最新薛定谔方程及其解法
薛定谔公式方程
薛定谔公式方程
薛定谔公式是量子力学中的一条重要方程，描述了微观粒子的波动性质。
它的形式如下：
iħ ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ
其中，ħ代表约化的普朗克常数，i代表虚数单位，∂Ψ/∂t表示波函数Ψ对时间的偏导数，∇²Ψ表示波函数Ψ的拉普拉斯算子，m代表粒子的质量，V表示势能。
这个方程的意义在于描述了微观粒子的量子态随时间的演化规律。
它由两部分组成：动能项-ħ²/2m ∇²Ψ和势能项VΨ。
动能项-ħ²/2m ∇²Ψ描述了微观粒子波函数Ψ的空间变化对其动能的影响。
负号表示了粒子的波函数Ψ在动能项中是负相干的，也就是说波函数Ψ在此区域传播的波动性质。
ħ²/2m表示了波动性和粒子质量之间的关系，质量越大，波动性越小。
势能项VΨ描述了微观粒子波函数Ψ在势场中的行为。
势能项的形式取决于具体的势场，比如自由空间中没有势能项，而在外部场中，势能项可以描述粒子对外部场的响应。
整个方程描述了量子粒子的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在不同的时间点的波函数分布，从而描绘了粒子在空间中运动的概率分布。
当然，在具体的情况下，薛定谔公式还需要结合边界条件和初
值条件来解决。
这些条件可以通过实验数据或者物理假设来确定，从而得到粒子的具体运动规律。
总的来说，薛定谔公式是量子力学中描述微观粒子波动性质的重要方程。
它描绘了波函数随时间的演变规律，通过求解可以得到粒子在空间中的概率分布。
这对于研究微观粒子的行为有着重要的意义。
薛定谔方程组及其解法
薛定谔方程组及其解法薛定谔方程组（Schrodinger Equation）是量子力学的基础方程之一，描述了量子系统的波动性质和粒子运动的规律。
在量子力学发展的过程中，人们通过不断地尝试和探索，发现了各种各样的解法，使得该方程的应用范围越来越广，成为了现代物理学的重要工具之一。
1. 薛定谔方程组及其含义薛定谔方程组最初是由奥地利物理学家薛定谔（Erwin Schrodinger）于1926年提出的，他通过研究光谱现象，认为物理系统的运动可以用波函数来描述。
而波函数则可以通过一个方程来求解，这个方程就是薛定谔方程组。
薛定谔方程组描述了微观粒子的运动规律和波动性质，用于计算微观尺度下的物理量，如粒子的位置、速度、动量、能量等。
方程中的波函数可以归一化，即保证粒子存在的概率为1。
因此，波函数可以被解释为一个粒子的存在概率密度。
2. 薛定谔方程组的解法薛定谔方程组的解法主要基于两种方法：定态微扰理论和变分法。
定态微扰理论是通过在原方程中加入微小扰动项，逐步展开波函数的级数，来求得精确的解。
而变分法则通过尝试不同的波函数形式来寻找最优解，从而得到薛定谔方程组的解。
此外，还有一些基于计算机算法的数值解法应用于薛定谔方程组，如有限元方法、有限差分法和网格方法等。
3. 应用范围和意义薛定谔方程组的应用范围非常广泛，涉及到各种物理现象和工程问题。
在纳米技术领域，薛定谔方程组可以用于描述纳米材料的电子结构和催化反应的机理，从而辅助设计新型材料和开发高效催化剂。
在化学领域，薛定谔方程组可以用于计算化学反应的机理和产物的构成，帮助人们预测化学反应过程和控制反应的产物。
在固态物理学中，薛定谔方程组可以用来解释材料的电、光、热、声等性质，帮助人们研发新型的半导体材料和纳米电子器件。
总之，薛定谔方程组在物理学、化学、材料学等领域有着广泛的应用和重要的意义，对推动人类社会的发展发挥着重要的作用。
高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
解定态薛定谔方程的一般方法
( n
L
)2
n
sin
n
L
x
(x,t)
an
n
exp(
i
Ent)
由归一化条件： *dx 1 L*dx
0
及正交完备性：
n*
ndx
(n
n)
故：
a
* n
an
1，粒子处于某一 n的概率为：a*nan
n
北京邮电大学理学院 原子物理
