傅里叶分析
傅里叶分析
傅里叶分析起源：傅里叶分析的产生来源于对工业问题的解决，法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。
他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解；在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。
十八世纪的数学家广泛的研究了三角级数，傅里叶的三角级数理论是从研究偏微分方程起步的，傅里叶级数理论一经形成就对整个数学产生了深远的影响，对十九世纪数学的发展产生了巨大的推动作用。
意义：傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
从现代的数学眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
应用：由于傅里叶分析的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
离散傅里叶变换存在的不足时计算量太大，很难进行实时的处理。
计算一个N点的DFT时，一般需要很长的时间，当N较大时或者要求对信号进行实时处理时，往往难以实现所需的运算速度。
1965年，产生了高效的FFT运算方法，就是现在通用的快速傅里叶变换，简称FFT，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着重要的意义。
电路分析原理第十章 傅里叶分析
2.奇、偶函数的基本性质
2.奇、偶函数的基本性质
二、 1.波形特点
关于纵轴对称的波形
2.傅氏级数
3. ak计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 与左半平面波形重叠
(图10-3a波形是关于纵轴对称的)， 数学表达式由式(10-7)给出。
纵轴对称波形的函数是偶函数。
2.傅氏级数
2.同时对称于原点与横轴的波形
表10-1 几种对称波形的傅氏级数及其系数计算公式
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-7 纵轴对称波形及其频谱图 a) 纵轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
2.同时对称于原点与横轴的波形
图10-8 纵、横轴对称波形及其频谱图 a) 纵、横轴对称波形 b) 幅值频谱 c) 初相频谱
3. ak计算
三、 1.波形特点
关于原点对称的波形
2.傅氏级数
3. bk计算
1.波形特点 将右半平面波形关于纵轴旋转180°， 再关于横轴旋转180°，
与左半平面波形重叠(图10-3b波形是关于原点对称的)， 数学
表达式由式(10-8)给出。原点对称波形的函数是奇函数。
2.傅氏级数
要满足式(10-8)给出的f(t)=-f(-t)这个条件， 比较式(10-1)与 式(10-14)， 必须有a0=0 ak=0 由此得原点对称波形的傅氏级数为 f(t)=∑∞k=1bksinkω1t(10-16) 图10-4 关于横轴对称的波形3. bk计算 f(t)为奇函数， f(t)sinkω1t为偶函数， 这样由式(10-3)与 式(10-12)得 bk=4T∫T/20f(t)sinkω1tdt
二、 关于纵轴对称的波形
一、 1.函数的奇、偶性
傅里叶的分析及应用
傅里叶的分析及应用傅里叶分析是一种数学方法，它是通过将任意函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数来分析和处理周期性现象。
具体来说，傅里叶分析将一个周期为T的函数f(t)表示为一系列基函数的线性组合：f(t) = a₀+ Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中，a₀、aₙ、bₙ为函数f(t)的傅里叶系数，n为正整数，ω₀为基频率，ω₀= 2π/T。
傅里叶分析的原理是利用一组正弦和余弦函数作为基函数，通过改变系数aₙ和bₙ的值，可以最接近地拟合一个函数f(t)。
这样一来，我们就能将函数f(t)分解成无穷级数的形式，每一项都是一个简单的正弦或余弦函数，从而更容易理解和处理。
傅里叶分析的应用非常广泛，涉及多个领域。
以下是几个重要的应用：1. 信号处理：在通信和音频领域，傅里叶分析被广泛应用于信号处理和滤波。
通过将信号分解成频域上的基函数，可以检测和过滤掉不需要的频率成分，从而实现信号的重构和去噪。
2. 图像处理：在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域。
这样做的好处是可以分析图像的频谱特征，比如边缘检测、纹理分析等。
傅里叶分析也可以用于图像压缩，通过去除高频成分来降低图像的数据量。
3. 物理学：傅里叶分析在物理学中有广泛的应用。
例如，用于描述声波的一维傅里叶变换可以将声音信号分解成频率成分，从而可以分析声音的音调和谐波结构。
在量子力学中，傅里叶变换用于描述波函数和量子态，帮助解决薛定谔方程。
4. 工程：傅里叶分析在工程中有很多实际应用。
例如，傅里叶变换可以用来分析电路中的电压和电流波形，以及对非线性设备进行线性化建模。
在机器学习和数据分析中，傅里叶分析可以用于特征提取，从而帮助识别和分类数据。
总结起来，傅里叶分析是一种强大的数学工具，可以将周期性现象分解成频域上的基函数。
它在信号处理、图像处理、物理学和工程等多个领域都有广泛的应用。
傅里叶分析的原理和应用非常重要，对于理解和处理周期性现象具有很大的帮助。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一种数学方法，它将任意时域函数变换为频域函数，以研究函数的波形特性。
这项技术的发明者是法国理论物理学家爱德华克劳德傅里叶，他于1822年出生于法国布列塔尼省，此后，傅里叶分析的理论在各个领域被广泛应用，为科学、工程及社会等方面的发展做出了积极的贡献。
