海南高考真题 数学.pdf
海南省三亚市(新版)2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷
海南省三亚市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则复数=（ ）A ．B ．C ．D ．第(2)题设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第(3)题已知数列是等比数列，，且前项和满足，那么的取值范围是（ ）A ．B．C ．D ．第(4)题设{}为等差数列，公差，为其前n 项和，若，则=（ ）A ．18B ．20C ．22D ．24第(5)题若定义在上的函数的导函数为，且，则下列不等关系中正确的是（ ）A ．B．C．D ．第(6)题一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（ ）A ．150人B ．300人C ．600人D ．900人第(8)题曲线在点处的切线斜率为A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( )A ．B ．C ．的最小值为D ．的最大值为第(2)题已知椭圆与椭圆，则（ ）A ．与的长轴长相等B ．的焦距是的焦距的2倍C ．与的离心率相等D ．与有公共点第(3)题已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）A ．双曲线的方程为B ．的面积为C ．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交D ．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左､右焦点分别是，，P 是双曲线右支上一点，，O 为坐标原点，过点O 作的垂线，垂足为点H ，若双曲线的离心率，存在实数m 满足，则___________.第(2)题若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．第(3)题已知集合，，则_____．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中,角所对的边分别为,已知, .（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）求的值.第(2)题已知函数.(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；(2)若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）第(3)题为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据（），部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2 3.9…y …50.663.752.154.3…经计算得：，，，.(1)利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为，，比较，的大小关系，并证明.附：y 关于x 的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，第(4)题已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．(1)设且，求x 的取值范围；(2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．第(5)题某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg ）分组，得到的频率分布表如右图所示．组号分组频数频率第1组[50，55)50.050第2组[55，60)①0.350第3组[60，65)30②第4组[65，70)200.200第5组[70，75]100.100合计100 1.000（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？。
2021年海南高考数学真题(含答案)
2021年海南高考数学真题及答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数213i i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U AB =（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}3．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．．44．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．20+． C ．563D ．3 6．某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7．已知581log 2,log 3,2a b c ===，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．(1)0f -=C ．(2)0f =D ．(4)0f = 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ） A ．样本12,,,n x x x 的标准差 B ．样本12,,,n x x x 的中位数 C ．样本12,,,n x x x 的极差 D ．样本12,,,n x x x 的平均数 10．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中{0,1}i a ∈，记01()k n a a a ω=+++．则（ ）A ．(2)()n n ωω=B ．(23)()1n n ωω+=+C ．(85)(43)n n ωω+=+D ．()21n n ω-=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．15．已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．16．已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,1,2a b c b a c a =+=+．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,5,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．20．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为3 （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．22．已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AC 10．【答案】BC11．【答案】ABD12．【答案】ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】y = 14．【答案】2()()f x x x =∈R 答案不唯一．15．【答案】v16．【答案】(0,1)四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．【答案】n 的最小值为7．18．【答案】 当2a =时，ABC 为钝角三角形．19．【答案】略 20．【答案】（1）2213x y +=． （2）【答案】略21．【答案】（1）()00.410.320.2311E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）【答案】略（3）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．22．【答案】略。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)理数-含答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试题和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =(）（A ）｛0，1，2｝（B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3}（D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z = （ ）（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ） （B ）（C ） （D ）1313-1919-,l l αβ⊄⊄11112310++++11112!3!10!++++11112311++++11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视 图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log 36，b=log 510，c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1(D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减 （D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩1412∃()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)( C) (D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
海南省海口市(新版)2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷
海南省海口市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设数列满足，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．第(3)题某学校组建了演讲，舞蹈､航模､合唱，机器人五个社团，全校名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为（）A．B．C．D．第(4)题设是函数的反函数，若，则的值为（）A．1B．2C．3D．第(5)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．第(6)题将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（）A．480种B．1560种C．2640种D．640种第(7)题如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小.（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A．平面平面B．平面C．异面直线与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积不变第(2)题已知函数（且），则（）A．当时，曲线在点处的切线方程为B．函数恒有1个极值点C．若曲线有两条过原点的切线，则D．若有两个零点，则第(3)题如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F，且该八面体的各棱长均相等，则（）A．异面直线AE与BF所成的角为60°B．BD⊥CE.C．此八面体内切球与外接球的表面积之比为D．直线AE与平面BDE 所成的角为60°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，为坐标原点，设数集，点集，从中任取相异两点与点组成三角形，在所有组成的三角形中，任取一个三角形，则其面积恰为1的概率______．第(2)题已知椭圆的左焦点为是C上的动点，点，若的最大值为6，则C的离心率为_________．第(3)题已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围．第(2)题晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为，求．第(3)题已知，且，函数的最小值为2.(1)求的值；(2)求的最大值.第(4)题如图，已知直线，M是平面内一个动点，且MA与相交于点A（A位于第一象限），，且MB与相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原点）的面积为．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与C相交于P，Q两点，是否存在定直线l′:，使以PQ为直径的圆与直线l′相交于E，F两点，且为定值，若存在，求出l′的方程，若不存在，请说明理由．第(5)题已知函数.(1)若函数为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围；(2)若函数的极值点为，求证：.。
2022年海南高考数学真题及答案(完整版)
