平稳随机过程的功率谱密度
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随机过程的功率谱密度 ppt课件
GX ( ) GX (cos )ppt课件
17
三、互功率谱密度及其性质
GXY ()
E{lim T
1 2T
XT ()YT()}
其中： XT ()
T X (t)e jt dt
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
GXY ()
GX
( )e
j
d
物理谱定义：
FX () 2GX0()
0 0
ppt课件
12
5
0
-5
0
200
400
600
800
1000
1200
30
频谱
20
10
0 0
40 20
0 -20 -40
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
功率谱
200
400
广义联合平稳的定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , R (t , XpYpt课件1 t2 ) RXY ( ), t1 t221
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
2 0
RX ( ) cos d
实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。
RX
(0 )
1
2
GX
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
平稳过程的功率谱密度
●
频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, • 能量 • 功率
几个物理概念
它可以确定时域与频域的转换关系.
●
为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理
意义是功率谱密度.
2013/11/15
2 帕塞瓦尔等式
总能量的谱表示式
2
Fourier变换的性质
● 线性性质 ● 位移性质
F [ f1 (t ) f 2 (t )] F [ f1 (t )] F [ f 2 (t )]
[ x(t )] dt x(t )
1 2
E x 2 (t ) dt.
2013/11/15
功率信号： 0 lim
T
T
T
x 2 (t )dt
t2
E
t1
x 2 (t ) dt 称为x(t )在( - , +) 上的总能量。
5
显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一 个功率信号具有无限大能量。
2013/11/15 6
信号能量的解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压和电流在己知区间 (t1, t2) 内消耗在电阻R上的能 量为 2 t 2 U (t ) t2 E dt ; E RI 2 (t )dt. t1 t1 R
p
1 t2 2 x (t )dt t2 t1 t1
1 2T
R 1 时，上述两式具有相同形式。
1 2
Fx ( ) d
平稳随机过程的功率谱密度-精品文档
二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值
2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T
S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:
平稳过程的功率谱密度
T
T
X t dt 1 2
2
1 E F , T 2 d lim X T 2T
等式左边称为平稳过程 X t 的平均功率 lim E 1 T 2T
T
T
X t dt lim 1 T 2T
由例1
2a 2a 1 2 2 2 a 2 2 a 0 0
1 1 a 2 2 2 2 a 0 a 0
。
2 4 例3：已知谱密度为： S X 4 ，求平稳过程 X t 2 10 9
1 =t1 t 2 2 =t 2 t1
T
T T
X t1 e
i t1
dt1
T
T
X t 2 e i t2 dt 2
i t 2 t1
T T
T
T T
E X t1 X t 2 e R X t 2 t1 e
f ( z ) dz 2 i Re s[ f ( z ), z
C k 1 z z0
n
k
]
Res( f, z 0 ) lim ( z z 0 ) f(z), 当 z 0为一阶极点 d k 1 (z z 0 )k f(z) 1 , 当 z 为 k 阶极点 Res( f, z 0 ) lim 0 ( k 1)! z z 0 dz k 1 形如
明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。在频率域中， x 2 f F
2
2
表示
平稳过程4-平稳过程的功率谱密度
5.4 平稳过程的功率谱密度
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号：若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件， 通常研究x(t)的平均功率，即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式？ 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S（ dω X ω）
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号：若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件， 通常研究x(t)的平均功率，即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式？ 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S（ dω X ω）
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
平稳随机过程的功率谱密度
绝对可积
x(t), t T,
xT(t)0 t T.
xT(t)的傅里叶变换为
F x (,T ) x T ( t) e i td t T T x ( t) e i td t
它的帕塞瓦尔等式
x T 2(t)d t2 1 π F x(,T )2d.
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
1 S X (Y ) T l i2 m T E { F X (,T )F Y (,T )}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不 的再 实是 的、正.的偶函
3 .R S X e (Y ) [和 ]R S Y e (X )[是 ] 的偶 , 函
Im S X(Y ) [和 ]Im S Y(X ) [是 ] 的奇 . 函
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
S X(Y )2S X ()S Y().
