133y x x =-+ （2）如图，过点P 作PM ⊥y 轴，PN ⊥x 轴，垂足分别为点M ，N ．∵∠MPC =90°-∠CPN ，∠NPB =90°-∠CPN ，∴∠MPC =∠NPB在△PCM 和△PBN 中，PMC PNB MPC NPB PC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△PBN ，∴PM =PN ．).,(a a P 设点22PB PC = ，2222)3()1(a a a a +-=-+∴，2=a 解得，).2,2(P ∴),0,3(,2B x =该抛物线对称轴为 ).0,1(A ∴),1,0(),0,3(),0,1(),2,2(C B A P .2,22,22===∴AB AC PO,45,135 =∠=∠POB CAB 31tan ==∠∆OB OC OBC BOC Rt 中，在， ,90,45 <∠≠∠∴OCB OBC ,OA OC OAC Rt =∆中，在,45,45 <∠∴=∠∴ACB OCA左侧时：只有在点相似时，点与当O Q ABC OPQ ∆∆)0,4(,4,2222)1(-∴=∴=∴=Q OQ OQOQ OP AB AC 时，当 )0,2(,2,2222)2(-∴=∴=∴=Q OQ OQ OP OQ AB AC 时，当当点Q 在点A 右侧时，综上所述，点Q 的坐标为)0,2()0,4(--或2、解：（1）∵B （2，t ）在直线y ＝x 上，∴t ＝2，∴B （2，2），把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式可得42293042a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y ＝2x 2-3x ；（2）如图1，过C 作CD ∥y 轴，交x 轴于点E ，交OB 于点D ，过B 作BF ⊥CD 于点F ，∵点C 是抛物线上第四象限的点，∴可设C （t ，2t 2-3t ），则E （t ，0），D （t ，t ），∴OE ＝t ，BF ＝2-t ，CD ＝t -（2t 2-3t ）＝-2t 2+4t ，∴S △OBC ＝S △CDO +S △CDB ＝12CD •OE +12CD •BF ＝12（-2t 2+4t ）（t +2-t ）＝-2t 2+4t ， ∵△OBC 的面积为2，∴-2t 2+4t ＝2，解得t 1＝t 2＝1，∴C （1，-1）；（3）存在．连接AB 、OM ．设MB 交y 轴于点N ，如图2，∵B （2，2），∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，在△AOB 和△NOB 中=AOB NOB OB OBABO NBO ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△AOB ≌△NOB （ASA ），∴ON ＝OA ＝32， ∴N （0，32），∴可设直线BN 解析式为y ＝kx +32， 把B 点坐标代入可得2＝2k +32，解得k ＝14，∴直线BN 的解析式为y ＝14x +32， 联立直线BN 和抛物线解析式可得2134223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或384532x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴M （-38，4532）， ∵C （1，-1），∴∠COA ＝∠AOB ＝45°，且B （2，2），∴OB ＝OC， ∵△POC ∽△MOB ，∴OM OB OP OC=＝2，∠POC ＝∠BOM ， 当点P 在第一象限时，如图3，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵∠COA ＝∠BOG ＝45°，∴∠MOG ＝∠POH ，且∠PHO ＝∠MGO ，∴△MOG ∽△POH ， ∴OM MG OG OP PH OH==＝2， ∵M （-38，4532）， ∴MG ＝38，OG ＝4532， ∴PH ＝12MG ＝316，OH ＝12OG ＝4564，∴P （4564，316）． 根据对称性可知，作点P 关于直线OC 使得对称点P ′，显然△P ′OC ∽△MOB ， ∵直线OC 的解析式为y ＝-x ，∴直线PP ′的解析式为y ＝x -3364， 由3364y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得3312833128y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 设P ′（m ，n ），则有45642m +＝33128，3162n +＝-33128， 解得m ＝-316，n ＝-4564，∴P ′（-316，-4564）， 故存在满足条件的点P ，其坐标为（4564，316）或（-316，-4564）．。
抛物线中的存在性问题
典例精讲
典例精讲
∴分三种情况①CP1=CD，②CD=DP2，③DP3=CD.
典例精讲
类型一：二次函数中特殊三角形的存在性问题
二、直角三角形的存在性问题
典例精讲
类型一：二次函数中特殊三角形的存在性问题
典例精讲
类型一：二次函数中特殊三角形的存在性问题
∴P 点的坐标为（ 2，2）。
典例精讲
类型二：二次函数中特殊四边形的存在性问题
已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴 交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左 侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四 边形ABCD的面积的最大值； (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在 以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四 边形？
初中数学知识点精讲
抛物线中的存在性问题
在二次函数中，解决存在性问题，一般按照以下步骤进行：
第一步：先假设存在.
