经济数学(导数微分)
《经济数学基础》主要公式
《经济数学基础》主要公式一、两个重要极限○10sin lim 1x x x→=,或0lim 1sin x xx →=;它的推广形式:sin ()lim1()u x u x =,(其中()0u x →) ○210lim(1)xx x e →+=,或1lim(1)x x e x→∞+=;它的推广形式:若()0u x →且lim ()()u x v x A =,则()lim[1()]v x A u x e +=。
③常用的等价无穷小量()0u x →时,()sin ()~()u x u x 、()tan ()~()u x u x 、()1~()u x e u x -、()l n 1()~(u x u x +()~(0)2u x a a a>二、导数及微分1.导数的定义x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000,000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→记作:()f x ',y ',dy dx ,()df x dx在函数)(x f 任意一点x 导数的定义:x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(00()()()lim h f x h f x f x h →+-'=2.微分的定义()dy y dx f x dx ''==3.导数及微分主要公式:1︒.()0C '=; 0dC = (C 为任意常数) 2︒.1()x xααα-'=; 1()d x xdx ααα-= (α为任意实数)3︒.()ln x xa a a '= ln x x da a adx = (0,1a a >≠)特别地()x xe e '= x xde e dx =4︒.1(log )ln a x x a '=1(log )ln a d x dx x a =(0,1a a >≠) 特别地1(ln )x x '= 1(ln )d x dx x=5︒.(sin )cos x x '= (sin )cos d x xdx = 6︒.(cos )sin x x '=- (cos )sin d x xdx =-7︒.221(tan )sec cos x x x '== 221(tan )sec cos d x xdx dx x== 8︒.221(cot )csc sin x x x '=-=- 221(cot )csc sin d x xdx dx x=-=-4.复合函数求导法则:若函数()u u x =在点x 可导,函数()y f u =在点u 处可导,则复合函数(())y f u x =在点x 可导,且:0()u u x dy dy dudx du dx==⋅ 或记作[])())(())((x u x u f x u f '⋅'='α5.常用的复合函数求导公式:1︒.)())((]))([(1x u x u x u '⋅='-ααα (α为常数)2︒.)(ln )()()(x u a a a x u x u '⋅=' 特别地:)()()()(x u e e x u x u '⋅=' 3︒.)(ln )(1))((log x u a x u x u a '⋅=' 特别地:)()(1))((ln x u x u x u '⋅='4︒.)())(cos(]))([sin(x u x u x u '⋅=';)())(sin(]))([cos(x u x u x u '⋅-=' 6.求导与微分的基本法则设()u u x =,()v v x =,()w w x =均可微;,a b 是任意常数,则 1︒.()au bv au bv '''±=±; ()d au bv adu bdv ±=± 2︒.()u v u v uv '''⋅=+; ()d u v vdu udv ⋅=+3︒.2()u u v uv vv ''-'=; 2()u vdu udvd v v -= 特别地:21()v v v ''=-; 21()dvd v v=-4︒.()uvw u vw uv w uvw ''''=++ ()d uvw vwdu uwdv uvdw =++ 7.隐函数的导数设方程(,)0F x y =确定隐函数()y y x =,求y '(或00x x y y y ==')的步骤:1︒、方程(,)0F x y =两边同时对x 求导数,求导过程中视y 为中间变量,得到含有y '的一个方程;2︒、从上述方程中解出y '(或将00,x x y y ==代入上述含有y '的方程,化简并解出0x x y y y ==')8.曲线()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-9.导数的应用 (1)单调性1︒.设函数()y f x =在区间I 上(内)连续,在I 内()0f x '>,则函数()f x 在区间I 上(内)单调增加;2︒.设函数()y f x =在区间I 上(内)连续,在I 内()0f x '<,则函数()f x 在区间I 上(内)单调减少。
经济数学2知识点总结
经济数学2知识点总结经济数学是研究经济问题的一门交叉学科,它将数学理论和方法应用于经济学中的各种问题,如生产、消费、交换、分配等。
经济数学2是经济数学的深入学习阶段,相较于经济数学1,它更加注重数学知识的应用和理论的深入探讨。
在这篇文章中,我将对经济数学2中的一些重要知识点进行总结和分析。
1.微积分微积分是经济数学中最为基础和重要的知识之一。
它包括导数和积分两个部分。
在经济学中,微积分可以帮助我们理解和分析边际效用、边际成本等概念。
通过对函数的导数和积分运算,我们可以求解最优化问题,从而得到最大化利润、最小化成本等经济问题的解答。
在微积分中,常见的一些概念包括极值、微分方程、不定积分和定积分等。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点,它在经济学中常用于分析生产函数、效用函数等。
微分方程是用来描述经济现象中变化规律的数学工具,比如经济增长模型、资本积累模型等都可以通过微分方程进行描述。
不定积分和定积分则可以帮助我们计算函数的面积、求解曲线下的总收益等经济问题。
2.线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支,它在经济数学中有着广泛的应用。
在宏观经济学中,线性代数可以帮助我们理解多变量线性回归模型、宏观经济模型等。
在微观经济学中,线性代数可以帮助我们理解边际分配、成本和收益的计算等问题。
线性代数中的一些重要概念包括向量、矩阵、行列式、特征值特征向量等。
向量是指具有大小和方向的量,在经济学中可以用来表示市场需求、供给等。
矩阵是一个矩形的数学对象,它可以用来表示多个变量之间的线性关系,比如投入产出矩阵就可以用来表示不同产业之间的投入和产出关系。
行列式可以帮助我们判断矩阵的可逆性和求解线性方程组的解。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的对角化和矩阵的性质。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是经济数学中另外一个重要的基础知识。
它可以用来描述和分析经济现象中的随机性和不确定性。
在经济学中,很多经济现象都是受到随机因素的影响的,比如金融市场的波动、消费者的购买行为等。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益(函数).