解得T T0eiEt 并将常数T0归到所含常数中，得 (r, t) (r)eiEt
得出定态薛定谔方程为
(11) (12)
[ 2 2 u(r)] E
2m
（13）
并注意到，由(12)式几率密度 * *与时间无关。
北京邮电大学理学院 原子物理
V
有
E
V0
方势垒为：u
(
x)
0, V0
,
x x1, x x2 (1) x1 x x2
限 高 势 垒
0
X1 X2
x
当入射粒子从 x x1 的地方向右入射，如其入射能量 E
低于 V0 时，按照经典力学观点，粒子不可能穿过势垒，将全
部返回。但是量子力学将给出完全不同的结果。从一维定态薛
求其特解，把波函数写为 (r, t) (r)T (t)得
i dT 1 [ 2 2 u(r)] T dt 2m
于是有分离常数E使（9）式得 i dT E T dt
北京邮电大学理学院 原子物理
(8)
(9) (10)
§3.1 薛定谔方程
和 1 [ 2 2 u(r)] E 2m
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
求解薛定谔方程的一般步骤
求解薛定谔方程的一般步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠求解薛定谔方程的那些事儿。
你说这薛定谔方程啊，就像是一个神秘的宝藏盒子，咱得想办法打开它，找到里面的宝贝。
那怎么打开呢？咱先得有那个决心和勇气，就像你要去攀登一座高峰，不能还没开始就打退堂鼓了呀！然后呢，得了解这个方程到底是啥样儿的。
它可不是随随便便就能搞定的，就像一道特别难的谜题。
接下来，你得掌握一些工具和方法。
这就好比你去开锁，你得有合适的钥匙或者工具吧。
对于薛定谔方程，那就是各种数学知识和物理概念啦。
你得把这些东西玩转了，才能试着去解开这个方程。
比如说，你得熟悉那些波函数啊，能量啊之类的概念。
这就好像你要认识一个新朋友，你得知道他的喜好、性格啥的，才能更好地跟他相处嘛。
然后呢，你就得开始动手啦！一步一步地去推导，去计算。
这过程可不容易哦，就像在黑暗中摸索，有时候可能会觉得迷茫，不知道自己走得对不对。
但别灰心呀，这都是正常的。
你想想看，要是那么容易就解开了，那还叫什么难题呢？在这个过程中，可能会遇到很多困难和挫折，但咱不能怕呀！就像走路会摔跤一样，摔了咱爬起来继续走呗。
而且哦，多尝试几次，说不定就突然找到灵感了呢。
这就跟你找东西似的，找半天找不到，突然一下子就看到它在那儿了。
当你慢慢接近答案的时候，那种兴奋感，哎呀，真的是无法形容！就好像你终于找到了宝藏的入口，那种激动的心情，只有经历过的人才懂。
总之呢，求解薛定谔方程可不是一件容易的事儿，但也不是不可能完成的任务。
只要咱有决心，有耐心，有方法，就一定能慢慢地解开这个神秘的谜题。
别害怕失败，别害怕困难，大胆地去尝试吧！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人。
咱就朝着那个目标，一步一个脚印地前进，相信总有一天，能真正理解和掌握这个神奇的薛定谔方程！。
高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法
E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ： x表示粒子在x方向上的位置的不确 x px / 2 定范围，px表示在x方向上动量的不 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E 2
h 2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
y( x, t ) A cos2 nt l
y( x, t ) Ae
x i 2 nt l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
n E/h
波函数可以写成
l h/ p
i 2 nt x / l
