平稳随机过程的功率谱密度

说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2. SX ( )和R( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦
公式还可以写成如下的形式:

SX ( ) 2 RX ( )cos d ,
RX ( )
1 π

SX ( )cos d .
( )

S
* XY
( )和SYX ( )
2. 在互相关函数 RXY ( )绝对可积的条件下, 有如
下维纳-辛钦公式
SXY ( )

RXY
(
)
ei
d
,
RXY
(
)

1 2π

S

XY
(
)
ei
d
.
3. Re[SXY ( )] 和 Re[SYX ( )] 是 的偶函数,

a0 b0
,
其中(S0 0), m n, 分母无实根. 有理谱密度
在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, 它们 的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶变换 或逆变换不存在, 此时如果允许谱密度和自相关函 数含有δ函数, 有关实际问题仍能得到圆满解决.
在这种情况下, 自相关函数为常数或正弦型函数 的平稳过程, 其谱密度都是离散的.

2π

2
Fx ( ) d ,
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 lim 1 T x2(t)dt 称为 x(t) 在 (, ) T 2T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
其中 X( t ) 和 Y( t ) 是平稳相关的.
Z( t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
根据维纳-辛钦公式, Z( t ) 的自谱密度为
SZZ ( ) SXX ( ) SXY ( ) SYX ( ) SYY ( ) SXX ( ) SYY ( ) 2 Re[SXY ( )].
S
X
(
)


4
2 4 10 2

9
,
计算它的相关函数和平均功率.
解 方法1
RX
(
)

1 2π
ei

4
2 4 10 2

d ,
9
先考虑 0 : 令 z4 10z2 9 0,
得零点 z 3i , i ,
其中 z 3i, i 是在上半平面的两个零点,
绝对可积
x(t), t T ,
xT (t) 0
t T.
xT (t ) 的傅里叶变换为
Fx (,T )

xT
(t )eitdt

T x(t )eitdt
T
它的帕塞瓦尔等式

xT2
(t
)dt

1 2π

Fx
(
,
T
)
2
d
.
变形得
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.

且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π

Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,引 入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳 过程的相关性.
例如: 对具有零均值的平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) , 根据性质(2),
SXY ( ) 0 与 X (t ) 和 Y (t ) 不相关是等价的.
例3 设平稳过程 X (t) 的相关函数 RX ( ) S ( ),
1 2T
T x2(t )dt 1
T
2π

Fx
(
,T
)
2
d
.
1
lim T 2T
T x2(t )dt 1
T
2π

1 lim T 2T
Fx ( ,T ) 2d .
x(t) 在 (, ) 上的平均功率 称为 x( t ) 的平均功率谱密度

2 (eia
2

eia
),
由 SX ( ) 与 RX ( ) 互为 傅里叶变换对的关系可知，
2 (eia
2
eia ) 1 2π
ei


S
X
(
)d
,
故 SX ()＝π 2( ( a) ( a)).
例5 设平稳过程 X (t) 的功率谱密度
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
S XY
(
)

lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数.
互谱密度的性质
1.
S XY
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

定义
为平稳过程
T

X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

T

平稳过程的平均功率

3i)(
2 4 3i)(

1)(

ei 1)
在 i , 3i 处的留数之和
1 (9e 5e3 ), 48
均方值为

2 X

RX
(0)

7. 24
说明
SX ( )

S0
2n 2m

a 2n2 2n2

b 2m2 2m2
平稳随机过程的功率谱密度
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质
一、平稳过程的功率谱密度
1. 平均功率和能量谱密度
设有时间函数 x(t), t ,
假如 x( t ) 满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件,且
绝对可积, 即

x(一t)般dt是 复数, 那量么, 其x(共t) 轭的函傅数里叶
性质1 SX ( ) 是 的实的、非负的偶函数.
性质2
SX ( ) 和自相关函数 R( ) 是一傅里叶变换对.
即
Байду номын сангаас
SX ( )

RX
(
)
ei
d
,
RX ( )
1 2π

S

X
(
)
ei
d
.
它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式.

5 8
F

1 2
9
1 (9e 5e3 ). 48
例2
求自相关函数
RV
(
)

a2 2
cos1
b2e
所对应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
SV
( )

π a2[
2
(

0 )


(

0 )]
2b2 2 2
.
相应的谱密度如图所示:
此图说明了谱密度 是如何表明噪声以
sv ( ) 2b2 / a
π a2 2
其中 S 为常数, 计算它的功率谱密度.
解
SY ( )
S


(
)ei
d

Sei0 S.
功率谱密度为常数的平稳过程是白噪声.
例4 设平稳过程 X (t) 的相关函数 RX ( ) 2 cos a ,
计算它的功率谱密度.
解
将
RX ( ) 改写为 RX ( )
E{
FX
(,T )
2 }.
也简称为自谱密度或谱密度, 它是从频率这个角度
描述 X( t ) 的统计规律的最主要的数字特征.

2 X

1 2π

SX ( )d
称为平稳过程 X( t ) 的平均功率的谱表示式.
物理意义: 表示 X( t ) 的平均功率关于频率的分布.
二、谱密度的性质
Im[ SXY ( )] 和 Im[ SYX ( )] 是 的奇函数.
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
SXY ( ) 2 SX ( )SY ( ).
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z(t) X (t) Y (t),
RX
(
)

1 (9e 48
5e3
).
平均功率为
7
RX
(0)

. 24
方法2
SX
(
)


4
2 4 10 2

9

3 8


1 2
1

5 8


1 2
9
,
RX
(
)

F
3 8


1 2
1

F
5 8


1 2
9

3 8
F

1 2
1
RX
(
)

1 2π

2πi
Res
eiz

z4
z2 4 10z2
9 ,i

Res eiz
z4
z2 4 10z2
9
,
3i


i
3 16i
e


5 e3 48i

1 (9e 5e3 ), 48
由于 RX ( ) 是偶函数, 对任意的 , 有
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
T T
E[ X
2(t )]dt


2 x

2 X
1 2π

lim
T
1 2T
{
E
FX
(
,T
)
2
}d
.
平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 SXX ( ) 或 SX ( ).
即
SX
( )

1 lim T 2T
SX
( )ei d

S0 2π
ei d

S0 ( ).
说明 (1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程. 此过程在 t1 t2 时, X (t1 ) 和 X (t2 )
是不相关的.
(2)白噪声是一种理想化的数学模型. 它的平均功 率是无限的. 白噪声在数学处理上具有简单、方便 优点. 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频 带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理.
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即
SX ( ) S0 , (S0 0)
的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故.
2. 白噪声的自相关函数
RX
( )

1 2π

,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)

1 2π

4
2 4 10 2

9

ei d
1
2π

( 2
2 4 9)( 2

eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)

1 2π


2πi(
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函数 的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t) 的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间 的联系.
在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法 或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1
已知谱密度
SX
( )

4
2 4 10 2

9