第二步：根据所给条件，观察图形，画出符合题意的草图，分析符合题 意的情况，通常情况下需分多种情况.
第三步：根设出点的坐标，求边长.直接或间接设出所求点的坐标（若所
求点为抛物线上的点时，该点的坐标可设为（x，ax2+bx+c）；若所求点
在对称轴上，该点的坐标可设为（ b，y），若所求的点在直线y=kx+b上
时，该点的坐标可设为（x，kx+b）2，a 并用所设点的坐标字母表示所需线
段的长度.） 第四步：根据等腰、直角、平行四边形、矩形、菱形、正方形等边或角 之间的特殊关系建立等量关系式，并计算.
典例精讲
类型一：二次函数中特殊三角形的存在性问题
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题
抛物线中由动点产生的特殊三角形的存在性问题解析二次函数的图像与三角形的结合是代数与平面几何生成的综合性问题的一种重要形式.其呈现方式多以抛物线为载体、探索满足某种条件的三角形的存在性.这类试题旨在全面考查学生分析问题、解决问题的能力和创新思维能力.由于其涉及的知识面广,内容丰富,综合性和灵活性以及解题技巧性都较强,因而对大多数考生来说常感到束手无策.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的关系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一.一般步骤是：先假设其存在,再画出相应的图形,然后根据所画的图形进行解答,得出某些结论；最后,如果结论符合题目要求或定义、定理,则假设成立;如果出现与题目要求或定义、定理相悖的情况,则假设错误,所设不存在.一.由抛物线上的动点产生的等腰三角形用代数方法探求等腰三角形问题一般分三步：按腰相等分三种情况,再根据两点间距离列方程,解之并检验.有些等腰三角形当角度特殊时,三种情况下的动点可能会重合在一起.例1.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴相交于A,B 两点,点C 的坐标是(8,4),连接AC,BC ．(1)求过O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；(2)动点P 从点O 出发,沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时,动点Q 从点B 出发,沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒,当t 为何值时,PA=QA ？(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)先确定出点A,B 坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP ≌Rt△ACQ ,得到OP=CQ 即可；(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可.【解答】(1)∵直线y=﹣2x+10与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点,∴A(5,0),B(0,10).∵抛物线过原点, ∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx,∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),∴2550,6484a b a b +=⎧⎨+=⎩ ∴16,56a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩图1∴抛物线解析式为y=16x 2﹣56x, ∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴AB 2=52+102=125,BC 2=82+(8﹣5)2=100,AC 2=42+(8﹣5)2=25, ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形．(2)如图2,当P,Q 运动t 秒,即OP=2t,CQ=10﹣t 时,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP 和Rt△ACQ 中,,AC OA PA QA=⎧⎨=⎩ ∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ , ∴OP=CQ, ∴2t=10﹣t, ∴t=103, ∴当运动时间为103时,PA=QA ； (3)存在,∵y=16x 2﹣56x, ∴抛物线的对称轴为x=52, ∵A(5,0),B(0,10), ∴AB=55 如图3,设点M(52,m), 按边相等分为三种情况： ①当BM=BA 时, ∴(52)2+(m ﹣10)2=125, ∴m 1=205192+,m 2=205192-, ∴M 1(52,205192+),M 2(52,205192-). ②当AM=AB 时, ∴(52)2+m 2=125, ∴m 3=5192, m 4=﹣5192, ∴M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192). ③当MA=MB 时,∴(52﹣5)2+m 2=(52)2+(10﹣m)2, ∴m=5, ∴M 5(52,5),此时点M 恰为线段AB 的中点,构不成三角形,舍去. x OA 2M 1M C3M 4M B y 图3 图2∴综合上所述点M 的坐标为：M 1(52,205192+),M 2(52,205192-),M 3(52,5192),M 4(52,﹣5192) 【点评】本题作为压轴题,立意新颖,具有较强的综合性.试题主要考查一次函数、二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,三角形全等的性质和判定,等腰三角形、直角三角形的性质.解本题第三问的关键是分情况讨论,这也是本题的难点．二.由抛物线上的动点产生的直角三角形对于直角三角形问题,若用代数方法探求,也需先按直角分三种情况,再根据两点间的距离列方程,然后解方程并检验.但下面例题中已指明斜边,故不需讨论.例2.如图4,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A(1,33),B(4,0)两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由；(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B重合),过点P 作PM ∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M 作MC ⊥x 轴于点C,交AB 于点N,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △P MN 满足S △B C N =2S △PMN ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标． 