生活中的趣味概率问题

本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011 级姓名 xxx 论文题目生活中的趣味概率问题指导教师 xxx 职称 xxx2015 年 5 月 7 日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1概率论的趣味历史简介 (2)2生活中的趣味概率 (3)2.1中奖的概率 (3)2.2赌徒输光问题 (5)2.3生日的一致性问题 (7)2.4色盲的遗传问题 (8)2.5市场占有率预测 (10)2.6化学疗法致癌问题 (12)2.7法律中的概率问题 (13)参考文献 (15)生活中的趣味概率问题学生姓名：xxx 学号：xxxxxxxx数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导教师：xxx 职称：xxx摘要：本文首先介绍了概率论趣味性的由来，然后又通过具体案例阐述了概率统计在实际生活中的彩票、赌博、生日、基因遗传、经济、医学和法律等方面的一些趣味性应用.关键词：概率论；概率统计；概率论的应用The interesting problem of probability in lifeA bstract:In this thesis, we mainly introduce the origin of interesting probability, we also illustrate some specific examples to introduce the interesting applications of probability in life, such as lottery ticket, gamble, birthday, genetic endowment, economy, medical science and law.Keywords: The probability theory; The probability statistics; The applica tions ofprobability theory前言：概率论从1654年创立到现在，已经从最开始的博弈探讨问题发展到现在的方法论综合性学科问题.概率论是科学探索的一种特色的方法，概率推理以其显著功效引发了概率理论在科学研究中的爆炸性增长.概率论与其他数学分支一样是应实践的需要而发展起来的.统计学的理论基础是概率论，遗传学、物理学、和信息论将概率论作为它们的常用工具，同时地球科学、金融学、人工智能、通信网络和神经学等学科也将它作为它们的经常使用的方法. 概率论的发展是经过了一个长时间的探索和发现，从最初的创立到如今与各大学科的相互交融，信息化的出现推动了概率的向前发展. 在现实生活中，概率的运用随处可见，从最初的赌博逐渐应用在造福于人类发展中. 在此，我们列举了一些具体的趣味性案例，让大家在充分了解概率的同时，并能够从中感受到概率的趣味性所在.1概率论的趣味历史简介概率论的出现，出现了各种各样的传说，就像拉普拉斯曾经说过的那样：概率论是最初只是研究赌博机会的一门科学，后来竟然成为了人类知识宝库中最重要的科学，这是令人非常震惊的事情，这门科学就是概率论. 大家所讲的“概率论来路不正”，正是因为概率论来源于赌博问题.在16世纪，意大利数学家卡丹第一个察觉到：赌博中的输赢虽带偶然性，但是如果有较多的赌博次数，就会浮现出一定的规律. 整理计算之后，人们就可以找到不输或者少输的办法. 他还特意为此写了一本关于《论赌博》的小册子，成为概率论的最原始的形式. 但奠定概率论真正基础的，还是17世纪的两位法国数学家帕斯卡和费马. 据说他们当时对一些赌徒所提出的古怪问题进行了认真的讨论，发现这种偶然性现象的规律用以往的数学方法无法解决，必须开创和发展新的方法，并预见到这种对偶然性的研究将会对自然科学和哲学产生深刻的影响.古怪问题的其中之一，便是著名的“赌本分配问题”，它直接推动了概率论的产生.据说，有一天，赌徒梅累和保罗两人相约掷骰子，各自押12个金币的赌注，共有24个. 他们约定：梅累如果先掷出3次“6点”，或者保罗先掷出3次“4点”，就算赢了对方. 一段时间以后，保罗也经掷出1次“4点”，梅累也已经掷出2次“6点”，此时一件意外的事情中断了他们的赌博，而且他们之后也不想再继续赌博下去，可怎样分配赌金才算公平呢？两人各执己见，互不相让.保罗说：“你要再掷一次6点才算赢，而我要是再掷出两次4点也算赢. 