2022年海南高考数学真题及答案注意事项:1．答卷前，考生务必将自己 姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目 答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出 四个选项中，只有一项是符合题目要求 .1. 已知集合，则（ ） {}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤A B =I A. B.C.D.{1,2}-{1,2}{1,4}{1,4}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合后可求.B A B I 【详解】，故， {}|02B x x =≤≤{}1,2A B =I 故选:B.2. （ ） (22i)(12i)+-=A. B.C.D.24i -+24i --62i +62i -【答案】D 【解析】【分析】利用复数 乘法可求. ()()22i 12i +-【详解】， ()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-故选:D.3. 中国 古建筑不仅是挡风遮雨 住处，更是美学和哲学 体现．如图是某古建筑物 剖面图，是举， 是相等 步，相邻桁 举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA ，若是公差为0.1 等差数列，且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k 斜率为0.725，则（ ）OA 3k =A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D 【解析】【分析】设，则可得关于 方程，求出其解后可得正确 选11111OD DC CB BA ====3k 项.【详解】设，则， 11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，30.530.30.7254k +-=30.9k =故选:D4. 已知，若，则（ ） (3,4),(1,0),t ===+r r r r r a b c a b ,,<>=<>r r r ra cbc t =A. B.C. 5D. 66-5-【答案】C 【解析】【分析】利用向量 运算和向量 夹角 余弦公式 坐标形式化简即可求得【详解】解:,,即,解得, ()3,4c t =+r cos ,cos ,a c b c =r r r931635t t c c+++=r r 5t =故选:C5. 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻 不同排列方式有多少种（ ） A. 12种 B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B 【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素 中间两个位置任选一3!个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人 顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有:种不同 排列方式， 3!2224⨯⨯=故选:B6. 角满足，则（ ）,αβsin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭A. B. tan()1αβ+=tan()1αβ+=-C. D.tan()1αβ-=tan()1αβ-=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数 商数关系即可得解. 【详解】由已知得:,()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-即:， sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=即:, ()()sin cos 0αβαβ-+-=所以, ()tan 1αβ-=-故选:D7. 正三棱台高为1，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球 表面积是（ ） A. B.C.D.100π128π144π192π【答案】A 【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半12,r r 径，以及球 半径之间 关系，即可解出球 半径，从而得出球 表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面 半径，所以12,r r 1222r r ==，设球心到上下底面 距离分别为，球 半径为，所以，123,4r r ==12,d d R 1d =，故或或2d =121d d -=121d d +=，解得符合题意，所以球 表面积为．1=225R =24π100πS R ==故选:A ．8. 若函数 定义域为R ，且，则()f x ()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==221()k f k ==∑（ ） A. B.C. 0D. 13-2-【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数 一个周期为，求出函数一个周期中()f x 6 值，即可解出．()()()1,2,,6f f f L 【详解】因为，令可得，()()()()f x y f x y f x f y ++-=1,0x y ==，所以，令可得，，即()()()2110f f f =()02f =0x =()()()2f y f y f y +-=，所以函数为偶函数，令得，()()f y f y =-()f x 1y =，即有，从而可知()()()()()111f x f x f x f f x ++-==()()()21f x f x f x ++=+，，故，即()()21f x f x +=--()()14f x f x -=--()()24f x f x +=-，所以函数 一个周期为．()()6f x f x =+()f x 6因为，，()()()210121f f f =-=-=-()()()321112f f f =-=--=-，，，所以()()()4221f f f =-==-()()()5111f f f =-==()()602f f ==一个周期内 ．由于22除以6余4， ()()()1260f f f +++=L 所以．()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑故选:A ．二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出 选项中，有多项符合题目要求．全部选对 得5分，部分选对 得2分，有选错 得0分. 9. 函数 图象以中心对称，则（ ） ()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<2π,03⎛⎫⎪⎝⎭A. 在单调递减 y =()f x 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 在有2个极值点 y =()f x π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭C. 直线是一条对称轴 7π6x =D. 直线是一条切线 y x =-【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数 性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得:，所以，， 2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4ππ3k ϕ+=k ∈Z 即， 4ππ,3k k ϕ=-+∈Z 又，所以时，，故．0πϕ<<2k =2π3ϕ=2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，当时，，由正弦函数图象知在5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =上是单调递减； 5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭对B ，当时，，由正弦函数图象知π11π,1212x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y u =()y f x =只有1个极值点，由，解得，即为函数 唯一极值点； 2π3π232x +=5π12x =5π12x =对C ，当时，，，直线不是对称轴；7π6x =2π23π3x +=7π()06f =7π6x =对D ，由得:， 2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得或, 2π2π22π33x k +=+2π4π22π,33x k k +=+∈Z 从而得:或, πx k =ππ,3x k k =+∈Z所以函数在点处 切线斜率为， ()y f x =⎛ ⎝02π2cos 13x k y =='==-切线方程为:即． (0)y x =--y x =-故选:AD ．10. 已知O 为坐标原点，过抛物线 焦点F 直线与C 交于A ，B 两点，2:2(0)C y px p =>点A 在第一象限，点，若，则（ ） (,0)M p ||||AF AM =A. 直线 斜率为B.AB ||||OB OF =C. D.||4||AB OF >180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD 【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A 选AF AM =3(4p A项；表示出直线 方程，联立抛物线求得，即可求出判断B 选项；AB (,3p B OB 由抛物线 定义求出即可判断C 选项；由，求得2512pAB =0OA OB ⋅<u u u r u u u r 0MA MB ⋅<u u u r u u u r ，为钝角即可判断D 选项.AOB ∠AMB ∠【详解】对于A ，易得，由可得点在 垂直平分线上，则点横坐标为(,0)2pF AF AM =A FM A ， 3224p pp +=代入抛物线可得，则，则直线 斜率为2233242p y p p =⋅=3(4pA AB ，A 正确；=对于B ，由斜率为可得直线方程为，联立抛物线方程得AB 2p x y =+， 220y py p -=设，则，代入抛物线得11(,)B xy 1p y p +=1y =212p x ⎛=⋅ ⎝，解得，则， 13p x =(,3p B 则，B 错误；2p OB OF ==≠=对于C ，由抛物线定义知:，C 正确； 325244312p p pAB p pOF =++=>=对于D ，，则2333((,043434p p p p p OA OB ⎛⋅=⋅=⋅=-< ⎝u u u r u u u r为钝角，AOB ∠又2225((,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-+=-< ⎪ ⎝⎭⎝u u u r u u u r ，则为钝角，AMB ∠又，则，D 正确. 360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=o 180OAM OBM ∠+∠<o 故选:ACD.11. 如图，四边形为正方形，平面，，ABCD ED ⊥ABCD ,2FB ED AB ED FB ==∥记三棱锥，， 体积分别为，则（ ）E ACD -F ABC -F ACE -123,,V VVA. B. 322V V =312V V =C. D.312V V V =+3123V V =【答案】CD 【解析】【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由12,V V BD AC M ,EM FM 计算出，依次判断选项即可.3A EFM C EFM V V V --=+3V 【详解】设，因为平面，，则22AB ED FB a ===ED ⊥ABCD FB ED P ，()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=V，连接交于点，连接，易()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=V BD AC M ,EM FM 得，BD AC ⊥又平面，平面，则，又，ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥ED BD D =I 平面，则平面，,ED BD ⊂BDEF AC ⊥BDEF又，过作于，易得四边形为矩形，则12BM DM BD ===F FG DE ⊥G BDGF，,FG BD EG a ===则，,EM FM ====，3EF a ==，则，，， 222EM FM EF +=EM FM ⊥212EFM S EM FM =⋅=V AC =则，则，，，33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=V 3123V V =323V V =312V V V =+故A 、B 错误；C 、D 正确. 故选:CD.12. 对任意x ，y ，，则（ ） 221+-=x y xy A. B. 1x y +≤2x y +≥-C. D.222x y +≤221x y +≥【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项 真假．【详解】因为（ R ），由可变形为，22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,a b Î221+-=x y xy ，解得，当且仅当时，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭22x y -≤+≤1x y ==-，当且仅当时，，所以A 错误，B 正确；2x y +=-1x y ==2x y +=由可变形为，解得，当且仅当221+-=x y xy ()222212x y x y xy ++-=≤222x y +≤时取等号，所以C 正确；1x y ==±因为变形可得，设，所221+-=x y xy 223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭cos sin 2y x y θθ-==以，因此cos ,x y θθθ=+=2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++，所以当42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误． 故选:BC ．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知随机变量X 服从正态分布，且，则()22,N σ(2 2.5)0.36P X <≤=____________．( 2.5)P X >=【答案】##． 0.14750【解析】【分析】根据正态分布曲线 性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此()22,X N σ:()()220.5P X P X <=>=．()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=故答案为:．0.1414. 写出曲线过坐标原点 切线方程:____________，____________． ln ||y x =【答案】 ①. ②.1ey x =1e y x =-【解析】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函0x >0x <0x >()00,ln x x 数，即可求出切线 斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出0x 切线方程，当时同理可得； 0x <【详解】解: 因为，ln y x =当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为0x >ln y x =()00,ln x x 1y x'=01|x x y x ='=， ()0001ln y x x x x -=-又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为()0001ln x x x -=-0e x =，即； ()11e e y x -=-1ey x =当时，设切点为，由，所以，所以切线0x <()ln y x =-()()11,ln x x -1y x'=111|x x y x ='=方程为， ()()1111ln y x x x x --=-又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为()()1111ln x x x --=-1e x =-，即； ()11e e y x -=+-1ey x =-故答案为:；1ey x =1e y x =-15. 已知点，若直线关于 对称直线与圆(2,3),(0,)A B a -AB y a =22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 取值范围为________． 