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益(函数).
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品,总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品,总利润不再增加.
很小时)的关
即 当需求价格弹性大于1时,应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时,应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时,当价格变化时, 总收益不变.
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性,并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义: P=2时,价格上涨1%,需求量将下降0.25% P=5时,价格上涨1%,需求量将下降1% P=6时,价格上涨1%,需求量将下降1.5%
销售策略: 当0<P<5时,宜采取提高价格,增加收益
当5<P<10时,宜采取降低价格,增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
,求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为,
求:(1)生产900个单位的总成本和平均成本; (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
经济数学 第三章
(9) :
(10) :
(11) :
(12) :
2. 若函数 ,且 ,求 。
解: 。
3. 证明:
(1)可导的偶函数的导数是奇函数。
证明:设 为偶函数且可导,则有 ,两边对 求导,有 ,即 ,得证。
(2)可导的奇函数的导数是偶函数。
证明:设 为奇函数且可导,则有 ,两边对 求导,有 ,即 ,得证。
第三章 导数与微分习题答案
练习题3.1
1. 根据导数定义,求下列函数的导数:
(1) ,求 。
解: 。
(2) ,求 。
解: 。
2. 求抛物线 在点 处的切线方程和法线方程。
解:在 处的切线斜率为 ,法线斜率为 ,
在 处的切线方程为 ;法线方程为 。
3. 为何值时, 与 相切?
(1) : ,
(2) : ,
6. 利用对数求导法求下列函数的导数:
(1) : ,
(2) : ,
()
;
(4) :
7. 求下列函数的高阶导数:
(1) ,求 。
解: , 。
(2) ,求 。
解: ,
。
(3) ,求 。
解: ,
(4) ,求 。
4. 一球在斜面上向上滚,在 s末与开始的距离为 m,其初速度是多少?何时开始向下滚?
解: ,当 时,初速度 ;当 ,即 时,开始向下滚动。
5. 一矩形两边长分别用 来表示,若 边以 m/s的速度减少, 边以 m/s的速度增加,求在 m, m时矩形面积的变化速度积对角线的变化速度。
解:矩形的面积 , ;
解:切线的斜率为 ,切线过 点,则切线方程为 ,法线方程为 。
最新经济数学第三章导数
f'(x)lim f(x x)f(x)
x 0
x
则称f (x)在区间 (a,b)上可导,上述极限 数为函 f (x)在区间 (a,b)上的导函数,简称导数
微积分 第三章 导数与微分
9
例 .已 知 yx3,求 f'(x)
解 f'(x)limf(x x)f(x)
x 0
x
(xx)3 lim
x3
x0
calculus
x, x 0
解 f(x)|x| x, x 0
f(
0
)
limf(x)f(0)
x0
x0
lim
x0
x0 x
1
f( 0 )
f(x)f(0)
lim
x0
x0
lim
x0
x0 x
1
f(0) f(0)
所以,函数 f(x)| x| 在 x 0 处不可导.
思考 什 么 情 况 下 必 须 用 左 右 导 数 f ( x 0 ) , f ( x 0 ) 来 确 定 f ' ( x 0 ) ?
微积分 第三章 导数与微分
16
五、可导性与连续性的关系
calculus
定理2.1 若函数 y f (x)在 x 0 处可导,则必连续 .
