向量函数的微分与积分

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5 多元向量值函数的导数与微分

9
向量值复合函数求导的链式法则
Df [g( x)] Df (u) Dg( x) ug( x)
例：试通过如下函数验证上述公式
w
f (u)
u12
,
u1u2
w
w1 w2
,
u
u1 u2
u
g(u)
x1
e x2
,
sin x1
x
x1 x2
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系
dx1
dx2
fm ( x0 )
x2
f1( x0 )
x1
于是，将矩阵
f2 ( x0 ) x1
fm ( x0 ) x1
f1( x0 )
x2
f2 ( x0 ) x2
Df
( x0 )
称为导数
fm ( x0 )
x2
Jacobi 矩阵
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系
多元向量值函数的导数与微分
一元向量值函数的导数与微分二元向量值函数的导数与微分微分运算法则
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系
1
对于一般的n元向量值函数：
f :A n m
f1( x) f1( x1, x2 ,
f
(
x)
f
2
(
x
)
f2 ( x1 , x2 ,
fm ( x) fm ( x1, x2 ,
6
一般地，对于n元向量值函数：f : A n m
定义导数(Jacobi矩阵)为：
f1( x0 )
x1
Df
( x0
)
f2 ( x0 ) x1

向量值函数的导数与积分

v (t ) r (t ),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t ) r (t ) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
条曲线为分段光滑曲线．
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
3 2 r ( t ) {1 t , t }是否为光滑曲线？例2 判断曲线
解因为 r (t ) (3t 2 , 2t ), r (0) (0,0), 所以，该曲线不是光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与
曲线的切向量 T (t ) r (t ) 平行的向量，当 dt >0 时, dr与与切向量 r (t ) 同向；当dt <0 时, dr与切向量 r (t ) 反向.
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci.
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 的二阶导数为
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.

向量微积分,线性代数和微分形式pdf

向量微积分,线性代数和微分形式pdf向量微积分、线性代数和微分形式是现代数学基础领域的三个重要分支，在数学研究，物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

下面将从这三个方面分步骤阐述其中的内容。

一、向量微积分向量微积分是一种以向量为基础的微积分方法，研究的对象是向量值函数和向量场。

它的基础是向量的运算和微积分基本定理的推广，如黎曼积分和斯托克斯定理等。

在物理学中，向量微积分应用非常广泛，例如力学中的牛顿定律和质点运动方程、电磁学中的电场和磁场、流体力学中的速度场等等。

在数学领域中，向量微积分是构建微分几何学和流形理论的基础。

二、线性代数线性代数是研究向量空间及其变换的代数学科，它的基础是向量空间、矩阵、线性变换和特征值等概念。

线性代数在物理学和工程学中应用广泛，例如矩阵论在机器学习和信号处理中的应用、特征值分解在量子力学中的应用、线性回归和协方差矩阵在统计学中的应用等等。

在数学领域中，线性代数是构建抽象代数学理论的基础。

三、微分形式微分形式是微积分的一种扩展理论，它利用外微分和外代数的概念构建了一种替代微分项的形式，从而避免了微分不可逆的问题。

微分形式的基础是张量代数和外代数的概念，它在物理学中应用广泛，例如爱因斯坦场方程的表述、经典力学中的哈密顿力学等等。

在数学领域中，微分形式是构建拓扑学和微分几何学的基础。

总之，向量微积分、线性代数和微分形式是现代数学发展的重要支柱，它们的应用深入到数学、物理、工程、计算机科学等多个领域。

对这三个方面的研究不仅可以加深我们对数学基础理论的认识，还可以让我们更好地理解复杂的实际问题。

数学分析23.2向量函数的微分(含习题及参考答案)