所以你应当得打全部金币的32，即16个，而我自己应得31，即8个”. “这不公平.”精通赌博的梅累对此提出抗议，“即使下一次你掷出了4点，两人也是平分秋色，各自收回12个金币，何况下一次网我还有一半的可能掷出6点，所以，我应得全部的金币的43，即18个，而你只能得41，即6个.” 两个人谁也不服谁，最后决定去请教著名数学家帕斯卡和费马. 没想到这个问题居然一下子难住了帕斯卡和费马. 他们竟然为此整整考虑了3年. 最后费马用组合知识解决了这一问题. 他分析，假如他们再玩下去，金币分配就能确定，共会有4种等可能的结果：梅累胜，保罗胜；梅累胜，梅累胜；保罗胜，梅累胜；保罗胜，保罗胜. 这样的话前三种结果使得梅累先胜3次，只有最后一种结果才能让保罗先胜3次. 因此，梅累应该得到全部金币的43，即18个，而保罗只能得41，即6个.帕斯卡用了另一种方法解决，但得出的是同一结果.不久，荷兰数学家惠更斯知道后，也十分感兴趣，专门通过此事研究了计算在赌博中的问题，并且《关于骰子游戏或赌博的计算》一书在1657年出版了. 2生活中的趣味概率2.1中奖的概率依照国际习惯，为了帮助筹集某些特殊的资金，彩票也开始在我国发行，某些人在中奖后，奖金可高达到上百万元. 比如某地发行的福利彩票，每期的发行量大约有1000万元. 倘若把其中的一半拿出来作为奖金，那么一等奖就可以得到100万左右. 而剩余的那一半，可用于该地区的福利事业. 这样一方面可以满足许多人的渴望中大奖的心理需求，又能够满足该地区的福利资金的来源. 从概率上看，100分之一可以称得上是小概率，是不能够期待它会存在的. 但是中该地区的福利彩票一等奖的概率虽然小到100万分之一，但是毕竟是有人中一等奖的，并且得到了100万，彩票的魅力也就显而易见了.1.福利彩票的获奖规则：当今我国基本上所有的一级省会的所在城市都会按照一定时期出售福利彩票. 尽管每个城市的游戏规则不是完全一致的，有的是从30个号码中选择6个, 有的是从35个号码中选择7个，有的是从30个号码中选则7个，有的是从37个号码中选择7个等等.且等级奖的所得奖金额与每等奖也不全部一样，但是他们所遵守的基本原理是一样的.假设一个游戏的规则是：总共有35个号码（01-35），有7个基本号码数，有1个特别号码数，设有7个中奖等级（1-7）.设置的各等奖如下：一等奖：选7个号码中7个号二等奖：选7个号码中6个号+1个特别号三等奖：选7个号码中6个号四等奖：选7个号码中5个号+1个特别号五等奖：选7个号码中5个号六等奖：选7个号码中4个号+1个特别号七等奖：选7个号码中4个号或选7个号码中3个号+1个特别号各等奖的奖金设置如下：用2元钱可以买一注彩票，拿出每期所售出彩票的总金额的50%发奖，每注四等奖奖金500元、五等奖50元、六等奖10元、七等奖5元.剩下的奖金额中，一等奖的奖金占75%、二等奖占10%、三等奖占15%. 一般还规定（偶尔会改变）：每期一等奖最高奖金为500万元（某些地方没有限制），最低奖金为200万元. 倘若哪一期一等奖没有出现，那么一等奖的奖金会累积到下一期的一等奖的奖金中.假如同一期有几注同时中一（二、三）等奖，那该期一（二、三）等奖的奖金就会被这几注平分.2.单注彩票获奖的概率彩民买彩票的目的有两个：一个是为了投资赚钱，另一个是为了资助福利事业.而绝大部分是两方面的目的同时具备，即既是为了捐助福利事业，同时也是为了赚钱. 实质上，这一类型的游戏就是概率中古典概型里的有限不放回的摸球问题，可运用同一种方法计算单注彩票的中奖概率问题. 为了求单注彩票中奖概率问题，只需考虑下述摸球问题.一个暗箱中有N 个（同类型）球，其中有M 个橙球，L 个绿球，N-M-L(>0)个粉球，现不放回从暗箱中摸M 个球，求摸出的M 个球中恰有i 个橙球j 个绿球的概率，M i ,,1,0 =;L j ,,1,0 =.记此摸球模型为C(N, M, L).解 设j A =“摸出的M 个球中恰有i 个橙球”，M i ,,1,0 =；j B =“摸出的M 个球中恰有j 个绿球”，L j ,,1,0 =；则从N 个球中不放回摸出M 个球中恰有i 个橙球j 个绿球的概率为i M MN j i M L M N j L M N i M M N i M i j i j i C C C C C C A B P A P B A P --------⋅==)()()( M Nj i M L M N j L i M C C C C ----=，M i ,,1,0 =；L j ,,1,0 =， 注意：当k n <时，有k n C =0.本游戏是N=35，M=7，L=1的模型C(N, M, L)的特殊情形. 