事实上, 因 y f (x) 在 x 0 处可导,
即
f
(x0)
lim
x0
y x
l i m y lim y x
x 0
x0 x
y
lim limx 0
x x0
经济数学第三章导数
§3.1 导数的概念
一、引例
calculus
引例1、变速直线运动的瞬时速度
经济数学基础
经济数学基础微积分第一编微分学第二编一元函数积分学线性代数第一编微分学第1章函数第2章极限、导数与微分第3章导数应用第1章函数1.1 函数概念1.2 几类基本初等函数1.3 函数的运算1.4 利息与贴现(略)1.5 经济分析中常见的函数1.1 函数概念1.定义2.几点解释3.基本属性2.几点解释(1)记号(2)两要素(3)单值性(4)图形(5)表示法()y f x=定义域、对应规则一个x只有一个y与之对应解析法、图示法、表格法定义域1)分母≠02)被开偶次方根的数≥03)真数>04)三角函数的定义域列出不等式(组)后解不等式(组)tan ,2cot ,y x x k k Zy xx k k Z πππ=≠+∈=≠∈3.基本属性(1)单调性(2)奇偶性(3)有界性(4)周期性(1)单调性()()()()()()12121212, , x x D f x f x f x x x D f x f x f x ∀<∈∃<∀<∈∃>则称函数单调增加则称函数单调减少(2)奇偶性()()()()()() f x f x f x f x f x f x -=--=则称函数为奇函数则称函数为偶函数(3)有界性()()()()0f x M M f x M f x M M ≤-≤≤>,即则称函数有界显然,注:不是唯一的(4)周期性()()() f x T f x f x T +=则称函数为周期函数注:不是唯一的,其中最小的正数称为最小正周期,简称周期。
1.2 几类基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数(略)1.常数函数y c=yxcy c=2.幂函数y xα=0(1,1)yxq x() = x-1h x() = x3g x() = x2f x() = x()0,1xy aa a =>≠(0,1)y=(12)xy=2xyx()log 0,1a y x a a =>≠(1,0)ln y x=1lny x=Oxy5.三角函数y=t a n xy=c o s xy=s in xyx1.3 函数的运算1.复合()()(),,y u u x y x y f u u x y f x ϕϕ===⎡⎤⎣⎦是的函数,是的函数,则是的函数,即则2.初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而得到的能用一个式子表示的函数1.5 经济分析中常见的函数1.需求与供给①需求函数②供给函数③供需平衡点2. 成本、收入、利润①成本②收入③利润()0,0d q aq b a b =+<>()11110,0s q a q b a b =+><d sq q =①成本()()()()0C q c c q C q C q q=+=+==总成本固定成本变动成本总成本平均成本产量②收入()()()()R q q p R q q pq=⨯==⋅收入产价格不变时:量销售量价格③利润()()()()()()0 0 ()0 L q L L q R q C q L q q ==>-=<盈利盈亏平利润收入衡-本本保成亏损第2章极限、导数与微分2.1 极限的概念2.2 极限的运算2.3 函数的连续性2.4 导数与微分的概念2.5 导数计算2.6 高阶导数2.1 极限的概念1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限2. 左右极限3. 极限存在定理4. 无穷小量(1)数列的极限“一尺之棰,日截其半,万世不竭”──庄子·天下11111,,,,,,2482n 12n n 当无限增大时,越来越接近于(1)数列的极限{}{}(), lim n n n n n n x n x A n x A x A x A n →∞=→→∞数列当无限增大时,无限地接近于某个固定的常数则称趋于无穷时,数列或以为极限,记作(2)函数的极限①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值的情形①自变量趋于无穷xy观察函数1y x=()()()lim lim lim x x x f x f x f x →+∞→∞→-∞⎧⎪⎨⎪⎩②自变量趋于有限值观察函数211x y x -=-()()()0lim lim lim x x x x x x f x f x f x +-→→→⎧⎪⎨⎪⎩0x yx32132012.左右极限()()00lim lim x x x x f x L f x R-+→→==左极限右极限3. 极限存在定理()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A-+→→→⇔===函数在某一点的左、右极限都存在且相等称函数在这点的极限存在4.无穷小量10sin 10sin x x xx x x→→ 如:时是无穷小量时,无穷小,而有界极限为零的量叫无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方以后求极限等于先求极限再进行加、减、乘、除、乘方、开方()00lim lim x x x x x C C x x →→→∞==2.求极限的方法:①无穷小量性质()()0→∞→∞有界即无穷大量趋近于0有界即无穷小量趋近于00x x x ②当时,将代入后计算2.求极限的方法:因式分解或分子(分母)有理化,约去零因子后,代入计算0x 0若将代入后为“”型2.求极限的方法:x x ∞→∞∞③当时,将代入后为“”型分子分母同除以的最高次结果有三种:分子次数高:∞分母次数高:0分子分母次数同:最高次的系数比x2.求极限的方法:④两个重要极限()010sin lim 11lim 1lim 1xz x zx z x e x xe →→∞→=⎛⎫→+=+= ⎪⎝⎭3.