第二十三章向量函数微分学2 向量函数的微分一、可微性与可微条件定义4：设D ⊂R n 为开集, x 0∈D, f: D →R m . 如果存在某个线性变换△(只依赖于x 0), 使得x ∈U(x 0)⊂D 时, 有f(x)-f(x 0)=△(x-x 0)+o (0x x -)或00)()()(limx x x x x f x f x x --∆--→=0, 则称向量函数f 在点x 0可微(或可导).若与上述线性变换△相联系的矩阵为A m ×n , 则称△(x-x 0)=A(x-x 0)为 f 在点x 0的微分，并称A 为f 在点x 0的导数, 记作Df(x 0)或f ’(x 0). ∴△(x-x 0)=A(x-x 0)=Df(x 0)(x-x 0)=f ’(x 0)(x-x 0)是f(x)-f(x 0)的一个线性逼近, 当m=1时，它是一个实数，而当m>1时，它是一个m 维向量. 若f 在D 上任何点可微，则称f 为D 上的可微函数.设f=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m f f 1, A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯mn m n a a a a 1111 =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T m TA A 1, 其中A i =(a i1,…,a in )T, i=1,2,…m.则可微条件等价于f i (x)-f i (x 0)= A i T (x-x 0)+o (0x x -), i=1,2,…m, 即f 的所有坐标函数f i , i=1,2,…m 在x 0可微. 由实值函数可微性知, a ij =x x jix f =∂∂,j=1,2,…,n;i=1,2,…m.当f 在x 0可微时, f 在x 0的导数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂n m m n x f x f x f x f 1111=f ’(x 0)=Df(x 0).定理23.8：若向量函数f 在x 0可微, 则f 在x 0连续.定理23.9：若向量函数f 在x 0可微, 则f 的所有坐标函数f i (i=1,2,…m)在x 0关于每个自变量x j (j=1,2,…n)的一阶偏导数0x x ji x f =∂∂都存在. 由这些偏导数组成的矩阵(如上)便是f 在x 0的导数.定理23.10：若向量函数f 在点x 0的某邻域U(x 0)内处处存在一阶偏导数jix f ∂∂(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n), 且所有这些偏导数在点x 0连续, 则f 在点x 0可微.例1：设X={(x 1,x 2)|-∞<x 1<+∞, x 2>0}⊂R 2, 向量函数f: X →R 4为 f(x)=f(x 1,x 2)=(x 12x 23,21x x e +,x 2,x 1lnx 2)T . 求f ’(x), x ∈X 和f ’(1,1).解：∵11x f ∂∂=2x 1x 23, 21x f ∂∂=3x 12x 22；12x f ∂∂=21x x e +, 22x f∂∂=21x x e +； 13x f ∂∂=0, 23x f ∂∂=1；14x f ∂∂=lnx 2, 22x f ∂∂=21x x； ∴f ’(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2122221321ln 10322121x x x e e x x x x x x x x , f ’(1,1)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10103222e e , 由定理23.10知f 在X 上可微.定理23.11：设D ⊂R n 为开集, x 0∈D ，f: D →R m . 则f 在x 0可微的充要条件是：存在一个(m 行n 列的)矩阵函数F: D →R mn , 它在x 0连续(相当于它的n 个列向量函数都在x 0连续), 并使得f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), x ∈D. 证：[必要性]根据可微的定义，当x ≠x 0时, 存在η: D →R m , 0lim xx →η(x)=0,使得f(x)-f(x 0)=f ’(x 0)(x-x 0)+η(x)0x x -=f ’(x 0)(x-x 0)+)(x x x -η(x-x 0)T (x-x 0)=[f ’(x 0)+0)(x x x -η(x-x 0)T ](x-x 0). 令F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧='≠--+'00000),(,)()()(x x x f x x x x x x x x f T η, ∵)()(0x F x F -=00)()(x x x x x T--η≤)(x η→0(x →x 0), ∴F(x)在x 0连续.∴f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), x ∈D.[充分性]若存在F(x) 在x 0连续且f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), 则有 f(x)-f(x 0)=F(x 0)(x-x 0)+[F(x)-F(x 0)](x-x 0)=F(x 0)(x-x 0)+0)()(x x x F x F --(x-x 0)0x x -,令η(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠---00000,0),()()(x x x x x x x x x F x F , 由F 在x 0连续知0lim x x →η(x)=0. 又f(x)-f(x 0)=F(x 0)(x-x 0)+η(x)0x x -, ∴f 在x 0可微且 A 由矩阵F(x 0)确定, 即f ’(x 0)=F(x 0).二、可微函数的性质注：以下集合D ⊂R n 均为开集.定理23.12：设f,g: D →R m 是两个在x 0∈D 可微的函数, c 为任意实数,则cf 与f ±g 在x 0也可微，且有(cf)’(x 0)=cf ’(x 0), (f ±g)’(x 0)=f ’(x 0)±g ’(x 0). 证：由定理23.11关于可微的充要条件知, 存在矩阵函数F, G: D →R mn 在x 0连续, 且满足f(x)-f(x0)=F(x)(x-x0), g(x)-g(x0)=G(x)(x-x0), x∈D. 于是有(cf)(x)-(cf)(x0)=c[f(x)-f(x0)]=cF(x)(x-x0);(f±g)(x)-(f±g)(x0)=[f(x)-f(x0)]±[g(x)-g(x0)]=(F±G)(x)(x-x0).又由连续函数性质可知, 当F,G在x0连续时，cF, (F±G)(x)在x0连续. ∴cf与f±g满足定理23.11的条件, cf与f±g在x0可微.又f’(x0)=F(x0), g’(x0)=G(x0), ∴(cf)’(x0)=cf’(x0), (f±g)’(x0)=f’(x0)±g’(x0).定理23.13：设f: D→R m在x0∈D可微；D’⊂R m为开集, f(D)⊂D’;f: D’→R r在y0=f(x0)可微. 则复合函数h=g◦f: D→R r在x0可微, 且h’(x0)=(g◦f)’(x0)=g’(y0)f’(x0).证：由定理23.11关于可微的充要条件知,存在矩阵函数F: D→R mn在x0连续, G: D’→R rm在y0连续, 且满足f(x)-f(x0)=F(x)(x-x0), x∈D; g(y)-g(y0)=G(y)(y-y0), y∈D’. 于是有h(x)-h(x0)=g(f(x))-g(f(x0))=G(f(x))[f(x)-f(x0)]=G(f(x))F(x)(x-x0)=H(x)(x-x0),其中H(x)=G(f(x))F(x). 由连续函数性质可知, 当f, F在x0连续时，G在y0=f(x0)连续, 从而H在在x0连续. ∴h=g◦f满足定理23.11的条件, 即h在x0可微. 又f’(x0)=F(x0), g’(y0)=G(y0), 从而证得：h’(x0)=H(x0)=G(f(x0))F(x0)=G(y0)F(x0)=g’(y0)f’(x0). (链式法则)注：若令u=g(y), y=f(x), 用雅可比矩阵表示(g◦f)(x)的导数的链式法则：01111x x n r r n x u x u x u x u =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂ =01111y y m r r m y u y u y u y u =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂1111x x n m m n x u x y x y x y =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂ .例2：设D ⊂R 2, f: D →R 2, f(D)⊂D ’⊂R 2, g: D ’→R, 则当f,g 均可微时，试用两种形式表示h ’(x).解：复合函数h=g ◦f : D →R 在D 上可微, 且h ’(x)=(g ◦f)’(x)=g ’(y)f ’(x), 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂21x u x u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂21y u y u ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂22122111x y x y x y x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂222211122111x y y u x y y u x y y u x y y u .例3：设w=[f(x,u), g(y,v)]T , u=ψ(x,y,v), v=φ(x,y), 试计算w ’(x,y). 解：(x,y)T ↦(x,y,v)T ↦(x,y,u,v)T ↦(w 1,w 2)T , 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v y x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(y x y x ϕ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u y x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛v v y x y x ),,(ψ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21w w =⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(v y g u x f , 则 w ’(x,y)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v x v y y xy y x x xv v y v xv v u y u xu v y y y xyv x y x x x v w uw y w x w v w u w y w xw 22221111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛y xv y x v yu xg g f f ϕϕψψψ1001100010001000=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x v yv u yu xu x g g f f f f ϕϕψψψ10010=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++y v y x v v y u y u v x u x u x g g g f f f f f ϕϕψϕψψϕψ.