人教版《特殊平行四边形》培优

人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练

一：知识精析：

1.矩形：

（1）定义：有一个角是的平行四边形叫矩形

（2）性质：矩形的四个角都是；矩形的对角线且互相平分；矩形既

是图形，又是对称图形；矩形具有平行四边形的性质

（3）判定：有一个角是的平行四边形是矩形；或者对角线的平行四边形是矩形；或者有角是直角的四边形是矩形

2.菱形：

（1）定义：有一组相等的平行四边形叫做菱形

（2）性质：菱形的条边都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角；菱形是对称图形，也是对称图形

（3）判定：一组相等的平行四边形是菱形；或者对角线的平行四边形是菱形；或者条边都相等的四边形是菱形

（4）菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的

3.正方形：

(1) 定义：有一组的平行四边形叫做正方形

（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形（3）判定：一组邻边相等的是正方形；或者有一个角是直角的是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的是正方形

4.方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心

知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。

二：类题精讲：

类型一：勾股模型相关的计算与分类思想

典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD

相交于点O，点E在AC上，若OE CE的长．

【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ， ∵∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝6，∴OB ＝12

BD ＝3，∴OC ＝OA ＝

＝，∴AC ＝2OA ＝E 在AC 上，OE CE ＝OC

CE ＝OC ，∴CE ＝CE ＝

类型二：面积与周长相关计算与等积转化思想

典例2：（2017·贵港改编）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列四个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③AN 2+CM 2=MN 2；④若AB =4，则S △OMN 的最小值是2，其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解答】解：∵正方形ABCD 中，CD =BC ，∠BCD =90°，∴∠BCN +∠DCN =90°，又∵CN ⊥DM ， ∴∠CDM +∠DCN =90°，∴∠BCN =∠CDM ，又∵∠CBN =∠DCM =90°，

∴△CNB ≌△DMC （ASA ），故①正确；

根据△CNB ≌△DMC ，可得CM =BN ，又∵∠OCM =∠OBN =45°，OC =OB ，∴△OCM ≌△OBN （SAS ），∴OM =ON ，∠COM =∠BON ，∴∠DOC +∠COM =∠COB +∠BPN ，即∠DOM =∠CON ， 又∵DO =CO ，∴△CON ≌△DOM （SAS ），故②正确；

∵AB =BC ，CM =BN ，∴BM =AN ，又∵Rt △BMN 中，BM 2+BN 2=MN 2，∴AN 2+CM 2=MN 2，故③正确；

∵△OCM ≌△OBN ，∴四边形BMON 的面积=△BOC 的面积=4，即四边形BMON 的面积是定值1，∴当△MNB 的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN =x =CM ，则BM =4﹣x ，∴△MNB

的面积=21x （4﹣x ）=_2

1（x-2）2+2，∴当x =2时，△MNB 的面积有最大值2，此时S △OMN 的最小值是4﹣2=2，故④正确；综上所述，正确结论的个数是4个，

故选：D ．

类型三：全等推理下的方程与函数转化与建模思想

典例3 （2017·南通）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ．

（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；

（2）若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF ＋OB ＝9，求PQ 的长．

【解答】（1）证明：∵PQ 垂直平分BE ，∴QB ＝QE ，OB ＝OE ，∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，∴∠PEO ＝∠QBO ，在△BOQ 与△EOP 中，PEO QBO OB OE POE QOB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝＝，∴△BOQ ≌△

EOP （ASA ），∴PE ＝QB ，又∵AD ∥BC ，∴四边形BPEQ 是平行四边形，又∵QB ＝QE ，∴四边形BPEQ 是菱形；

（2）解：∵O ，F 分别为PQ ，AB 的中点，∴AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18，设AE ＝x ，则BE ＝18－x ，在Rt △ABE 中，62＋x 2＝（18－x ）2，解得x ＝8，BE ＝18－x ＝10，∴OB ＝12

BE ＝5，设PE ＝y ，则AP ＝8－y ，BP ＝PE ＝y ，在Rt △ABP 中，62＋（8－y ）2＝y 2，解得y ＝

254，在Rt △BOP 中，PO 154＝，∴PQ ＝2PO ＝152

．

三：自我精练（时限120分钟，满分120分）

一、单选题（共10题，每题3分；共30分） 1. (2017·上海)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )

A ．菱形

B ．等边三角形

C ．平行四边形

D ．等腰梯形

2. (2017河南)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( )