傅立叶分析是由傅立叶发现的，他发现存在一类函数，可以通过波形装换技术，将时域信号转换为频域信号，以便分析物理系统的动态特性。
傅立叶分析以“傅里叶变换”作为其基础，它是一种分析函数变化规律的方法，可以将函数从时域变换到频域，从而可以更清楚地研究函数的特性。
傅里叶分析有许多种的应用，其中最基本的是数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP），它可以用于信号处理和通信、语音识别、视频处理、虚拟现实等多个领域。
换句话说，使用傅里叶分析可以帮助人们更好地理解数字信号，并准确调节信号以达到期望的结果。
此外，傅里叶分析也可用于模拟信号的分析和处理，在这种情况下，傅里叶变换可以模拟信号的频率分析，其模拟信号处理技术可用于研究电磁场、激光、声音等的特性。
此外，它还被广泛用于扫描电子显微镜（Scanning Electron Microscope，简称SEM）。
这种技术可用于测量小型物体的形状和大小，其原理在于运用傅里叶分析得到物体表面的细微变化，从而得出物体精确的尺寸参数和形状信息。
最后，傅里叶分析也被应用到控制系统中。
该方法可以分析控制系统的时域和频域性能，从而帮助设计者提高系统对于某类特殊输入的响应曲线。
从上述可以看出，傅里叶分析被广泛地应用到数学、物理学、电子工程、生物学、经济学等领域，它是一种非常重要的数学工具，具有十分重要的价值。
总之，傅里叶分析是一项十分宝贵的发现，在数学、物理学、化学、工程学等领域有着重要的应用，将为科学及社会的发展做出贡献。
傅里叶分析
1
f (i )
第二节 离散傅里叶分析
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
一、离散傅里叶谱分析 设有一实验曲线，时间 长度为0到T，将其
分成N等分，其步长设为 t，得序列x j jt , j 0,1,2, , N 1，则其抽样值为：
xj yj x0 y0 x1 y1 …… …… xN-1 yN-1
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
令： c0 2 1 c k (a k ibk ), 2 1 c k (a k ibk ) 2 则其复数形式为： a0 f (t ) 1 其中：c k T
k
(5.5)
c e
第三节 快速傅里叶变换
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
由（5.15 ）式得：F ( j ) f (k )W
k 0
N 1
jk
[ f (0)W 0 j f (2)W 2 j f (4)W 4 j f ( N 2)W
( N 2) j
]
[ f (1)W 1 j f (3)W 3 j f (5)W 5 j f ( N 1)W ( N 1) j ] [ f (0)W
k 1 n
(a k cos kt bk sin kt )
k 1
(5.2)
上式为一三角级数，当 n 时，即
实 用 测 量
2
(a k cos kt bk sin kt )
k 1
称为傅里叶级数。其中 a k , bk 为傅里叶系数， 可按最小二乘原理解出 为： 2 T2 a 0 T f (t )dt T 2 2 T2 a k T f (t ) cos ktdt T 2 T 2 2 bk T f (t ) sin ktdt T 2
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析（FourierAnalysis）是一种数学理论，主要用于研究特定的波形和信号的组成部分，以及它们之间的关系。
这种理论是由法国数学家和物理学家Jean-Baptiste-Joseph Fourier在19世纪初发明的，他称之为“Fourier级数”。
傅里叶分析的基本思想是任何一个连续的函数可以由它的有限项级数所表示，它称为傅里叶级数（Fourier series）。
它由一系列正弦曲线和余弦曲线组成，每个函数都具有自己的频率和振幅。
傅里叶级数在连续函数的分析中起着重要作用，它可以被用来表示某个连续信号，或者它可以被用来描述一个特定的时间序列。
傅里叶分析可以用于许多不同的应用，这其中包括信号处理、声音编辑、图像处理、系统分析、通信系统，以及高级数字信号处理应用。
在数字信号处理领域，傅里叶分析可以用来分析复杂的时间序列，以及计算信号的频率特性。
它也可以被用来检测信号的周期性，从而可以精确的控制和调整信号的参数。
傅里叶分析还可以被用于以下几个方面：1.乐分析：通过分析音乐中不同声波构成的频率，可以了解音乐的特点，并对音乐艺术上的细节进行调整。
2.路分析：通过分析电路中的信号的频率，可以更好的理解电路的结构和功能，并可以改进电路的性能。
3.域分析：利用傅里叶分析可以分析一个信号在一定时间段内的变化，可以更好地控制信号的参数，从而提高系统的性能。
4.波分析：运用傅里叶分析，可以组合或分解一个比较复杂的电波，从而可以更精确地测量电波的振幅和频率，从而改善信号的性能。
5.像分析：可以通过利用傅里叶分析，精确的把一张图片的信息分解成各种频率的部分，从而可以提高图像的处理效率，并减少图像中噪声的影响。
总而言之，傅里叶分析是一种重要的技术，它可以被用于信号处理，图像处理和时域分析等多种应用中，以及许多其他方面，它为改善信号的质量和性能提供了一种有效的方法。
因此，傅里叶分析是一种非常有用的理论，在许多领域都可以被广泛应用。
傅里叶分析与信号处理
傅里叶分析与信号处理傅里叶分析是一种对周期性信号以及非周期性信号进行频谱分析的数学工具，它是由法国数学家傅里叶提出的，具有广泛的应用价值。
在信号处理领域，傅里叶分析被广泛应用于音频、图像处理以及通信系统等各个领域。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是指将周期性信号表示为无穷级数的形式，其中包含了不同频率的正弦和余弦函数。
