第22 线性系统的状态空间描述

u1
yq
y2
u2
x1, x2 , , xn
up
yq
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u 复频率域描述即传递函数描述
g(s) y(s) bn1s n1 b1s b0 u(s) s n an1s n1 a1s a0
离散时间线性时不变系统
X (k 1) Gx (k) Hu(k) Y (k) Cx(k) Du(k)
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统
X (k 1) G(k) x(k) H (k)u(k) Y (k) C(k) x(k) D(k)u(k)
数等同于状态的维数
几点解释
(1).状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组
x1 (t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组
u1 (t), u2 t , , u p (t)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运 动行为也就随之而完全确定
其中 A(t) n×n — 系统矩阵 B(t) n×r — 输入矩阵 C(t) m×n — 输出矩阵 D(t) m×r — 前馈矩阵
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
离散时间线性系统的状态空间描述
离散系统：各变量在离散时刻取值，状态空间反映离 散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用 k=0,1,2…表示离散时刻。 状态空间描述形式：
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个
数学方程表征——状态方程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能 反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.
内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系 统的所有动力学特性.
状态和状态空间的定义
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3).状态变量组最小性的数学特征
(4).状态变量组的不唯一性
(5).系统任意两个状态变量组之间的关系
系统得任意两个状态之间为线性非奇异变换关系
x1 p x 11 1 p x 1n n xn pn1 x1 p x nn n
x1
x1
p11 p1n
G(s)
bm sm
b s m1 m1
b1s b0
sn
a sn1 n1
a1s a0
状态方程:一般情况下,为一阶非线性时变微分方程组。
x1 f1 ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
t t0
xn fn ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
向量形式: x f ( x, u, t)
的因果关系，即输入和输出间的因果关系。 例如：线性定常、单输入－单输出系统，外部描述为线性常系
数微分方程。
y(t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bm u(m) (t) bn1u(m1) (t ) b1u(t ) b0u(t )
零初始条件下，传递函数为：
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性
二是:描述方程的线性属性
三是:变量取值时间的离散属性
D(k)
x(k 1)
x(k)
H (k )
单位延迟
C (k )
y(k)
u(k)
G(k)
离散时间线性系统的方块图
例1 电路系统状态空间描述的列写示例
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
x x2 , x x2 , P
x3
x3
pn1 pnn
x Px x Qx PQ QP I
(6).有穷维系统和无穷维系统 (7).状态空间的属性
状态空间为建立在实数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR上的一个向量空间Rn
动力学系统的状态空间描述
u1
x1
y1
M
动力学部分 M 输出部件
M
ur
xn
ym
图1 动力学系统结构示意图
输出方程／量测方程：代数方程
y1 g1 ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
t t0
ym gm ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
向量形式：
y g(x, u, t)
• 线性系统的状态空间描述
x A(t)x B(t)u
y
C(t)
x
D(t
)u
t t0
状态变量组：x1，x2，…，xn 输入变量组：u1，u2，…，ur 输出变量组：y1，y2，…，ym 状态空间描述：输入引起系统状态的变化, 而
状态和输入决定了输出的变化.
数学描述／数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。 （1）系统的外部描述：输入－输出描述，不完全描述 特点：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R2 R1 R2
e
以上方程可表为形如 X AX Bu Y CX Du
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
uR2
第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统 描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特 性的一种理论和方法
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1状态和状态空间描述 系统动态过程的数学描述
u1
yq
y2
u2
x1, x2 , , xn
up
yq
(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述
u1
yq
y2
u2
x1, x2 , , xn
up
yq
状态变量组:一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征 其时间域行为的一个最小内部变量组
状态: 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组
x1(t), x2 t , , xn (t) 所组成的一个列向量
x1 (t)
x(t)
x2
(t)
xn
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维