工程力学—第四章平面一般力系

问题2：能否将平面一般力系｛F1，F2 · · ·Fn｝中各力都向刚体的某点平移？
假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成了。
A N B
O （简化中心）
§4-2 平面一般力系向一点简化
（一）平面一般力系的主矢与主矩
设在刚体上作用有一平面一般力系 {F1 , F2 , · · · Fn} （如图a）。在该力

主矩MO
主矩一般与简化中心有关，其值等于原 M O mO (F i) 力系中各力对简化中心之矩的代数和。
§4-4 简化结果分析 合力矩定理
一、简化结果分析 若 R 0, M O 0 ：原力系简化成一对力偶且力偶矩与 简化中心无关； 若 R 0, M O 0 ：原力系与通过简化中心的力等效； 若 R 0, M O 0 ：原力系与一个大小和方向与R’相同、 作用线与简化中心的距离 d M O R 的合力等效，合力作 用线与简化中心的位置关系由MO的符号确定。
M O ( R) mO (F i)
M O ( R) Rd 【证明】由上图知： M O m( R, R" ) Rd 故 M O M O ( R)
因 M O mO (F i) 故 M O ( R) mO (F i)
注意：分力可以是集中力、分布力或力偶。
M O ( R) d 显然， R
F2 d2
F2′ Mn
M2 M1 O F1′
y O MO
FR′ x
(a)
Fn′
(b)
(c)
(d)
图4-8 平面一般力系的简化
F1 F2 Fn F1 F2 Fn F FR
(4-2)
事实上，可直接用原力系F1，F 2，...F n 的各力 作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主 矢。 FR′的大小和方向等于主矢，作用点在O点。 由此可见，主矢与简化中心的位置无关。
合成
合力F’ ， 作用于简化中心O；
合成
合力偶，其力偶矩MO ，作用于刚体平面。
所得平面汇交力系（F1’ , F2’ , ··· Fn’ ）可以合成为一个作用于O点的合 矢量F’： F’=∑Fi’ =∑Fi 合矢量F’称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。
所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , · · · Mn）可以合成为一个的力偶,其力 偶矩MO 等于各力对简化中心O之矩的代数和：
平面一般力系简化的结论——
1、平面一般力系向作用平面内任一点O简化后，可得到 一个力和一个力偶。 2、这个力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简 化中心O点；
3、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心O点的主矩，
大小为原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和； 4、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力 系的主矩与简化中心的选择有关。
第四章 平面一般力系
前言 §4-1 力线平移定理
§4-2 平面一般力系向一点简化 §4-3 分布荷载 §4-4 平面一般力系的平衡条件 §4-5 平面平行力系的平衡条件 §4-6 物体系统的平衡问题
前 言
定义：
位于同一平面内的诸力其作用线既不汇 交于一点，也不互相平行的力系，称为平面 一般力系。
工程计算中的很多实际问题都可以简化为 平面一般力系来处理。
MO=∑MO (Fi )=∑Fi· di
力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O的主矩。
图a
图b
图c
思考：平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？ 主矢和合力有何区别？
主矢是原力系｛F1，F2，…Fn｝中各力的矢量和。主矢是
自由矢量，只有大小、方向，而不涉及作用点，是一个自由矢
量，与简化中心无关。 合力为作用点在简化中心O的力矢量。 合力的大小、方向 与主矢一致，与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移 矢量。只有求出合力，才能知道主矢的大小和方向。
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通 过简化中心。
FR′ O MO O′ O d FR′ FR′ O′ FR′ O d O′ FR′
(a)
(b)
(c)
图4-10 力系简化为合力
3. 力系平衡
0, M O 0 FR
FR′
O
MO
O’
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系 作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之 矩的代数和。
主矢R 平面一般力系的主矢是原力系中各 R Fi 力的矢量和，与简化中心选取无关 根据合力投影定理，R’在 坐标轴上的投影分别为
Rx F ix R y F iy
2 2 R 2 2 R’的大小和方向为： ( ) ( ) R x R y F ix F iy 其中：α为R’与x F iy R y arctan arctan 轴正向间的夹角 R x F ix
平衡力系
M
M F
力的平移定理应用 （4）攻丝时用一只手行吗？ F M
力不平衡
在F 作用下 丝锥会断
力的平移定理应用
问题1：图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？
刚体平衡吗？ ——不知道！ 平面一般力系可以直接合成吗？ 平面一般力系不是汇交力系，不可以直接合成！
｛F1，F2 · · ·Fn｝
系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。应用力的平移定理，将力
系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系 {F1’, F’2 , · · ·F’n} 和一个力偶矩分别为 {M1 , M2 , · · ·Mn} 的附加力偶系（如图b）。
将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图c）。
FR 的方向铅垂向下。 合力的作用线与x 轴的交 点的坐标设为x，由合力矩定 理有 M A ( FR ) M A ( F )
c b O m1 g l FR x B a
m3 g y A
m2 g
x
例4-1 题图
例题 4-1
即： FR x m1 g (a b ) m 2 g (a l ) m 3 g c (a) m1 ( a b ) m 2 ( a l ) m 3 c x m1 m 2 m 3
证明： 如下图所示，显然有 M O ( FR ) FR d M O ,
M O M O ( F ),
FR′ O MO O′
M O ( FR ) M O ( F )
O
d FR′ (b)
FR′
FR′
O′
(a)
图4-11 合力矩定理证明图示

