2020年高中数学10 圆锥曲线大题解题模板(原卷版)
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②标准方程： ( )；
③一般方程： ( ， 且 )；
④参数方程： ( 为参数)。
(2)双曲线(焦点在 轴上)：①定义方程： ；
②标准方程： ( )；
③一般方程： ( )。
(3)抛物线方程的形式(焦点在 轴正半轴上)：①标准方程： ( )；
②参数方程： ( 为参数)。
4、圆锥曲线的重要性质：
(1)通径：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ；
(1)求椭圆 和抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 、 ， 交抛物线 于点 、 ， 交抛物线 于点 、 ，求 的最小值。
例4-4．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点。
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 点在线段 上运动，原点 关于 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值。
(1)判别式： ；
(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根 、 ，则 ， ；
(3)求根公式：若此方程有两个不同的根 、 ，则 。
2、与直线相关知识：
(1)直线方程的五种形式：①一般式： ；②点斜式： ；③斜截式： 或 ；④两点式： ；⑤截距式： 。
(2)与直线相关的内容：①倾斜角与斜率 ， ；②点到直线的距离 ；
专题10圆锥曲线大题解题模板
一、判断直线与圆锥曲线的位置关系：
1、寻找主直线：主直线有两个要求：
①所给的直线条件中：有必过点(或者求证是否有必过点)，给斜率或倾斜角(或者与斜率、倾斜角有关的条件)；
②所给的直线与圆锥曲线有两个交点。
2、从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。
例如：将 代入 ( )中整理得： ：
(1)当 时，该方程为一次方程，此时直线 与双曲线的渐近线平行；
(2)当 时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。
3、从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：
(1)直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 上一点，点 、 在椭圆 上，且 ，则直线 与直线 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
例1-2．已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 、 两点。
(1)若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
(2)联立直线与圆锥曲线的方程形成关于 或 的一元二次方程： 或 ，注意验证 ；
(3)设而不求：设两交点坐标 、 ，则 、 ；
(4)根据题意进一步求解。
模板一、圆锥曲线与直线
例1-1．椭圆 ： ，椭圆 ： ( )的一个焦点坐标为 ，斜率为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，线段 的中点 的坐标为 。
模板二、弦长与三角形面积相关
例2-1．已知椭圆 ： ( )的离心率为 ，且经过点 。
(1)求椭圆 的方程。
(2)过点 的直线交椭圆 于 、 两点，求 ( 为原点)面积的最大值。
练习2-1．已知椭圆 的一个焦点为 ，且离心率为 。
(1)求椭圆方程。
(2)过点 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求 面积的最大值。
模板三、角度的处理与转化
讲解：在圆锥曲线大题中出现垂直、直角、锐角、钝角等题设或者问题，一般都转化成向量：
(1) ；
(2) ；
(3) 为钝角 ；
(4) 为锐角 。
例3-1．如图所示，椭圆 ： ( )的左右顶点分别为 、 ，上下顶点分别为 、 ，四边形 的面积为 ，周长为 。直线 ： 与椭圆交于不同的两点 和 。
(1)求 的值；
(2)除 以外，直线 与 是否有其他公共点？说明理由。
例4-2．已知抛物线 ： ( )，过其焦点作斜率为 的直线 交 于 、 两点，且 。
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知动圆 的圆心在抛物线 上，且过定点 ，若动圆 与 轴交于 、 两点，且 ，求 的最小值。
例4-3．已知椭圆 的两个焦点是 和 ，并且经过点 ，抛物线的顶点 在坐标原点，焦点恰好是椭圆 的右顶点 。
(2)焦点三角形公式：
① 在椭圆上时： ， ， ， ， ；
② 在双曲线上时 ， 。
三、直线与圆锥曲线解题模板
1、没有寻找到主直线，就设交点坐标，通过运算寻找等量关系，消元，最后获得结果。
2、有主直线：
(1)根据题意讨论直线倾角 是否可取 ，当 时设直线方程为 ，当 时设直线方程为 或 ；或直线倾角 是否可取 ，当 时设直线方程为 ，当 时设直线方程为 或 ，其中 为斜率的导数；
(2)直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；
(3)直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
二、掌握基本知识
1、与一元二次方程 ( )相关的知识(三个“二次”问题)：
③夹角公式： 。
(3)弦长公式：直线 上任意两点 ， ，则：
。
(4)两条直线 ： (倾斜角为 )和 ： (倾斜角为 )的位置关系：
① ；
② 且 ；
③ 与 关于与 ( )轴平行或垂直的直线对称，则 ， 。
(5)中点坐标公式：已知 、 两点， 是线段 的中点，则有 ， 。
3、圆锥曲线方程的形式：
(1)椭圆(焦点在 轴上)：①定义方程： ；
(1)求椭圆的方程；
(2)若 ，求 的值。
(3)若 为锐角，求 的取值范围。
练习3-1．已知椭圆 ： ( )的离心率为 。
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 经过 的左焦点 且与 相交于 、 两点，以线段 为直径的圆经过椭圆 的右焦点 ，求 的方程。
模板四、抛物线大题模板
