2013高三文科暑期第6讲 导数及其应用 教师版
高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)
6。
1.2 导数及其几何意义必备知识·素养奠基1。
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。
（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx 很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。
（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。
(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f′==等。
2.导数的几何意义（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。
（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。
（2）曲线的切线与导数有什么关系？提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.1.思维辨析（对的打“√”,错的打“×")(1）函数y=f（x)在x=x0处的导数f′（x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值. （)(2)函数y=f(x）在x=x0处的导数f′(x0）的几何意义是函数y=f（x)在点（x0，f（x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。
北师大文科数学高考总复习教师用书：导数的概念及运算 含答案
第1讲导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．知识梳理1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x .( )解析 (1)f ′(x 0)表示函数f (x )的导数在x 0处的值，而f ((x 0))′表示函数值f (x 0)的导数，其意义不同，(1)错．(2)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(2)错．(4)f (x )＝a 3＋2ax ＋x 2＝x 2＋2ax ＋a 3，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.134解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134. 答案 D3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案 34．(2017·豫北名校期末联考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 解析 ∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝05．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析 由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，则f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案 1考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝cos x e x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x. 规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．【训练1】 (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析 (1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1x ·x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，则x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 (1)B (2)3考点二 导数的几何意义(多维探究) 命题角度一 求切线方程【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．(2)(2017·南昌质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 0＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)B 命题角度二 求切点坐标【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1. 则点P 的坐标为(1,1)． 答案 (1,1)命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)【例2－3】 已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12 D ．1 解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x . ∴y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，依题意，－12＋1x 0＝12，∴x 0＝1，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上， 故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案 B规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．(3)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.【训练2】 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 答案 (1)(e ，e) (2)(－∞，2)[思想方法]1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． [易错防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) A ．x 2e x ＋2x B ．2x e x C ．(2x ＋x 2)e x D ．(x ＋x 2)e x 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x .2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0解析 y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e . 答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2 解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2 x ，∴＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案8三、解答题9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e x D ．y ＝x 3解析 若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))， 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B.32 C.52 D. 2解析 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时， 点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x (x >0)．∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．答案 [2，＋∞)14．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.3 利用导数解决实际问题
(-2)
2
(2)当 2a≥b 时,y'=sk·
2 ≤0 在区间(a,b]上恒成立,故当 x=b 时,ymin= - .
(-)
综上可知,若b≤2a,则当船在静水中的航行速度为b km/h时,其全程的燃料
费用最省;
若b>2a,则当船在静水中的航行速度为2a km/h时,其全程的燃料费用最省.
所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5 m,那么高为多少时,容器的容
积最大?请求出它的最大容积.
解:设容器底面一条边长为x m,
则另一条边长为(x+0.5)m,
14.8-4-4(+0.5)
高为
=(3.2-2x)m.
4
3.2-2 > 0,
解得 0<x<1.6.
> 0,
设容器的容积为y m3,
此时 6πR2=2πRh+2πR2,故 h∶R=2∶1.
答案:2∶1
反思感悟
选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.先正确列出函数的解析式,再
利用导数求最值,其中正确列出函数的解析式是解题的关键.
【变式训练2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶
和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚
容积的最值问题
【例1】 先在长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮的四角上分别截掉一个
大小相同的小正方形,再把四边折起焊接,做成一个无盖的容器.当该容器
的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
分析: 设高为x→建立容积V(x)关于x的函数→利用导数求出V(x)的最大值
→得出结论
解:设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.2.1 导数与函数的单调性
解:f'(x)=3ax2-2x+1.
∵f(x)在R内单调递增,∴f'(x)≥0在R内恒成立,即3ax2-2x+1≥0在R内恒成立.
> 0,
> 0,
1
则有
即
∴a≥ .
3
≤ 0,
4-12 ≤ 0,
1
故 a 的取值范围为 , + ∞ .
3
【易错辨析】
求函数单调区间时忽略定义域而致误
3
延伸探究
1.若例1的条件不变,试求不等式f'(x)>0的解集.
3 1
解:由题图可知函数 y=f(x)在区间 - ,- 和(1,2)内单调递增,故 f'(x)>0 的解集
2 3
3 1
为 - ,- ∪(1,2).
2 3
2.若例1的条件不变,试求不等式xf'(x)>0的解集.
1
解:当 x<0 时,f'(x)<0,由题图可知- <x<0.
故选D.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=
解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,
2
∴-1+3=- ,-1×3= ,
3
3
∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.
答案:-12
.
4.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围
【典例】 已知函数
(江苏专用)2013高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第13讲 导数的概念与运算》课件 理 苏教版
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝ axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝
1 xln
a
f(x)＝ln x
f′(x)＝1 x源自．导数的运算法则∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2
＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝ 3－x.