这时，组合数735C =6724520，上式可变为73572717/)(C C C C B A P j i j i j i --=，7,,1,0 =i ；,1,0=j由此式可以得到单注彩票中k 等奖的概率k p ，,7,,1,0 =k 它们分别是707110487095.1)(-⨯==B A P p6162100409665.1)(-⨯==B A P p506310810061.2)(-⨯==B A P p5154104318.8)(-⨯==B A P p3055100961737.1)(-⨯==B A P p314610826896.1)(-⨯==B A P p213047100448269.3)()(-⨯=+=B A P B A P p从而单注彩票中奖概率为033485.071=∑=k k p .3.怎样选择购买彩票因为彩民购买彩票的多数目的是为了投资赚钱，故怎样选择购买彩票就是一个非常重要的事情.（1）彩民组织联合选购根据理论来讲，735C 注彩票中平均有一注彩票会中一等奖. 不过，在现实中，即使每期售出的彩票大概接近或者不低于735C 注，然而也会有一等奖连续多期未出现的可能性，为什么？原因主要是因为各彩民是独立选购彩票的，这样的话会有很多注彩票号码一样. 如果若干个小户彩民可以组织起来联合选购，那么就可以打破选购彩票的独立性，.例如现有10个彩民，在每一期中，每个彩民可以拿出20元（拿出的钱不会影响彩民的正常生活）来购买彩票，总共可买100注，这100注彩票的号码都不一样，得到的奖金由这10个人平分. 这样会比每个人独自购买彩票获奖的概率大很多.（2）依据以前的信息选购号码大多数彩民购买彩票是随机选取号码的，这样并不能提高他们的中奖率. 大家知道抽奖机和球在使用之前必须要经过随机性检验的，对于随机性不好的抽奖机和球是不能够用作抽奖的. 然而这样的随机性检验仅仅是相对的，它并不是不是绝对的. 这是由于抽奖机和球都是从工厂生产出来的，而工厂中生产的产品的检验仅是相对的合格，并不是绝对的合格，多多少少会有误差. 抽奖机抽出的球必然也就会出现一定程度的非随机性，也就是说每个号码出现的频率不会完全一样. 所以，彩票的号码选取不能任意地选，而应参照该福彩中心以前抽出的号码频率来选购号码，即选购大频率出现的号码. 这样就可以破坏（减少）随机性，大大增加彩民的中奖概率.2.2赌徒输光问题设袋中有a 个粉球b 个绿球. 甲、乙两赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道袋中哪种球多. 他们约定：每次有放回从袋中摸1个球，如果摸到粉球甲给乙1元，如果摸到绿球，乙给甲1元，直到两个人有1人输光为止.求甲输光的概率.由题知，甲赢1元的概率为ba bp +=，输1元的概率为p q -=1，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次（摸t 次球）后甲的赌金，}0:inf{m n t t t +=X =X =或τ，即τ表示最终摸球次数. 如果=+=X =X },0:{m n t t t 或Ø（Ø为空集），则令∞=τ.设A=“第1局（次）甲赢”，则p =A P )(，q =A P )(，且在第1局乙输甲赢的条件下（因甲有1+n 元）甲最后输光的概率为1+n f ，在第1局乙赢甲输的条件下甲最后输光的概率为1-n f ，由全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件11-++=n n n qf pf f （2.2.1） 10=f ，0=+m n f （2.2.2） 解具有边界条件（2.2.2）的差分方程（2.2.1）有下述解法：令n n f λ=，由（2.2.1）得关于λ的代数方程q p q p +=+2)(λλ （2.2.3） （i ）当p q ≠（即b a ≠）时，方程（2.2.3）有两个解11=λ，pq =2λ，故方程（2.2.1）有两个特解：1与)(pq，从而方程（2.2.1）通解为n n pqC C f )(21+=由边界条件（2.2.2）得mn mn p q p q C ++-=)(1)(1，mn p q C --=)(112故得mn nn p q p q f +---=)(1)(11. （ii ）当q p =时，方程（2.2.3）有两个相等的解121==λλ，故方程（2.2.1） 的通解n C C f n 21+=，再由边界条件（2.2.2）得 11=C ，nm C +-=12 从而得 nm nf n +-=1. 