经济数学(导数微分)

第三章导数与微分

这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。

本章主要讨论导数的概念、性质、运算。对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。

第一节导数的概念

一、问题的提出

历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。

1、英国的Newton从物理的角度提出质点

运动的瞬时速度。

运动学中质点位移S是时间t的函数)(t S。

在匀速运动时，],

t

[t

0时段上的平均速度

0t t t S t S v --=)()(。而在变速运动时，显然速度v 也是时间t 的函数)(t v 。那么0t 时点的瞬

时速度该如何刻划呢？Newton 用极限的思想将其定义为：0

000t t t S t S t v t t --=→)()(lim )( 2、德国的Leibniz 从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。

平面几何曲线)(x f y =在一点))(,(00x f x P 处 切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。可见这个问题的关键是定义切线的斜率。

在曲线上任意取一个动点

))(,(x f x M ，则M 、P 两点确定了

原曲线的一条割线。它的斜率为：

00x x x f x f k --=)()(。当动点M 沿曲线向P 点逼近

的极限位置就是P 点处的切线，它的斜率应为：000x x x f x f x x --→)()(lim 。

二、导数的概念

1、函数)(x f y =在一点处导数的定义。

对于)(x f y =在其定义域内一点0x

处0x x x -=∆ 对应得到函数

增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若在0→∆x 下y

∆与x ∆之比的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 点导数值，称)(x f 在0x 点可导， 记为：)()()(lim lim 00000x f x

x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆。 说明：

1）导数即是“差商的极限”。

2）极限值是一个确定的实数。0x 点)(x f 的导数值的表达有几种形式：

)(0x y '，)(0x f '或)(0x dx df ，)(0x dx

dy 等， 2、区域上的导函数

)(x f 在D 上点是可导

D x x f ∈',)(为)(x f 的导函数。

3、导数的几何意义

)(x f y =在0x 点导数值)(0x f '就是曲线在

0x 点的切线的斜率。

三、函数可导性与连续性之关系

1

第二节 求导运算

微分法思路。

先按定义寻求基本初等函数的求导公式，再讨论函数运算的求导法则，综合即可解决任意初等函数的求导问题。

1、基本初等函数的导数公式

基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数，求导公式为：

1） 1-='n n nx x )(， 补充：x x 21)(='，21)1(x

x -=' 2）a a a x x ln )(=' 显然 x x

e e =')( 3）a x x a ln )(log 1

='，显然 x x 1=')(ln

4）x x cos )(sin ='

5）x x sin )(cos -='

6）x x tgx 22

cos 1sec )(=='

7）x x ctgx 22sin 1csc )(-=-='

8）tgx x x ⋅='sec )(sec 9）ctgx x x ⋅-='csc )(csc

10）2

11

)(arcsin x x -='，211)(arccos x x --='

11）211)(x arctgx +='，211)(x arcctgx +-=' 二、求导运算关于函数运算的性质

１、关于四则运算

)(),(x v x u 都可导，则

02≠'-'=''+'='⋅'±'='±)()()()()()())()(()

()()()())()(()()())()((x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u 说明：特别是乘法：

n n n n u u u u u u u u '++'='-)()()(11

211

２、反函数求导法则

反函数的导数与原来函数的导数互为)(x f y =的反函数为)(y x ϕ=，则

)()(y x f ϕ'='1

３、复合函数求导法则

))((x g f y =，则 )()()(x g g f x y '⋅'=' 或 dx du du df dx dy ⋅=

★推广：如果一个函数有三次复合，

若)(,)(,)(x h v v g u u f y ===，则

复合函数)))(((x h g f y =的导数为

)()()()(x h v g u f x y '⋅'⋅'='

32))](arcsin [ln(x tg y = 解：可看成tgw v v u u y ===,ln ,3

x w 2==ϕϕ,arcsin

则：221113222ln sec )(x w v u x y ⋅-⋅⋅⋅='ϕ x x x x x tg tg x y 2222

1222223-⋅⋅='ln )(arcsin )(arcsin sec ))](arcsin [ln()( 4、总结

这一套体系我们称为微分法。由此体会 到对于初等函数做求导运算有多方便。

它把求导这种求0

0型极限的问题转换成了利用基本公式表结合运算法则的相对简单且机械的演算问题，稍加练习后就能熟练。

熟记基本导数表及运算法则是最基本的，这里的难点是复合函数求导法则的灵活运用。

5、初等函数的求导运算举例