注意区分0sin lim 1sin lim 01sin x x x xx xx x x →→∞==⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭时,是无穷小,有界1.连续:简单讲就是函数在某点的极限等于该点的函数值()()0lim x x f x f x →=()()()()()()()0000000 lim lim lim li m x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x -+-+→→→→====连续左连续右连续2.间断点:不连续的点就是间断点存在三种情况:()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x →→≠①不存在②不存在③x 02.4 导数与微分的概念1.引入导数的概念的实例2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率(弹性)6.微分的定义①平均速率()()()()1010100000,0lim t s v t t t t t tts t s t s t t s t v t tst tv t ∆→∆=∆=-=+∆∆-+∆-==∆∆∆∆→∆,令当时,如果极限存在,即为时刻的瞬时速率②切线问题()()()()1010100000tan ,tan 0lim tan x yxx x x x x x f x f x f x x f x xxyx xx ααα∆→∆=∆∆=-=+∆-+∆-==∆∆∆∆→∆割线的斜率令当时,如果极限存在,即为处切线的斜率①函数在某一点的导数()()()0000000000lim lim x x x x x x x x f x x f x yx xx x dfdy f x y dxdx∆→∆→===+∆-∆=∆∆''极限存在,称函数在点处可导,极限值为处的导数,记作或或或注:若是左极限,则为左导数若是右极限,则为右导数②导函数()()()()()()(),,y f x a b x f x f x x y f x a b df dyf x y dx dx=''=''如果函数在区间内每一点都可导,则每取一个,都有一个导数与之对应,也就是说也是的一个函数,称其为函数在区间内的导函数,记为或或或,也简称为导数3. 导数的几何意义函数在某一点的导数,就是函数在这点切线的斜率4. 可导与连续的关系可导一定连续连续不一定可导5. 函数的相对变化率函数的相对变化率─ ─弹性()E ()()()()0000000000lim lim x x x xy y x x y Ef x x x y f x x x xEf x y f x y∆→∆→∆∆'==⋅=∆∆''==⋅()1%%xx f x E含义:当产生的改变时, 近似地改变6. 微分的定义dydy y dx y dx''=→=()()()()000000,,x x x x x x y f x x f x x x dydyf x xdx x x x dyf x dx===='∆'=∆''=∆=∆∴= 若函数在点处可导,则称为函数在点处的微分,记作即2.5 导数计算1.导数(微分)的四则运算法则2.复合函数求导法则3.隐函数求导4.基本初等函数求导公式。
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结经济学与数学是密不可分的,因为经济学需要运用各种数学模型来帮助其分析经济现象。
在这篇文章中,我们将探讨一些常见的经济数学知识点,包括微积分、统计学和线性代数。
一、微积分微积分是经济学中最常见的数学工具之一。
它的主要功能是帮助经济学家分析变化,特别是在研究某一经济现象的变化时。
微积分主要包括导数、极限和积分等几个方面。
导数是微积分中最基础的概念,它可以帮助经济学家计算某一函数的斜率,以及该函数的变化率。
在经济学中,导数通常用于研究企业的边际成本与边际收益,或者预测某一产品的需求量。
另一个常见的微积分概念是极限。
极限用于描述当变量趋近于某一值时的行为。
在经济学中,经济学家可以使用极限来分析某一市场的饱和度,或者预测某一商品的价格变化趋势。
积分是微积分中的另一个重要概念。
它可以帮助经济学家计算某一函数在某一区间内的总量。
在经济学中,积分通常被用于计算某一市场的总需求或者总供应量。
二、统计学统计学是经济学中另一个重要的数学工具。
它主要用于分析数量数据,并通过分析数据来得出有关某一经济现象的结论。
在统计学中,最常见的概念是平均数、标准差和相关性等。
平均数是统计学中最基础的概念之一,它可以用来描述数据的中心位置。
在经济学中,平均数通常被用于计算某一市场的平均价格或者企业的平均成本。
标准差是用于衡量数据变异程度的概念。
在经济学中,标准差通常被用于评估某一市场的供需平衡,或者企业生产和销售的波动率。
相关性是用于描述两个变量之间关系的概念。
在经济学中,相关性可以帮助经济学家研究市场中不同商品之间的关系,或者预测某一商品对某一事件的反应。
三、线性代数线性代数是用于研究线性方程组的数学学科。
在经济学中,线性代数主要用于研究包含多个变量的经济模型。
在线性代数中,最常见的概念是矩阵、向量和线性方程组等。
矩阵是用于在线性代数中表示多个变量的数学概念。
在经济学中,矩阵通常被用于表示市场中多种商品的供需情况,或者企业中多个生产要素的投入产出情况。
经济数学大一知识点总结
经济数学大一知识点总结经济数学是经济学专业的重要基础课程之一,它运用数学方法和技巧来解决经济学中的问题,对于经济学家和经济决策者具有重要意义。
本文将对大一学期经济数学的主要知识点进行总结和归纳,以便帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、微积分基础1.1 极限与连续在微积分中,极限是一个核心概念,它刻画了函数在某一点附近的局部性质。
了解极限的概念和性质对于理解微积分的其他内容至关重要。
同时,连续函数是微积分中的一个重要概念,它描述了函数在一个区间上的平滑性。