【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出点关于对称点 坐标，即可得到直线 方程，根据圆心到直线 A y a =A 'l 距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解:关于对称 点 坐标为，在直线()2,3A -y a =()2,23A a '--()0,B a y a =上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即； A B 'l l 32a y x a -=+-()3220a x y a -+-=圆，圆心，半径， ()()22:321C x y +++=()3,2C --1r =依题意圆心到直线 距离，l 1d 即，解得，即； ()()2225532a a -≤-+1332a ≤≤13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为:13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 已知椭圆，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交22163x y +=于M ，N 两点，且l 方程为___________． ||||,||MA NB MN ==【答案】 0x +-=【解析】【分析】令 中点为，设，，利用点差法得到，AB E ()11,A x y ()22,B x y 12OE AB k k ⋅=-设直线，，，求出、 坐标，再根据求出、，:AB y kx m =+0k <0m >M N MN k m 即可得解；【详解】解:令 中点为，因为，所以，AB E MA NB =ME NE =设，，则，， ()11,A x y ()22,B x y 2211163x y +=2222631x y +=所以，即 2222121206633x x y y -+-=()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以，即，设直线，，()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+12OE AB k k ⋅=-:AB y kx m =+0k <，0m >令得，令得，即，，所以0x =y m =0y =m x k =-,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,N m ,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即，解得舍去）， 1222mk m k⨯=--k =k =又，即，解得或（ 舍去）， MN =MN ==2m =2m =-所以直线，即； :2AB y x =+0x +-=故答案为:0x +-=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知为等差数列，是公比为2 等比数列，且． {}n a {}n b 223344a b a b b a -=-=-（ 1）证明:；11a b =（ 2）求集合中元素个数． {}1,1500k m k b a a m =+≤≤【答案】（ 1）证明见解析； （ 2）． 9【解析】【分析】（ 1）设数列 公差为，根据题意列出方程组即可证出； {}n a d （ 2）根据题意化简可得，即可解出． 22k m -=【小问1详解】设数列 公差为，所以，，即可解得，，{}n a d ()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩112d b a ==所以原命题得证． 【小问2详解】 由（ 1）知，，所以，即112d b a ==()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，亦即，解得，所以满足等式 解122k m -=[]221,500k m -=∈210k ≤≤，故集合中 元素个数为．2,3,4,,10k =L {}1|,1500k m k b a a m =+≤≤10219-+=18. 记 三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长ABC V三个正三角形 面积依次为，已知． 123,,S SS 12313S S S B -+==（ 1）求 面积； ABC V （ 2）若，求b ．sin sin A C =【答案】（ 1（ 2） 12【解析】【分析】（ 1）先表示出，再由求得，结合余123,,S S S 123S S S -+=2222a c b +-=弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；ac （ 2）由正弦定理得，即可求解. 22sin sin sin b acB A C=【小问1详解】由题意得，则22221231,,2S a S S =⋅===，222123S S S -+==即，由余弦定理得，整理得，则2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =，又， cos 0B >1sin 3B =则，，则cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B ==V 【小问2详解】 由正弦定理得:，则sin sin sin b a cB A C==，则，. 229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===3sin 2b B =31sin 22b B ==19. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者 年龄，得到如下 样本数据频率分布直方图．（ 1）估计该地区这种疾病患者 平均年龄（ 同一组中 数据用该组区间 中点值作代表）； （ 2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 概率；[20,70)（ 3）已知该地区这种疾病 患病率为，该地区年龄位于区间 人口占该地区0.1%[40,50)总人口 ，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患该种疾病 概16%[40,50)率．（ 样本数据中 患者年龄位于各区间 频率作为患者年龄位于该区间 概率，精确到0.0001）【答案】（ 1）岁； 44.65（ 2）； 0.89（ 3）． 0.0014【解析】【分析】（ 1）根据平均值等于各矩形 面积乘以对应区间 中点值 和即可求出； （ 2）设{一人患这种疾病 年龄在区间}，根据对立事件 概率公式A =[20,70)即可解出；()1(P A P A =-（ 3）根据条件概率公式即可求出． 【小问1详解】平均年龄 (50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ （ 岁）． 550.020650.012750.006850.002)1044.65+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=【小问2详解】设{一人患这种疾病 年龄在区间}，所以A =[20,70)．()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=【小问3详解】设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病， {B =}[40,50){C =}则由条件概率公式可得．()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈20. 如图，是三棱锥 高，，，E 是 中点．PO P ABC -PA PB =AB AC ⊥PB（ 1）求证:平面；//OE PAC （ 2）若，，，求二面角 正弦值． 30ABO CBO ∠=∠=︒3PO =5PA =C AE B --【答案】（ 1）证明见解析 （ 2）1113【解析】【分析】（ 1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到BO AC D OA PD ，再根据直角三角形 性质得到，即可得到为 中点从而得到OA OB =AO DO =O BD ，即可得证；//OE PD （ 2）过点作，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角 余弦A //Az OP 值，再根据同角三角函数 基本关系计算可得；【小问1详解】证明:连接并延长交于点，连接、，BO AC D OA PD 因为是三棱锥 高，所以平面，平面， PO P ABC -PO ⊥ABC ,AO BO ⊂ABC 所以、，PO AO ⊥PO BO ⊥又，所以，即，所以，PA PB =POA POB ≅△△OA OB =OAB OBA ∠=∠又，即，所以，， AB AC ⊥90BAC ∠=︒90OAB OAD ∠+∠=︒90OBA ODA ∠+∠=︒所以ODA OAD ∠=∠所以，即，所以为 中点，又为 中点，所以AO DO =AO DO OB ==O BD E PB ，//OE PD 又平面，平面， OE ⊄PAC PD ⊂PAC 所以平面 //OE PAC【小问2详解】解:过点作，如图建立平面直角坐标系， A //Az OP 因为，，所以，3PO =5AP=4OA ==又，所以，则，，30OBA OBC ∠=∠=︒28BD OA ==4=AD AB =所以，所以，，，，所以12AC=()2,0O ()B ()2,3P ()0,12,0C ，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，，32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u ur ()AB =u u ur ()0,12,0AC =u u u r 设平面的法向量为，则，令，则AEB (),,n x y z =r 3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩u u uv v u u uv v 2z =，，所以；3y =-0x =()0,3,2n =-r设平面 法向量为，则，令AEC (),,m a b c =u r 302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v a =，，所以；6c =-0b=)6m =-u r所以cos ,n m n m n m⋅===r u rr u r r u r 设二面角为，由图可知二面角为钝二面角， C AE B --θC AE B --所以，所以cos θ=11sin 13θ==故二面角 正弦值为； C AE B --111321. 设双曲线 右焦点为，渐近线方程为．2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>(2,0)F y =（ 1）求C 方程；（ 2）过F 直线与C 两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且()()1122,,,P x y Q x y ．过P 且斜率为 直线与过Q直线交于点M ，请从下面1210,0x x y >>>①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立: ①M 在上；②；③． AB PQ AB ∥||||MA MB =注:若选择不同 组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（ 1）2213y x -=（ 2）见解析 【解析】【分析】（ 1）利用焦点坐标求得 值，利用渐近线方程求得 关系，进而利用 c ,a b ,,a b c 平方关系求得 值，得到双曲线 方程；,a b （ 2）先分析得到直线 斜率存在且不为零，设直线AB 斜率为k , M (x 0,y 0),由③AB |AM |=|BM |等价分析得到；由直线和 斜率得到直线方程，结合200283k x ky k +=-PM QM 双曲线 方程，两点间距离公式得到直线PQ 斜率，由②等价转化为03x m y =//PQ AB ，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一003ky x =M AB ()2002ky k x =-个作为结论，进行证明即可. 【小问1详解】右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴(2,0)F2c =y =ba=b =，∴，∴．222244c a b a =+==1a=b =∴C 方程为:；2213y x -=【小问2详解】由已知得直线 斜率存在且不为零，直线 斜率不为零，PQ AB 若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线 斜率存在且不为零；AB 若选①③推②，则为线段 中点，假若直线 斜率不存在，则由双曲线 对称性可M AB AB 知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已M x F P Q x 12x x =知不符；总之，直线 斜率存在且不为零.AB 设直线 斜率为,直线方程为, AB k AB ()2y k x =-则条件①在上，等价于；M AB ()()2000022y k x ky k x =-⇔=-两渐近线 方程合并为,2230x y -=联立消去y 并化简整理得: ()22223440k x k x k --+=设,线段中点为,则()()3334,,,A x y B x y (),N N N x y , ()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--设,()00,M x y 则条件③等价于, AM BM =()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-移项并利用平方差公式整理得:，()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦,即, ()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-()000N N x x k y y -+-=即；200283k x ky k +=-由题意知直线 斜率为直线PMQM ∴由,))10102020,y y x x yy x x -=--=-∴, )121202y y x x x -=+-所以直线 斜率, PQ 1212y y m x x -==-直线,即, )00:PM y x x y =-+00y y =代入双曲线 方程,即中，22330x y --=)3yy +-=得:, ()()00003y y ⎡⎤+-+=⎣⎦解得 横坐标:,P 100x y ⎫=⎪⎪⎭同理:，200x y ⎫=⎪⎪⎭∴012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭∴, 03x m y =∴条件②等价于， //PQ AB 003m k ky x =⇔=综上所述:条件①在上，等价于；M AB ()2002ky kx =-条件②等价于；//PQ AB 003ky x =条件③等价于；AM BM =200283k x ky k +=-选①②推③:由①②解得:,∴③成立； 2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--选①③推②:由①③解得:，，20223k x k =-20263k ky k =-∴，∴②成立； 003ky x =选②③推①:由②③解得:，，∴，20223k x k =-20263k ky k =-02623x k -=-∴，∴①成立.()2002ky kx =-22. 已知函数． ()e e ax x f x x =-（ 1）当时，讨论 单调性；1a =()f x（ 2）当时，，求a 取值范围； 0x >()1f x <-（ 3）设，证明．