为归一化常数11精品文档第n激发态的概率密度有n1个极大值波函数和概率密度如图315和图316精品文档精品文档精品文档精品文档331力学量的平均值33量子力学中的力学量当测量粒子的位置的时候每次所得结果可能是不同的但其概率密度分布是正确的也就是位置的平均值是确定的如粒子的位置坐标改成以下由归一化后的我们可求出在空间处发现粒子的平均值为的概率密度为dx361势能函数是粒子位置坐标的函数势能的平均值362精品文档下面来求动量的分量的平均值但是在量子力学中根据不确定关系动量不可能是坐标的函数
h 6.625 1034 l 2.0 1010 m mv 1.67 10 27 2.0 103
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子 1 P2 E K mv 2 2 2m
P 2mEK
h l3 P h 2mE K 1.2 1010 m
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
变分法 数值求解薛定谔方程
变分法数值求解薛定谔方程变分法是一种数学方法，常常用于求解薛定谔方程。
薛定谔方程是描述量子力学中粒子行为的基本方程，它可以用来计算粒子在不同势场中的波函数和能量。
变分法通过将波函数表示为一组参数的函数形式，然后通过最小化期望能量来找到最优的参数值，从而得到粒子的波函数和能量。
要使用变分法求解薛定谔方程，首先需要选择一个适当的波函数形式。
常见的选择有高斯型函数和分段线性函数等。
然后，我们将波函数表示为参数的函数形式，例如将高斯型函数表示为高斯函数的平移和缩放。
接下来，我们将薛定谔方程代入波函数中，并对其进行变分操作，即将波函数的参数做微小的变化。
通过最小化期望能量，我们可以得到参数的值，从而得到粒子的波函数和能量。
变分法在解决问题时具有很多优势。
首先，它可以得到比传统数值解法更高精度的结果。
其次，变分法能够处理复杂的势场和材料系统，而传统数值解法往往难以处理。
最后，变分法能够提供有关波函数和能量的物理洞见，例如通过最小化期望能量，我们可以得到粒子的基态能量和瞬态特性。
在实际的数值求解中，我们可以使用计算机程序来自动进行变分优化。
这样的程序通常使用数值方法来计算波函数和能量的期望值，并通过迭代最小化期望能量来得到最优参数值。
在程序中，我们还可以加入各种约束条件，例如保持波函数归一化和满足边界条件等。
变分法在量子力学中具有重要的指导意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同势场中的波函数和能量，从而了解粒子的行为和性质。
这对于理解原子、分子、凝聚态物质和核物理等领域的现象至关重要。
此外，变分法还可以应用于其他领域的问题，例如最优控制和最优化问题等。
总之，变分法是一种强大的数值方法，可用于求解薛定谔方程。
通过最小化期望能量，我们可以得到粒子的波函数和能量，从而获得有关粒子行为和性质的重要信息。
在实际应用中，我们可以使用计算机程序来自动进行变分优化，并通过加入约束条件来求解特定问题。
通过变分法，我们可以深入了解量子力学中的粒子行为，并为其他领域的问题提供指导。
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
薛定谔方程数值解
√
定态方程的矩阵解法(4/9)
2 1 0 例：计算 33 实对称矩阵 A 1 2 1 的本征值和本征向量 0 1 2 A A，选 p 1, q 2
0
选 p 1, q 3
第9次
√
定态方程的矩阵解法(5/9)
久期方程方法
√
非线性薛定谔方程解法(1/10)
非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程)
2 2 含时的： i f a | | , (r , t ) t 定态的： 2 f a | |2 b , f f (r ) 实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解
√
定态方程的矩阵解法(7/9)
波函数