1.2 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念,用于描述函数在某一点处的变化率。
研究导数的概念和性质能够帮助我们分析函数的极值、曲线的切线以及函数的增减性等问题。
微分是导数的一种运算,它在实际问题中有广泛的应用。
1.3 积分与不定积分积分是微积分中的另一个核心概念,它描述了函数在一个区间上的累积效果。
了解积分的概念和性质对于理解微积分的其他内容非常重要。
不定积分是积分的一种形式,它可用于求解函数的原函数。
二、线性代数基础2.1 矩阵与向量矩阵是线性代数中的一个重要概念,它用方阵来表示。
学习矩阵的运算、性质和特征可以帮助我们理解矩阵在经济学中的应用。
向量是矩阵的一种特殊形式,与矩阵有着密切的关系。
2.2 线性方程组与矩阵运算线性方程组是线性代数中的一个重要问题,它描述了一组线性关系。
我们可以通过矩阵运算的方法来解决线性方程组,例如高斯消元法和矩阵的逆运算等。
2.3 特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念,它们对于理解矩阵的性质和应用具有重要作用。
研究特征值与特征向量的性质和计算方法可帮助我们解决一些实际问题。
三、概率论与数理统计基础3.1 概率基础概率论是数学中的一个重要分支,用于研究随机事件的可能性。
了解概率的基本概念、性质和计算方法能够帮助我们理解经济学中的不确定性和风险问题。
3.2 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的一个核心概念,它描述了随机事件的数值结果。
大一经济数学基础复习知识点
大一经济数学基础复习知识点经济数学是经济学的一门重要辅助学科,它运用数学工具和方法来解决经济学中的问题。
在大一学期,经济数学基础是我们打下坚实经济学基础的重要一课。
下面是大一经济数学基础的复习知识点:1.微积分基础- 函数与极限:函数的定义和性质,极限的概念及计算方法。
- 导数与微分:导数的定义和性质,常用函数的导数和微分法则。
- 积分与不定积分:不定积分的定义和性质,常用函数的积分法则。
2.微分方程- 一阶微分方程:可分离变量、线性、齐次和非齐次一阶微分方程的求解方法。
- 高阶微分方程:常系数线性齐次和非齐次高阶微分方程的求解。
3.矩阵与行列式- 矩阵的基本概念:矩阵的定义,矩阵的运算(加法、数乘、乘法)。
- 行列式:行列式的定义和性质,行列式的计算方法。
4.最优化问题- 函数的极值:极大值和极小值的定义,求解函数极值的条件和方法。
- 线性规划:线性规划问题的基本概念和解法。
5.微分与一元函数的应用- 弹性:边际效应和弹性的概念,计算边际效应和弹性的方法。
- 最优化问题:求解边际收益等于边际成本的最优产量问题。
6.总体与样本统计- 统计量:样本均值、样本方差的概念和计算方法。
- 抽样分布:样本均值、样本方差的抽样分布。
7.相关与回归分析- 相关系数:相关系数的计算与解释,相关系数的性质。
- 简单线性回归:简单线性回归模型的建立与估计。
8.概率论基础- 概率的基本概念:事件、样本空间、概率的定义和性质。
- 随机变量:随机变量的定义,离散型和连续型随机变量的概率分布。
- 期望和方差:随机变量的期望和方差的计算方法。
以上是大一经济数学基础的复习知识点,通过对这些知识点的复习和理解,我们能够更好地应用数学工具和方法解决经济学中的实际问题,为我们的学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真复习,并在复习过程中加强对理论的理解与应用。
祝大家学业顺利!。
大一经济数学第一章知识点
大一经济数学第一章知识点经济数学作为一门交叉学科,旨在应用数学方法解决经济问题。
在大一的经济数学课程中,第一章涵盖了一些基本的数学知识点,为后续学习奠定了基础。
本文将从四个方面简要介绍这些知识点。
一、函数与方程在经济数学中,函数是一种基本的数学概念。
所谓函数,即将一个或多个数值输入映射为一个数值输出的关系。
常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数等。
而方程则是函数的一种特殊情况,指的是将一个函数等于某个给定的数值的情况。
学习这些函数与方程的基本性质,可以帮助我们理解经济问题中的关系与变化。
二、微分与导数微分与导数是经济数学中的重要概念。
微分是指用无限小的量来描述函数的变化情况。
而导数则是函数某一点的微分值,用来表示函数在该点的变化率。
导数的概念在经济学中有广泛的应用,如边际成本、边际效用等。
三、最优化问题最优化问题是经济学中常见的问题之一,它旨在寻找满足某种条件下使得某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在大一经济数学中,常见的最优化问题包括求解一元函数的最大值和最小值,以及求解二元函数的最大值和最小值。
最优化问题的解决方法主要有解析法和数值法两种。
四、积分与面积积分与面积在经济数学中也起着重要的作用。
积分是微分的逆运算,可以用来计算函数下的面积、衡量总量等。
练习积分运算可以帮助我们理解经济学中的累计问题,如总收入、总成本等。
总之,大一经济数学第一章介绍了一些基本的数学知识点,包括函数与方程、微分与导数、最优化问题、积分与面积。
这些知识点为我们理解和分析经济问题提供了数学工具和思维方式。
在后续学习中,我们将继续深入探讨这些知识点,并将其应用到具体的经济案例中,以便更好地理解经济现象并作出有针对性的决策。
通过对经济数学的学习,我们可以发现数学在经济学中的广泛应用,提高我们的数学思维能力和经济问题解决能力,为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
《经济数学》课件 第三章 导数与微分
定 义
在曲线L上点 P0附近,再取一点P,作割线P0 P ,当点P沿曲 线L移动而趋向于P0 时,割线P0 P 的极限位置P0 T 就定义为曲线L
在点 P0处的切线.
