§2.2 n维列向量

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向量组的线性相关性

推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.

tex 列向量-概述说明以及解释

tex 列向量-概述说明以及解释1.引言1.1 概述列向量是线性代数中的一个重要概念，在数学和工程等领域都有广泛的应用。

它是由一列按照特定顺序排列的元素构成的向量。

与行向量相对应，列向量的元素是按照垂直方向排列的。

列向量具有以下特点：首先，它可以用来表示一组有序的数值数据，例如向量空间中的坐标、向量的系数或向量的特征值等。

其次，列向量可以作为矩阵的列，是矩阵运算中不可或缺的基础元素。

此外，列向量还可以用来描述向量空间的基、线性变换的特征向量以及模型参数等。

在进行列向量的运算时，可以进行加法、减法、数乘等操作。

列向量的加法和减法可以通过对应位置的元素相加或相减得到新的列向量。

数乘是指将一个标量与列向量的每个元素相乘，得到一个新的列向量。

总之，列向量是线性代数中一个重要且基础的概念，它具有广泛的应用价值。

通过对列向量的定义、特点和运算的学习，可以更好地理解和应用线性代数的相关知识。

在接下来的内容中，我们将更加详细地探讨列向量的定义、性质以及其在数学和工程中的应用。

文章结构部分的内容可以从以下几个方面展开阐述：1.2 文章结构在本文中，我们将按照以下结构来组织我们的讨论：1. 引言：首先，我们将对本文的主题进行概述，并介绍列向量在数学和应用领域的重要性。

2. 正文：接下来，我们将详细讨论列向量的定义和特点。

我们将介绍什么是列向量以及它们与行向量的区别。

我们还将探讨列向量的表示形式以及它们在矩阵中的应用。

3. 正文：在本节中，我们将讨论列向量的运算。

我们将介绍列向量的加法和减法运算，以及对应的性质和规则。

此外，我们还将讨论列向量与标量的乘法和向量之间的乘法运算，以及它们在线性代数中的应用。

4. 结论：最后，我们将总结列向量的重要性和应用。

我们将强调列向量在向量空间、线性方程组和数据分析等领域的作用，并展示其在实际问题中的应用案例。

此外，我们还将展望列向量的未来发展，并观察其在机器学习和人工智能等领域的潜在应用。

大学课程-2.2-向量组的线性相关性

任务:
推广
(n 维列向量之集合)
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
引例2.
a 21x1 a 22 x2 a 2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
(1)
2) e1 (1, 0, 0)T , e2 (0, 1, 0)T , e3 (0, 0, 1)T
解. 1) 解法1. 设 k1 1 k 2 2 k33 0, 即
2 4 2 0
k1
31

k2

2 5

k3 源自41 0 0

2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
a11 k1 a12k2 a1sks 0
a21
k1
a22k2

a2 s k s

0
an1 k1 an2k2 ansks 0
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利用定义10’易知:
① 1, ,s线性相关
齐次线性方程组 k1 1
kss 0 有非零解。
a11 a12
R( A)

s,
其中A为系数矩阵：A

a21

a22
②1, ,s线性无关
an1 an2
a1s
a2s

.

ans

n维向量与向量空间

线性相关，就有不全为零的
由
线性无关有k≠0。
（否则，
线性相关）
即可由
线性表出。
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设为任意两个表达式。
且
线性无关
得到 l1=h1, l2=h2, …，lt=ht
因此表示式是唯一的。
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定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。
称为B的列向量组。
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§2 向量组的线性相关性
定义5 向量组
称为线性相关的，如果有
不全为零的数k1,k2,…,ks，使
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
线性无关。
当
是行向量组时，它们线性相关就是指有非
零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
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所以
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感谢您的欣赏
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定理1 向量组
（s≥2）线性相关的充要条件
是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。
证分性：设
中有一个向量能由其他向
量线性表出，不妨设
所以
线性相关。
必要性：如果
线性相关，就有不全为零的
数k1,k2,…,ks，使设k1≠0,那么
即能由
线性表出。返回
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性相关性。
证对任意的常数k1,k2,…,ks，

n维向量、向量组的秩及其线性相关性

1, 2, …, t 是线性相关的.
推论2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, 则 r{1, 2, …, t} = r{1, 2, …, s}. 推论3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 且相互等价, 则s = t.