定理23.14(微分中值不等式)：设D ⊂R n 是凸开集, f: D →R m . 若f 在D 内可微，则对任何两点a,b ∈D, 必存在点ξ=a+θ(b-a), 0<θ<1, 使得)()(a f b f -≤a b f -')(ξ.证：令φ(x)=[f(b)-f(a)]T f(x), 则φ是D 上的一个实值函数, 且满足中值定理的条件. ∴存在ξ=a+θ(b-a), 0<θ<1, 使得φ(b)-φ(a)=φ’(ξ)T (b-a), 其中φ’(ξ)T =[φx1(ξ),…,φxn (ξ)]=[f(b)-f(a)]T f ’(ξ). 又φ(b)-φ(a)=[f(b)-f(a)]T [f(b)-f(a)]=)()(a f b f -2,∴)()(a f b f -2=[f(b)-f(a)]T f ’(ξ)(b-a)≤a b f a f b f -'-)()()(ξ, 即)()(a f b f -≤a b f -')(ξ.三、黑赛矩阵与极值概念：对一元向量子数x: I →R n , I ⊂R, 即x 1=x 1(t),…,x n =x n (t),t ∈I, 只要x i (k)(t), i=1,2,…,n 存在, 按向量函数的导数定义, x 的k 阶导数 x (k)t=[x 1(k)(t), x n (k)(t)]T 也存在.对n 元实值函数f: D →R, D ⊂R n 为开集, 若f 在D 可微, 则由 f ’(x)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂n x f x f ,,1确定f 的导函数f ’: D →R n是一个向量函数(f 的梯度). 如果f ’在D(或D 内某点)上可微，则称f 在D(或D 内某点)上二阶可微, 并定义(f ’)T 的导数为f 的二阶导数, 记作f ”(x)或D 2f(x), 且f ”=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂22112212nn rnx f x x ux x f x f. (黑赛矩阵) 当f 的二阶混合偏导数连续时, 该矩阵对称. 这时f 在x 0的二阶泰勒公式可简单写成 f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+21(x-x 0)T f ”(x 0)(x-x 0)+o(20x x -).定理23.15：(极值必要条件)设D ⊂R n 为开集, 实值函数f: D →R 在x 0∈D 可微, 且取极值，则 (1) x 0必为f 的稳定点，即f ’(x 0)=0;(2)又若f 在x 0的某邻域U(x 0)⊂D 存在连续二阶偏导数, 则当f(x 0)为极小值时, f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为正定或正半定；当f(x 0)为极大值时, f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为负定或负半定. 推论：若f 在x 0的黑赛矩阵f ”(x 0)为不定时，则f 在x 0不取极值.定理23.16：(极值充分条件)上述函数f 若在U(x 0)⊂D 存在连续二阶偏导数,且f ’(x 0)=0,则当f ”(x 0)为正定(负定)时, f 在x 0取严格极小(极大)值.例4：试讨论二次函数f(x)=21x T Ax+b T x+c 的极值. 其中x ∈R n 为变量, A 为n ×n 对称矩阵, b 为n ×1向量, c 为实数.解：由f ’(x)=x T A+b T =0求得f 的稳定点x 0=-A -1b(A 可逆).又f ”(x)=A, 即当A 正定时f(x 0)为极小值；当A 负定时f(x 0)为极大值. f(x 0)=21(A -1b)T A(A -1b)-b T (A -1b)+c=21b T A -1b-b T A -1b+c=-21b T A -1b+c.当A 为不定阵时, 稳定点x 0相当于一个鞍点，这时x 0不是f 的极值点.习题1、证明定理23.12. 证：见定理23.12.2、求下列函数的导数：(1)f(x 1,x 2)=(x 1sinx 2,(x 1-x 2)2,2x 22)T , 求f ’(x 1,x 2)和f ’(0,2π)； (2)f(x 1,x 2,x 3)=(x 12+x 2,x 2e x1+x3)T , 求f ’(x 1,x 2,x 3)和f ’(1,0,1).解：(1)f ’(x 1,x 2)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2212121240)(2)(2cos sin x x x x x x x x . f ’(0,2π)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-πππ2001. (2)f ’(x 1,x 2,x 3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++31313122112x x x x x x e x e e x x . f ’(1,0,1)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000122e .3、设D ⊂R n 为开集, f,g: D →R m 均为可微函数. 证明：f T g 也是可微函数,且(f T g)’=f T g ’+g T f ’.证：对任x 0∈D, 由定理23.11关于可微的充要条件知, 存在矩阵函数F, G: D →R mn 在x 0连续, 且满足 f(x)-f(x 0)=F(x)(x-x 0), g(x)-g(x 0)=G(x)(x-x 0), x ∈D. 且有f ’(x 0)=F(x 0), g ’(x 0)=G(x 0), 于是有(f T g)(x)-(f T g)(x 0)=[(f T g)(x)-f T (x)g(x 0)]+[f T (x)g(x 0)-(f T g)(x 0)]=f T (x)[g(x)-g(x 0)]+[f(x)-f(x 0)]T g(x 0)=f T (x)[g(x)-g(x 0)]+g T (x 0)[f(x)-f(x 0)] =f T (x)G(x)(x-x 0)+g T (x 0)F(x)(x-x 0)=H(x)(x-x 0),x ∈D. H=f T (x)G(x)+g T (x 0)F(x).由f T (x),G(x),F(x)在x 0连续知,H(x)在x 0连续,由定理23.11, f T g 在x 0可微. 且有(f T g)’=f T g ’+g T f ’.4、定义函数f, g,h,z,t ：f(x 1,x 2)=x 1-x 2, g(x)=(sinx,cosx)T , h(x 1,x 2)=(x 1x 2,x 2-x 1)T , s(x 1,x 2)=(x 12,2x 2,x 2+4)T , t(x 1,x 2,x 3)=(x 1x 2x 3,x 1+x 2+x 3)T . 试依链式法则求： (1)(f ◦g)’；(2)(g ◦f)’；(3)(h ◦h)’；(4)(s ◦h)’；(5)(t ◦s)’；(6)(s ◦t)’.解：(1)(f ◦g)’=(1,-1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin cos =cosx+sinx.(2)(g ◦f)’=21sin cos x x y y y -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-(1,-1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------)sin()sin()cos()cos(21212121x x x x x x x x .(3)(h ◦h)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==11111212122211x x y y x x y x x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛----12212121221122x xx x x x x x . (4)(s ◦h)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11102002121211x x y xx y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--112222221221x x x x . (5)(t ◦s)’=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+===1020021111422131322322211x y y y y y y x y x y x y =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++328416412122121221x x x x x x x x . (6)(s ◦t)’=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111020022*******211x x x x x x y xx x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111222222322212322123221x x x x x x x x x .5、设u=f(x,y), v=g(x,y,u),w=h(x,u,v), 应用链式法则计算w ’(x,y). 解：(x,y)T ↦(x,y,u)T ↦(x,u,v)T ↦w, 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(y x f y x , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛),,(u y x g u x , w=h(x,u,v), 则w ’(x,y)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂y f x fy y x yy x x x u g yg x g u u y u xu u x y x x x v h uh xh=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y xu yx v ux f f g g g h h h 1001100001=[])()(y u y v y u x u x v x u x f g g h f h f g g h f h h +++++.6、设D ⊂R n 为开集, f: D →R m 为可微函数, 证明： (1)若在D 上f ’(x)≡0(零矩阵)，则f(x)为常向量函数； (2)若在D 上f ’(x)=c (常数矩阵)，则f(x)=cx+b, x ∈D, b ∈R m .证法一：(1)设p 和p ’为开域内任两点，可用一条完全在D 内的折线 px 1…,x n-1p ’连接pp ’, 在直线段px 1上的每一点p 0存在邻域U(p 0)⊂D, U(p 0)是凸开域, f(x)在其上可微, 依定理23.14, 对任一x ∈U(p 0), 有)()(0p f x f -2=[f(x)-f(p 0)]Tf ’(ξ)(x-p 0), ξ=p 0+θ(x-p 0)∈U(p 0)⊂D, (0<θ<1),又矩阵f ’(ξ)≡0, ∴)()(0p f x f -2≡0. 