对于一个周期为T的周期性信号f(t)，傅里叶级数展开的表达式如下：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0*t) + bn*sin(nω0*t))其中，a0为信号的直流分量，an和bn为信号的谐波分量，ω0 =2π/T为信号的基频。
傅里叶级数展开的好处是可以用有限个谐波分量来逼近周期性信号，从而简化信号的分析和处理过程。
通过傅里叶级数展开，可以得到信号的频谱分布情况，从而进一步分析信号的特性。
二、傅里叶变换对于非周期性信号，无法使用傅里叶级数展开的方法进行表示。
这时候就需要引入傅里叶变换，它可以将非周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦信号的叠加。
傅里叶变换的表达式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)为信号的频谱表达式，f(t)为原始信号，j为虚数单位，ω为频率。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分析信号在不同频率下的能量分布情况，可以得到信号的频谱特性。
傅里叶变换在音频、图像处理以及通信系统等领域有着广泛的应用。
三、离散傅里叶变换在实际应用中，信号通常是以离散的形式进行采样和处理的。
为了适应这种情况，引入了离散傅里叶变换（DFT），它将连续时间信号转换为离散频域信号。
离散傅里叶变换的表达式如下：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的离散信号，x(n)为时域上的离散信号，N为采样点数，k为频域的离散频率。
离散傅里叶变换可以通过将离散信号进行快速傅里叶变换（FFT）来高效地计算，从而在实际应用中得到广泛使用。
四、傅里叶分析在信号处理中的应用傅里叶分析作为一种强大的信号处理工具，在实际应用中有着广泛的应用。
1傅里叶分析解析
1傅里叶分析解析傅里叶分析是一种重要的数学工具，用于分析和描述周期性信号及其频谱。
在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶分析的基本原理和方法，并探讨其在不同领域的具体应用。
傅里叶分析的基本原理是基于傅里叶级数展开定理，即任意周期信号都可以表示为一组正弦和余弦信号的叠加。
根据傅里叶级数展开定理，一个周期为T的连续信号f(t)可以表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an和bn是待定系数，ω=2π/T是信号的角频率。
为了求解这些系数，需要利用傅里叶变换的方法，将连续信号f(t)转化为连续频率域的表示。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，通过将信号分解为不同频率的正弦和余弦信号，得到信号在频域的幅度和相位信息。
在连续傅里叶变换中，信号f(t)的傅里叶变换F(ω)给出了信号在频率域的表示，其中：F(ω) = ∫[f(t)*exp(-jωt)]dt其中，j是虚数单位。
类似地，对于离散信号，可以使用离散傅里叶变换和离散傅里叶级数展开来进行分析。
离散傅里叶变换是对信号采样后的离散版本进行频域分析，而离散傅里叶级数展开则将离散信号表示为一组离散频率上的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶分析的应用广泛，下面将介绍一些具体的应用。
1.信号处理：傅里叶分析在信号处理中有广泛的应用，例如，可以通过傅里叶变换将时域上的声音信号转换为频域上的频谱图，用于音频压缩、滤波和降噪等处理。
2.图像处理：傅里叶变换也可以应用于图像处理，将二维图像转换为频域上的频谱图，用于图像增强、去噪和特征提取等。
3.通信系统：傅里叶分析在通信系统中起到重要作用，例如，信号可以通过傅里叶变换转换为频谱图后，可以对信号进行调制、解调和信道编码等操作。
4.物理学：傅里叶分析在物理学中也有广泛的应用，例如，可以用于分析光谱、原子和分子结构以及量子力学等问题。
5.工程学：在工程学中，傅里叶分析可以用于分析和处理信号和系统的特性，包括控制系统、电路和通信系统等。
傅里叶分析
傅里叶分析
傅里叶分析是一种具有普遍性的、实用的数学工具，是现代数学教学中的一门重要学科。
它为物理、电子、信号处理等应用领域提供了众多的技术支持，并使其得到特别的重视。
傅里叶分析的发展可以追溯到17世纪末至18世纪初的英国数学家、物理学家约瑟夫菲尔德傅里叶。
他发明了古典傅里叶分析，将振动问题分解为一些基本频率分量，构成了现代傅里叶分析的理论基础。
按照古典傅里叶分析的思想，任何连续的振动信号都可以通过正弦和余弦函数的线性组合来表示。
这种线性组合中的正弦和余弦波叫做傅里叶基波，每个基波都具有不同的频率、幅度和相位。
傅里叶分析可以有效地解决发动机振动检测、空气动力学测试等实际问题，广泛应用于声学、音频、振动、电动机控制、有限元分析、图像处理、信号处理、RF/微波技术、机器视觉、测试和优化等领域。
除了古典傅里叶分析，近些年来，还出现了加权傅里叶变换，它由信号处理的科学家R.E.Welch发明，是一种新的数学工具，可以更高效地分析时变信号。
它是一种快速傅里叶变换，可以在信号处理方面得到广泛的应用。
不管是古典傅里叶分析还是加权傅里叶变换，在实际应用中都需要计算机的支持，而计算机软件能够有效地实现傅里叶变换，它能够减轻工程师在进行信号处理应用中所面临的计算量，使得工程设计过程更加容易。
傅里叶分析不仅是一门传统数学，而且还能够更好地推动现代信
号处理技术的发展，可以满足人们在信号处理中的实际应用，为改善生活质量、实现智能化技术提供了有力的技术支撑。
傅里叶分析已成为现代科技发展的重要技术，仍然在各个工程应用中发挥着重要的作用。
未来，傅里叶分析还将发挥更大的作用，为信号处理和其他科学技术的发展提供有力的支持。