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例6. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 3 + 2 1.
证明: 1, 2, 3线性无关1, 2, 3 线性无关.

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
作业
P81-82: 1(2)(4), 2, 3, 5, 6
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例5. 设1, 2, 3线性无关, 1 = 1 + 22,
2 = 2 + 23, 3 = 3 + 21. 试证明: 1, 2, 3线性无关.

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论1. 若向量组1, 2, …, t可由向量组1, 2, …, s 线性表示, 并且t > s, 则向量组

, 2 =
0 1 … 0
, … , n =
0 0 … 1
.
- - - n维基本单位向量组

第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例4. 设 1 0 0 , = 1 , = 1 = 2 3 1 -1 0 2 1 1 , 1 1
求该向量组的秩,并判断其是否线性相关.

第二章 n维列向量
a12 a22 … an2
… … … …

n维向量的概念

n维向量的概念
n维向量的引入，能够帮助我们去理解一些不能用一个数来刻画的事物及其性质.例如，在解析几何中，用二元有序实数组(x,y)可以刻画平面上的一个点或向量，用三元有序数组(x,y,z)刻画空间中的一个点或向量；在力学中，速度和加速度也同时具有大小和方向，用四元数组(x,y,z，w)刻画速度或加速度，其中前三个数(x,y,z)表示速度或加速度的方向，第四个数w表示其大小；在解线性方程组的过程中，方程组的解是由n个有顺序的数组成的，即是一个n元有序数组，这是一个整体，分开去看是没有意义的.这样的例子是很多的，这里所定义的n维向量是所有具体例子的抽象.
n维向量的概念
n维向量的概念
定义3-1
由n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组α称为n维向量，简称为向量.其中n称为向量的维数，第i （i=1,2,…,n）个数ai称为n维向量α的第i个分量，并且把n个分量均为实数的向量称为实向量；把n个分量均为复数的向量称为复向量.
n维向量可以写成一行形式 αT=(a1,a2,…,an)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ维向量的概念
事实上，n维向量是解析几何中向量概念的推广. 在解析几何中，我们称“既有大小又有方向的量”为向量，并且用具有方向的线段来表示向量.取定直角坐标系以后，2维向量空间R2可以表示平面上向量的全体，而3维向量空间R3可以表示空间中向量的全体. 因此，当n=2,3时，n维向量是以平面或空间的有向线段为具体形象的.
谢谢聆听
n维向量的概念
也可以一列的形式
这就是n维的行向量和列向量，或者说成行矩阵和列矩阵，通常用黑体希腊字母α,β,…表示列向量，而用符号αT,βT,…表示行向量.在本书中，如果没有特别说明，所有涉及的向量均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量.将所有n维实向量的全体记为Rn，即

n维向量

n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量零向量：)0,,0,0( =θ负向量：),,,()(21n a a a ---=- α列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α, 或者T21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．零向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 θ 负向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a a αα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。

向量运算规律：① αββα+=+② ()()αβγαβγ++=++③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

线性代数2.2n维向量

06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且该向量组可以生成整个向量空间，则该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵形式，便于求解。

第二章n维向量

解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2

线性代数第二章3

线性无关, 定理2.4. 定理2.4. 若向量组α1, α2, …, αs线性无关, 而 α1, α2, …, αs, β 线性相关, 则β 一定线性相关, 线性表示. 能由α1, α2, …, αs线性表示.
证明因为α1, α2, …, αs, β线性相关,所以存在不全为零的数k 为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使 ,k 使 k1α1+k2α2+ …+krαr+l β=0 +k 若l =0, 则k1α1+k2α2+ …+krαr=0, 与α1, α2, …, αs线性 +k
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
第二章 n维向量
§2.1 n维向量及其运算一. n维向量(vector)的概念维向量(vector)的概念本质 n 维向量几何背景表现形式 n个数a1, a2, …, an 个数a 构成的有序数组向量/ 向量/点的坐标行矩阵列矩阵行向量列向量分量
β=
, x=
,
β能由α1, α2, …, αs线性表示 ⇔
方程组Ax 方程组Ax = β 有解. 有解.
… …
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
§2.2 向量组的秩和线性相关性一. 基本概念列向量组: 列向量组: α1, α2, …, αs 矩阵A 矩阵A = (α1, α2, …, αs) 矩阵A 矩阵A的秩向量组α1, α2, …, αs的秩 r(α1, α2, …, αs)
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
六. 线性表示(linear representation) 线性表示(linear n维向量: η, α1, α2, …, αs 维向量: 若存在常数: 若存在常数: k1, k2, …, ks使得