即f(x)=f(p 0), 即在U(p 0)内f(x)是常向量函数. 由p 0的任意性知f(p)=f(x 1). 同理可证f(p)=f(x 1)=…=f(p ’), ∴f(x)为D 上的常向量函数.(2)令g(x)=f(x)-cx, (x ∈D), 则g 在D 上可微且g ’(x)=f ’(x)-c=0, (x ∈D). 从而由(1)知：在R m 中存在向量b ，使g(x)=b, 即f(x)=cx+b, (x ∈D). 证法二：∵f: D →R m 为可微函数, ∴f(x)-f(x 0)=f ’(x)(x-x 0).(1)当f ’(x)≡0时, f(x)-f(x 0)=0, 即f(x)=f(x 0), ∴f(x)为D 上的常向量函数. (2)当f ’(x)=c 时, f(x)-f(x 0)=c(x-x 0)=cx-cx 0=cx+b, x ∈D, b=cx 0∈R m .7、设f: R n →R m 为可微函数，试求分别满足以下条件的函数f(x)： (1)f ’(x)=I(单位矩阵)；(2)f ’(x)=diag(φi (x i )), 即以φ1(x 1), φ2(x 2),…, φn (x n )为主对角线元的对角矩阵, x=(x 1,…,x n )T .解：(1)由第6题(2)得 f(x)=Ix+b=x+b, 其中b 为n ×1常数阵. (2)设f(x)=(f 1(x),…,f n (x))T , (x ∈R n ), 则f i 在R n 上可微(i=1,2,…,n)且f ’(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂∂∂⋯∂∂n nn n x f x f x f x f 1111(x ∈R n ). 由于f ’(x)=diag(φ1(x 1),…, φn (x n )) (x ∈R n ), ∴iix f ∂∂=φi (x i ), (i=1,2,…,n), 积分得f i (x)=⎰i i i dx x )(ϕ(i=1,2,…,n). ∴f(x)=(⎰111)(dx x ϕ,…,⎰n n n dx x )(ϕ) (x ∈R n ).8、求下列函数的黑赛矩阵，并判断该函数的极值点： (1)f(x)=x 12-2x 1x 2+2x 22+x 32-x 2x 3+x 1+3x 2-x 3； (2)f(x)=-x 12+4x 1x 2-2x 22+4x 32-6x 2x 3+6x 1x 3. 解：(1)f ’(x)=(2x 1-2x 2+1,-2x 1+4x 2-x 3+3,2x 3-x 2-1), 令f ’(x)=(0,0,0), 得f 的稳定点x 0=(617-,37-,32-)T. 又f ”(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210142022正定, ∴x 0是f 的极小值点.(2)f ’(x)=(-2x 1+4x 2+6x 3,4x 1-4x 2-6x 3,8x 3-6x 2+6x 1),∵f ”(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----866644642既不正定也不负定, ∴f 无极值.9、设f,g,h,s,t 为第4题中的五个函数：(1)试问：除第4题第6小题中的两个函数复合外, 还有哪些两个函数可以进行复合, 并求这些复合函数的导数； (2)求下列复合函数的导数：①(g ◦f ◦h)’；②(s ◦t ◦s)’. 解：(1)①(f ◦h)’(x)=f ’(y)h ’(x)=(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1112x x =(x 2+1,x 1-1). ②(f ◦t)’(x)=f ’(y)t ’(x)=(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛111213132x x x x x x =(x 2x 3-1,x 1x 3-1,x 1x 2-1). ③(h ◦g)’(x)=h ’(y)g ’(x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x y y x y x y sin cos 11cos sin 1221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x sin cos sin cos 22. ④(s ◦g)’(x)=s ’(y)g ’(x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y x y sin cos 102002sin 11=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x sin sin 22sin . ⑤(h ◦t)’(x)=h ’(y)t ’(x)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++==111112131321232123211x x x x x x y y x x x y x x x y=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-++++++111222213132221221321231321321322322321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (2)①(g ◦f ◦h)’(x)=g ’(u)f ’(y)h’(x)=122121sin cos x x x x yy u u u +-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-(1,-1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1112x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--+--+-11)sin()sin()cos()cos(121221122112211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-+-+--+-+)sin()1()sin()1()cos()1()cos() 1(12211122121221112212x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .②(s ◦t ◦s)’(x)=s ’(u)t ’(y)s ’(x)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+====1020021111020021*******2123222113211x y y y y y y u x y x y x y y yy u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+===1020021112222221423222123221232212322211x y y y y y y y y y x y x y x y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++3264)42()4(8)4(811222241222231x x x x x x x x x .10、设D ⊂R n 为开集, f: D →R m 在x 0∈D 可微. 试证明： (1)任给ε>0, 存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤()(0x f '+ε)0x x -；(2)存在δ>0, K>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤K 0x x -. (这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 证：(1)由f 在x 0可微的定义知：0000))(()()(lim 0x x x x x f x f x f xx --'--→=0.从而任给ε>0, 存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时,000)])(([)]()([x x x x x f x f x f --'--<ε.又)()()()(000x x x f x f x f -'--≤)])(([)]()([000x x x f x f x f -'--, ∴000)()()()(x x x x x f x f x f --'--≤000)])(([)]()([x x x x x f x f x f --'--<ε.即有, 当x ∈U(x 0;δ)时, )()(0x f x f -≤()(0x f '+ε)0x x -.(2)取ε=1, 令K=)(0x f '+1>0, 由(1)知：存在δ>0, 当x ∈U(x 0;δ)时, 有)()(0x f x f -≤K 0x x -.11、设D ⊂R n 为凸开集, g: D →R m 是可微函数, 且满足：对任何x ∈D 和任何非零的h ∈R n , 恒有h T g ’(x)>0. 试证明：g 在D 上是一一映射. 证：反证法，若g 在D 上非一一映射，则存在x 1,x 2∈D, 且x 1≠x 2,使 g(x 1)=g(x 2), 令h=x 2-x 1≠0, 记f(x)=[g(x)-g(x 1)]T h, 则f 是D 上的实值函数. 由g 在凸开集D 上可微知f 在D 上可微, 对f 用中值定理, 有 f(x 2)-f(x 1)=f ’(ξ)h, ξ=x 1+θ(x 2-x 1), θ∈(0,1). 又f(x 2)-f(x 1)=0, 且由第3题知 f ’(ξ)=h T g ’(ξ)=0与题设h T g ’(x)>0矛盾, ∴g 在D 上非一一映射.12、设φ: R →R 二阶可导, 且有稳定点；f: R n →R,且 f(x)=φ(a·x), a,x ∈R n , a ≠0. (1)试求f 的所有稳定点；(2)证明f 的所有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处, f ”(x)是退化矩阵(即在稳定点处det f ”(x)=0). 若A 为方阵，则detA 表示A 的行列式. (1)解：令t=a T x=a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n , 则有(x 1,x 2,…,x n )↦t ↦y=f(x)，则有 f ’(x)=φ’(t)t ’(x)=φ’(t)[a 1,a 2,…,a n ]=φ’(t)a T . 由a ≠0知, φ的任意稳定点t 0=a T x 的解x 0均为f 的稳定点.(2)证：由(1)知(f ’(x))T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''')()()(21t a t a t a n ϕϕϕ , t=a T x=∑=n i i i x a 1, f ”(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯''⋯''⋯''],,,)[(],,,)[(],,,)[(21212211n nn n a a a t a a a a t a a a a t a ϕϕϕ . 又由(1)知，当x 0是f 的稳定点时, t 0=a T x 0为φ的稳定点，从而det f ”(x)=a 1,a 2,…,a n (φ”(t 0))nnnnna a a a a a a a a ⋯⋯⋯22221=0.∴f 所有稳定点都是退化的.。