综合（i ）与（ii ）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-≠--+qp m n n q p p q p q mn n ,1,)(1)(1 （2.2.4）如果乙有无穷多赌金，则甲最终输光的概率n p 为⎩⎨⎧≤>==∞→q p qp p q f p n n m n ,1,)(lim （2.2.5）由式（2.2.5）知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q 即q p ≤时，则最终他肯定（依概率1）输光. 即使q p >，他也以正的概率n pq)(输光，只是他最初的赌金n （元）越大，输光的概率越小. 然而一个赌徒他面临的对手是各个可能的赌场，他的赌金跟各个可能的赌场赌金之和比起来是微不足道的，而且每局他是占不到便宜的，所以一般是q p ≤，故最后他必然将会输光. 俗话所说的十次赌九次会输也由此有理可循了. 因此，这里奉劝读者远离赌博. 2.3生日的一致性问题如果你知道概率，你会乐意用一种概率游戏使你的朋友们感到吃惊！我们来看一个有意思的数学问题：生日一致性问题.367个人中间，肯定会有两个人的生日相同. 依据鸽巢原理而得到这样一个有趣的发现. 生日的一致性问题也让人感到疑惑：每23个人中当中都会有两个人生日相同的概率会超过1/2. 也许大家都会认为这仅仅是一个巧合而已. 事实上，用概率方法将这个奇妙的问题就可以猜测出来. 为了简单，如果现在不记闰年，即一年有365天.某团体有n 个人（365≤n ），问在同一天至少有两个人的生日相同的概率有多大？此试验是对人数为n 的团体进行生日调查，n 个人的生日的在试验的基本结果中有一种具体分布. 因为生日出现是随机的，这表明了n 个生日的每一种分布都是等可能的.构造基本事件的数学结构，并——进行处理：把365天假想为365个“房间”，然后按n 个人的生日一一“对号入室”. 这就相当于这n 个人都以相同的概率，等可能的被分配到“房间”的某一“室”内. 示意图如下：⨯ 表示人表示日子 把n 个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数就是基本结果总数.基本结果的区别不仅依“房”、依“人”，而且还根据“房”内的“人数”来加以区别. 所以根据乘法原理，从基本事件总数为365个不同的元素中每次取出n 个的允许重复的排列种数为n 365.所求事件A={有两个人的生日在同一天} {有三个人的生日在同一天} {n 个人的生日在同一天}={至少有两个人的生日在同一天}.这是一个比较复杂的事件，我们宁可从反面去考虑原事件的逆事件A 的结构： A ={任意两个人的生日不在同一天} ={n 个人的生日全不相同}={在365个不同元素中每次任意取出n 个元素依一定的顺序排成一列}.这样就抓住了事件A 的数学结构的本质，从而可知对A 有利的基本事件数为!365n C n⋅.由互逆事件的概率关系，即知)!365(365!3651365!1)(365n n C A P n n nn -⋅-=⋅-=具体计算可有下面的结果：n 个人中有两个人生日相同的概率从表中可知，只要人数55≥n ，则有2人生日相同的概率已经相当接近1了.社会上有不少集体的人数都在23个人以上，如果有2个人的生日相同，可能彼此觉得真有缘分，倍感亲切. 而我们现在发现这其实是一件很容易发生的事件.中国人有十二种属相，这由某人生于何年而定.可能会令你不解的是：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半，而在一个6口之家中，几乎可以断定有两个人属相一样.2.4色盲的遗传问题色盲的遗传问题是概率应用的一个简单而重要的例子，它在科学史上是非常有名的.常见的色盲是不能区分红、绿两色.要弄清色盲是怎么回事，先得明白我们为什么能看到颜色，又得研究视网膜的复杂构造和性质，还得了解不同的光波能引起的光化学反应，等等. 如果再问及色盲的遗传问题，似乎比解释色盲现象还要复杂.可是，答案却意想不到的简单明了.有直接统计可以得出：（1）色盲中男性远多于女性；（2）色盲父亲与正常母亲不会有色盲孩子；（3）色盲母亲与正常父亲的儿子是色盲，女儿则不是色盲.结果何以如此简单？原来，生物都是由细胞组成的，而人是特殊的生物，人体细胞里都有46条染色体，这些染色体由几乎完全相同的两套染色体构成，一套来自母体，另一套来自父体.人复杂的遗传性质正是因为染色体是由来自双亲的这两套染色体决定的，并且代代相传下去.