3.1
切线的斜率为
k tan lim tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
LOGO 正文.第三章
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
|x| x
lim
x0
x x
1
左、右导数不相等,故函数在该点不可导.由此可见,函数连续是
可导的必要条件而不是充分条件.
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第二节 函数的求导法则和基本求导公式
• 一、 函数求导的四则运算法则 • 二、 复合函数的求导法则 • 三、 基本初等函数的求导公式
dx du dx
设 y f (u) ,u (v) ,v (x) ,则复合函数 y f {[ (x)]}
对 的导数是
yx yu uv vx
以上复合函数求导公式又称为链式法则,可以推广到更
多层的复合函数.
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LOGO 正文.第三章
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求第
导二
公节
式 函
数复
的合
求函
导 法 则
数
∣△t ∣很小时, v可作为物体在 t0时刻瞬时速度.即
的
概 念
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
经济数学导数知识点总结
经济数学导数知识点总结导数的概念导数是微积分中的一个基本概念,它描述了函数在某一点上的变化率。
具体来说,对于一个函数y=f(x),在点x处的导数f'(x)定义为:\[f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\]其中,\(\Delta x\)表示自变量x的增量。
导数的定义可以解释为在点x处,函数f(x)的变化率。
导数的几何意义是函数在某一点的切线的斜率,也就是说,它描述了函数在该点上的局部线性近似。
导数的应用导数在经济数学中有着广泛的应用。
首先,导数可以帮助我们分析函数的极值。
对于一个函数f(x),如果f'(x)=0,那么x就是f(x)的极值点。
这样,我们就可以利用导数来判断函数的极大值和极小值,从而进行优化问题的求解。
在经济学中,很多问题都可以被转化成寻找最优解的问题,比如生产成本最小化、利润最大化等问题,这时导数就可以派上用场。
其次,导数可以帮助我们理解经济现象。
经济学中,有一些变量之间存在着一定的关系,比如需求和价格、供给和价格等。
这些关系可以通过函数的导数来加以描述和分析。
比如,如果我们知道某个商品的需求函数,我们就可以通过导数来判断需求的弹性,从而了解价格对需求的影响。
导数还可以帮助我们理解和分析一些经济现象中的特殊现象,比如边际效用递减、边际成本递增等。
最后,导数还可以帮助我们解决一些微分方程。
微分方程在经济学中有着广泛的应用,比如消费函数、投资函数、产出函数等,它们都可以被描述成微分方程。
通过导数的概念,我们可以对这些微分方程进行求解,从而得到一些重要的经济学结论。
导数的计算方法导数的计算方法有很多种,其中最基本的是利用导数的定义进行计算。
对于一个函数y=f(x),我们可以通过极限的定义来计算它的导数。
除此之外,还有一些基本的导数公式,比如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、三角函数的导数等。
《经济数学微积分》导数
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
例如,
y
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0,
1
0, x 0
-1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
例8
讨论
f
(x)
x2 sin 1 , x 0 x
x3 , 1 x 0
函数在x=0,x=-1
x+1, x 1
处的连续性、可导性.