n *∈N ln(1)n +++>+L 【答案】（ 1） 减区间为，增区间为. ()f x (),0-∞()0,+∞（ 2） 12a ≤（ 3）见解析 【解析】【分析】（ 1）求出，讨论其符号后可得 单调性. ()f x ¢()f x （ 2）设，求出，先讨论时题设中 不等式不成立，再就()e e 1axxh x x =-+()h x ''12a >结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论 范围后可得参数 102a <≤()h x '0a ≤()h x 取值范围.（ 3）由（ 2）可得对任意 恒成立，从而可得对12ln t t t<-1t >()ln 1ln n n +-<任意 恒成立，结合裂项相消法可证题设中 不等式. *n N ∈【小问1详解】当时，，则，1a =()()1e xf x x =-()e xf x x '=当时，，当时，， 0x <()0f x ¢<0x >()0f x ¢>故 减区间为，增区间为. ()f x (),0-∞()0,+∞【小问2详解】设，则，()e e 1axxh x x =-+()00h =又，设，()()1e e axxh x ax '=+-()()1e e axxg x ax =+-则，()()22e e axxg x a a x '=+-若，则， 12a >()0210g a '=->因为为连续不间断函数，()g x '故存在，使得，总有， ()00,x ∈+∞()00,x x ∀∈()0g x ¢>故在为增函数，故，()g x ()00,x ()()00g x g >=故在为增函数，故，与题设矛盾.()h x ()00,x ()()01h x h >=-若，则， 102a <≤()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-下证:对任意，总有成立， 0x >()ln 1x x +<证明:设，故， ()()ln 1S x x x =+-()11011x S x x x-'=-=<++故在上为减函数，故即成立. ()S x ()0,+∞()()00S x S <=()ln 1x x +<由上述不等式有， ()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤故总成立，即在上为减函数， ()0h x '≤()h x ()0,+∞所以.()()01h x h <=-当时，有，0a ≤()e e e1100axxaxh x ax '=-+<-+=所以在上为减函数，所以. ()h x ()0,+∞()()01h x h <=-综上，. 12a ≤【小问3详解】 取，则，总有成立， 12a =0x ∀>12e e 10x x x -+<令，则，12e x t =21,e ,2ln x t t x t >==故即对任意 恒成立.22ln 1t t t <-12ln t t t<-1t >所以对任意 ，有*n N ∈2ln <整理得到:，()ln 1ln n n+-<()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n ++>-+-+++-L L ，()ln 1n =+故不等式成立.【点睛】思路点睛:函数参数 不等式 恒成立问题，应该利用导数讨论函数 单调性，注意结合端点处导数 符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式 证明，应根据已有 函数不等式合理构建数列不等式.全卷完 1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理想的学校。
2020年新高考数学全国卷2(海南)含答案(A4打印版)
2020年新高考数学全国卷2(海南)含答案(A4打印版)2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则B-A=（）A。
{1,3,5,7}B。
{2,3}C。
{2,3,5}D。
{1,2,3,5,7,8}2.(1+2i)(2+i)=A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i3.在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。
把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面。
在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有A.2种B.3种C.6种D.8种7.已知函数f(x)=lg(x^2-4x-5)在(a,∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,∞)B.[2,∞)C.(5,∞)D.(5,∞)8.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是A.[-1,1]∪[3,∞)B.[-1,0]∪[1,∞)C.[0,1]D.[1,3]二、选择题9.答案：C。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(海南卷)pdf版含答案
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2020年海南高考数学试卷-海南卷(word含详细解析版)
.A. 2 C D + CAB. CD - 2 C AC. 2 C D - CAD. CD + 2 C A2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、设集合 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8},则 AB =（）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. { 2，3，5}D.{1，2，3，5，7，8}2、 (1 + 2i)(2 + i) =（ ）A. 4 + 5iB. 5iC. - 5iD. 2 + 3i3、在∆ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则→ =（CB）→ →→ →→ →→ →4、日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为 O ），地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬 40o ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为（ ）A. 20oB. 40oC. 50oD. 90o5、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 （ ）A.62 %B.56%C.46%D.42%6、要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A.2种B.3种C.6种D.8种7、已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(5,+∞)D.[5,+∞)8、若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是（）A.[-1,1][3,+∞)B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][1,+∞)D.[-1,0][1,3]二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确是（）的A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;10、已知曲线C:mx2+ny2=1（）A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n>0，则C是圆，其半径为为nC.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-D.若m=0,n>0，则C是两条直线m n x) B . sin( - 2 x ) C. cos(2 x + ) D . cos(- 2x)2 2sin A = 3 sin B, C = π11、右图是函数 y = sin(ωx + ϕ) ，则 sin(ω x + ϕ) = （）A. sin( x + π π π 5π3 3 6 612、已知 a > 0, b >0,且 a +b =1，则（ ）A. a 2+ b 2≥ 1 1B . 2a -b > C. log a + log b ≥ -2 D . a + b ≤ 22 2三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB 1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD 1的体积为14、斜率为 3 的直线过抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点，且与 C 交于 A,B 两点，则 | AB |=15、将数列{2n -1}与 { 3n - 2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则 {a }的前 n 项和为n16、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形DEFG 为矩形， BC ⊥DG ，垂足为 C ， tan ∠ODC =35，BH // DG, EF = 12cm , DE = 2cm , A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7cm ，圆孔半径为 1cm ，则图中阴影部分的面积为cm 2四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17、（10 分）在①ac= 3 ,② c sin A =3,③c = 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在,求 c 的；若问题中的三角形不存在，说明理由.问 题 ： 是 否 存 在 ∆ABC ， 它 的 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为a, b , c ， 且6 ,?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18、（12分）已知公比大于1的等比数列{a}满足a+a=20,a=8n243（1）求{a}的通项公式；n（2）求a a-a a+...+(-1)n-1a a1223n n+119、（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3m），得下表：PM2.5[0,35](35,75](75,115]SO2[0,50]3263(50,15]1887(150,475]41210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO浓度不超过150”的概率；2（2）根据所给数据，完成下面的2⨯2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO浓2度有关？附：n(ad-bc)2K2=, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828（20、12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=l，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值.21、已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a>b>0)且过点M(2,3),点A为其左顶点且AM的斜率为12（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.22、已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a（1）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f(x)≥1，求a的取值范围.3.在 ABC 中，D 是 AB 边上的中点，则 C B =（）【详细解答及点评】一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求的）1.设集合 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则 A B =（） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【解答】因为 A ={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以故选：C【点评】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (1+ 2i)(2 + i) =（）A. 4 + 5iB. 5iC. -5iD. 2 + 3i【答案】B 【解析】直接计算出答案即可.【解答】 (1+ 2i)(2 + i) = 2 + i + 4i + 2i 2 = 5i故选：B【点评】本题考查的是复数的计算，较简单.→A. 2CD + CAB. CD - 2CAC. 2CD - CAD. CD + 2CA【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【解答】CB = CA + AB = CA + 2 A D = CA + 2 (CD- CA )= 2CD - CA故选：C【点评】本题考查的是向量的加减法，较简单.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把 地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B【解析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.【解答】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知O A⊥l；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..由于∠AOC=40︒,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40︒，由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90︒，所以∠BAE=∠OAG=40︒，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40︒.故选：B【点评】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得结果.【解答】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，(A+B)=0.96，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点评】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种B.3种C.6种D.8种【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【解答】第一步，将3名学生分成两个组，有C1C2=3种分法32第二步，将2组学生安排到2个村，有A2=2种安排方法2所以，不同的安排方法共有3⨯2=6种故选：C【点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(5,+∞)D.