向量微分方程x′=ax的一种求解方法

向量微分方程x′=ax的一种求解方法，在数学中，向量微分方程是一种表示变量及其变化随时间的场合的常用方法。

例如，x′=ax，表示变量a随时间x的变化，即x(t+delta t)=a*x(t)。

解决向量微分方程，可以使用变换方法，解析解，积分法等多种求解方法。

变换法求解向量微分方程x′=ax，其基本思想是把原方程变换成能够解决的更容易的方程，也就是通过变换，将偏微分方程变换成通常的积分形式。

变换法主要依靠选择恰当的变换函数，从而使得变换前后的微分方程之间存在简单的映射，本质上在解微分方程等号前和等号后分别进行积分操作，计算各个积分量的乘积，其结果就是需要求解的微分方程的解析形式。

同样，解析解法也可以求解向量微分方程x′=ax。

解析解法的思想与变换法相似，也是在条件的情况下，可以将微分方程变换成积分形式，这时就可以用积分来求得方程解析解。

可以各元素分别求解，将求得的结果相加，就可以给出方程x′=ax的解析解。

积分法也可以用来求解向量微分方程x′=ax。

它将通常微分方程转为积分形式，通过一定的技巧，把积分中的区间拆分为许多小区间，然后用泰勒展开，将非定积分拆分成定积分，计算各定积分的和，就可以给出方程x′=ax的解。

通过以上三种求解方法，我们可以容易地求解向量微分方程x′=ax。

只要选定合适的变换函数，或者把原微分方程求解成积分形式，分解小区间，就可以求得方程的解析形式。

这些求解方法也广泛用于数值计算，因为无论什么情况下都可以利用它们计算出准确的解。

此外，这些求解方法也可以被应用到其他的微分方程中，如热力学，磁现象等，使研究者及工程师们更好地了解问题的物理规律，也能更容易地提出合适的解决方案。

向量函数的微分

§2 向量函数的微分1. 证明定理23.12，设n R D ⊂为开集，若m R D g f →:,是两个在D x ∈0可微的函数，c是任意实数，则cf 与g f±0x 也可微，且有).()()()(),()()(00000x g x f x g f x f c x cf '±'='±'='证由m R D g f →:,是两个在D x ∈0可微的函数，依定义知：存在两个线性变换21A A ，（只依赖于0x ）使当D x U x ⊂∈)0（时有（记)(),(0201x g A x f A '='=）),()()()(0010x x o x x A x f x f -+-=- ).()()()(0010x x o x x A x g x g -+-=-（1）[])()()()(00x f x f c x cf x cf -=- =)())((001x x x x cA -+-σ由于1cA 也是n R 到m R 的线性变换，从而cf 在0x 可微，且).()()(010x f c cA x cf '=='（2）[][][][][])()()()()()()()()()())(())((0021002001000x x o x x A A x x o x x A x x o x x A x g x g x f x f x g f x g f -+-+=-+-±-+-=-±-=±-±由于21A A ±也是n R 到m R 的线性变换，从而g f±在0x 可微，且).()()()(00210x g x f A A x g f '±'=±='±2.求下列函数的导数：（1）T x x x x x x x f )2,)(,sin (),(222212121-=，求),(21x x f '和)2,0(πf '；（2）T x x e x x x x x x f ),(),,(312221321++=，求),,(321x x x f '和)1,0,1(f '.解（1）这里,sin ),(21211x x x x f =,)(),(221212x x x x f -=222132),(x x x f =，因此⎥⎥⎥⎦⎤--⎢⎢⎢⎣⎡-='22121212214)(2cos 0)(2sin ),(x x x x x x x x x x f ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='ππππ001)20(，f ；（2）这里221321),,(x x x x x f +=，3122321,),,(x x e x x x x x f +=，因此⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=+++313113121321012),,(x x x x x x e x e ex x x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='00102)1,0,1(2e f 3.设n R D ⊂为开集，m R D g f →:,均为可微函数，证明：g f T可微函数，而且f g g f g f T T T '+'=')(.证对任一D x ∈0，由定理23.11关于可微的充要条件，分别存在矩阵函数mn R D G F →:,在0x 连续，且满足D x x x x F x f x f ∈-=-),)(()()(00 D x x x x G x g x g ∈-=-),)(()()(00.且有)()(00x f x F '=，)()(00x g x G '=，于是就有[][][][][][]))()(())(()())(()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()))(()()(())()())((())(())((00000000000000000D x x x x H x x x F x g x x x G x f x f x f x g x g x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x f x g x g x f x g f x g x f x g x f x g f x g f x g f T T TTTT T T T T T T T T T ∈-=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-=-其中).()()()()(0x F x g x G x f x H T T +=由)(),(),(x F x G x f T 在0x 连续知)(x H 在0x 连续，根据定理23.11，g f T 在0x 可微，且有).)(()()()()()()()()()(00000000x f g x g f x F x g x G x f x H x g f T T T T T '+'=+=='由0x 在D 的任意性知g f T 是D 上的可微函数，而且.)(f g g f g f T T T '+'='4.设函数t s h g f ,,,,的定义如下：,)cos ,(sin )(,),(2121T x x x g x x x x f =-= ,),(),(122121T x x x x x x h -= ,)4,2,(),(222121T x x x x x s +=.),(),,(321321321T x x x x x x x x x t ++=试依链式法则求下列复合函数的导数：（1）)('g f ；（2）)('f g ；（3）)('h h ；（4）)('h s ；（5）)('s t ；（6）)('t s . 解（1）[]x x x x x g f sin cos sin cos 1,1)()(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=' （2）[]⎥⎦⎤---⎢⎣⎡---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-=)sin()cos()sin()cos(1,1sin cos )()(2121212121x x x x x x x x y y x f g x x y ；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-==1221212122121*********)()(1222111x x x x x x x x x x y y x h h x x y x x y；（4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡='-==12212211120002)()(221221121122211x x x x x x y x h s x x y x x y ；（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡='+===3248164120002111)()(122121211422131322322211x x x x x x x x y y y y y y x s t x y x y x y ；（6）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡='++==1122131222111120002)()(322122321223221213132132123211x x x x x x x x x x x x x x x y x t s x x x y x x x y . 5.设),,(),,,(),,(v u x h w u y x g v y x f u ===应用链式法则计算).,(y x w '解用链式法则。