《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
傅里叶的原理和应用
傅里叶的原理和应用1. 傅里叶的原理傅里叶分析是数学中非常重要的一个分支，它由一位法国数学家傅立叶于19世纪初发展而来。
傅里叶的原理是指任意一个周期函数都可以用一系列正弦和余弦函数的和来表示。
傅里叶分析的基本思想是将一个非周期函数分解成多个周期函数或正弦余弦函数的和，通过这种分解，可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换是傅里叶分析的数学工具，它是将一个时域信号变换到频域的一种数学方法。
傅里叶变换将时域信号表示为频谱的形式，可以用来分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，包括频率的分布和强度的变化。
2. 傅里叶的应用傅里叶分析和傅里叶变换在很多领域有着广泛的应用。
下面列举几个常见的应用领域。
2.1 信号处理傅里叶分析和傅里叶变换在信号处理中起到了至关重要的作用。
通过傅里叶变换，可以将时域信号转换成频域信号，方便对信号进行分析和处理。
比如，在音频处理中，通过傅里叶变换可以将音频信号分解成不同的频率成分，可以用来进行音乐信号的频率分析和滤波等处理。
2.2 图像处理傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过傅里叶变换，可以将图像从时域转换到频域，得到图像的频谱信息。
这样可以对图像进行频域滤波，如去除噪声、增强图像细节等。
此外，傅里叶变换还可以用于图像的压缩和编码，可以实现图像压缩和传输。
2.3 通信系统在通信系统中，傅里叶变换也是一种重要的数学工具。
在数字通信中，信号需要通过调制方式转换为频域信号才能进行传输。
而傅里叶变换可以实现信号的频谱分析和频率选择，可以对信号进行调制、解调和滤波等处理。
因此，傅里叶变换在通信系统中发挥重要的作用。
2.4 物理学傅里叶分析和傅里叶变换在物理学中也有广泛的应用。
在光学中，傅里叶变换可以用来描述光的传播和衍射现象。
在热传导领域，傅里叶变换可以用来分析热传导的频率特性。
在量子力学中，傅里叶变换可以用来描述波函数的频谱特性。
2.5 数字信号处理傅里叶变换在数字信号处理中是一种基本的工具。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一门数学研究方法，它利用傅里叶变换进行分析，广泛应用于物理学、电子工程、影像处理、信号处理、生物学等领域，是一种功能强大的工具。
本文旨在对傅里叶分析进行深入探讨。
傅里叶变换是由法国数学家傅里叶提出的一种新的数学技术，它允许人们可以将不同时间上的信号从时域到频域进行投射变换，从而可以更容易地识别出信号的频率组成。
它的应用主要有两个：傅里叶变换的线性特性，可以用来揭示某些信号的内部结构，以及它的非线性特性，可以用于提取信号中的关键特征，从而帮助我们更好地理解信号。
傅里叶变换的线性特性是它的重要优势，可以用于揭示某些信号的内部结构。
它可以提取信号中的主要特征，例如频率、振幅和相位，以及相关的概率分布。
因此，我们可以利用它来探究信号的统计特性，从而有助于预测其未来发展。
此外，傅里叶变换还可以用于去除信号中的噪声，以达到最佳效果。
另外，傅里叶变换也可以用于提取信号中的非线性特征，从而可以更好地理解信号。
非线性特性是指信号内部本身的结构特性，例如当信号经过放大器或滤波器之后，它们的幅度会发生变化，具有非线性的特性。
它的优势体现在可以捕捉复杂的信号，并将其转换为可解释的特征。
傅里叶变换可以应用于物理学、电子工程、影像处理、信号处理、生物学等领域。
物理学方面，它可以帮助科学家更好地理解复杂的物理过程。
在电子工程中，它可以用于信号处理和信号检测，以及航空航天的射电跟踪和定位。
在影像处理中，傅里叶变换可以用于图像去噪、图像滤波、图像质量评估等。
此外，傅里叶分析在生物学中也有重要的作用。
生物学家可以利用傅里叶分析揭示脑电图、心电图和可视谱等生物信号的特征，从而帮助科学家更好地理解生命科学中复杂的生理过程。
总而言之，傅里叶分析是一个功能强大的数学工具，可以帮助我们更好地理解从物理学到生物学的信号，用于揭示信号的内部结构，以及提取信号的关键特征。
它的研究将为信号处理和信号检测技术的发展提供重要支持。
傅里叶分析是什么
二
正弦波是怎样定义的？
二
频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
二
矩形波，在频域里的另一个模样了：
二
二
回顾一下：
世界是静止的
本课内容：
什么叫频域
傅里叶级数的频谱
下一节课：
傅里叶级数的相位谱
一、神马叫频域
二、傅里叶级数的频谱 三、傅里叶级数的相位谱 四、傅里叶变换
前 言
不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析
不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式
傅里叶分析的公式
复杂
一
我们看到的世界都以时间贯穿
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
用另一种方法来观察世界
世界是永恒不变
这个静止的世界就叫做
频域
一
随时间变化的震动
对音乐家来说就是这样
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
一
为什么说世界是永恒的？
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会 下的摆动，就如同一支股票的走势