【分析】(1)由A 、B 两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)分D 在x 轴上和y 轴上,分别向不同的坐标轴坐垂线段.用点D 的坐标表示出AD 、BD ，列出关于d 的方程,即可求得D 点的坐标；(3)过P 作PF ⊥CM 于点F,利用Rt △ADO ∽Rt △MFP 以及三角函数,可用PF 分别表示出MF 和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a 表示出CN,再利用S △BC N =2S △PMN ,可用PF 表示出a 的值,从而可用PF 表示出CN,可求得MN NC的值；借助a 可表示出M 点的坐标,代入抛物线解析式可求得a 的值,从而可求出M 点的坐标．【解答】(1)∵A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx 2+nx 的图象上,∴33,1640m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得3,43m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+43x ；图4(2)存在三个点满足题意,理由如下：①当点D 在x 轴上时,如图4,过点A 作AD ⊥x 轴于点D,∵A(1,33), ∴D 坐标为(1,0)；②当点D 在y 轴上时（图略）,设D(0,d),则AD 2=1+(33﹣d)2,BD 2=42+d 2,且AB 2=(4﹣1)2+(33)2=36,∵△ABD 是以AB 为斜边的直角三角形,∴AD 2+BD 2=AB 2, 即1+(33﹣d)2+42+d 2=36,解得d=33112±, ∴D 点坐标为(0, 33112+)或(0, 33112-)； 综上可知存在满足条件的D 点,其坐标为(1,0)或(0,33112+) 或(0,33112-)； (3)如图5,过P 作PF ⊥CM 于点F,∵PM ∥OA, ∴Rt △ADO ∽Rt △MFP,∴MF AD PF OA==33, ∴MF=33PF, 在Rt △ABD 中,BD=3,AD=33,∴tan ∠ABD=3,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,在Rt △PFN 中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan ∠PNF=33PF FN =, ∴FN=3PF, ∴MN=MF+FN=43PF,∵S △BC N =2S △P MN , ∴32a 2=2××43PF 2, 图5∴a=22PF,∴NC=3a=26PF,∴4326MN PF NC PF==2, ∴MN=2NC=2×3a=6a, ∴MC=MN+NC=(6+3)a, ∴M 点坐标为(4﹣a,(6+3)a),又M 点在抛物线上,代入可得﹣3(4﹣a)2+43(4﹣a)=(6+3)a, 解得a=3﹣2或a=0(舍去), OC=4﹣a=2+1,MC=26+3, ∴点M 的坐标为(2+1, 26+3)．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形、全等三角形以及直角三角形的性质.本题已指明了直角三角形的斜边是线段AB,不需要讨论；但需按点D 的位置分类讨论,这是解本题（2）的关键,也是本题之难点所在.三.由抛物线上的动点产生的等腰直角三角形此类问题可仿问题一、二的方法讨论.例3.如图6,已知点A 的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C,连接AC,顶点为D 的抛物线y=ax 2+bx+c 过A 、B 、C 三点．(1)请直接写出B 、C 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2),设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E,P 是第一象限内抛物线上一点,过点P 作x 轴的垂线,交线段BC 于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P 的坐标；(3)设点M 是线段BC 上的一动点,过点M 作MN ∥AB,交AC 于点N,点Q 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形？【分析】(1)由 y=﹣34x+3易得B 和C 的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x ﹣4),把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；(2)若四边形DEFP 为平行四边形,则DP ∥BC,设直线DP 的解析式为y=mx+n,则m=﹣34,求出直线DP 的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN 为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°；②∠MNQ=90°；③∠NQM=90°．【解答】(1)B(4,O),C(0,3)．抛物线的解析式为233 3.84y x x =++顶点D 的坐标为)827,1( .(2)如图6,把x=1代入,49343=+-=y x y 得， 9(1,),4E ∴,8949827=-=∴DE 因点P 为第一象限内抛物线上一点,所以可设点P 坐标为),34383,(2++-x x m 点F 的坐标为(m,-43m+3)． 若四边形DEFP 为平行四边形,则PF=DE. 即-83m 2+43m+3-(-43m+3)=89. 解之,得m 1=3,m 2=1(不合题意,舍去)．∴当点P 坐标为(3,815)时,四边形DEFP 为平行四边形. (3)设点M 的坐标为(m,-343+m ),MN 交y 轴于点G ． ,//AB MN ∴∆MNC ∽∆BAC, COCG AB MN =∴ ①如图图7-①,当∠QMN=90°,MN=MQ=OG 时,,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ⋅=-=∴38344),0.34(t Q 即 ②如图7-②,当∠QNM=90°,MN=NQ=OG 时∵,336MN MN -=解之,MN=2． ,2343=+-∴m 解之,⋅=)2,34(,34M m ∴GM=43,NG=23, ⋅-)0,32(Q ⋅=--=∴314)32(4t ③如图7-③当∠MQN=90°,QM=QN 时,OG= QK= 21NM, ,32136MN MN -=∴解之,得MN=3．⋅=∴23OG ,23343=+-∴x 解之,得x=2,即).23.1(),23,2(-N M MN 的中点K 的坐标为⋅⋅)2321().0,21(Q ∴即.27214=-=t ∴当t 为38或314或27时,存在△QMN 为等腰直角三角形． 