微积分下册知识点

微积分（下）知识点微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量,向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a = ,),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222z y x r ++= ;2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5）投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二）数量积，向量积1、数量积：θcos b a b a=⋅ 1)2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b a微积分（下）知识点 z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2)b a //⇔0=⨯b a zy x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲面: yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、二次曲面（不考）1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）椭球面:1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面:1222222=-+cz b y a x 4）双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 5）椭圆抛物面:z b y a x =+2222 6）双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7）椭圆柱面：12222=+by a x 8）双曲柱面：12222=-by a x 9）抛物柱面：ay x =2（四）空间曲线及其方程 1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量:),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程:1=++cz b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六）空间直线及其方程1、一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、参数式方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第二章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域,内点，外点，边界点，聚点,开集，闭集，连通集,区域，闭区域，有界集，无界集.2、多元函数:),(y x f z =，图形：3、极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 4、连续:),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y xy x =→5、偏导数： xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、方向导数：βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角.7、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。

《微分几何》教学大纲09

《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。

通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。

本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。

（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。

学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。

本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。

要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。

理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。

（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。

（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。

本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。

（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。

教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。

难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。

第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结（上）一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，包括微分和积分两部分。

微分是研究函数变化率和极值，积分是求解曲线下面的面积。

1.导数和微分导数是函数变化率的衡量指标，定义为函数在一点处的切线斜率。

微分是导数的微小增量，通常用dx来表示。

常见的微分公式：（1）（x^n）' = nx^(n-1)（2）(sinx)’=cosx（3）(cosx)’=-sinx（4）(ex)’=ex2.微分应用微分在科学工程中的应用非常广泛，如曲线的近似计算、变化率的分析和优化问题的求解等。

常见的微分应用题：（1）求解函数在某个点处的导数；（2）求解曲线y=f(x)在某一点x=x0处的切线方程；（3）求解函数极值的位置；（4）求解函数的最大值和最小值。

3.积分积分是微积分的另一大分支，通常被用来求解曲线下的面积。

三种积分：（1）定积分（2）不定积分（3）曲线积分常见的定积分计算方法：（1）换元法（2）分部积分法（3）长条法4.积分应用积分在工程科学中的应用非常广泛，如求解曲线下的面积、物理量的计算、概率分布的求解等。

常见的积分应用题：（1）求解曲线下的面积；（2）求解物理量的分布规律；（3）求解概率分布函数。

二、数学分析数学分析是研究实数域函数极限、连续、可导性以及积分的方法和应用的分支。

可分为实数的函数分析和向量的函数分析两部分。

1.实数的函数分析实数函数的极限，连续性以及可导性是实数的函数分析中研究的重点。

常见的函数分析公式：（1）函数极限的定义（2）连续函数的定义（3）可导函数的定义2.向量的函数分析向量的函数分析是研究向量值函数的极限、连续、可导性以及曲线积分的方法和应用。

常见的向量的函数分析公式：（1）向量函数的极限（2）向量函数的连续性（3）向量函数的导数（4）向量函数的曲线积分3.数列和级数数列和级数是数学分析中的重要概念，常用于求解无限积分与求和等问题。

常见的数列公式：（1）数列极限的定义（2）数列序列收敛定理（3）调和数列发散定理常见的级数公式：（1）级数收敛的定义（2）级数收敛和发散判定标准（3）比值判别法和根值判别法三、线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、行列式和线性方程组等内容。

向量函数极限

(1)
r t s t a b r t a s t b
r t a s t b
r t a 0
s t b 0
当 t t0 时由已知条件有即
r t s t a b 0
的微商仍为的一个向量函数,如果函数 r (t ) 也是向量函数 r (t ) t r (t ) 连续的和可微的,则r (t ) 的微商r (t ) 称为r (t ) 的二阶微商。类似地可以定义三阶、四阶等等的微商。在区间 [t1 , t 2 ] 上有直到k阶连续微商的函数 k 称为这区间上的k次可微函数或 C 类函数，连续函数也称为 C 0 类函数，无限可微的函数记为类函数。解析函数记为类函数。 C C
r t s t a b
（4）作出向量差
r t s t a b r t a s t a s t b
由此得出
r t s t a b r t a s t a s t b
t 0 存在，则称 r (t ) 在点 t 0 是可微分的，这个极限
lim
r (t0 t ) r (t0 ) t
dr 称为 r (t )在 t 0 点的微商(或导矢)，用 dt 或 t 表示，即
0
r (t0 )
r (t0 t ) r (t0 ) dr . r (to ) lim t dt to t 0
设如果极限是可微分的这个极限称为如果在某个开区间的每一点都有微商存在则我们说在此区间内是可微的或简称向量函数都是可微的并且这些公式的证明和数学分析中实函数的对应公式的证明相似但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关不能把次序任意交换