在两套染色体中，有一对特殊的染色体，它们在母体内是相同的，而在父体内是不同的，这对特殊的染色体叫性染色体，用X和Y两个符号来区别，母体内只有两条X染色体，而父体内则有X、Y染色体各一条.由上述可以清楚地看出，色盲的遗传必然与性别有一定的关系.只需要假定产生色盲的原因是由于一条染色体出了毛病，并且这条染色体代代相传，我们就可以用逻辑判断得到进一步的假设：色盲是由于X染色体中的缺陷造成的.从这一假设出发，上面三条色盲的统计规律就昭然若揭了.我们知道，母体细胞中有两条X染色体，而父体细胞中只有一条X染色体. 如果男性中这惟一的一条染色体有色盲缺陷，他就会患有色盲，而只有两条X染色体都有缺陷的女性才会患有色盲，因为一条正常染色体足以让女性获得感知颜色的能力. 如下面两个表所示（有色盲的X染色体用 表示）：正常母亲与色盲父亲色盲母亲与正常父亲如果X 染色体中带有色盲缺陷的概率为10001，那么，1000个男人中就会有一个色盲. 同样推算的结果，如果女性两条X 染色体都有色盲缺陷的可能性则应按概率的乘法原理计算，即100000011000110001=⨯. 所以，100万个妇女中，才有一个先天性色盲的可能. 这就是色盲中男性远远多于女性的原因. 从上面的表中还可以看出，如果父亲视觉正常，母亲是色盲，则他们的儿子一定患有色盲，但女儿的视觉是正常的（不过她未来的儿子可能患有色盲）；色盲父亲和视觉正常的母亲不会生出色盲子女.2.5市场占有率预测已知某地区的某货物在销售市场被A 、B 、C 3个品牌占有，占有率分别为40%、30%、30%. 依据调查发现上个月买A 品牌货物的顾客这个月买A 、B 、C 品牌的分别为40%、30%、30%，上个月买B 品牌货物的顾客这个月买B 、A 、C 品牌的分别为30%、60%、10%，上个月买C 品牌货物的顾客这个月买C 、A 、B 品牌分别为30%、60%、10%. 假设该货物的销售状态服从齐次马氏性.（1) 求A 、B 、C 3个品牌的货物3个月之后在该地区的市场占有率.（2) 假设顾客流动倾向长期如上述不改变，那么各品牌最终的市场占有率又如何？我们将A、B、C 3个品牌分别用1、2、3表示，第n个月该地区的顾客购买货物的品牌选择用n X 表示. 那么由题意可知：状态空间是 {1、2、3} 的齐次马氏链为}0,{≥X n n ，且,4.0}1{0==X P ,3.0}2{0==X P ,3.0}3{0==X P }0,{≥X n n 的一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3.01.06.01.03.06.03.03.04.0P 由P 可知， }0,{≥X n n 为不可约遍历马氏链，故其存在平稳分布，并且平稳分布就是链的极限分布.（1）因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==252.0244.0504.0244.0252.0504.0252.0252.0496.0)3(3P P 由全概率公式，得}{}{}{)(0031i j P i P j P n p n i n j =X =X =X ∑==X ==.3,2,1),()0(31==∑=i n p p ij i i从而))3()0(,)3()0(,)3()0(())3(),3(),3((313312311321∑∑∑====i i i i i i i i i p p p p p p p p p3321321))0(),0(),0(()3())0(),0(),0((P p p p P p p p == )2496.0,2496.0,5008.0()3.0,3.0,4.0(3==P所以，3个月后A 、B 、C 3个品牌市场占有率分别为0.5008,0.2496,0.2496. （2）由图2-4知，1，2，3 三个状态是互通的，且是非周期的（这是因为)3()2()1(d d d ==).又因为 }3,2,1{ 是有限互通闭集，故1，2，3 三状态都是正常返状态，因此链存在唯一平稳分布且该平稳分布就是极限分布.由规范方程131=∑=j jπ与平稳方程),(),(3,213,21ππππππ= P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++=++=13.01.03.01.03.03.06.06.04.0321321323122211πππππππππππππππ解此代数方程组得)25.025.0,5.0(),(,3,21=πππ.