解 x=0处
lim x2 sin 1 0,
x0
x
lim x3 0
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
,
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
经济数学微分方程
在该区直域线的y1递下增方;,同y理2<,0.在06直y1+线1.的4,上方y1区 0域y,1递即减在。
y 2 0 的轨迹是直线y1=10 在直线的左边, y 2 0 , y2递增;右边递减。
将 y1 0 和 y 2 0 联立求解,可以得到稳态值: y1*=10,y2*=2。
定 义 zV1y, 即zz12V1yy12
原系统变为:
求解微分方程得到:
z(t)=Dz(t)+V -1x(t) z1 0.1z1 10 /14 z2 0.04 z2 9.6 /14
z1(t) 100 /14 b1e0.1t z2 (t) 240 /14 b2e0.04t
c(t)c(t)0.3k(t)0.70.06
解答:k 0 的轨迹为:c=k0.3;c 0
轨迹为k=10。 将k和c的动态结合到一起,系统的稳态是两
条轨迹的交点。稳态值:k*=10,c*=2。 系统是鞍点路径稳定的。
2019/9/24
20
c
c0
稳定臂
k0
不稳定臂
k
具有鞍点路径稳定的非线性系统的相位图
根据终端条 件得到:
l ti m e 0 .0 6 ty 1 ( t) l ti m 1 0 e 0 .0 6 t b 1 e 0 .0 4 t b 2 e 0 .1 t 0
当t趋于无穷大时,上式中第一和第三项都趋于0,除非b1等于0, 否则第二项将趋于无穷大。因此,b1=0。这意味着b2=-9。
2019/9/24
y1 0
原点是稳态。鞍点路径既不是稳 定又不是不稳定的。系统只有从 稳定臂(横轴)开始才会回到稳态。15
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第三章导数与微分这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。
本章主要讨论导数的概念、性质、运算。
对于函数的微分,在理论上和系统上都是更主要的概念,但却用的篇幅不多,似乎有点宣宾夺主。
若注意到函数的可微性和可导性等价,函数微分性的许多内容都是基于导数的。
第一节导数的概念一、问题的提出历史上,建立微积分的两个重要人物;英国的Newton和德国的Leibniz,他们虽然地处两地没有来往,分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题,就是函数的导数的概念。
1、英国的Newton从物理的角度提出质点运动的瞬时速度。
运动学中质点位移S是时间t的函数)(t S。
在匀速运动时,],t[t0时段上的平均速度0t t t S t S v --=)()(。
而在变速运动时,显然速度v 也是时间t 的函数)(t v 。
那么0t 时点的瞬时速度该如何刻划呢?Newton 用极限的思想将其定义为:0000t t t S t S t v t t --=→)()(lim )( 2、德国的Leibniz 从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。
平面几何曲线)(x f y =在一点))(,(00x f x P 处 切线该如何刻划?切线是条直线,在一点处只要知道其斜率就可确定。
可见这个问题的关键是定义切线的斜率。
在曲线上任意取一个动点))(,(x f x M ,则M 、P 两点确定了原曲线的一条割线。
它的斜率为:00x x x f x f k --=)()(。
当动点M 沿曲线向P 点逼近的极限位置就是P 点处的切线,它的斜率应为:000x x x f x f x x --→)()(lim 。
二、导数的概念1、函数)(x f y =在一点处导数的定义。
对于)(x f y =在其定义域内一点0x处0x x x -=∆ 对应得到函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若在0→∆x 下y∆与x ∆之比的极限存在,则称此极限值为)(x f 在0x 点导数值,称)(x f 在0x 点可导, 记为:)()()(lim lim 00000x f xx f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆。
说明:1)导数即是“差商的极限”。
2)极限值是一个确定的实数。
0x 点)(x f 的导数值的表达有几种形式:)(0x y ',)(0x f '或)(0x dx df ,)(0x dxdy 等, 2、区域上的导函数)(x f 在D 上点是可导D x x f ∈',)(为)(x f 的导函数。
3、导数的几何意义)(x f y =在0x 点导数值)(0x f '就是曲线在0x 点的切线的斜率。
三、函数可导性与连续性之关系1第二节 求导运算微分法思路。
先按定义寻求基本初等函数的求导公式,再讨论函数运算的求导法则,综合即可解决任意初等函数的求导问题。
1、基本初等函数的导数公式基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数,求导公式为:1) 1-='n n nx x )(, 补充:x x 21)(=',21)1(xx -=' 2)a a a x x ln )(=' 显然 x xe e =')( 3)a x x a ln )(log 1=',显然 x x 1=')(ln4)x x cos )(sin ='5)x x sin )(cos -='6)x x tgx 22cos 1sec )(=='7)x x ctgx 22sin 1csc )(-=-='8)tgx x x ⋅='sec )(sec 9)ctgx x x ⋅-='csc )(csc10)211)(arcsin x x -=',211)(arccos x x --='11)211)(x arctgx +=',211)(x arcctgx +-=' 