n维向量

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。

线性代数第二章习题部分答案

线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1?α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,?1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1?3α2+α3= (?5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2?β3= (?2,8,?2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0?3k2?k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,?1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,?1)T, α3=(5,?3,t)T，问t 取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13?1 +k3 5?3t =0即 k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2?4k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0(t?4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=?k1a1?k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=?k1k1+k2a1?k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,?,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,?,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,?,β2n线性相关。

n维向量空间

第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。

称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。

称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。

特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。

定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。

定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。

定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。

定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。

()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。

向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。

线性代数-向量及其线性运算

0
0 0
0
30线性表示b， 21且 3为 20 ： 3
1
(因为
1 0 0 2
B[A,b]1,2,3,b0 1 0 3
0 0 1 0
即 r(A)r(B).)
二、线性相关性的概念
定义３给定向 A:量 1,2组 , ,m,如果存在
全为零 k1,k的 2, 数 ,km使
k11k22 kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
T m
向量组 A :1 T ,2 T , ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2a1nxn b1,
a21x1a22x2a2nxn b2, am1x1am2x2amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
记作α,β,γ.
如：
a1
a
2
a
n
（Column Vector）
注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形，另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处.
进一步：P94 定理2.6
定理向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示．
定理向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示．

线性代数第二章 n维向量

可得r(P) = r, 因此, |P| 0
第二章 n维向量
§2.5 向量空间
定理:(教材P.74)设1, 2, …, r和1, 2, …, r是 V 的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为
x, y, 则
x = P y , y = P1x
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)Py
推论3. 若向量组 1, 2, …, s 和 1, 2, …, t
均线性无关, 并且这两个向量组等价,
则 s = t.
例. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 21 + 3.
证明: 1, 2, 3 线性无关 1, 2, 3 线性
无关.
第二章 n维向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
3. n维向量的线性运算满足的性质
4. 线性组合, 线性表示
n维向量: 1, 2, …, s
数: k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
n维向量:
若存在数 k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss 则称能由向量组1, 2, …, s 线性表示
关, 证明任何一个n维向量都能由
1, 2, …, n 线性表示.
第二章 n维向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
§2.4 向量组的极大线性无关组
定义 :
如果向量组 1, 2, …, s 的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关, (2) 1, 2, …, s 中任一向量都可由

第2章向量

类似数的运算性质

说明 1.只有当两个向量是同型向量时，才能进行加、减法运算. a1 a1 a a 2 2 2.向量称为向量的负向量，记为- . an an
1 2 0 -2 -1 1 例2 设 = ， = ， = 0 3 -1 2 1 -1 (1)求2 -3 (2)设2 - +2 - =q ，求 .
,s 线性相关.
例3
已知向量组1 , 2 , 3 线性无关 , 1 1 2 ,
设有x1 , x2 , x3使
2 2 3 , 3 3 1 , 试证1 , 2 , 3线性无关 .
证
x1 1 x2 2 x3 3 q 即 x （ x2 (2 3 ) x3 (3 1 ) q , 1 1 2）
k1 k2 k3 0
所以，有唯一一种表示方法：
01 0 2 03 q
2.定义6
给定向量组A : 1 , 2 , 全为零的数k1 , k2 , , ks使 k s s q k11 k2 2 , s , 如果存在不
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意 1. 若 1 , 2 , , n 线性无关 , 则只有当
给定向量组 A : 1 , 2 , k1，k2，，ks，表达式 k11 k2 2 ks s 称为向量组的一个线性组合， k1，k2，，ks 称为这个线性组合的组合系数. 给定向量组A : 1 , 2 , 组实数k1，k2，，ks，使 , s，和向量对于任何一 , s，对于任何一组实数
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以向量组