[5,+∞)【答案】D【解析】首先求出f(x)的定义域，然后求出f(x)=lg(x2-4x-5)的单调递增区间即可.【解答】由x2-4x-5>0得x>5或x<-1(x)的定义域为(-∞,-1)⋃(5,+∞)所以f因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增所以a≥5故选：D【点评】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.⎨或 ⎨ 或 x = 0 -2 ≤ x - 1 ≤ 0或x - 1 ≥ 2 0 ≤ x - 1 ≤ 2或x - 1 ≤ -2. 8.若定义在 R 的奇函数 f(x)在 (-∞,0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf ( x - 1) ≥ 0 的 x 的取值范围是（）A. [-1,1] [3, +∞ )C. [-1,0] ⋃ [1,+∞)B. [-3, -1] [0,1]D. [-1,0] ⋃ [1,3]【答案】D 【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f ( x ) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于 零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【解答】因为定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 (-∞,0) 上单调递减，且 f (2) = 0 ，所以 f ( x ) 在 (0, +∞) 上也是单调递减，且 f ( -2) = 0 ， f (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-∞, -2) ⋃ (0,2) 时， f ( x ) > 0 ，当 x ∈ (-2,0) (2, +∞ ) 时， f ( x ) < 0 ，所以由 xf ( x - 1) ≥ 0 可得：⎧ x < 0 ⎧ x > 0⎩ ⎩ 解得 -1≤ x ≤ 0 或1 ≤ x ≤ 3 ，所以满足 xf ( x - 1) ≥ 0 的 x 的取值范围是[-1,0] ⋃ [1,3] ，故选：D.【点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11 天复工复产指数折线 图，下列说法正确的是（ ）A. 这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;【解答】对于 A ，若 m > n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 1 对于 C ，若 mn < 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 1 C. 第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%;D. 第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量; 【答案】CD 【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定 A 错误；注意考查第 1 天和第 11 天的复工复产指数的差的大小， 可判定 B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定 C D 正确.【解答】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误;由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确;由图可知，第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确;【点评】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在 于指数增量的理解与观测，属中档题.10.已知曲线 C : mx 2 + ny 2 = 1 .（）A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 nC. 若 mn<0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y = ± - m nxD. 若 m=0，n>0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】结合选项进行逐项分析求解，m > n > 0 时表示椭圆，m = n > 0 时表示圆，mn < 0 时表示双曲线，m = 0, n > 0 时表示两条直线.x 2 y 2+ = 11m n，1 1 因为 m > n > 0 ，所以<，mn即曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B ，若 m = n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 x 2 + y 2 = 1 n，此时曲线 C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；x 2 y 2+ = 1 1 mn，A. sin(x + ）C. cos(2x + ）D. cos( 【解答】由函数图像可知： T 2 π5π 时， y = -1∴ 2 ⨯ + ϕ = + 2k π (k ∈ Z ) ，x = 312 2y = sin 2 x + π + 2k π ⎪ = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x + ⎪ = sin - 2 x ⎪ .2 π π ⎫ π ⎫3 6 2 ⎭ 6 ⎭2020 年海南高考数学试卷此时曲线 C 表示双曲线，由 mx 2+ ny 2= 0 可得 y = ± - mnx ，故 C 正确；对于 D ，若 m = 0, n > 0 ，则 mx 2 + ny 2 = 1 可化为 y 2 =1n，y =±n ，此时曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确；n故选：ACD.【点评】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数 学运算的核心素养.11.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）π3B. sin( π- 2 x )3π 5π 6 6- 2x)【答案】BC 【解析】首先利用周期确定ω 的值，然后确定ϕ 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结 果.2 π π 2π 2π= π - = ，则 ω = = = 2 ，所以不选 A,2 3 6 2 T π当解得：ϕ = 2k π + 2π (k ∈ Z )，3即函数的解析式为：⎛ ⎫ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎝ ⎝ 3 ⎭π ⎫ 5π = - cos( - 2 x )6 ⎭ 6⎛(【解答】对于 A ， a+ b = a 1 ⎫ 1 1 ⎛ + (1 - a )2= 2a2- 2a + 1 = 2 a - ⎪ 对于 C ， log a + log b = log ab ≤ log2 ⎝ 2 ⎭⎪ 2而 cos 2 x + ⎝⎪故选：BC.【点评】已知 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困 难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：(1)由 ω＝2πT即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升 或下降)的“零点”横坐标x0，则令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和 φ，若对 A ，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 12.已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）A. a 2+ b 2≥ 1 1B. 2a -b >2 2C. log a + log b ≥ -2D.22a +b ≤ 2【答案】ABD 【解析】根据 a + b = 1 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.2 22 2 + ≥ ， ⎝ 2 ⎭ 2 2当且仅当 a = b = 1 2时，等号成立，故 A 正确；对于 B ， a - b = 2a - 1 > -1 ，所以 2a -b > 2-1 =12 ⎛ a + b ⎫22 2 2，故 B 正确；1 = log = -2 ， 241当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 C 不正确；2对于 D ，因为 (a +b )= 1 + 2 ab ≤ 1 + a + b = 2 ，所以 a + b ≤ 2 ，当且仅当 a = b =12时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考 查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB1、AB 的中点，则三棱锥 A -NMD1 的体积为____________⨯1⨯1⨯ 2 = ..3 3【答案】 13【解析】利用V A - NMD 1 = V D 1 - AMN 计算即可.【解答】因为正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、N 分别为 BB1、AB 的中点所以VA - NMD 1 = V D 1 - AMN= 3 ⨯231 1 1故答案为：13【点评】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些14.斜率为 3 的直线过抛物线 C ：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A ，B 两点，则 AB =________．【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整 理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果【解答】∵抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 F (1,0) ，又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3 ，∴直线 AB 的方程为： y = 3( x -1)代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x 2 - 10 x + 3 = 0 ，解法一：解得 x = 1 13 , x = 321 16所以 | AB |= 1 + k 2| x - x |= 1 + 3⋅ | 3 - |= 12解法二： ∆ = 100 - 36 = 64 > 0设 A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 10 3,过 A, B 分别作准线 x = -1 的垂线，设垂足分别为 C , D 如图所示.3.2A B|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x+1+x+1=x+x+2=161212故答案为：163【点评】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】3n2-2n【解析】首先判断出数列{2n-1}与{3n-2}项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【解答】因为数列{2n-1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n-2}是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a}的前n项和为n⋅1+n(n-1)⋅6=3n2-2n，n故答案为：3n2-2n.【点评】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，是圆弧AB与直线AG的切点，是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】4+【解析】52π.在直角△OQD中，OQ=5-2因为tan∠ODC=OQ=，所以21-32r=25-52r，22等腰直角△OAH的面积为S=⨯22⨯22=4；224()=3π，⨯22226，）利用tan∠ODC=3求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求5出直角△OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得【解答】设O B=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45︒，因为BH//DG，所以∠AHO=45︒，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以O A⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；2r，DQ=7-r，223DQ5解得r=22；1113π扇形AOB的面积S=⨯2215π所以阴影部分的面积为S+S-π=4+12.故答案为：4+5π2.【点评】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①ac=3，②c sin A=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A3sin B，C=π则：sin A=1- -⎪=，此时：c sin A=m⨯=3，则：c=m=23.6,B=π-(A+C),sinA=3sin(A+C)=3sin A+6⎭+3cosA?∴sinA=-3cosA,∴tanA=-3,∴A=2π________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得t anA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【解答】解法一：由sin A3sin B可得：a=3，b不妨设a=3m,b=m(m>0)，则：c2=a2+b2-2ab cos C=3m2+m2-2⨯3m⨯m⨯32=m2，即c=m.选择条件①的解析：据此可得：ac=3m⨯m=3m2=3，∴m=1，此时c=m=1.选择条件②的解析：据此可得：c os A=b2+c2-a2m2+m2-3m21==-2bc2m22，⎛1⎫233⎝2⎭22选择条件③的解析：可得c m==1，c=b，b m与条件c=3b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sinA=3sinB,C=π∴⎛⎝π⎫⎪,sinA=3sin(A+C)=3sinA?3122，π,∴B=C=,36若选①，ac=3,∵a=3b=3c,∴3c2=3,∴c=1;【答案】（1） a = 2n ；（2） - (-1)n55({a }的公比为 q(q>1)，则 ⎧⎨a 2 + a 4 = a 1q + a 1q 3 = 20 ， ⎩a 3 = a 1q 2 = 8⎣ ⎦n.