向量函数的微分与积分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§6 向量函數的微分與積分
向量函數的導函數即針對其各分量進行微分（單變數）或偏微分（多變數）後的向量，定 義分述如下。
1.平面上的向量函數
v(t ) = f (t )i + g (t ) j ，則
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ，則
2
(
)
- 20 -
向量函數的微分也有一些類似純量函數的微分的性質，以下幾個單變數的向量函數的微分 性質。 若 v1 , v2 , v3 為可微分的向量函數， R 為可微分的純量函數，則
1. 2. 3. 4. 5.
d d d ⎡v1 (t ) + v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) + v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ R(t )v1 (t ) ⎤ = R(t ) v1 (t ) + v1 (t ) R(t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) ⎤ = v1 (t )i v2 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ v1 (t ) × v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) × v2 (t ) + v1 (t ) × v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎤ = v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )i v2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt dt
b b a a
【例 2】設 v (t ) = 2t i + 3t 2 j − 4t 3 k ，求 ∫ v(t )dt 、 ∫ v(t )dt 。
0
2
解： ∫ v(t )dt =
wk.baidu.com
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k
2 3
= ( t 2 + c1 ) i + ( t 3 + c2 ) j − ( t 4 + c3 ) k = t 2 i + t 3 j − t 4 k + c （ c = c1 i + c2 j − c3 k ）
∫
2
0
v(t )dt =
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k = 4i + 8 j − 16k
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j + h′(t )k dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y)k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ∂y ∂y ∂y ∂y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ， v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
2.三度空間中的向量函數
v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k ，則
向量函數 v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k 的積分定義如下：
∫ v(t )dt = ( ∫ f (t )dt ) i + ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t )dt ) k
∫
b
a
v(t )dt =
(∫
b
a
f (t )dt i +
) ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t)dt ) k
1 3 dv d2v 【例 1】設 v(t ) = t i + 2t j − t k ，求 、 2 。 dt dt 3 d2v d dv ⎛ d 2 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d 1 3 ⎞ = 2t i + 2 j − t 2 k = 2i − 2t k = ⎜ t ⎟ i + ⎜ 2t ⎟ j − ⎜ t ⎟ k = 2t i + 2 j − t 2 k , 解： 2 dt dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt 3 ⎠
d2 v(t ) = f ′′(t )i + g ′′(t ) j dt 2
⎤ ⎤ ⎤ ∂2 ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ v ( x , y , z ) = ⎢ f ( x , y , z ) ⎥ i + ⎢ g ( x, y , z ) ⎥ j + ⎢ h ( x, y , z ) ⎥ k ∂x∂y ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦
v( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂z ∂z ∂z ∂z 除此之外，與純量函數一樣，也可以求向量函數的高階導函數或高階偏導函數，例如：
dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ dt
d ⎡ ⎤ ⎡d ⎤ d 6. d ⎡v1 (t ) × ( v2 (t ) × v3 (t ) ) ⎤ = v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎡ ⎣ v2 (t ) × v3 (t ) ⎤ ⎦ ⎣ ⎦
向量函數的導函數即針對其各分量進行微分（單變數）或偏微分（多變數）後的向量，定 義分述如下。
1.平面上的向量函數
v(t ) = f (t )i + g (t ) j ，則
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ，則
2
(
)
- 20 -
向量函數的微分也有一些類似純量函數的微分的性質，以下幾個單變數的向量函數的微分 性質。 若 v1 , v2 , v3 為可微分的向量函數， R 為可微分的純量函數，則
1. 2. 3. 4. 5.
d d d ⎡v1 (t ) + v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) + v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ R(t )v1 (t ) ⎤ = R(t ) v1 (t ) + v1 (t ) R(t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) ⎤ = v1 (t )i v2 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d ⎡ v1 (t ) × v2 (t ) ⎤ = v1 (t ) × v2 (t ) + v1 (t ) × v2 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt d d d d ⎡v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎤ = v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )i v2 (t ) × v3 (t ) + v1 (t )iv2 (t ) × v3 (t ) ⎣ ⎦ dt dt dt dt
b b a a
【例 2】設 v (t ) = 2t i + 3t 2 j − 4t 3 k ，求 ∫ v(t )dt 、 ∫ v(t )dt 。
0
2
解： ∫ v(t )dt =
wk.baidu.com
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k
2 3
= ( t 2 + c1 ) i + ( t 3 + c2 ) j − ( t 4 + c3 ) k = t 2 i + t 3 j − t 4 k + c （ c = c1 i + c2 j − c3 k ）
∫
2
0
v(t )dt =
( ∫ 2tdt ) i + ( ∫ 3t dt ) j − ( ∫ 4t dt ) k = 4i + 8 j − 16k
d v(t ) = f ′(t )i + g ′(t ) j + h′(t )k dt
v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y)k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j + h( x, y )k ∂y ∂y ∂y ∂y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ， v( x, y ) = f ( x, y )i + g ( x, y ) j ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
2.三度空間中的向量函數
v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k ，則
向量函數 v (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k 的積分定義如下：
∫ v(t )dt = ( ∫ f (t )dt ) i + ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t )dt ) k
∫
b
a
v(t )dt =
(∫
b
a
f (t )dt i +
) ( ∫ g (t )dt ) j + ( ∫ h(t)dt ) k
1 3 dv d2v 【例 1】設 v(t ) = t i + 2t j − t k ，求 、 2 。 dt dt 3 d2v d dv ⎛ d 2 ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d 1 3 ⎞ = 2t i + 2 j − t 2 k = 2i − 2t k = ⎜ t ⎟ i + ⎜ 2t ⎟ j − ⎜ t ⎟ k = 2t i + 2 j − t 2 k , 解： 2 dt dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt 3 ⎠
d2 v(t ) = f ′′(t )i + g ′′(t ) j dt 2
⎤ ⎤ ⎤ ∂2 ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ ∂ ⎡∂ v ( x , y , z ) = ⎢ f ( x , y , z ) ⎥ i + ⎢ g ( x, y , z ) ⎥ j + ⎢ h ( x, y , z ) ⎥ k ∂x∂y ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦ ∂x ⎣ ∂y ⎦
v( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ，則
∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ v ( x, y , z ) = f ( x, y, z )i + g ( x, y, z ) j + h( x, y, z )k ∂z ∂z ∂z ∂z 除此之外，與純量函數一樣，也可以求向量函數的高階導函數或高階偏導函數，例如：
dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ dt
d ⎡ ⎤ ⎡d ⎤ d 6. d ⎡v1 (t ) × ( v2 (t ) × v3 (t ) ) ⎤ = v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎢ v2 (t ) × v3 (t ) ⎥ + v1 (t ) × ⎡ ⎣ v2 (t ) × v3 (t ) ⎤ ⎦ ⎣ ⎦