有限差分法的步骤 将定态薛定谔方程转化为差分格式 写出差分方程的实对称矩阵，并对角化
√
定态方程的矩阵解法(8/9)
希耳伯特空间的方法 例：一维无限深线性势阱 希耳伯特空间的基矢 nx 1 cos 2 , n odd n ( x ) , n ( x)m ( x)dx nm 1 nx sin , n even 2 哈密顿算符和矩阵元 2 2 2 2 d d 2F ˆ ˆ ˆ H T U Fx ( 2 f ) x, f 2 2 2 dx 2 dx (n, m) odd 2 n 2 2 nm , 1 (n, m) even 2 4 ˆ dx H nm n H 2 m ( n m 1) / 2 1 16 m nf ( 1 ) , (n, m) (odd, even) 2 2 2 2 2 (m n )
薛定谔方程数值解法
(W )
r2 r1
sin Wr1
cosWr1
(5.1.14-1)
(W ) C1er2W D1er2W
(5.1.14-2)
令(5.1.14-1)=(5.1.14-2)，建立 C1 和 D1 满
足的一个方程式。
(W ) r2 cosWr1 r1 sinWr1 (5.1.15-1) (W ) r2C1er2W r2 D1er2W (5.1.15-2)
满足当
x 时， (x。) 但0是，当
时即，C1只(=x有x) 对0。于0 这个波函的数波称函为方数程，E(5.E11.7)式，的
本征波函数。
图5.2 图5.1.2 不同能量E对应的波函数
对E > E1的情况。由C1的表达式(5.1.14)和
(5.1.15)式可知，C1<0，因此在 x 时，
即
h2 d 2 (U (x) E)
2m dx2
(5.1.6)
上式与时间无关，称定态薛定谔方程。
为简单起见，我们令 1, m 1 ，于是
(5.1.6)式变为
2
d 2
dx2
(U (x) E)
(5.1.7)
所以，现在解薛定谔方程是不难的。
先来考察波函数的一般性质。
在方势阱内：
d 2
dx2
波函数向下发散。对E < E1的情况，C1 > 0，
当
x 时，波函数向上发散。
对第二个本征值E2，同样可存在E值大于、 等于和小于E2的三种情况，如图5.1.3所示。
图5.1.3 本征值为 E2时不同能量 E对应的波函数
由上述讨论可知，粒子的能量只能取得某些
分裂的值，如图5.1.4所示。E的值与势阱的参数 V0和W有关，我们的中心问题是求解薛定谔方程
薛定谔方程解析
薛定谔方程解析薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了量子体系的演化规律。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程在解释微观粒子的运动和性质方面起着重要的作用。
薛定谔方程是对量子体系的波函数进行数学描述的方程。
波函数是描述微观粒子行为的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。
薛定谔方程可以用来计算波函数在时间和空间上的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的左侧表示波函数随时间的变化率，右侧表示哈密顿算符作用在波函数上得到的结果。
哈密顿算符包含了粒子的动能和势能等信息。
薛定谔方程的解析解通常较为复杂，只有在一些特殊情况下才能得到解析解。
对于大多数真实的物理系统，需要采用数值方法求解薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数。
能级是粒子在不同能量状态下的取值，波函数则描述了粒子的位置和动量分布。
薛定谔方程的解析解在量子力学的发展中起到了重要的作用。
它为解释微观世界的现象提供了基础，例如描述原子和分子的结构和性质。
薛定谔方程的解析解还被应用于量子力学中的各种问题，如谐振子、氢原子等。
薛定谔方程的解析解还引发了一些深入的思考和讨论。
例如，波粒二象性的概念，即微观粒子既可以表现为粒子又可以表现为波动的性质。