在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际 只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》 时创立了一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的 发展都产生了深远影响。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶
——生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿， 被当地一主教收养。 1780年起就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助傅立叶的家乡-欧塞尔教，1798年随拿破仑军队远征埃及， 受到拿破仑器重， 1801年回国后被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官， 1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝， 1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表， 1817年因传热理论的贡献当选为巴黎科学院院士， 1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》，傅里叶应用三角级数求解热传导方 程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅里叶积分”，极大地推动 了偏微分方程边值问题的研究，迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不 连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。 1830年5月16日卒于法国巴黎。
第三章傅里叶分析
第3章 傅里叶分析3.1 傅里叶变换概述一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(反变换 ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。
x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(T T tjk dt e t x Tjk X 反变换 ∑∞-∞=ΩΩ=k t jk e jk X t x 0)()(0式中，k ——谐波序号；Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为： 正变换 ∑∞-∞=-=n nj j e n x eX ωω)()( 反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。
．．．．．．．．．．．．．．．．由于存在关系ωωj e z j z X e X n x DTFT ===)()()]([因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z 变换。
时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。
2. DTFT 的性质 （1） 线性定理)()()]()([2121ωωj j e bX e aX n bx n ax DTFT +=+（2） 时移定理)()]([00ωωj n j e X e n n x DTFT -=-（3） 频移定理)(])([)(00ωωω-=j n j e X e n x DTFT（4） 卷积定理注意：此处的卷积又称为线性卷积。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一项重要的数学方法，它从数学的角度解释了任何周期性现象的原理。
这个方法得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他在1807年首次提出了这个理论。
傅里叶分析的核心思想是将一个周期性函数分解成一系列具有不同频率的正弦和余弦函数的和。
通过分析这些分量的振幅、频率和相位，可以获得原始周期性函数的详细特征。
这个方法的应用非常广泛，涵盖了许多领域，包括物理学、工程学、信号处理和图像处理等等。
在物理学中，傅里叶分析被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。
在工程学中，它被应用于电路设计和通信系统的优化。
在信号处理中，傅里叶分析被用于音频和视频的压缩和解压缩。
在图像处理中，它被用于图像的滤波和增强。
傅里叶分析的基本原理是将一个周期性函数表示为周期为T的正弦和余弦函数的和。
数学公式可以表达为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，f(t)是周期性函数，n是一个正整数，an和bn是系数，ω是角频率，通过关系ω = 2π/T与周期T相联系。
a0是直流分量，表示函数在周期内的平均值。
这个公式中的每一项都表示一个谐波分量。
高频的分量对应着函数的细节，低频的分量对应着函数的整体变化。
为了计算这些系数，可以利用傅里叶级数展开的性质，通过积分计算得到。
具体的计算方法可以参考数学相关的教材和资料。
傅里叶分析的强大之处在于，几乎任何周期性函数都可以通过将其展开成傅里叶级数来近似表示。
这使得我们可以更好地理解周期性现象的本质和特征。
傅里叶分析在现代科学和工程中的应用非常广泛。
在物理学中，它被用于研究波动现象，如声音和光线的传播。
通过分解波动信号，可以获得频谱信息，进而了解波动信号的频率分布和强度。
这对于研究和解释各种波动现象具有重要意义。
在工程领域，傅里叶分析被广泛应用于电路设计和通信系统的优化。
通过分析信号的频谱特征，可以得到电路和系统的频率响应，从而设计出更好的电路和系统。
傅里叶分析专题知识
1、某些常用函数
✓二维情况
应用
常用二维梳状函数表达点 光源阵列或小孔阵列旳透 过率函数。
1、某些常用函数
