抛物线中的存在性问题
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(1) 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，
与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△A BM是等腰三角形，则点M的坐标为( )
∙ A.
∙ B.
∙ C.
∙ D.
核心考点: 等腰三角形的存在性（两定一动）
答案：D
解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=12620
1．解题要点
①理解题意，整合信息．
根据抛物线解析式，
可以得到A（-2，0），B（0，-4），对称轴为直线x=1．
②抓不变特征有序思考，设计方案．
分析定点、动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；
确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行分类．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；
当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．
④结果检验，总结．
作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．
2．解题过程
∵，
∴A（-2，0），B（0，-4），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴．
当AB为腰时，
如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．
设抛物线对称轴与x轴的交点为D，
∵，
∴，
∴．
如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．
∵，
∴，
∴．
∵E（1，-4），
∴．
当AB为底边时，
如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．
由A，B两点坐标，可得，
∴．
∴符合题意的点M的坐标为
各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）
2.如图，抛物线与x轴负半轴交于点
A，与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△ABM是等腰三角形，则点M 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=12624
1．解题要点
①理解题意，整合信息．
根据抛物线解析式，
可以得到A（-1，0），B（0，-3），对称轴为直线x=1．
②抓不变特征有序思考，设计方案．
分析定点，动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；
确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行讨论．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点M符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；
当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．
④结果检验，总结．
作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．
2．解题过程
∵，
∴A（-1，0），B（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴．
当AB为腰时，
如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．
设抛物线对称轴与x轴的交点为D，
∵，
∴，
∴．
如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．
由对称性可知，
易知，
∴点在直线AB上，不符合题意．
当AB为底时，
如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．
由AB两点坐标，可得，
∴．
综上，符合题意的点M的坐标为．各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）
3.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），
三点．M为x轴上一点，N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解题思路：点击学习解析视频：/course/video.do?id=12583&ids=12583 1．解题要点
①整合信息，读题标注．
已知抛物线与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（5，0），
故设交点式，将代入，解得，即得到抛物线表达式．
②分析特征，有序思考，设计方案．
分析定点、动点：以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，其中A，C为定点，M，N为动点；
确定分类标准：连接AC得到定线段，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，
定线段AC可以作为边，也可以作为对角线，分两种情况进行讨论．
③根据方案作出图形，有序操作．
当AC作边时，根据平行四边形的判定，需满足AC∥MN，AC=MN，
要找MN，借助平移，将线段AC拉出来，由于点M在x轴上，容易平移，
故让线段沿x轴左右平移，确保M在x轴上，来找抛物线上的点N，
注意需要沿x轴在x轴的上方、下方分别平移，
找出点之后，设计方案，利用平移性质，求它们的坐标；
当AC作对角线时，利用平行四边形的判定，需满足AC，MN互相平分，
先找到AC中点，根据中点坐标公式，由点M确定点N，进而求坐标．
④检查验证．
作图验证；分析数据，估算验证．
2．解题过程
设抛物线的解析式为，
∵在抛物线上，
∴，
∴．
①当AC为边时，AC∥MN，AC=MN，如图所示，