若选②， csinA = 3 ,则3c = 3 , c = 2 3 ;2若选③,与条件 c = 3b 矛盾.【点评】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出 现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时， 注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.已知公比大于1 的等比数列{a } 满足 a + a = 20, a = 8 ． n 2 4 3（1）求{a n } 的通项公式；（2）求 a a - a a +⋯+ (-1)n -1 a a 1 22 3nn +1 .8 22n +3 n【解析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列{-1)n -1a a}的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n 项和即可.n n +1【解答】(1) 设等比数列n整理可得： 2q 2 - 5q + 2 = 0 ，q > 1,q = 2, a = 2 ，1数列的通项公式为： a = 2 ⋅ 2n -1 = 2n . n(2)由于： (-1)n -1 a an n +1= (-1)n -1 ⨯ 2n ⨯ 2n +1 = (-1)n -1 22n +1 ，故：a a - a a +⋯+ (-1)n -1 a a1 22 3nn +1= 23 - 25 + 27 - 29 +⋯+ (-1)n -1 ⋅ 22n +1=【点评】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握 等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的 PM2.5 和 SO 浓度（单位： μg/m 3），得下表：2【解答】 1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的 PM 2.5 浓度不超过 75，且 SO 2 浓度不超过 150（1）估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75 ，且 S O 浓度不超过150 ”的概率；2（2）根据所给数据，完成下面的 2 ⨯ 2 列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中 P M2.5 浓度与 S O 浓度有2关？n(ad - b c)2附： K 2 = ，(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )【答案】（1） 0.64 ；（2）答案见解析；（3）有. 【解析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得 2 ⨯ 2 列联表；（3）计算出 K 2，结合临界值表可得结论.（的天数有 32 + 6 + 18 + 8 = 64 天，所以该市一天中，空气中的 PM 2.5 浓度不超过 75，且 SO 2 浓度不超过 150 的概率为 （2）由所给数据，可得 2 ⨯ 2 列联表为：64 100= 0.64 ；SO2[0,150] (150,475] 合计PM 2.52020年海南高考数学试卷[0,75]641680(75,115]合计1074102620100（3）根据2⨯2列联表中的数据可得n(ad-bc)2100⨯(64⨯10-16⨯10)23600K2===≈7.4844>6.635，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80⨯20⨯74⨯26481因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.【点评】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2⨯2列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD//l，利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，从而得到l⊥平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos<n,PB>，即可得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值.【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD//BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC，又因为AD⊂平面P AD，平面P AD平面PBC=l，⎩x+z=0n PB =2020年海南高考数学试卷所以AD//l，因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC,∴l⊥DC,且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD,∴l⊥PD,因CD PD=D所以l⊥平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，因为PD=AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，设Q(m,0,1)，则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1)，因为QB=2，所以有(m-1)2+(0-1)2+(1-0)2=2⇒m=1设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，⎧DC⋅n=0⎧y=0则⎨，即⎨，⎩DQ⋅n=0令x=1，则z=-1，所以平面Q CD的一个法向量为n=(1,0,-1)，则cos<n,PB>=n⋅PB1+0+112+02+(-1)2⋅12+12+12=26=.2⨯33根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>|=6 3所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为6 3.【点评】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直.=1(a>b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，联立直线方程x-2y=m与椭圆方程+=1，()的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目21.已知椭圆C：x2y2+a2b212（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）x2y2+=1；（2）12.1612【解析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【解答】(1)由题意可知直线AM的方程为：y-3=当y=0时，解得x=-4，所以a=4，12(x-2)，即x-2y=-4.椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)过点M(2，3)，可得4+9=1，16b2解得b2=12.x2y2所以C的方程：+=1.1612(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.x2y21612可得：3(m+2y)2+4y2=48，化简可得：16y2+12my+3m2-48=0，所以∆=144m2-4⨯163m2-48=0，即m2=64，解得m=±8，= f (1) = 1 ,符合题意；当 a>1 时，可证 f '( ) f '(1) < 0 ，从而 f ' (x )存在零点 x > 0 ，使 a x max ，进而根据不等式恒成立的意义与 AM 距离比较远的直线方程： x - 2 y = 8 ，直线 AM 方程为： x - 2 y = -4 ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得： d = 8 + 4 1 + 4 = 12 5 5 ，由两点之间距离公式可得| AM |=(2 + 4)2 + 32 = 3 5 .1 12 5 △所以 AMN 的面积的最大值： ⨯3 5 ⨯ 2 5= 18 . 【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜 率、三角形的面积等问题．22.已知函数 f ( x ) = ae x -1 - ln x + ln a ．（1）当 a = e 时，求曲线 y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 f （x ）≥1，求 a 的取值范围．【答案】（1） 2 （2）[1, +∞)e -1 【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标， 最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f (x )得导函数 f ’(x ) 的单调递增，当 a=1 时由 f ’(1) = 0 得f (x ) min 1 0得 f '( x 0 ) = aex 0-1 - 1 0= 0 ，得到 f ( x ) min ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基 本不等式可以证得 (x ) ≥ 1 恒成立；当 0 < a < 1 时，研究 f (1) .即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 f (x ) ≥ 1转化为e lna + x -1 + lna + x -1 ≥ e lnx + lnx ,令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ),注意到 g (x )的单调性，进一步等价转化为 lna ≥ lnx - x + 1 ，令 h (x ) = lnx - x + 1,利用导数求得 h (x )得到关于 a 的对数不等式，解得 a 的取值范围.∴所求三角形面积为 11 1 当 a > 1 时， < 1 ，∴e 1-1 < 1 ，∴ f '( ) f '(1) = a(e a -1- 1)(a - 1) < 0, a a= 0，且当 x ∈ (0, x ) 时 f '( x ) < 0 ，当x ∈ ( x , +∞) 时 f '( x ) > 0 ，∴ a e x 0-1 = 1x【解答】（1） f ( x ) = e x - ln x + 1 ，∴ f '( x ) = e x- 1 ，∴ k = f '(1) = e - 1 . x f (1)= e + 1 ，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y - e - 1 = (e - 1)(x - 1) ,即 y = (e -1)x + 2 ,∴ 切线与坐标轴交点坐标分别为 (0,2),( -2,0) , e - 1-2 2 ⨯ 2⨯| |= 2 e - 1 e - 1;（2）解法一： f ( x ) = ae x -1- ln x + ln a ,∴ f '( x ) = ae x -1 - 1 ，且 a > 0 .x设 g ( x ) = f '( x ) ,则 g '( x ) = ae x -1 + 1 x 2 > 0,∴g(x)在 (0, +∞) 上单调递增，即 f '( x ) 在 (0, +∞) 上单调递增，当 a = 1 时， f '(1) = 0 ,∴ f (x ) min = f (1) =1 ,∴ f (x ) ≥ 1 成立.1 a∴存在唯一 x 0 > 0 ，使得 f '( x 0 ) = ae x 0-1 - 1x 00 0 x 0，∴ ln a + x 0 - 1 = - ln x 0 ，因此 f ( x )min = f ( x ) = ae x 0-1 - ln x + ln a0 0 = 1x 0 1 + ln a + x - 1 + ln a ≥ 2ln a - 1 + 2⋅ x = 2ln a + 1 >10 0 0∴ f (x ) > 1, ∴ f (x ) ≥ 1 恒成立；当 0 < a < 1 时， f (1) = a + ln a < a < 1,∴ f (1) < 1, f ( x ) ≥ 1 不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).解法二： f (x ) = ae x -1 - lnx + lna = e lna + x -1 - lnx + lna ≥ 1等价于e lna + x -1 + lna + x - 1 ≥ lnx + x = e lnx + lnx ,令 h (x ) = lnx - x + 1,则 h ' (x ) = 1令 g (x ) = e x + x ,上述不等式等价于 g (lna + x -1) ≥ g (lnx ),显然 g (x )为单调增函数，∴又等价于 l na + x -1 ≥ lnx ，即 l na ≥ lnx - x + 1 ，1 - x - 1 = x x在 (0,1) 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)<0,h(x)单调递减，∴ h (x ) m ax =h (1) = 0 ,lna ≥ 0，即a ≥ 1 ，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点评】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类 讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。
(精校版)2020年新高考全国卷Ⅱ数学高考真题文档版(海南)(答案)
【详解】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
9. CD10. ACD11. BC12. ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
22.
（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
2020年高考数学海南卷(新高考II卷)(附答案)
A. (2, +)
B.2, +)
C. (5, +)
D. 5, +)
8.若定义在 R 的奇函数 f ( x) 在 (−,0) 单调递减，且 f (2) = 0 ，则满足 xf ( x −1) 0 的 x 的取值范围
是( )
A.−1,1 3, +)
B.−3,−1 0,1
C.−1,0 1, +)
D.−1,0 1,3
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SO 2 PM2.5
0, 75 (75,115
0,150
(150, 475
（3）根据（ 2 ）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓度与 SO2 浓 度有关?