波函数的坍缩和量子纠缠等现象也是基于薛定谔方程得到的。
薛定谔方程是量子力学中的一个重要方程，用于描述量子体系的演化规律。
它的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数，为解释微观世界的现象提供了基础。
薛定谔方程的发展和应用推动了量子力学的发展，对物理学和其他相关领域产生了深远的影响。
第2章 简单体系薛定谔方程及其解
2
(4-32)
4. 量子力学与经典力学处理结果的对比
a)能量
➢经典力学：粒子的速度可以取任意值，能 量的取值也是任意的。
➢量子力学：
－能量量子化：E n2h2 , n 1,2,3
8ml 2
－零点能效应(最低能量)：E0
h2 8ml 2
－节点定则：能量较高的态存在节点，能量 越高，节点越多。节点数＝n-1。
R2N - (CH CH -)r CH N R2 l (248r 565) pm
电子数：2r+2+2=2r+4=2(r+2)
HOMO：第r+2个轨道(相当于第n个)
LUMO：第r+3个轨道(相当于第n+1个)
运动范围：l=(248r+565)pm
电子从r+2轨道跃迁到r+3轨道，吸收光的频率为
四.应用：一维势箱模型与直链共轭多烯 以丁二烯为例：C C C C
离域化，其结果是 C C键比典型的双键长 C C 键比典型的单键短
设有2k个C的一般的共轭多烯，电子运动范围：
d 2k 1l 2l 2k 1l
E
n2h2
8m2k
1l2
1. 离域效应
E
n2h2
8m2k 1l
2
(a)两个定域键
px
l
0
* n
pˆ
ndx
2 l
l sin nx i d sin nx dx
0 l dx l
i l 2l sin nx cos nx d 2nx
l 0 2n l l l
i
2n
l sin
0
2nx d
l
薛定谔方程
或者 −ih∇⇔ p
p2 已知自由粒子的动能与动量关系： 可得
(7)
h2 2 ∂ψ =− ∇ψ ih ∂t 2μ
自由粒子的 薛定谔方程
2.非自由粒子的薛定谔方程
v 如果粒子不是自由的，而是处于力场 U(r ) 时，则有
2 p v 在这里，总能量 E= + U (r ) (8) 2μ 等于动能加势能 v 2 r t ∂ ψ ( ) h , v v 2 将(8)式作用于 ih = [− ∇ + U (r )]ψ (r , t ) (9) ∂t 2μ 波函数，则得
v ˆ = −i h∇ p
与动量平方相对应的算符是
2 2 2 ˆ p = −h ∇
∂ ⎫ $ x = − ih ⎪ p ∂x⎪ ∂ ⎪ $ y = − ih ⎬ p ∂ y⎪ ∂ ⎪ $ z = −ih p ⎪ ∂z ⎭
与能量相对应的算符，写为
2 h v 2 ˆ H = − ∇ + U (r ) 2μ
称为哈密顿算符
与角动量相对应的算符为
v v ˆ ˆ L=r×p
6
四、本征函数、本征值
算符 (operator) 是代表对波函数的一种运算，通过运算把 一个波函数或量子态变换成另一个波函数或量子态。若将某 $ 作用于波函数，正好等于一个常量A乘以 个力学量的算符 A 波函数，即
$ ψ = Aψ A
此式为力学量的本征值方程，常量A称为力学量算符的 本征值。满足本征值方程的波函数称为力学量 的与本征
值A对应的本征函数(或本征态)。 例如：引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为
v v ˆ ψ (r ) = Eψ (r ) H
7
E.Schrodinger，1877-1961，奥地 利物理学家，量子力学的重要奠基 人之一，同时在固体的比热、统计 热力学、原子光谱及镭的放射性等 方面的研究都有很大成就。把物质 波表示成数学形式，建立了称为薛 定谔方程的量子力学波动方程。薛 定谔方程在量子力学中占有极其重 要的地位，它与经典力学中的牛顿 运动定律的价值相似。薛定谔对分 子生物学的发展也做过工作。薛定 谔对原子理论的发展贡献卓著，因 而于1933年同英国物理学家狄拉克 共获诺贝尔物理奖金。
薛定谔方程——精选推荐
生足够强的电流了.