*11）宽边帽函数( Somb function)
定义
应用
可用来表达圆形光瞳旳相干脉 冲响应（相应somb)；圆孔光 瞳旳非相干脉冲响应以及圆孔 旳夫琅和费衍射图样（相应 somb2)。
1、某些常用函数
4、傅里叶级数
举例：如下图所示旳周期为=1/f0旳矩形波函数，在一种周期内，函数 解析式为
（1）展开为三角傅里叶级数形式为
4、傅里叶级数
矩 形 波 旳 傅 里 叶 综 合
4、傅里叶级数
（2）展开为指数傅里叶级数形式
相应旳频谱为
5、傅里叶变换
1 对非周期函数一样能够作傅里叶分析，只是此时其频率取值不再 是离散旳，而是连续旳。
经过透镜 L1 形成旳平行光照射时，其衍射第 m 级亮纹出目前± 旳 方向上，
其中，n是整个空间旳介 质折射率。
✓ 在屏上统计下来旳衍射图样就是图像旳空间频谱，不同级次相应不 同空间频率旳信息。 ✓ 一套夫琅和费衍射装置就是一套图像傅里叶（空间）频谱分析器，
4、傅里叶级数
1）19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交旳有关热传导旳著名论文中首 次提出了傅里叶级数旳概念；经过不断发展，在今日，傅里叶分析旳措 施已经被广泛应用于物理及工程学科旳各个领域。 2）傅里叶级数旳思想就是用一正交函数系中各函数旳线性组合来表达某一 函数。常用旳正交函数系涉及三角函数系和复指数函数系。
所以，对于某一周期性函数g(x)，周期是，频率为=1/ ，假如满足 狄里赫利条件，即在一种周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该 函数可表达为三角傅里叶级数和指数傅里叶级数旳形式。 ✓三角傅里叶级数
各种信号傅里叶分析
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近 的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号 幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点 的模值，结果如下：
1点：512 51点：384 76点：192 按照公式，可以计算出：
直流分量为：512/N=512/256=2； 50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3； 75Hz信号的幅度为： 192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。
可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言。
先计算50Hz信号的相位， atan2(-192,332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。
再计算75Hz信号的相位， atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，
cos(2
Fn
t
Pn
)
2 An N
cos(2
Fn
t
Pn
)
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结 果，即小于采样频率一半的结果。
例：假设有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、 相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
X (k ) X p (k )RN (n)
X
p
(k )
X
(k) N
由此可定义有限长序列的离散Fourier变换和逆变换
DFT : IDFT :
N 1
X (k)
x(n)e
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一种数学方法，它能够分析任意一个函数的变化趋势和特点，并将其表达成一系列的分量和频率，从而使我们可以更深入地分析和了解函数的内在规律。
这种方法的发明要追溯到18世纪，由两位著名的数学家--爱因斯坦和约瑟夫傅里叶，同时发挥了重要作用。
这种方法也被许多科学领域所使用，尤其是声学领域，例如有声书、影视音乐等。
傅里叶分析的基础是被称为“傅里叶变换”的数学函数。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的算法，它可以将一个以时间为变量的信号分解成若干个正弦波的简单形式，并计算出各个正弦波的振幅、频率和相位的值。
在说明傅里叶分析的原理和应用之前，我们先了解一下傅里叶变换的定义。
在数学上，傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的技术。
它是根据常熟变换理论对均匀分布的函数进行变换系数的求解而形成的。
傅里叶变换由一系列变换公式组成，每个公式可以将函数中特定幅值频域的分量乘以特定的相位，即按照正弦波或余弦波的振幅在频域中表达。
傅里叶变换开创了一个新的时间，使得原本由有限数量的数据得以完整的表达，而这也成为了傅里叶变换的主要应用之一。
一般来说，傅里叶变换的应用以时域数据的分析为主，可用于表示时变的信号，以及研究信号变化依赖于时间的变化趋势。
另外，傅里叶变换还被用于频谱分析，可用于研究信号变化依赖于频率的变化趋势。
傅里叶分析能够帮助我们更深入地了解信号变化的规律，从而有效地进行信号处理。
例如，我们可以应用傅里叶分析的方法来检测噪声的频率，从而更好地检测到信号中的缺陷，并给出有效的补救方案。
此外，傅里叶分析还可以帮助我们更好地模拟信号的变化，提高信号的处理效率。
傅里叶变换和傅里叶分析都是重要的数学方法，可以用于许多不同领域，例如声学、电信、信号处理等。
由于这些方法具有极其广泛的应用，有许多专业人士和研究者正在不断寻求新的方法来改善这些方法，以解决越来越棘手的问题。