二、求导运算关于函数运算的性质1、关于四则运算)(),(x v x u 都可导,则02≠'-'=''+'='⋅'±'='±)()()()()()())()(()()()()())()(()()())()((x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u 说明:特别是乘法:n n n n u u u u u u u u '++'='-)()()(112112、反函数求导法则反函数的导数与原来函数的导数互为)(x f y =的反函数为)(y x ϕ=,则)()(y x f ϕ'='13、复合函数求导法则))((x g f y =,则 )()()(x g g f x y '⋅'=' 或 dx du du df dx dy ⋅=★推广:如果一个函数有三次复合,若)(,)(,)(x h v v g u u f y ===,则复合函数)))(((x h g f y =的导数为)()()()(x h v g u f x y '⋅'⋅'='32))](arcsin [ln(x tg y = 解:可看成tgw v v u u y ===,ln ,3x w 2==ϕϕ,arcsin则:221113222ln sec )(x w v u x y ⋅-⋅⋅⋅='ϕ x x x x x tg tg x y 22221222223-⋅⋅='ln )(arcsin )(arcsin sec ))](arcsin [ln()( 4、总结这一套体系我们称为微分法。
由此体会 到对于初等函数做求导运算有多方便。
它把求导这种求00型极限的问题转换成了利用基本公式表结合运算法则的相对简单且机械的演算问题,稍加练习后就能熟练。
熟记基本导数表及运算法则是最基本的,这里的难点是复合函数求导法则的灵活运用。
5、初等函数的求导运算举例x x y ln ln += 解:)ln (ln x x x x x y 11212121+=+=')ln(2x tg y = 解:x x x x x ctg y sin cos sin sec 1222122212=⋅=⋅=' x x x y arcsin +-=21 解:22222121111x xx x x y -=-+---=' x tg e y 1=解:211--=')cos (/xx e y x tg 第三节 高阶导数函数)(x f y =可导,则其导函数)()(x g x y ='是一个新的函数。
若仍然可导,又可对其求导数,即是原来)(x f 的二阶导数,以次类推可得n 阶导数。
在实际问题中,高阶导数是很普遍。
例如运动学中,位移是时间的函数)(t S ,其速度函数为其导数)()(t S t V '=。
而加速度就是位移的二阶导数)()()(t S t V t a ''='=。
第四节 微分这一节的主要内容是:1)微分的概念,微分与导数的关系。
2)微分的运算。
一、微分的概念)(x f y =在有定义点0x 近旁取0≠∆x ,其函数增量能分解成关于x ∆的线性主部与其高阶无穷小之和,即)(x o x A y ∆+∆=∆(A 是与x ∆无关的常数),则称)(x f y =在0x 点可微,称线性主部x A ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为x A dy ∆=。
二、微分和导数的关系且:dx x f x df )()('=三、微分的运算由前面的分析,微分运算就是在求导运算基础上的一种书写形式dx x f x df )()('=,所以初等函数的微分法可以平行地推广过来。
对应基本导数表可得基本微分表以及相应的函数运算的微分法则。
但要强调说明的是,认识这些基本公式时,从学习的角度,必须要求大家能逆向记忆。
要求大家还要熟练地由右至左记忆,例如,xdx d 2=)( 答案:2xx x dx d x xtgxdx d 2==)(sec sec )(x x dxd arcsin )(21-= 或 x arccos -在这里记忆上多花点力气,为今后在积分的运算时奠定好基础。
第四章 导数的应用三、函数的动态研究内容:1、函数的单调性和极值性2、函数的凹凸性和拐点3。
函数的渐近线一、函数的单调性1、函数单调的判别)(x f 在D 上可微,)(x f 在D 上递增(递减)的充要条件是:0≥')(x f (0≤')(x f )。
2、函数单调性的应用——证明不等式)(cos 0212>->x x x证明:设212x x x f +-=cos )(,则x x x f sin )(-='注意在0>x 时,x x sin >,所以0>')(x f ,即在0>x 时)(x f 严格增。
又00=)(f所以 )(cos 0212>->x x x 证毕。
二、函数的极值性),(δ0x x ∈∀,都有)()(0x f x f ≤, 则称0x 为)(x f 的极大值点,)(0x f 为极大值。
同理,若)()(0x f x f ≥,则0x 为极小值点,)(0x f 为极小值。
说明:函数的极值从几何上看是 平面曲线沿Y 方向上下波动的峰(极大值)和谷(极小值),见图1 2极值概念是局部性概念。
某极小值完全可能大于另一个极大值。
而极值点处正好是曲线由增到减(或由减到增)的分界点,所以讨论函数的极值性有广泛的意义。
函数的极值实现在其极值点处,可见讨论函数极值性的主要矛盾集中在求极值点上。
极值点的求取和判别1)驻点(或称稳定点)的定义)(x f 在),(δ0x 上可导且00=')(x f ,则称0x 为)(x f 的驻点。
但注意:驻点和极值点并不等价。
驻点可以不是极值点,3x y =在0=x 点处,0300=='=x x y |)(。
所以0=x 是驻点。
但由立方抛物线上可见0=x 点不是极值点。
另外,极值点也可以不是驻点,y=在0=x点处不可微是尖角点根本谈|x|不上求导,但它确是函数的极小值点。
4、极值点的判别1)必要条件:无之必不然,有之未必然。
充分条件:有之必然,无之未必不然。
充要条件:有之必然,无之必不然,。
2)极值点的求取:极值点的必要条件是:{极值点}⊂{驻点}∪{不可微点}即若0x是)(x f的极值点且0x处函数可微,它必是驻点。