微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节

即微商的分量等于分量的微商
3
定义 (C k类函数) rr((tt))称称为为rr((tt))的的二三阶阶微微商商；；
二阶
及二
阶以
上的
微商叫r(t
)的高
阶微
商.
在区间[t1, t2 ]上有直至k阶连续微商的函数称为C k类函数. 连续函数称为C 0类函数. 无限可微的函数称为C 类函数.
命解题析4函r数(t)称 {为xC(t)类, y函(t)数 , z.(t)} C k[t1, t2 ]
a
a
即积分的分量等于分量的积分
命题5
若r
r (t
)在[a,
b]上
连
续，
则r(t
)在[a,
b]上
可
积
，而且
（1）
b
r (t
)dt
c r (t)dt
b r (t)dt
a
（2） b
mr (t)dt
a
m
b
c r (t)dt
(m为
常
数)；
a
（3） b
m
r (t)dt
a m
b
r (t)dt
x(t) y(t) z(t)
a1 a2 . a3
即极限的分量等于分量的极限
命命题题23..且rr((rtt))(t){{xx{((txt)),(,tyy)(,(tyt),)(z,t(z)t(,)t｝z)}(可连t)｝微续.
x(t), y(t), z(t)均连续.
x(t), y(t), z(t)均可微.
4
定定注对义义于若则设二r对 rrrru(uv(u元于 u,,v{llv向二x)uivi)mm u,00量元{yrr{xu((x向函(uu,(uz,uu量 ,v数｝,vv,)也函)u,r，,vy,yvv可 (数uv(ur))u{,定,xvvrrv)r),(,(义(,uzuyuz(,,v(u,v偏 v,uv,z)),v)v｝,v微 )｝).｝,商urvr是.. 、定全义微在分平等面概区念域. D

向量微积分理解向量微积分的概念与计算方法

向量微积分理解向量微积分的概念与计算方法向量微积分是微积分学中的重要分支，是研究向量函数导数、积分、微分方程和曲线、曲面的基础工具。

本文将从向量微积分的概念入手，逐步介绍向量微积分的计算方法。

一、向量微积分的概念向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。

向量微积分则是对向量进行微积分运算的过程，包括求导、求积分等。

在向量微积分中，我们经常用到矢量的点乘和叉乘。

矢量的点乘表示为“·”，计算方法为将两个矢量对应分量相乘后求和。

矢量的叉乘表示为“×”，计算方法为用行列式的形式计算。

利用矢量的点乘，我们可以计算出向量的模长，两个向量的夹角以及向量的投影。

利用矢量的叉乘，我们可以计算出两个向量的乘积向量及其模长。

二、向量的导数在向量微积分中，我们常常需要对向量函数进行求导。

向量函数的导数表示为关于自变量的导数矢量，即函数值在各个自变量分量上的导数。

向量函数的导数计算方法与标量函数的导数类似，只需要对每个分量分别求导即可。

求导的规则包括基本的四则运算法则以及链式法则等。

通过求导，我们可以获得向量函数的切向量，从而研究曲线的切线方向以及曲面的法线方向。

三、向量的积分向量函数的积分表示为函数的定积分对应的矢量。

向量函数的积分可以用于计算曲线以及曲面的面积、体积等物理量。

与求导相反，求积分需要对向量函数的每个分量进行积分。

求积分的规则包括基本的定积分法则以及换元法等。

通过积分，我们可以得到曲线的弧长、曲面的面积以及体积等重要信息。

四、向量微分方程向量微分方程是包含矢量未知函数及其导数的微分方程。

求解向量微分方程的方法主要包括变量分离法、常数变易法、矢量积分因子法等。

通过求解向量微分方程，我们可以得到矢量未知函数的解析表达式，从而研究物理现象以及工程问题。

综上所述，向量微积分是研究向量函数导数、积分、微分方程以及曲线、曲面的基础工具。

通过了解向量微积分的概念和计算方法，我们可以更好地理解和应用微积分学中的向量运算。

矢量的积分运算

向量的积分运算：综合概述矢量是具有大小和方向的数学对象。

它们可以在图形上表示为有向线段，在代数上表示为有序的实数对。

向量可以与实数的标量相加、相减和相乘。

这些运算被称为矢量代数，构成了许多数学和科学应用的基础。

矢量代数中的一个重要运算是积分。

积分是一种计算曲线下面积或固体体积的方法。

在这篇文章中，我们将探索如何整合向量以及这种操作的一些应用。

矢量积分向量积分是找到由向量函数界定的区域的总面积或体积的过程。

向量函数是将实数（称为自变量）映射到二维或三维向量的函数。

该区域由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。

矢量积分有两种类型：线积分和面积分。

线积分是找到由矢量函数描绘出的曲线的总长度的过程。

表面积分是找到由矢量函数描绘出的表面总面积的过程。

线路整合线积分也称为线积分或路径积分。

它用于查找矢量函数描绘出的曲线的总长度。

曲线由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。

要找到矢量函数的线积分，我们必须首先指定要评估矢量函数的路径。

路径是空间中的一条曲线，随着自变量的变化由向量函数描绘出来。

路径通常由一组参数方程定义，这些方程是根据一个或多个参数表示点位置的方程。

指定路径后，可以使用以下公式计算矢量函数的线积分：∫CF · dr其中C 是要评估矢量函数的路径，F 是矢量函数，dr 是微分矢量元素，指定路径在给定点的方向和大小。

矢量函数的线积分是一个标量，这意味着它只有大小而没有方向。

它通常用于计算向量函数描绘出的曲线的总长度。

表面整合表面积分也称为表面积分或通量积分。

它用于计算矢量函数描绘出的表面的总面积。

表面由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。

要找到矢量函数的曲面积分，我们必须首先指定要计算矢量函数的曲面。

表面是空间中的二维区域，随着自变量的变化由矢量函数描绘出来。

表面通常由一组参数方程定义，这些方程是根据一个或多个参数表示点位置的方程。

指定表面后，可以使用以下公式计算矢量函数的表面积分：∫SF·dS其中S 是要计算矢量函数的表面，F 是矢量函数，dS 是微分表面元素，它指定表面在给定点的面积和方向。

§2 向量函数微积分

∂r ∂u
=
ru
=
(−sin
u
,
cos
u
,
0)
，
∂r ∂v
=
rv
=
(0,
0,
1)
，
∂2r ∂u2
=
ruu
=
(−cos
u
,
−sin
u
,
0)
，
∂r ∂u
×
∂r ∂v
=
(cos
u
,
sin
u
,
0)
，
∫ rv dv = (c1(u) , c2(u) , v + c3(u)) = (0, 0, v) + c ，其中c = (c1 , c2 , c3) 是u的一元向量函数而与v无关．
注记 2 上述充要条件③的前提条件“r(t)×r′(t) 处处非零”是必不可少的实质性条件．参见下面的例子．
{ { 0 , t ≥0 ，
0 , t ≤0 ，
例 8 设 x(t) = e−t2−1/t2, t < 0 ； y(t) = t + 1 ；z(t) = e−t2−1/t2, t >0 ；
令 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ， t∈R ．则
r(t)
=
lim
Δt→0
r(t+Δt) − Δt
r(t)
=
(−sin
t
,
cos
t
,
0)
，
∫ r(t) dt = (sin t , −cos t , 0) + (c1 , c2 , c3) ，其中 c = (c1 , c2 , c3) = const. ．