图7-① G 图7-② G 图7-③ K G【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式,及一次函数中k 值和点的坐标的求法,抛物线的对称性,相似三角形、等腰直角三角形等知识. 是一道综合性较强的试题.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系．由于本题未指明三角形的直角,故需按直角分类讨论.例4.如图8,抛物线y=﹣53[(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC．(1)求m、n的值；(2)如图9,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；(3)如图10,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)易知抛物线的对称轴为直线x=2,由对称性得2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m的值,即得A(﹣1,0),B(5,0),然后把A点坐标代入y=﹣35 [(x﹣2)2+n]可求n的值；(2)作ND∥y轴交BC于D,如图9,由抛物线解析式确定C(0,3),再利用待定系数法求出BC的解析式为y=﹣35x+3,设N(x,﹣35x2+125x+3),则D(x,﹣35x+3),根据三角形面积公式,利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣32x2+152x,然后利用二次函数的性质求解；(3)先由勾股定理求出BC=34,再分类讨论:当∠PMB=90°,则∠PMC=90°,△PMC为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BOC,利用相似比可求出BP的长,再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,证明△BMP∽△BCO,利用相似比求出BP的长,再计算OP后可得P点坐标．【解答】解：(1)∵抛物线的解析式为y=﹣35[(x﹣2)2+n]=﹣35(x﹣2)2﹣35n,∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵点A和点B为对称点, ∴2﹣(m﹣2)=2m+3﹣2,解得m=1, ∴A(﹣1,0),B(5,0),把A(﹣1,0)代入y=﹣35[(x﹣2)2+n]得9+n=0,解得n=﹣9；图8(2)作ND ∥y 轴交BC 于D,如图9,抛物线解析式为y=﹣35[(x ﹣2)2﹣9]=﹣35x 2+125x+3, 当x=0时,y=3,则C(0,3),设直线BC 的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入得 50,3k b b +=⎧⎨=⎩ 解得3,53k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为y=﹣35x+3, 设N(x,﹣35x 2+125x+3),则D(x,﹣35x+3), ∴ND=﹣35x 2+125x+3﹣(﹣35x+3)=﹣35x 2+3x, ∴S △NBC =S △NDC +S △NDB =12•5•ND=﹣32x 2+152x=﹣(x ﹣52)2+758, 当x=52时,△NBC 面积最大,最大值为758； (3)存在．∵B(5,0),C(0,3),∴BC=223534,+=①如图10,当∠PMB=90°时,亦有∠PMC=90°,而MP=M,故△PMC 为等腰三角形,∴△PMC 为等腰直角三角形,MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠OBC, ∴△BMP ∽△BOC ,∴,PM BM BP OC OB BC == 即 34,3534t t BP -== 解得 334,8t =17,4BP = ∴OP=OB ﹣BP=5﹣174=34, 此时P 点坐标为(34,0)； ②如图11,当∠MPB=90°时,则MP=MC,设PM=t,则CM=t,MB=34﹣t,∵∠MBP=∠CBO, ∴△BMP ∽△BCO ,∴ ,MP BM BP OC BC BO == 即34,3534t t BP -== 图10 M 图11M解得10225t -= 345BP -=∴OP=OB ﹣BP=5 , 此时P 点坐标为,0). 综上所述,P 点坐标为(34,0)或 (34,0). 评析：本题中虽然有“△PCM 为等腰三角形”, 但结合”△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立”进行分析, 故不需对“等腰”分类,只需对“直角”讨论,解题过程迅速得以简化.通过对以上例题的分析与解答,我们对这类问题有了新的认识与了解,对解决抛物线中的等腰三角形及直角三角形问题寻求到了有效的解题途径,为今后九年级师生解决同类问题起到了抛砖引玉的作用.。
抛物线中存在性问题
如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点(P点的横坐标m, 1＜m＜4),，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则点P的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当==2时，△APM∽△ACO，∴=2，即|4-m|=2（），∴4-m=m2+5m-4，∴m2-6m+8=0，∴（m-2）（m-4）=0，解得：m1=2，m2=4（舍去）∴P（2，1）②当，△APM∽△CAO，那么有：2|4-m|=，∴2（4-m）=-m2+m-2，∴m2-9m+20=0，∴（m-4）（m-5）=0，解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m＞4时，P（5，-2），当m＜1时，P（-3，-14），当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，-2）．综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2．过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．∴E点的坐标为（t，t-2）．∴DE=-t2+t-2-（t-2）=-t2+2t．∴S△DAC=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．。
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(1) 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，
与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△A BM是等腰三角形，则点M的坐标为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C.