20.（12 分）如图，四棱锥 P − ABCD 的底面为正方形， PD ⊥ 底面ABCD ．设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l ． （1）证明： l ⊥ 平面PDC ； （2）已知 PD = AD = 1， Q 为 l 上的点， QB = 2 ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1.设集合 A = 2,3,5,7 ， B = 1,2,3,5,8 ，则 A B = ( )
A. 1, 3, 5, 7
B. 2, 3
C. 2, 3, 5
D.1, 2,3,5,7,8
2. (1+ 2i)(2 + i) = ( )
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
2020新高考2(海南卷)-数学-真题
2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8} 2.(12)(2)i i ++=（ ）A. 45i +B. 5iC. -5iD. 23i + 3.在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB →=（ ）A. 2CD CA +B. 2CD CA -C. 2CD CA -D. 2CD CA + 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种7.已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;10.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则C nC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为m y x n=-D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线11.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A .πsin(3x +） B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +） D. 5πcos(2)6x - 12.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A. 2212a b +≥ B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥-D. 2a b +≤ 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________14.斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.在①3ac =，②sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.22.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．。
海南数学高考真题及答案
海南数学高考真题及答案近年来，海南省数学高考真题备受关注，考生们争相探讨、总结。
下面将介绍一些相关真题及答案，供广大考生参考。
1. 客运专线设计某地规划建设一条长100km的客运专线，线路上共设置5个站点，要求在其中某两个站点之间可满足任意时刻出发客车的需要。
（1）试设计这5个站点的位置，使得只需在两个已建站点中间插建一个新站点，即可满足题意。
（2）设已建的5个站点所对应的距离为$0、x_1、x_2、x_3、x_4、100$，即站与站之间的距离依次为$0、x_1、x_2、x_3、x_4、100−x_4、100−x_3、100−x_2、100−x_1、100$ 千米，已建站点$x_1、x_2、x_3、x_4$已给出，请求新设计的站点对应的位置。
解答：（1）解：如下图所示，$\angle ABC=90^\circ$。
因此，我们可以将站点依次连起来：$25、50、75、100$，以$25$、$100$中点$62.5$处插入新站点$E$。
（2）解：根据题意得到下列方程组：\[\left\{\begin{array}{l}x_1=25 \\x_2=37.5 \\x_3=50 \\x_4=62.5\end{array}\right.\]得到新设计的站点对应的位置是：$37.5$千米。
2. 函数中的初等函数与常数如图是函数$y=\dfrac{1}{b}x^3+ax(0 \leq x \leq 1)$图象的示意图，其中$a>0$，$b>0$。
（1）当$a$取何值时，函数在$[0,1]$中至少有一个零点。
（2）请分别将$b, a$表示成$b, f(a)$的形式。
解答：（1）解：函数$y=\dfrac{1}{b}x^3+ax$在$0$和$1$处均为零点，即当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=0$。
由此可得出$a=−1$时，函数在$[0,1]$中至少有一个零点。
（2）解：将$b, a$表示成$b, f(a)$的形式。
2020年海南高考数学试卷(详细解析版)
处的水平面所成角为 BAC ，因为 OA AC ， AB OB ，所以 BAC AOB ，由已知
AOB 40 ，所以 BAC 40 ，故选 B
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%
的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
0Hale Waihona Puke 或xf0 (x 1)
0
，
由
x
f
0 (x 1)
0
解
得
1
x
3
，
由
x 0
f
(x
1)
0
解得
1
x
0
综上所述 xf (x 1) 0 解集为[1, 0] [1,3] ，故选 D
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线 图，下列说法正确的是（ ）
1.设集合 A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8},则 A B =（ ）
A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. { 2，3，5} D.{1，2，3，5，7，8} 答案：C 解析：由交集的定义，可知集合 A，B 中的公共元素有 2，3，5，故选 C
2. (1 2i)(2 i) =（ ）
B.3 种
C.6 种
D.8 种
答案：C 解析：两个村有一个村有两名志愿者，一个村有一名志愿者，先考虑有一名志愿者的村，有两种选
择，选定有一名志愿者的村后，再从 3 名学生中选择一名学生，有 3 种方法，故共有 2 3 6 种方
2024年新高考II卷数学高考真题(原卷+答案)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II 卷）（适用地区:辽宁、重庆、海南、山西、新疆、广西、贵州、黑龙江、甘肃、吉林、云南）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 已知1i z =−−，则z =（ ）A. 0B. 1C.D. 22. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题D. p ⌝和q ⌝都是真命题3. 已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b −⊥，则b =（ ）A12B.2C.2D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并整理如下表根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A.221164x y +=（0y >） B. 221168x y +=（0y >）..C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）6. 设函数2()(1)1f x a x =+−，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1−B.12C. 1D. 27. 已知正三棱台111ABC A B C 的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A.12B. 1C. 2D. 38. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ） A.18B.14C.12D. 1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =−，下列说法中正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同的零点B. ()f x 与()g x 有相同的最大值C. ()f x 与()g x 有相同最小正周期D. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C. 当||2PB =时，PA AB ⊥D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11. 设函数32()231f x x ax =−+，则（ ） A. 当1a >时，()f x 有三个零点 B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________. 13. 已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=_______. 14. 在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．的四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 2A A +=． （1）求A ．（2）若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16. 已知函数3()e x f x ax a =−−．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17 如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．.18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19. 已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P −作斜率为k直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . （1）若12k =，求22,x y ； （2）证明：数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.的参考答案1. 【答案】C【详解】若1i z =−−，则z ==故选：C. 2. 【答案】B【详解】对于p 而言，取=1x −，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 3. 【答案】B【详解】因为()2b a b −⊥，所以()20b a b −⋅=，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=， 所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选：B. 4. 【答案】C【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误； 对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100−=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300−=，最小为1150950200−=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误. 故选；C. 5. 【答案】A【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '， 因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>， 即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6.【答案】D【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +−=+，可得21cos a x ax −=+， 令()()21,cos F x ax a G x x =+−=，原题意等价于当(1,1)x ∈−时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上， 可得()()00F G =，即11a −=，解得2a =， 若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +−=因为()1,1x ∈−，则220,1cos 0x x ≥−≥，当且仅当0x =时，等号成立， 可得221cos 0x x +−≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +−=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 所以2a =符合题意； 综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =−=+−−∈−，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x −=−+−−−=+−−=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0， 即()020h a =−=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+−∈−，又因为220,1cos 0x x ≥−≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立， 即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意； 故选：D.7. 【答案】B【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11333AD,A D ，可知1111316693,23222ABCA B C SS =⨯⨯⨯==⨯⨯= 设正三棱台111ABCA B C的为h ，则(11115233ABC A B C V h −==，解得3h =， 如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则22211163AA AM A M x ，23DN AD AM MN x ，可得1DD ==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD −⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得3x =， 所以1A A 与平面ABC 所成角的正切值为11tan 1A MA AD AM；解法二：将正三棱台111ABCA B C 补成正三棱锥−P ABC ，则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABC V V −−=，可知1112652273ABC A B C PABC V V −−==，则18P ABC V −=， 设正三棱锥−P ABC 的高为d，则116618322P ABC V d −=⨯⨯⨯⨯=，解得d =，取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC，且AO = 所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1POPAO AO∠==. 故选：B.8. 【答案】C【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+， 令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−； 若−≤−a b ，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b −<−<−，当(),1x a b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b −=−，当(),1x b b ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈−+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b −=−，符合题意；若1a b −>−，当()1,x b a ∈−−时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b −=−，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =−=时，等号成立，所以22a b +最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞−+， 令0x a +=解得x a =−；令ln()0x b +=解得1x b =−；则当(),1x b b ∈−−时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a −+≤；()1,x b ∞∈−+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a −+≥；故10b a −+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =−=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12.的故选：C.9. 【答案】BC【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点， 令π()sin(2)04g x x =−=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点， 显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ， ()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k −=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC 10. 【答案】ABD【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x −，A 的圆心(0,4)到直线=1x −的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P −，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B −，42201PA k −==−−，4220(1)ABk −==−−， 不满足1PA AB k k =−；当(1,2)P −时，(0,4),(1,2)A B −，4(2)601PA k −−==−−，4(2)60(1)AB k −−==−−， 不满足1PA AB k k =−；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k −=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y −+=， 2164301360∆=−⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t −，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t −+=，2164301360∆=−⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD11. 【答案】AD【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=−=−，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈−⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞−+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =−<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a −=−−<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a −<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a −上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=−，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴， 即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =−， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x −+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x −展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x −=−，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =−，若存在这样的a ，使得(1,33)a −为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +−=−，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +−=−++−−−+=−+−+−，于是266(126)(1224)1812a a x a x a −=−+−+−即126012240181266a a a a −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =−+，2()66f x x ax '=−，()126f x x a ''=−，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD 12. 【答案】95【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =−⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯−+⨯=. 