总之，傅里叶分析是一种非常有用的数学方法，可以用于许多不同的研究领域。
傅里叶分析
傅里叶分析傅里叶分析是一种数学和物理分析方法，它结合傅里叶级数的知识，将连续的函数以正弦函数或余弦函数的和的形式表达，是研究函数周期性或非周期性特性的重要工具。
它最初由瓦莱斯傅里叶在1822年发明，旨在推导物理现象的解析表达式，并且随着技术的发展而被应用于许多不同的领域，从生物学到金融。
一般来说，傅里叶分析的过程包括将一个信号-函数（如振动信号）分解为其基础的相应频率，相位和幅度的组合。
使用傅里叶级数公式，这可以分解为一系列的正弦函数和余弦函数，其中每个函数有其特定的频率、相位和幅度，这些参数确定被分析函数的总体形状。
因此，傅里叶分析被用来弄清函数中包含的周期或非周期性特征，以及这些特征在时间上的变化程度。
例如，它可以用来查看声音波动信号，以识别它们中的每个单独音频周期，以及每个周期的相位和幅度。
此外，傅里叶分析也可以用来检测抗干扰的信号。
例如，它可以用来检测噪声污染的信号，以确定其原始信号的频率和幅度，并采取正确的行动来消除这些噪声。
这使得傅里叶分析成为求解复杂问题的实用工具，可以解决相关的电子工程、通信和生物学问题。
除了上述应用，傅里叶分析还可以用于图像处理、模式识别、量化分析以及数据压缩等多种应用。
将傅里叶变换应用于图像处理，可以把静止图像压缩为较少的数据量，并且还能保留图像的外观特征，减少图像处理的时间。
这也使得傅里叶分析成为压缩图像的有效手段，常用于视频传输或存储等应用中。
借助傅里叶分析，我们可以分析某个函数中所包含的信息，从而更好地理解它的特征，并使用它去进一步处理相关信息。
可以说，傅里叶分析在增强数据分析能力和提高信号分析精度方面起到了至关重要的作用。
它已经成为研究函数周期性特性和非周期性特性的重要工具，它也被广泛用于工程、物理学、生物学和金融领域，为解决复杂问题提供了可行的解决方案。
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图 6 空间频谱图示意图
图 5 负频率的理解图
2. 3 复指数表达式中的相位 sin 8 t 和 co s8 t 是最特殊也是最简单的时域周
期函数。 它们作复指数形式的分解后所得分量的系 数要么全是纯实数, 要么全是纯虚数, 因而可以在一 个平面内把信号的所有频谱表示出来[ 2 ]。 但是绝大 多数周期函数分解后所得分量的系数是个复数 (R + I j) , 因此, 该分量的幅值既不能在 y o8 平面内表 示, 也不能在 z o8 平面里表示, 而是在绕 o8 轴旋转 一定角度的某个平面内表示出来。该平面与 y o8 平 面的夹角 Α可由式 ( 10) 求得 Α= a rctg
0 1
- Π≤ x ≤ 0 0≤x ≤Π
( 1)
f ( t) 以 2Π为周期延拓成 g ( t) , g ( t) 的图形如图
1 所示。
图 1 时域方波信号图
Ξ
收稿日期: 2004203228; 修改稿收到日期: 2004204206。
第 4 期 杜 衡: 振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
值得一提的是, 负频率虽然并不实际存在, 但是 也可作物理上的理解。就像 f ( x ) 变成 f ( - x ) , 就是 将 f ( x ) 沿 x 轴作关于 y 轴的轴对称变换。同理, 负 频率的谐波分量就是将正频率的谐波分量翻转一下 后得到的函数。 例如 sin ( - 8 t) 仍然是以 8 为频率 的周期函数, 图形是关于 y 轴镜像翻转以后的图形, 如图 5 所示。
Ξ
摘要 讨论了利用傅里叶级数把连续周期时域信号转换成离散的频域信号的必要性。指出用傅里叶级数的复指数 形式取代三角形式具有简洁化的优点, 但也存在一些缺点: 需要引入 3 个实际不存在的概念, 即 “虚数单位 j” 、 “负 频率” 和 “相位” 。 最后, 对这 3 个概念作了形象化分析, 并创建了一个分析相位的工具——空间频谱图。 关键词 时2频转换 负频率 相位 旋转因子 “j” 空间频谱图 中图分类号 TN 911. 6
R I
系垂直拼合并用来形象地解释相位问题。 三维的频谱图虽然易于理解但不易于表达。 为了 使它能够方便地运用于工程实际, 于是把形象的转角 抽象成转角值, 并将这些与频率一一对应的转角值另 作一张图, 这样就得到了相频曲线图。 原来的三维频 谱图可以被压成平面图, 所得的平面曲线就被称为幅 频曲线图。 于是, 除非是 sin 8 t 和 co s8 t 这类最简单 的周期信号, 还可以看到频谱图, 在分析其他周期信 号时只会看到成对的相频曲线和幅频曲线。 一个信号仍然要作两张图才能表达完整, 说明 在作图方面复指数式并没有体现简洁化的要求。 但 综合比较一下, 复指数式仍比三角式要简洁。 另外, 它还有一个很好的特性, 即由复指数函数 e j8 t 构成。 j8 t [3] e 是一切线性移不变系统 (L IT ) 的特征函数 。
A bs tra c t T h is p ap er describes the need to t ran sfo rm the con t inuou s p eriod ic signa l in t i m e dom a in to the
d iscrete signa l in frequency dom a in by u sing Fou rier Series ( FS ). T he p lu ra l index fo rm of FS is m o re concise com p a red w ith the t rigonom et ric fo rm. Som e concep t s in the p lu ra l index exp ression a re d issu ssed, , the m inu s frequency and the p ha se. F ina lly, an ana ly sis too l— sp a t ia l such a s the i m ag ina ry un it“j ” . frequency cha rt is set up to help understand ing the th ree concep t s