∙ D.
核心考点: 等腰三角形的存在性（两定一动）
答案：D
解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=12620
1．解题要点
①理解题意，整合信息．
根据抛物线解析式，
可以得到A（-2，0），B（0，-4），对称轴为直线x=1．
②抓不变特征有序思考，设计方案．
分析定点、动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；
确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行分类．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；
当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．
④结果检验，总结．
作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．
2．解题过程
∵，
∴A（-2，0），B（0，-4），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴．
当AB为腰时，
如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．
设抛物线对称轴与x轴的交点为D，
∵，
∴，
∴．
如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．
∵，
∴，
∴．
∵E（1，-4），
∴．
当AB为底边时，
如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．
由A，B两点坐标，可得，
∴．
∴符合题意的点M的坐标为
各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）
2.如图，抛物线与x轴负半轴交于点
A，与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△ABM是等腰三角形，则点M 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=12624
1．解题要点
①理解题意，整合信息．
根据抛物线解析式，
可以得到A（-1，0），B（0，-3），对称轴为直线x=1．
②抓不变特征有序思考，设计方案．
分析定点，动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；
确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行讨论．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点M符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；
当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．
④结果检验，总结．
作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．
2．解题过程
∵，
∴A（-1，0），B（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴．
当AB为腰时，
如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．
设抛物线对称轴与x轴的交点为D，
∵，
∴，
∴．
如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．
由对称性可知，
易知，
∴点在直线AB上，不符合题意．
当AB为底时，
如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．
由AB两点坐标，可得，
∴．
综上，符合题意的点M的坐标为．各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）
3.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），
三点．M为x轴上一点，N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解题思路：点击学习解析视频：/course/video.do?id=12583&ids=12583 1．解题要点
①整合信息，读题标注．
已知抛物线与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（5，0），
故设交点式，将代入，解得，即得到抛物线表达式．
②分析特征，有序思考，设计方案．
分析定点、动点：以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，其中A，C为定点，M，N为动点；
确定分类标准：连接AC得到定线段，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，
定线段AC可以作为边，也可以作为对角线，分两种情况进行讨论．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AC作边时，根据平行四边形的判定，需满足AC∥MN，AC=MN，
要找MN，借助平移，将线段AC拉出来，由于点M在x轴上，容易平移，
故让线段沿x轴左右平移，确保M在x轴上，来找抛物线上的点N，
注意需要沿x轴在x轴的上方、下方分别平移，
找出点之后，设计方案，利用平移性质，求它们的坐标；
当AC作对角线时，利用平行四边形的判定，需满足AC，MN互相平分，
先找到AC中点，根据中点坐标公式，由点M确定点N，进而求坐标．
④检查验证．
作图验证；分析数据，估算验证．
2．解题过程
设抛物线的解析式为，
∵在抛物线上，
∴，
∴．
①当AC为边时，AC∥MN，AC=MN，如图所示，
②当AC 为对角线时，MN 与AC 相互平分，
AC 的中点D 的坐标为．
∵
，
∴， 此时
与点
重合，如图所示，
综上，符合题意的点N 的坐标为．
(4)如图，抛物线解析式为2
156
6
y x x =-+
，
点B 坐标为（-3,-4），点A 的坐标为（5,0）,点P 为x 轴上方抛物线上的一个动点；
问：当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？
(5). 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．
（1）求出抛物线的解析式； （2）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．
(6)
如图，抛物线A(3，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C ．P 是抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线
BC于点Q．设点P的横坐标为，当
△OAQ为直角三角形时，m的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：。