微积分公式、三角公式和向量运算法则表

微积分公式、三角公式和向量运算法则表一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵()1uu xux-'= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

向量微分归纳(全)

向量微分归纳(全)向量微分是微积分中的重要概念之一。

通过对向量的微分，我们可以了解向量的变化率和导数。

本文将介绍向量微分的基本概念和常见的计算方法。

向量微分的定义向量微分是指对向量函数进行微积分运算的过程。

对于向量函数 $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}) \\f_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ f_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix}$，其中$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end{bmatrix}$ 是自变量向量，向量函数的微分定义如下：$$d\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} df_1(\mathbf{x}) \\ df_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ df_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_1} &\frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_2(\mathbf{x})}{\partial x_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(\mathbf{x})}{\partial x_1} & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partialf_n(\mathbf{x})}{\partial x_m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ \vdots \\ dx_m \end{bmatrix}$$其中，$\frac{\partial f_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}$ 表示$f_i(\mathbf{x})$ 对 $x_j$ 的偏导数。

向量函数知识点总结

向量函数知识点总结一、向量和向量函数的概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者向量的起点和终点表示。

常用的表示方法有以下几种：坐标表示：(x, y)分量表示：i*x + j*y起点和终点表示：AB3. 向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算。

4. 向量函数的定义向量函数是自变量为向量、因变量为向量的函数，通常表示为F(x) = < f1(x), f2(x) >。

二、向量函数的性质和图像1. 向量函数的性质（1）向量函数的定义域向量函数的定义域通常是一个向量的集合，可以是一条直线、一个平面或者一个立体。

（2）向量函数的值域向量函数的值域是所有可能的函数值构成的集合。

（3）向量函数的图像向量函数的图像通常是在一个坐标系中以曲线或者曲面的形式表示，用来显示函数值与自变量之间的对应关系。

2. 向量函数的图像特征（1）曲线的切线曲线的切线是曲线上某一点的切线，切线的方向与曲线在该点的切线方向相同。

（2）曲线的切点曲线的切点是曲线与坐标轴或者其他曲线相交的点，切点的坐标和曲线上的点坐标之间满足特定的关系。

三、向量函数的微分和积分1. 向量函数的微分向量函数的微分是向量函数的导数，用来描述函数值在某一点的变化率和方向。

2. 向量函数的积分向量函数的积分是向量函数在一定区间内的累积变化量，用来描述函数值在一定区间内的总变化。

四、向量函数的应用1. 物理学中的向量函数向量函数在物理学中有广泛的应用，例如描述力的方向、速度的方向、位移的方向等。

2. 工程学中的向量函数向量函数在工程学中有广泛的应用，例如描述电场强度、磁场强度、应力分布、位移分布等。

3. 经济学中的向量函数向量函数在经济学中有广泛的应用，例如描述需求曲线、供给曲线、边际效用曲线、收入曲线等。

五、向量函数的相关定理和公式1. 平面向量函数的常用公式（1）向量的大小如果向量A = (x1, y1)，则|A| = sqrt(x1^2 + y1^2)。

关于向量函数的微分学中值定理的一个简单证明

关于向量函数的微分学中值定理
的一个简单证明
陈金和
我们知道 , 对于向量函数:
r !1 ( ) y ; x
、夕l1.
尸瓜
、尹.
YX 一
y : (x )
Ly。 ( x ) 在定义了它的求微商 , 求积分的运算后 , 数学分析中关于微分 , 积分运算的许多命题 ,
即:
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d2 v(t ) = f ′′(t )i + g ′′(t ) j dt 2
⎤ ⎤ ⎤ ∂2 ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ v ( x , y , z ) = ⎢ f ( x , y , z ) ⎥ i + ⎢ g ( x, y , z ) ⎥ j + ⎢ h ( x, y , z ) ⎥ k ∂x∂y ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ， v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
2.三度空間中的向量函數
v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k ，則
§6 向量函數的微分與積分
向量函數的導函數即針對其各分量進行微分（單變數）或偏微分（多變數）後的向量，定義分述如下。
1.平面上的向量函數
v(t ) = f (t )i + g (t ) j ，則
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ，則
∫
2
0
v(t )dt =
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k = 4i + 8 j − 16k
1 3 dv d2v 【例 1】設 v(t ) = t i + 2t j − t k ，求、 2 。 dt dt 3 d2v d dv ⎛ d 2 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d 1 3 ⎞ = 2t i + 2 j − t 2 k = 2i − 2t k = ⎜ t ⎟ i + ⎜ 2t ⎟ j − ⎜ t ⎟ k = 2t i + 2 j − t 2 k , 解： 2 dt dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt 3 ⎠
v( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂z ∂z ∂z ∂z 除此之外，與純量函數一樣，也可以求向量函數的高階導函數或高階偏導函數，例如：
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j + h′(t )k dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y)k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ∂y ∂y ∂y ∂y
b b a a
【例 2】設 v (t ) = 2t i + 3t 2 j − 4t 3 k ，求 ∫ v(t )dt 、 ∫ v(t )dt 。
0
2
解： ∫ v(t )dt =
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k
2 3
= ( t 2 + c1 ) i + ( t 3 + c2 ) j − ( t 4 + c3 ) k = t 2 i + t 3 j − t 4 k + c （ c = c1 i + c2 j − c3 k ）
2
(
)
- 20 -
向量函數的微分也有一些類似純量函數的微分的性質，以下幾個單變數的向量函數的微分性質。若 v1 , v2 , v3 為可微分的向量函數， R 為可微分的純量函數，則
1. 2. 3. 4. 5.
d d d ⎡v1 (t ) + v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) + v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ R(t )v1 (t ) ⎤ = R(t ) v1 (t ) + v1 (t ) R(t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) ⎤ = v1 (t )i v2 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ v1 (t ) × v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) × v2 (t ) + v1 (t ) × v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎤ = v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )i v2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt dt
向量函數 v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k 的積分定義如下：
∫ v(t )dt = ( ∫ f (t )dt ) i + ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t )dt ) k
∫
bபைடு நூலகம்
a
v(t )dt =
(∫
b
a
f (t )dt i +
) ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t)dt ) k
dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ dt
d ⎡ ⎤ ⎡d ⎤ d 6. d ⎡v1 (t ) × ( v2 (t ) × v3 (t ) ) ⎤ = v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎡ ⎣ v2 (t ) × v3 (t ) ⎤ ⎦ ⎣ ⎦