平面向量的数量积与应用举例专题训练

平面向量的数量积与应用举例专题训练

A组基础题组

1.已知向量a=(2,1),b=(1,m),c=(2,4),且(2a-5b)⊥c,则实数m=( )

A.-

B.-

C.

D.

2.已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为( )

A. B.- C.1 D.-1

3.向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为( )

A.0

B.

C.

D.

4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记

I1=·,I2=·,I3=·,则( )

A.I1

B.I1

C.I3

D.I2

5.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.正三角形

D.等腰直角三角形

6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb垂直,则实数k= .

7.如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)= .

8.已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则

||= .

9.已知向量a=(2,-1),b=(1,x).

(1)若a⊥(a+b),求|b|的值;

(2)若a+2b=(4,-7),求向量a与b夹角的大小.

10.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-∈[0,π].

(1)若a∥b,求x的值;

(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

B组提升题组

1.已知a、b均为单位向量,且a·b=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,则|c+a|的取值范围是( )

A.[3,]

B.[3,5]

C.[3,4]

D.[,5]

2.非零向量m,n的夹角为,且满足|n|=λ|m|(λ>0),向量组x1,x2,x3由一个m和两个n排列而成,向量组

y1,y2,y3由两个m和一个n排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3的所有可能值中的最小值为4|m|2,则λ

= .

3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).

(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.

4.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.

(1)若θ=π,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;

(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ的值.

答案精解精析

A组基础题组

1.D 因为2a-5b=2(2,1)-5(1,m)=(-1,2-5m),又(2a-5b)⊥c,所以(2a-5b)·c=0,即

(-1,2-5m)·(2,4)=-2+4(2-5m)=0,解得m=,故选D.

2.D 依题意得|a|=1,a·b=1××cos 45°=1,|d|=-=-·=1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d方向上的投影等于·=-1,故选D.

3.B (a-b)·a=0⇒a2=b·a,|a+b|=2|a|⇒a2+b2+2a·b=12a2⇒b2=9a2,所以cos=·

·=

·

=.

故选B.

4.C 因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD45°,又∠BCO=45°,

∴∠BOC为锐角.

从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.

又OA1),=-λ2(λ2>1),

从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,

又λ1λ2>1,I1<0,∴I3

5.A (-)·(+-2)=0,即·(+)=0,∵-=,∴(-)·(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形,故选A.

6.答案±

解析已知a=(1,2),b=(3,4),

若a+kb与a-kb垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=±.

7.答案-

解析由已知得||=,||=,

则·(-)=(+)·=·+·=cos +×=-.

8.答案 2

解析因为=,

所以点D为BC的中点,

所以=(+)=2m-2n,

又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以

||=2|m-n|=2-=2-=2.

9.解析(1)由题意得a+b=(3,-1+x).

由a⊥(a+b),可得6+1-x=0,

解得x=7,即b=(1,7),

所以|b|=

(2)a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),

故x=-3,所以b=(1,-3),所以cos=·==,

因为∈[0,π],所以a与b的夹角是.

10.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,

所以-cos x=3sin x.

若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.

于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.

(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.

因为x∈[0,π],所以x+∈,

从而-1≤cos≤.

于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;

当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.

B组提升题组

1.B ∵a、b均为单位向量,且a·b=0,

∴设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),

代入|c-4a|+|c-3b|=5,得-+-=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5,令c 的起点为坐标原点O,则c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段(如图),