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z (t) X (t) Y (t),
2
)d,
x(t)在( ,)上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 li1 m T x 2 ( t) d t称 x ( t)在 为 ( , )
T 2 T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
π a2 2
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
随机过程的谱密度与功率谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。
一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。
谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。
谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。
谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。
对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。
而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。
2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。
3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。
二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。
功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。
与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。
功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。
功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。
2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。
3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。
三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。
对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。
这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。
结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。
平稳随机过程的谱分析1
解：
S ( z)
' X
m
RX (m) z
m 0
E[ X 2 (t )]
1 j S X ( s)ds j 2j
利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以 分别计算两个极点的留数为
K 1 K 3
故
( s 2)(s 2) 3 |s 1 ( s 3)(s 1)(s 3) 16 ( s 2)(s 2) 5 |s 3 ( s 1)(s 1)(s 3) 48
j
5 6 2 5
2 6
习
3.1
题
设平稳随机过程X(t)的功率密度为
25 2 16 S X ( ) 4 34 2 225
求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s) 的零、极点图。
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
2
a 2 1 j0 j0 j ( e e ) e d 2 2 a 2 j ( 0 ) j ( 0 ) [ e e ]d 4 a 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2
3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系
1 ' m 1 S ( z ) z dz D X 2j
式中D为收敛区中的简单闭合围线。
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
（二）平稳过程的采样定理
若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为
S X ( ), S X ( ) 0, | | c | | c
第四章 平稳随机过程的谱分析
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
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4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
第三章随机过程的功率谱密度
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
将时间范围扩展至 ，即
设
互功 率谱密度
则
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为
对自相关函数取时间平均
则 的功率谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
谱线；
零带宽上有限
功率谱密度的性质
性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0
第八讲随机过程的功率谱及性质与计算
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
缺陷:不含 相位信息
G X()T l im 2 1 TEX T(,)2Tl im 21TXT(,)2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100 200 300 400 500
t
2
2、能量型信号与功率型信号
若确定信号 s(t是) 时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且满
足：
s(t)dt
或
则 s(的t)傅立叶变换存在
s2(t)dt
能量有限，
能量型信号
S()s (t)ejtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E s2(t)d t1 S ()2d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
Plim1 Ts(t)2d t T 2TT
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的
实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
RX ()
s
2 X
mX2
0
相关函数的典型曲线 10
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度
Re[S XY ( )] RXY ( ) cosd
RXY ( ) cosd （令
）
Re[S XY ()]
同理可证 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
2016/12/2 11
性质3 Im[S XY ()] Im[S XY ()] 奇函数
1 2
S XY ( )d RXY (0) E[ X (t )Y (t )]
若X(t)为通过一负载的电流， Y(t)为加在该 负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载 上的平均功率。
2016/12/2 8
三
互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具 有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的 性质。
t T t T
y (t ) yT (t ) 0
t T t T
因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的 傅里叶变换存在。
xT ( x) X x (, T )
yT ( x) X y (, T )
利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得 1 * xT (t ) yT (t )dt 2 X x (, T )Yy (, T )d T 1 * x (t ) yT (t )dt X x ( , T )Yy ( , T )d 即 T T 2 2016/12/2
QYX 1 2
则
SYX ( )d
如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则 QXY QYX
2016/12/2 5
二
互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 互相关函数 功率谱密度 互功率谱密度
平稳过程的协方差函数和功率谱密度
åå a a
n =1 m =1
N
N
n m
R(tn - tm ) ³ 0 。
证 明 ： " 正 整 数 n ， " 向 量 a @ ( a1 , a2 ,L , an )T Î R n ， t @ (t1 , t2 ,L , tn )T ， 并 记 号：
v
v
v v Z t = ( X t - EX t )L ( X tn - EX tn ) ，则 EZ t = 0 。 v v v v v 0 £ Vara T Z t = a TVarZ t Z ta =
合肥工业大学数学系
RX (t ) » exp(- RY (0) + RY (t )) = exp(3、 平方检波。
k2 2 t )。 2
若 Y = {Y (t ), t Î R} 为零均值的 Gauss 过程，令 X (t ) = Y 2 (t ),
tÎR，
Þ RX (t ) = 2 RY2 (t ) 。
D
- jw ( t - s )
dsdt ，令 t + s = m , t - s = t
合肥工业大学数学系
= lim
T ®¥
1 2T
+¥
òò R(t )e
D'
- jwt
d m dt
= lim ò
T ®¥ -¥
R1 (t )e - jwt dt
ì t ï(1 - ) R(t ), t £ 2T 其中 R1 (t ) @ í ， 2T ï0, t > 2T î
Þ Rz (t ) = e
- k t + jtl0
实数形式的振幅调制波表示为：X (t ) = Y (t ) cos(wt + Q), 与 Y (t ) 相互独立。当 EY (t ) = 0 时，有：
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5 8
F
1 2
9
1 (9e 5e3 ). 48
Im[ SXY ( )] 和 Im[ SYX ( )] 是 的奇函数.