金属 E
真空 无场时的势能 E
有场时的势能
(2)超导体电子的隧道贯穿: 电子绝缘层穿过.
约瑟夫逊效应 两块或两片超导体之间存在的 势垒层（10～20埃）或弱连接形成超导结时， 超导电子对通过这些结而呈现的一系列电学、 磁学和辐射方面的特性、统称为约瑟夫逊效应 或超导电子隧道效应。
时间部分满足: 空间部分满足:
ih
∂ ∂t
f
(t)
=
Ef (t)
− h2 ∇2ϕ(r) +V (r)ϕ(r) = Eϕ(r)
2m
§25-3 一维无限深势阱
在这个问题里薛定谔方程为
−
h2 2m
dψ (x)
dx2
+
V
(
x)ψ
(
x)
=
Eψ
(
x)
其中势能为
V
(
x)
=
⎧ 0, ⎩⎨∞,
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
ξ=x α
薛定谔方程变为
d 2ψ dξ 2
+ (λ
− ξ 2 )ψ
=0
令
ψ = e−ξ 2 / 2u
考虑到
(e−ξ 2 / 2u)''= [u''−2ξu'+(ξ 2 −1)u]e−ξ 2 / 2
得到 u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
这个方程的解称为厄米多项式. 在这里它要满足的边界条件为:
2-薛定谔方程
二、薛定鄂方程的性质与求解方法对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。
体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：ˆiH t∂ψ=ψ∂ 其中哈密顿算苻（能量算苻）222ˆˆ22p H V V m m=+=-∇+ 2222222x y z∂∂∂∇=++∂∂∂（直角系）2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（球坐标系）薛定鄂方程的性质与特点：1. 方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。
2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。
3. 如果定义几率流密度()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2mi J 可以得到连续性方程0J =⋅∇+∂ψ∂t2这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。
4.波函数的归一化性质不随时间改变。
（这一点非常关键，如果波函数在0t时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂=方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃）5. 如果两个波函数ψ1和ψ2在0t时刻是正交的，则在以后任意时=刻也是正交的。
求解薛定鄂方程的一般方法：如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分离变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）ˆH E ψ=ψ 由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。
*mn mn d ψψτ=δ⎰ 分立谱*'(')d λλψψτ=δλ-λ⎰ 连续谱分立谱是物理上可实现的态，而连续谱不是，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。
定态解为/(,)()n iE t n ne -ψ=ψr tr 薛定鄂方程的一般解为)/ex p()(),( t iE c n n n -=ψ∑r t r nψ （分立谱）dE iEt c E E )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）叠加系数由t=0时刻的初始条件定。
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒
a
a2
能K量量子2m化E：E/ n2nn22/m2aa,22 . n 1,2,3,... 12
粒子的动量：
Pn
2mEn
n
a
K
.
粒子的德布罗意波长：
n
h Pn
2a
/
n
2
/
K
.
粒子的能量、动量、德布罗意波长 ( 及频率 )
均是量子化的。 其中最小能量和最小动量皆不为零，
其中 2m(V 0 E) / 2 .
当 x 0时 B 0, 当 x L 时C 0. 19
Cex , x 0 ;
(x) Acos(kx ) , 0 x L ;
Bex , x L.
k 2mE / 2 , 2m(V 0 E) / 2.
电子，当 E 1eV , V 0 2eV ,
o
a 2 A时 , T 0.51;
o
a 5A时 , T 0.006
制作扫描隧穿显微镜 ( STM )
15
STM下硅表面结构重现 16
利用STM搬迁原子为电子造的“量子围栏” 17
例：质量为 m的粒子处于一维
对称势场
V (x)
0 , 0 x L;
0, ,
x
a/2 a /
x a/2； 2, x a / 2
.
a/2 0 a/2 X
势壁无限高，阱内的粒子不可越出阱外：
( a) 0, (a) 0.
2
2
阱内 (a / 2 x a / 2) , 定态薛定谔方程：
d 2 (x) 2m E (x) 0 .