+ ∞
傅里叶级数 ( 形如 f ( t) =
k= - ∞
∑A
k
e
jΞk t
) 是一种数
g ( t) 对应的傅里叶级数为 g ( t) =
学上的等价变换, 同时也是工程上对信号进行时域 到频域变换的理论基础。 而这种信号变换处理又是 振动分析等应用学科里必不可少的, 在工程领 D SP、 域里有着举足轻重的作用。 由于傅里叶级数是一种 很纯粹的数学理论, 它的表达式里包含了许多难以 直观理解的符号和概念, 如虚数单位 “j” 、 负频率等, 所以, 有必要将这些物理量的概念形象化, 充分理解 引入这些抽象符号的理由, 熟练地运用傅里叶级数, 指导工程实践。
其中: a k 和 bk 分别是正、 余弦信号的振幅; k 8 0 是这 些信号的频率 ( 各个频率之间存在整数或有理数的 倍数关系) 。 任何机械波或电磁波 ( 信号的载体) 传播都具有 独立性: 即几列波在传播过程中相遇, 各波仍保持各 自的振幅、 频率、 振动方向和传播方向。 因此, 一个周 期信号在某一时刻的幅值可以看作是一系列正、 余 弦信号 ( 即谐波信号) 在该时刻的幅值之和。 传播的 独立性保证了实际应用中各个分解信号之间没有干 扰, 所以分别研究各个谐波信号就等于研究原来的周 期信号, 这就是运用傅里叶级数分解周期信号在理论 上的可行性。 然而, 要在时域内对这组数目巨大的 ( 可 能是无穷) 分解结果进行处理却不切实际, 因为谐波 信号在时域中是相互重叠的。 而在频域中用一个幅值 和一个频率惟一表达一个谐波信号就能避免时域中 谐波信号的重重叠叠, 将一个可能是不规则的周期信 号先规范化再清晰化。 图 2 表示了这一过程。 清晰化以后, 滤除高频噪声就十分容易了。
315
(a ) 时域方波信号
(b ) 方波信号经傅里叶分解后得到的时域谐波信号组合
这样就使三角式转化成了复指数式, 表达式由繁化 简。 但同时也产生了一个弊端, 引入了实际不存在的 “j” 。 一个虚数单位 “j” 可理解为两个量: 一个 90° 的 正向转角和一个模为 “1” 的幅值。 因此纸平面上任意 一 个幅值乘上了 “j” , 就是等幅地把这个幅值转过 90° , 使得它垂直于纸面。 因此,“j” 也被称为旋转因 子。 所以正弦函数的复频谱 ) e j8 t + e j(- 8 t - j j8 t j - j8 t ( 8) sin 8 t = = e + e 2j 2 2 应该放在垂直纸面的平面里考虑 ( 见图 3) 。当然, 在 该平面中所有幅值都是实数模值, 不需要引入 “j” 。 为了满足在纸平面上表示的要求, 可以进一步 在模上乘以 “j” , 于是就得如图 4 所示的图形。
A
k
[1]
对照相关书本可以发现, 公式 ( 7) 与书本上的表 达式并不完全一致。 书本上求和符号的下限不是 0 而是负无穷。这是因为两者对 A k 的定义有异。书本
2 2 上: A k = a k + bk 2。 很显然, 它是将各个频率上 的谐波分量幅值减半, 而后又在对应的负频率上补 足。 这是为了保证复指数式的通用性。 当原信号只 含一种类型的三角分量时, 例如原信号是标准正弦 信号, 那么一个正频的 e j8 t 是不能与之等价的。 引入 负频率之后, 就能解决这个问题了。 例如 ) e j8 t + e j(- 8 t ( 9) co s8 t = 2 然而三角式中不会出现这个问题, 因此负频率是复 指数式取代三角式产生的第二个弊端。
( 10)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这个 Α正是复指数表达式中的相位 ( 严格的讲, 它是 数学中所定义的初相) 。 相位的引入是复指数式取代 三角式的第三个弊端。
2. 4 空间频谱图
版社, 1999
3 阎树森, 王新凤, 田惠生 . 信号与线性系统. 西安: 西安交
最直观而准确的表示相位的方法就是把已拓展 到负半轴的频谱图作进一步的空间拓展。 其操作方 法是: 在垂直于 o8 轴的一系列平面内分别建立极 坐标系。 极点与 8 轴上离散的频率点重合, 极轴与 y 轴平行或重合, 方向也与 y 轴一致, 于是辐角主值反 映了相位, 极值反映了幅值的模, 如图 6 所示。 其实, 用极坐标反映一个复向量的幅值和相位 是一种很传统、 很经典的表达方法, 例如电路分析中 的相量法。 但本文的创新是将极坐标系和直角坐标
第 24 卷第 4 期 2004 年 12 月
振动、 测试与诊断
Jou rna l of V ib ra t ion,M ea su rem en t & D iagno sis
Vol . 24 N o. 4 D ec. 2004
振动信号处理中傅里叶级数的形象化分析
杜 衡
( 东南大学仪器科学与工程系 南京, 210096)
( c) 方波信号频谱图 图 2 方波信号时域到频域的转换示意图
图 3 sin ( 8 t) 的空间频谱图
2 用复指数式替代三角式的优劣分析
三角式虽然表达清晰, 但较为烦琐。 三角式须用 正、 余弦两种函数来表达, 首先要分别计算正、 余弦 的函数的系数 a k , bk; 其次要作 2 张频谱图来分别表 示正、 余弦分量频谱; 还有一个常量须单独表示。 所 以三角表达式常常得有三大部分组成, 无论是书写 作图还是实际应用都不方便。
通大学出版社, 1999 第一作者简介: 杜 衡 男, 1980 年 10 月 生, 硕士研究生。 主要研究方向为结构动 态诊断、 动态信号分析。
E2 m a il: herbdu@ tom. com
324
. 24 Jou rna l of V ib ra tion,M ea su rem en t & D iagno sis V o l