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
SXY ( ) 2 SX ( )SY ( ).
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z(t) X (t) Y (t),
其中 X( t ) 和 Y( t ) 是平稳相关的.
Z( t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
根据维纳-辛钦公式, Z( t ) 的自谱密度为
SZZ ( ) SXX ( ) SXY ( ) SYX ( ) SYY ( ) SXX ( ) SYY ( ) 2 Re[SXY ( )].
3i)(
2 4 3i)(
1)(
ei 1)
在 i , 3i 处的留数之和
1 (9e 5e3 ), 48
均方值为
2 X
RX
(0)
7. 24
说明
SX ( )
S0
2n 2m
a 2n2 2n2
b 2m2 2m2
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
S XY
(
)
lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数.
互谱密度的性质
1.
S XY
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即
SX ( ) S0 , (S0 0)
的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故.
2. 白噪声的自相关函数
RX
( )
1 2π
1 2T
T x2(t )dt 1
T
2π
Fx
(
,T
)
2
d
.
1
lim T 2T
T x2(t )dt 1
T
2π Leabharlann 1 lim T 2TFx ( ,T ) 2d .
x(t) 在 (, ) 上的平均功率 称为 x( t ) 的平均功率谱密度
( )
S
* XY
( )和SYX ( )
2. 在互相关函数 RXY ( )绝对可积的条件下, 有如
下维纳-辛钦公式
SXY ( )
RXY
(
)
ei
d
,
RXY
(
)
1 2π
S
XY
(
)
ei
d
.
3. Re[SXY ( )] 和 Re[SYX ( )] 是 的偶函数,
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,引 入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳 过程的相关性.
例如: 对具有零均值的平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) , 根据性质(2),
SXY ( ) 0 与 X (t ) 和 Y (t ) 不相关是等价的.
例3 设平稳过程 X (t) 的相关函数 RX ( ) S ( ),
S
X
(
)
4
2 4 10 2
9
,
计算它的相关函数和平均功率.
解 方法1
RX
(
)
1 2π
ei
4
2 4 10 2
d ,
9
先考虑 0 : 令 z4 10z2 9 0,
得零点 z 3i , i ,
其中 z 3i, i 是在上半平面的两个零点,
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
( 2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi(
SX
( )ei d
S0 2π
ei d
S0 ( ).
说明 (1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程. 此过程在 t1 t2 时, X (t1 ) 和 X (t2 )
是不相关的.
(2)白噪声是一种理想化的数学模型. 它的平均功 率是无限的. 白噪声在数学处理上具有简单、方便 优点. 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频 带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理.
例2
求自相关函数
RV
(
)
a2 2
cos1
b2e
所对应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
SV
( )
π a2[
2
(
0 )
(
0 )]
2b2 2 2
.
相应的谱密度如图所示:
此图说明了谱密度 是如何表明噪声以
sv ( ) 2b2 / a
π a2 2
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函数 的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t) 的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间 的联系.
在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法 或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1
已知谱密度
SX
( )
4
2 4 10 2
9
性质1 SX ( ) 是 的实的、非负的偶函数.
性质2
SX ( ) 和自相关函数 R( ) 是一傅里叶变换对.
即
SX ( )
RX
(
)
ei
d
,
RX ( )
1 2π
S
X
(
)
ei
d
.
它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式.
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
定义
为平稳过程
T
X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
平稳过程的平均功率
2π
2
Fx ( ) d ,
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 lim 1 T x2(t)dt 称为 x(t) 在 (, ) T 2T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.
且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π
Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
T T
E[ X
2(t )]dt
2 x
2 X
1 2π
lim
T
1 2T
{
E
FX
(
,T
)
2
}d
.
平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 SXX ( ) 或 SX ( ).
即
SX
( )
1 lim T 2T
2 (eia
2
eia
),
由 SX ( ) 与 RX ( ) 互为 傅里叶变换对的关系可知，
2 (eia
2
eia ) 1 2π
ei
S
X
(
)d
,
故 SX ()＝π 2( ( a) ( a)).
例5 设平稳过程 X (t) 的功率谱密度
RX
(
)
1 2π
2πi
Res
eiz
z4
z2 4 10z2
9 ,i
Res eiz
z4
z2 4 10z2
9
,
3i
i
3 16i
e
5 e3 48i
1 (9e 5e3 ), 48