二、合力矩定理
当平面力系可以合成一个合力时，合力R对作用面内任 一点O之矩等于各分力Fi对同一点之矩的代数和。即：
力的平移定理的性质：
问题1：为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无 关，而主矩与简化中心的选择有关？ ������ 答：这就要看，把作用在刚体上某点的力F 平行移到
其它点，所得的力和附加力偶是否相同？
当力F 平移时，
①力的大小、方向都不改变； ②一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随 新指定点的位置的不同而不同。
F 对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。
把F 由原来的A点平 移到O点，可以吗？
根据加减平衡力系公理，在O点加上 一对与F 平行且等值、反向力F’和 F”, 使F=F’=F”,则F 和F”构成了 一个力偶，其附加力偶矩为：M 这就相当于把力F 移到 了O点，同时增加了一个 附加力偶，其力偶矩为： M=MO ( F )=F·d
F2
O3 F1
那么，主矩又会怎样呢？
将力系向刚体内的另一点简化
F F F 3 F3 O1 F2 O2 F1 F2 F1 F3
F F2ห้องสมุดไป่ตู้
显然， M1=-F· d1 （顺时针） M2=-F· d2 （顺时针）
A F3
F1 F F2
M3=+F· d3 （逆时针）
选择不同的简化中心，各力对A点的 力臂都不同，转向也不同，就是说 M1≠M2≠M3。 因此，在一般情况下，平面力系的
例题 4-1 m 3 m 1 (a b) 50 ( 3 1.5) 37.5 t
m1 (a b) m2 (a l ) m3c a( m1 m2 m3 ) m 1b m 2l m 3c m 3a m 1b m 2l 50 1.5 25 10 m3 36.11 t ca 6 3
W1
例题 4-1
解：机架重量、起吊重量及平 衡锤重量分别为m1g 、m2g、 m3g，这是一个平面一般力系 的特例——平面平行力系。
y
L
x
a
R
x
图4-10 例题4-1图
例题 4-1
取坐标如图，可知合力FR的投影为
FR x Fx 0,
FR y F y m 1 g m 2 g m 3 g FR ( m 1 m 2 m 3 ) g
有一力系作用 于刚体平面内
将各力向A点简化 并求出合力 F F1 F3 F2
这是求合力的方法 之一
F2
F3 C B
F3
F F2 A F1
A
A
F1
F F F 3 F3 F2 F1 F3 A F3
F F2 F1
无论将力系向刚体内的哪一点简化， 合力的大小、方向都不会变化。所以
O1 F2
O2 F1
F
说主矢与简化中心的选择无关。
平面一般力系的三种简化结果： 1. 力系简化为力偶 力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置 0, M O 0 无关。 FR 2. 力系简化为合力 (1) FR 0, M O 0
FR′就是原力系的合力，合力的作用线通过简化
中心。
O MO FR′
图 4-9
0, M O 0 (2) FR
F
O A
=F·d
F'
O
d
F
A O
F'
M
A
F''
力的平移定理由此得证
力的平移定理应用 问题：力F 对齿轮和轴各有什么作用？
M
在原力F 作用下 齿轮会转 轴会弯曲
F r
O
动画
力的平移定理应用 F’ F
（1）为什么钉子有时会折弯？
M
锤 子 砸 偏 了
晕！
（2）乒乓球为什么会旋转？ F M F’
力的平移定理应用 （3）攻丝时为什么要用两只手？ F
，故该定理可用于由分力矩求合力矩 以及求合力作用线的位置等。
图示一塔示起重机。机架m1=50 t,重 心在O点。已知起重机的最大起吊质量m2=25 t,欲使起 重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3 应 如何？图中 a =3 m , b =1.5 m, c =6 m, l =10 m。 c bo
M O M1 M 2 M n
(4-3) M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反 映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况， 称为原力系对O点的主矩。

二、简化结果
O3 F1
F F O1 O2 O3 A
F
主矩和简化中心的选择有关。 “在一般情况下……” 那么，特殊情况呢？
F
当O1、 O2、 O3 选在原合力F 的作用线上时， M1=M2=M3=0
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
合成
合成
FR′（合力） MO（合力偶）
F1
F2 Fn
F1
O dn
d1 Fn
O为任 意点
图a
图b
图c
平面一般力系的简化过程
O为任 意点
F’
平面一般力系 （未知力系） {F1 , F2 , · · · Fn} 平面汇交力系 平 面 力 偶 系
向一点简化
平面汇交力系+平面力偶系 （可知力系） {F1’, F’2 , · · · F’n} + {M1 , M2 , · · · Mn}
有什么特点？
各力的作用线 不汇交于一点
平面一般力系——各力的作用线都在同一平面内，但既
不汇交于一点，也不平行。
· · · · · ·
｛F1，F2 ，· · ·Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平
面一般力系的特例。平面一般力系是 工程中最常见的力系。
§4-1 力线平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O， 但必须同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩 M 等于原力
c
式中x随 m2、m3 而变，其他各量 都是不变的。 欲使起重机不翻倒应有： 0<x<a
m3 g y A
b O m1 g l FR x B a
m2 g
x
(1) 空载时，m2=0， x>0, 由 (a) 式得 m1(a+b)-m3c>0
例4-1 题图
c 6 (2) 满载时, m2=25 t , x < a, 由(a) 式得