6.4.3薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程必须满足的条件：1．波函数所满足的方程只能含 对时间的一阶导数；2．方程应是线性的；3．方程不能包含状态参量，如p,E等。
xp E m22一维自由粒子薛定谔方程),(),(t x E tt x i (1)),(),(t x p x t x i x (2)一、自由粒子薛定谔方程的建立（非推导）i E txp x2222 ),(),(2222t x p xt x x(3)xpE x t (x ,t )m22（，）(4)),(2),(222t x xm t x t i (5)xi p x替换关系一维自由粒子波函数x i-(Et p x )0(x,t )e),(22t x U mp E x二、力场中粒子的含时薛定谔方程拉普拉斯算符含时间的薛定谔方程微观粒子的波动方程x p E (x,t )U(x,t )(x,t )m 22(6)),(),(2),(222t x t x U x m t x t i(7) ),(222t r U m t i (8)2222222zy x (9)i E txp x2222 ),( ˆ),(t r H tt r iˆH [()U(r ,t )]m x y z22222222 哈密顿算符：（1）它是一个复数偏微分方程；其解波函数是一个复函数。
t r , （2）它是非相对论形式的方程。
（3）它的解满足态的叠加原理（4）经典力学中，决定状态变化的是，量子力学中，决定状态变化的是。
)(dtpd F ),(t r U ),(222t r U m t i薛定谔（Erwin Schrödinger ，1887—1961）奥地利物理学家。
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法。
1933年与狄拉克获诺贝尔物理学奖.自由运动粒子U = 0氢原子中的电子 re r U 2041三、定态薛定谔方程波函数分离变量:)()(),(t f r t r ),()(2),(22t r r U m t t r i代入薛定谔方程= E (常数)两边除以，得(r )f (t ))()(2)(d )(d )(22r r U m t f t t f r i（1）)()(2)(1d )(d )(122r r U m r t t f t f i（2）定态波函数定态薛定谔方程E tt f t f i d )(d )(1 （3）)()()(222r E r r U m（4）Et ier t r)(),( 总波函数（6）iEt f (t )Ce5（）iEt iEt e r e r )()( 2,t r2r 概率密度与时间无关，波函数描述的是定态.即粒子在不随时间变化的势场中运动时，能量有确定值定态时，粒子的能量E 有确定值常数E 有能量量纲处于定态的运动粒子的重要特征： 粒子的能量有确定值；粒子的空间概率密度与时间无关Et i er t r)(),( 波函数满足含时薛定谔方程(,)ˆ(,)r ti H r tt22()()() 2U r r E r m定态薛定谔方程定态波函数iEt (r,t)(r)e小结。
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关于薛定谔方程
一．定义及重要性
薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提
出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，
其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合
建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都
有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式
以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基
本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
二．表达式
三．定态方程
()()
2
2
2
V r E r
m
η
ψψ
+
⎡⎤
-∇=
⎢⎥
⎣⎦
所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。
其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。
2
2
22222
z
y x ∂∂∂∂∂∂++=∇
可化为
d 0)(222
=-+ψψv E h
m
dx
薛定谔方程的解法
一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善）
给定初值问题
).
()()((3)
)
,(),()( ,,(2)
)(),( 311212
2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b
t a y t f dt dy
i i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα
βα
.
))(,(,,(3)
)()(2
)()( ,))(,())(,())(,()( ))
(,()( )
()(2
)()()( )( 32
132
11处的函数值分别表示相应函数在点其中得
代入上式将
处展成幂级数
在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.
)(2
1
1 ,,0
2
1
,01 ),()()
())(2
1
()1()( ,)( 322121221311322
2111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件
即常数当且仅当
要使局部截断误差得
下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i =
=+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ
有限元方法
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研
究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
《平行四边形的面积》教学设计
利辛县实验小学
孙莉
2015/11/18。