由y＝u12与u＝3－x复合而成．
y′＝f′(u)·u′(x)＝(u12)′(3－x)′＝12u－12(－1)
＝－12u－12＝－2
31－x＝
3－x 2x－6 .
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋3π， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin2x＋3π·cos2x＋π3＝2sin4x＋23π. (4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′ y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
(4)∵y＝－sin2x－cos2x＝12sin x，
∴y′＝12sin x′＝12(sin x)′＝12cos x.
(5)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
2．(2011·南通调研)已知函数f(x)＝
1 3
x3＋x2＋(2a－1)x＋a2－a＋
1，若f′(x)＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为
________．
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 习题课——导数的综合应用
取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
1
1-22
f'(x)=-2ax= .当 a≤0 时,f'(x)>0,故函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
当 a>0 时,由 f'(x)>0,得 0<x< 2,
1
1
由 f'(x)<0,得 x> 2,故函数 f(x)在区间 0, 2 内单调递增,在区间
和(1,+∞)内单调递增,在区间(2a,1)内单调递减.
2
1
(-1)
③当 a=2时,f'(x)= ≥0,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
1
④当 a>2时,2a>1,所以当 0<x<1 或 x>2a 时,f'(x)>0,当 1<x<2a 时,f'(x)<0,所以
f(x)在区间(0,1)和(2a,+∞)内单调递增,在区间(1,2a)内单调递减.
①当2a≤0,即a≤0时,x-2a>0,
所以当0<x<1时,f'(x)<0,
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
1
②当 0<2a<1,即 0<a< 时,0<2a<1,
2
所以当 0<x<2a 或 x>1 时,f'(x)>0,当 2a<x<1 时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间(0,2a)
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 第六章 导数及其应用 6.1.2 导数及其几何意义
202 =1,∴x0=±
2
.
2
2
2
当 x0=- 时,切线 l 的方程为 y-2× 2
2
2
2
当 x0= 时,切线 l 的方程为 y-2×
2
2
2
2
2
2
-1=4× x-4× 2
2
2
2
-1=4× x-4×
2
2
2
,即 y=-2√2x;
2
,即 y=2√2x.
故过点 P(0,0)且与曲线 C 相切的直线 l 的方程为 y=-2√2x 或 y=2√2x.
Δ (0 +Δ)-(0 )
(2)求平均变化率Δ =
.
Δ
f(x0 +x)-f(x0 )
(3)取极限,得导数 f'(x0)= lim
.
x
Δ→0
【变式训练1】 求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解:当自变量在x=1处的改变量为Δx时,
∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=[3(1+Δx)2+a(1+Δx)+b]-(3+a+b)=3(Δx)2+(6+a)Δx,
则Δ =
=
Δ
Δ
=(Δx)2+3x0Δx+302 .
所以 f'(x0)= lim [(Δx)2+3x0Δx+3x02 ]=3x02 .
Δ→0
故切线方程为 y-x03 =3x02 (x-x0).
而该切线经过点(1,1),所以 1-x03 =3x02 (1-x0),
1
解得 x0=1 或 x0=-2.
高中数学第6章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件新人教B版选择性必修第三册
1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平 均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．
2．运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动 的位移函数 s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实 质就是求函数的平均变化率．
[跟进训练] 3．一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之 间的函数关系为 s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在 2≤t≤3 这段时间内的 平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( ) A．2 B．1 C．－1 D．6 B [由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m) ＝26，解得 m＝1，选 B.]