例4-1．在直角坐标系 中，直线 ： ( )交 轴于点 ，交抛物线 ： ( )于点 ，点 Leabharlann Baidu于点 的对称点为 。连 并延长交 于 。
③一般方程： ( ， 且 )；
④参数方程： ( 为参数)。
(2)双曲线(焦点在 轴上)：①定义方程： ；
②标准方程： ( )；
③一般方程： ( )。
(3)抛物线方程的形式(焦点在 轴正半轴上)：①标准方程： ( )；
②参数方程： ( 为参数)。
4、圆锥曲线的重要性质：
(1)通径：椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ；
(1)求椭圆 和抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 、 ， 交抛物线 于点 、 ， 交抛物线 于点 、 ，求 的最小值。
例4-4．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点。
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 点在线段 上运动，原点 关于 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值。
(1)判别式： ；
(2)韦达定理：若此方程有两个不同的根 、 ，则 ， ；
(3)求根公式：若此方程有两个不同的根 、 ，则 。
2、与直线相关知识：
(1)直线方程的五种形式：①一般式： ；②点斜式： ；③斜截式： 或 ；④两点式： ；⑤截距式： 。
(2)与直线相关的内容：①倾斜角与斜率 ， ；②点到直线的距离 ；
专题10圆锥曲线大题解题模板
一、判断直线与圆锥曲线的位置关系：
1、寻找主直线：主直线有两个要求：
①所给的直线条件中：有必过点(或者求证是否有必过点)，给斜率或倾斜角(或者与斜率、倾斜角有关的条件)；
②所给的直线与圆锥曲线有两个交点。
2、从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。
例如：将 代入 ( )中整理得： ：
(1)当 时，该方程为一次方程，此时直线 与双曲线的渐近线平行；
(2)当 时，该方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。
3、从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：
(1)直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 上一点，点 、 在椭圆 上，且 ，则直线 与直线 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
例1-2．已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 、 两点。
(1)若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
(2)联立直线与圆锥曲线的方程形成关于 或 的一元二次方程： 或 ，注意验证 ；
(3)设而不求：设两交点坐标 、 ，则 、 ；
(4)根据题意进一步求解。
模板一、圆锥曲线与直线
例1-1．椭圆 ： ，椭圆 ： ( )的一个焦点坐标为 ，斜率为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，线段 的中点 的坐标为 。
模板二、弦长与三角形面积相关
例2-1．已知椭圆 ： ( )的离心率为 ，且经过点 。
(1)求椭圆 的方程。
(2)过点 的直线交椭圆 于 、 两点，求 ( 为原点)面积的最大值。
练习2-1．已知椭圆 的一个焦点为 ，且离心率为 。
(1)求椭圆方程。
(2)过点 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求 面积的最大值。
模板三、角度的处理与转化
讲解：在圆锥曲线大题中出现垂直、直角、锐角、钝角等题设或者问题，一般都转化成向量：
(1) ；
(2) ；
(3) 为钝角 ；
(4) 为锐角 。
例3-1．如图所示，椭圆 ： ( )的左右顶点分别为 、 ，上下顶点分别为 、 ，四边形 的面积为 ，周长为 。直线 ： 与椭圆交于不同的两点 和 。
(1)求 的值；
(2)除 以外，直线 与 是否有其他公共点？说明理由。
例4-2．已知抛物线 ： ( )，过其焦点作斜率为 的直线 交 于 、 两点，且 。
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知动圆 的圆心在抛物线 上，且过定点 ，若动圆 与 轴交于 、 两点，且 ，求 的最小值。
例4-3．已知椭圆 的两个焦点是 和 ，并且经过点 ，抛物线的顶点 在坐标原点，焦点恰好是椭圆 的右顶点 。
(2)焦点三角形公式：
① 在椭圆上时： ， ， ， ， ；
② 在双曲线上时 ， 。
三、直线与圆锥曲线解题模板
1、没有寻找到主直线，就设交点坐标，通过运算寻找等量关系，消元，最后获得结果。
2、有主直线：
(1)根据题意讨论直线倾角 是否可取 ，当 时设直线方程为 ，当 时设直线方程为 或 ；或直线倾角 是否可取 ，当 时设直线方程为 ，当 时设直线方程为 或 ，其中 为斜率的导数；
(2)直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；
(3)直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。
二、掌握基本知识
1、与一元二次方程 ( )相关的知识(三个“二次”问题)：
③夹角公式： 。
(3)弦长公式：直线 上任意两点 ， ，则：
。
(4)两条直线 ： (倾斜角为 )和 ： (倾斜角为 )的位置关系：
① ；
② 且 ；
③ 与 关于与 ( )轴平行或垂直的直线对称，则 ， 。
(5)中点坐标公式：已知 、 两点， 是线段 的中点，则有 ， 。
3、圆锥曲线方程的形式：
(1)椭圆(焦点在 轴上)：①定义方程： ；
(1)求椭圆的方程；
(2)若 ，求 的值。
(3)若 为锐角，求 的取值范围。
练习3-1．已知椭圆 ： ( )的离心率为 。
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 经过 的左焦点 且与 相交于 、 两点，以线段 为直径的圆经过椭圆 的右焦点 ，求 的方程。
模板四、抛物线大题模板
例4-1．在直角坐标系 中，直线 ： ( )交 轴于点 ，交抛物线 ： ( )于点 ，点 Leabharlann Baidu于点 的对称点为 。连 并延长交 于 。