即如果顾客流动情况长此下去，最终A 、B 、C 3个品牌市场占有率将分别为50%、25%、25%.2.6化学疗法致癌问题从以往几年所收集的大量数据记录发现，用外科方法治疗某种癌症，病人只有2%治好的几率，一个主张化学疗法的医生认为她的非外科方法比外科更有效.为了用实验证据证实她的看法，她用她的方法治疗200个癌症病人，其中6个治好了.这个医生断言这种大样本中的3%治愈率足够证实她的看法.（a ）设参数m 表示200个病人中治愈的期望个数，试作出统计假设；（b ）取a 大约为0.05，试决定拒绝域，并问所得资料资料是否支持该医生的断言？ （c ）如果该医生实际上得到了 4.5%的治愈率，问检验将证实化学疗法比外科方法更加有效的概率是多少？设用X 表示治愈的人数，则.200,,1,0 =X对（a ）0H ：，或)02.0(4==p m )02.0(4:1>>H p m 或 对（b ）将每个癌症病人的治疗看作一次随机试验，其可能的结果为（成功）治好}{=A ，}{未治好=A ，.02.0)(=A P 各病人是否治好可认为是相互独立的，于是治疗200个癌症病人可视为200重伯努利试验. 利用a 大约为0.05，根据下式去确定k ：i i k i iC k P a -=∑=H ≥X =200200200098.002.0)(由200=n ，02.0=p ，所以可以认为n 很大p 很小，于是利用泊松分布来近似二项分布，这时4==np λ 故得 ∑∑=--=⋅≈=2004200200200!498.002.0ki ii k i i i i e Ca051134.0≈， 8=k .（查《常用数理统计表》中的表）故拒绝域为8≥X .因如今治疗200人中只有6人治愈，所以由此实验数据，不拒绝零假设0H .对（c ）注意到（b ），已取拒绝域8≥X .若化学疗法的治愈率为4.5%，经过200人治疗，治愈在8人以上是的概率为i i i iC p P -=∑==≥X 2002008200955.0045.0)%5.48( 676103.0!920089≈≈∑=-i ii e .用泊松近似（查《常用数理统计表》中的表），9045.0200=⨯==np λ.此0.676103便是采用检验法（即拒绝域）8≥X 时，证实治愈率为4.5%的化学疗法比治愈率为2%的外科方法更加有效. 2.7法律中的概率问题与概率有关的问题愈来愈多地出现在法庭上. 被指控犯有罪行的被告有罪或无罪常常是由陪审团来裁决的，在没有见证人的情况下，陪审团必须权衡“指纹”的证实、毛发的相似性或与地毯织线的吻合性等. 关于1995年辛普森（O.J.Simpson ，美国著名棒球运动员）谋杀案的审判的电视转播把这样的问题带到了几百万个美国家庭中去：证据的相关性是一件证据在一项审判中是否可以采纳的主要问题.美国联邦证据法规用概率来定义相关性：也就是所说证据是相关的，如果它具有一种“促使形成比不具有该证据时更不可能或是更可能决定行动的任何重要事实的存在性的趋势”.1968年，在加利福尼亚州地区有这样一个案件：这是关于科林斯（Collins ）夫妇的一个案件，有关人员向这对夫妻说明了概率是如何被使用（以及错用）在一项犯罪审判中的. 目击人反映说看到一个长有八字须和络腮胡子的黑人男子和一个有着金发且扎成马尾样发型的白人妇女一起从洛杉矶郊区的一个小巷中跑出来，而在那里正好有一位老年人刚刚遭到罪犯背后袭击和抢劫. 而且这对男女开着一辆部分为黄色的汽车逃跑了. 据此，科林斯夫妻二人就被警察逮捕了. 因为他们拥有一辆林肯牌汽车并且恰好部分是黄色的，丈夫是一个黑人，尽管在逮捕他们时，他的胡子被刮过而且很干净，但是依然能够看得出在不久之前他还是一个满脸络腮胡子的样子，而妻子也经常把她的金色头发挽扎成马尾型.在法院的审判中，公诉人用“数学证明”说他能断定科林斯夫妇有罪，他给出了根据目击人指出的特征的以下“保守的概率”：有着八字须胡子的男人41 扎成马尾发型的女人 101 金色头发的女人 31 有着络腮胡子的黑人男人101 在同一辆汽车中的不同种族的夫妇10001 部分黄色的汽车101 于是公诉人争辩说这些概率的乘积为120000001，故在洛杉矶地区的另一对夫妇具有上述所有特征的可能性小于千万分之一. 于是陪审团就判这对夫妇有罪. 然而加州最高法院在上诉中驳回了这起定罪，列举了几处错误使用以概率为基础的论证.科林斯案件在法律界引起了广泛的争论，同时争论也延伸到颇具威望的法律刊物上发表的文章中. 一些著名学者的文章对科林斯案件进行了分析，表明了“数学审判”在法律公诉中的程序和精确性，并给出了利用概率作为证据的更为一般的综述.。