故答案为：95.13.【答案】3−【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===−−，因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈， 则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈， 又因为()tan 0αβ+=−<， 则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<， 则()()sin cos αβαβ+=−+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin 3αβ+=−. 法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β==，则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos 3αβ=====−故答案为：3−.14. 【答案】 ①. 24 ②. 112【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；11215.【答案】（1）π6A =（2）2++【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A +=可得1sin cos 122A A +=，即sin()1π3A +=， 由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A −+=⇔=，解得cos 2A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A =+==+， max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan 3A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅=+=， 根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔=，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+，整理可得，2222(2(20((2t t t −+==−，解得tan22At ==22tan 1t A t ==−， 又(0,π)A ∈，故π6A = 【小问2详解】由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =−−=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =−−=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b A B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412b c==，解得b c ==故ABC的周长为2++16. 【答案】（1）()e 110x y −−−= （2）()1,+∞ 【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +−>，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=−xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +−>，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =−−，()e 1xf x '=−，可得(1)e 2f =−，(1)e 1f '=−，即切点坐标为()1,e 2−，切线斜率e 1k =−，所以切线方程为()()()e 2e 11y x −−=−−，即()e 110x y −−−=. 【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=−x f x a ， 若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =−−，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =−−<，即2ln 10a a +−>，构建()2ln 1,0g a a a a =+−>，则()120g a a a+'=>， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +−>等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,∞+；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=−x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=−xf x a 有零点，令()e 0xf x a '=−=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =−−，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =−−<，即2ln 10a a +−>，构建()2ln 1,0g a a a a =+−>，因为则2,ln 1y a y a ==−在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +−>等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,∞+.17. 【答案】（1）证明见解析 （2）65【小问1详解】由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ===, 所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥， 所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PEDE E PE DE =⊂、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ， 故EF ⊥PD ； 【小问2详解】连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=， 在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=， 所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,ECEF E EC EF =⊂、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz −，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A −， 由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(3,33,23),(0,33,23),(4,23,23),(2,0,PC PD PB PF =−=−=−=−， 设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z mx y z ==，则1111130330nPC x n PD ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===−=，所以(0,2,3),(3,1,1)n m ==−，所以1cos ,655m n m n m n ⋅===⋅，设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin 65θ==，即平面PCD 和平面PBF 所成角的正弦值为65.18.【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=−−⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=−−⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =−−=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=−−⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=−−⋅⎣⎦乙，0p q <<，3333()()P P q q pq p p pq ∴−=−−−+−甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=−+++−⋅−+−+−−⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =−−−3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =−−−=−−−−>，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==−+−−⋅−⎣⎦， ()()()3213511C 1P X p q q ⎡⎤==−−⋅−⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==−−⋅−⎣⎦， 33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==−−⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=−−=−+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理()32()1533E Y q q q p =−+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴−=+−−−15()(3)p q pq p q =−+−，因为0p q <<，则0p q −<，31130p q +−<+−<， 则()(3)0p q pq p q −+−>，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19.【答案】（1）23x =，20y =（2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】由已知有22549m =−=，故C 的方程为229x y −=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y −=联立得到22392x x +⎛⎫−= ⎪⎝⎭. 解得3x =−或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q −，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =. 【小问2详解】由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =−+，与229x y −=联立，得到方程()()229n n x k x x y −−+=.展开即得()()()2221290n n n n kxk y kx x y kx −−−−−−=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =−+和229x y −=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k−−−=−=−−，相应()2221n n nn n y k y kx y k x x y k+−=−+=−. 所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫−−+− ⎪−−⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x−−−−，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n n n x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+−+− ⎪−−⎝⎭. 这就得到21221n n n n x k x ky x k ++−=−，21221n n nn y k y kx y k ++−=−. 所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k+++−+−−=−−− ()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=−=−=−−−−−. 再由22119x y −=，就知道110x y −≠，所以数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列. 【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =，(),UW c d =，则12UVWS ad bc =−.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：211sin ,1cos ,22UVWSUV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅−()222211122UV UW UV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅⎪=⋅−=⋅−⋅ ⎪⋅⎭==12ad bc ===−. 证毕，回到原题.的由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++−=−，21221n n nn y k y kx y k++−=−， 故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=−−−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−， 故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S Sx x y y y y x x ++++++++==−−−+−− ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=−−−−− ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=−+−−− 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−+−+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.。
2024年海南高考数学试题(含答案)
2024年海南高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （ ）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。
2019年海南省高考数学试题及答案(理科)
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 f (x) | x a | x | x 2 | (x a).
（1）当 a 1时，求不等式 f (x) 0 的解集；
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得
4(an1
bn 1 )
2(an
bn )
，即
an1
bn1
1 2
(an
bn
)
．
又因为a1+b1=l，所以 an
bn
是首项为1，公比为
1 2
的等比数列．
由题设得 4(an1 bn1) 4(an bn ) 8 ，
有引力定律，r 满足方程：
M1 (R r)2
M2 r2
(
R
r
)
M1 R3
.
设
r R
，由于
3 3 3 4 5 的值很小，因此在近似计算中 (1 )2
3 3 ，则
r 的近似值为
A．
M2 R M1
B．
M2 R 2M1
C．
3
3M 2 M1
R
D．
3
M2 3M1
R
5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高
（i）证明： △PQG 是直角三角形；
（ii）求 △PQG 面积的最大值.
1．A 2．C 3．C 6．C 7．B 8．D 11．A 12．B 13．0.98
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（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲
ห้องสมุดไป่ตู้
看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字
是
（16）若直线 y = kx + b 是曲线 y = ln x + 2 的切线，也是曲线 y = ln ( x +1) 的切线，b =
参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为 （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
学海无涯
（7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 π 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 12
学海无涯
二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题
卡中的横线上).
（13） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A = 4 ， cos C = 5 ， a =1，
5
13
则b =
．
（14） ， 是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题：
18.（本题满分 12 分） 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年 度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
（A） −8
（B） −6
（C）6
（D）8
（4）圆 x2 + y2 − 2x − 8y +13 = 0 的圆心到直线 ax + y −1 = 0 的距离为 1，则 a=
（A） − 4 3
（B） − 3 4
（C） 3 （D）2
（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓
学海无涯
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）
理科数学
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
（1）已知 z = (m + 3) + (m −1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是
（A） (−3，1)
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
学海无涯
19.（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，
（A） x = kπ − π (k Z) （B） x = kπ + π (k Z)
26
26
（C） x = kπ − π (k Z) （D） x = kπ + π (k Z)
2 12
2 12
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算
法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 x = 2 ， n = 2 ，依次
AE=CF= 5 ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ DEF 的位置， OD = 10 . 4
（I）证明： DH ⊥ 平面 ABCD； （II）求二面角 B − DA − C 的正弦值.
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 E: x2 + y2 = 1的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 t3
yn ，构成 n 个数对 ( x1, y1 ) ，( x2 , y2 ) ，…，( xn , yn ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为
（A） 4n m
（B） 2n m
（C） 4m （D） 2m
n
n
（11）已知 F1 ， F2 是双曲线
E：
x a
x
m
为 ( x1 ，y1 ) ， ( x2 ，y2 ) ，⋯， ( xm ，ym ) ，则 ( xi + yi ) = （ ） i =1
（A）0
（B）m
（C）2m
（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22~24 题为选考题，考生根据要求作答．
．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 12 分）
Sn 为等差数列an 的前 n 项和，且 an =1，S7 = 28.记 bn =lg an ，其中x 表示不超过 x
的最大整数，如 0.9 =0，lg 99 =1 .
（I）求 b1，b11，b101 ；
（II）求数列bn 的前 1 000 项和.
2 2
−
y2 b2
= 1 的左，右焦点，点 M
在E
上， MF1 与 x 轴垂直，
sin
MF2 F1
=
1 3
,则 E 的离心率为
（A） 2
（B） 3 2
（C） 3
（D）2
（12）已知函数 f ( x)( x R) 满足 f (−x) = 2 − f ( x) ，若函数 y = x + 1 与 y = f ( x) 图像的交点
（B） (−1，3)
（C） (1, +)
（D） (-，− 3)
（2）已知集合 A = {1 , 2 , 3} ， B = {x | (x +1)(x − 2) 0 ，x Z} ，则 A B =
（A） 1
（B） {1，2}
（C） 0 ，1，2 ，3
（D）{−1，0 ，1，2 ，3}
（3）已知向量 a = (1, m) ，b=(3, −2) ，且 (a + b) ⊥ b ，则 m=
输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s =
（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（9）若
cos
π 4
−
=
3 5
，则
sin
2
=
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） − 1 5
−7 25
（D）
（10）从区间 0 , 1 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 ，…，xn ，y1 ，y2 ，…，