当ΔΔyx＝0 时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如 f(x) ＝x2 在区间[－2,2]上的平均变化率是 0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线 AB 的 斜率，其中 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上 kAB＝fxx22－－fx1x1＝ΔΔyx.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 的值可正可负 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负，也可以为零．
()
(3)ΔΔxy表示曲线 y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
求物体运动的平均变化率
【例 2】 跳水运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在0，6459这段时间内的平均速度； (2)运动员在0，6459这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
高考数学文科导数及其应用最全讲解含答案解析
第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103. 4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e . 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x . ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y＝f(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案．2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝()A．3x2－12x＋6 B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11解析：选D法一：y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围；(4)切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．解析：∵f′(x)＝11＋x－1＋2x，∴f′(1)＝32，f(1)＝ln 2，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x －1上，且在第三象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1， 又∵点M 在第三象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)－1＝－1， ∴点M 的坐标为(－1，－1)． 答案：(－1，－1)角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f(x)＝4x2(1－ln x)(x>0)，则f′(x)＝4x(1－2ln x)，易知，函数f(x)＝4x2(1－ln x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以函数f(x)＝4x2(1－ln x)的最大值是f(e)＝2e，则正实数a的取值范围是(0,2e]．答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)x＋1＞0.设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1，则g′(x)＝1x－2a(x＋1)2＝x2＋2(1－a)x＋1x(x＋1)2，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为： y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ， 得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题 1．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，πC .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：由题意，当x >0时，则－x <0，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线的斜率f ′(1)＝－2，则切线方程为y －(－3)＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝08．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝－1ln 2， ∴所求三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.答案：12ln 29．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1， 设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1t x ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x >0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2 ＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析]函数单调性的判断[典例] 设函数f (x )＝－a 22[解] 由f (x )＝－a 2ln x ＋x 2－ax ，可知f ′(x )＝－a 2x ＋2x －a ＝2x 2－ax －a 2x＝(2x ＋a )(x －a )x(x >0)． 若a >0，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若a ＝0，则f ′(x )＝2x >0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，函数f (x )单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： (1)y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识； (2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围； (4)构造函数解不等式.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )＝0有两个大于0不同的实根，且a >0，由根与系数的关系可得－2b 3a >0，c3a>0，则b <0，c >0.2.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小3．已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 212·f ⎝⎛⎭⎫log 212，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b解析：选C 因为f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，则函数F (x )＝xf (x )是奇函数． 因为当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立， 所以F (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以F (x )在R 上是减函数， 因为20.1>1,0<ln 2<1，log 212＝－1<0，所以c >b >a .角度三：已知函数单调性求参数的取值范围4．(2018·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立，即a ≥－()2x 2＋4x 或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1＜x ＜2， 则－16＜g (x )＜－6，∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.5．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) [方法技巧]由函数的单调性求参数的范围的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．角度四：构造函数解不等式6．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<e x－2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞) 解析：选B 令g (x )＝f (x )e x －2，g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －2<0，所以函数g (x )＝f (x )ex －2是减函数，又g (1)＝1，所以不等式f (x )<e x－2的解集为(1，＋∞)．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，由2f (x )＋xf ′(x )>x 2(x <0)，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]<x 3<0，故函数g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)上是减函数，故由不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0，可得－1<x ＋2 018<0，即－2 019<x <－2 018，所以不等式的解集为(－2 019，－2 018)．答案：(－2 019，－2 018)1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 34，1.一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) 解析：选D f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1，当0<x <12或x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)． 2．(2018·成都外国语学校月考)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值， 所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x 得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ，因而f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.5．(2017·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 6．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，43B.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－32D.⎣⎡⎭⎫－32，＋∞ 解析：选B f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.二、填空题7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，即(e x －1)·(x ＋1)>0，解得x ∈(－∞，－1)或x ∈(0，＋∞)．所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)8．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .若函数f (x )在定义域上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝ln x －2ax ，因为函数f (x )在定义域上为减函数， 所以ln x －2ax ≤0，即a ≥ln x2x在(0，＋∞)上恒成立，。
高中数学 第6章 导数及其应用章末综合提升教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修
第6章导数及其应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]导数的几何意义及其应用[例1](1)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．e C．2D．1(2)函数y＝f(x)的图像是以下四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如下图，那么该函数的图像是()(1)C(2)B[(1)y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k＝2.(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确．]利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程〞，那么此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程〞，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，那么切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程． [跟进训练] 1．曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，那么切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，那么切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43. ∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.利用导数判断函数的单调性－(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，那么g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个.[跟进训练]2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x ＋x ＋2＞0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝(x －2)e x ＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a )．由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a ＝e x ax a ＋2. 于是h (a )＝e x a x a ＋2.由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2＞0，得y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为y ＝e xx ＋2在x ∈(0，＋∞)上单调递增，对任意λ∈⎝⎛⎦⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝⎛⎦⎤12，e 24.利用导数研究函数的极值、最值平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，某某数c 的取值X 围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )的最大值为f (0)＝2，f (x )的最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )的最小值为f (2)＝－2，f (x )的最大值为f (0)与f (t )中较大的一个． f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )的最大值为f (0)＝2.综上可知，当t ∈(0,2]时，f (x )的最大值为2，最小值为t 3－3t 2＋2；当t ∈(2,3)时，f (x )的最大值为2，最小值为－2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(xg (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，假设函数y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，某某数m 的取值X 围．[解]由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴y ＝13f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .那么由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图像与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，2323 ⎝⎛⎭⎫23，4 4 (4，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )↗6827－m ↘－16－m↗那么函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m . ∵y ＝f (x )的图像与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图像有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.利用导数解决实际问题[例4]A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v ≤v 0)．假设船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12(千米/时)时，每小时的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？[解]设每小时的燃料费为y 1元，比例系数为k (k >0)，那么y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，解得k ＝5. ∴y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v(v －8)2.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.∴当v 0≥16时，v ＝16(千米/时)时全程燃料费最省； 当v 0<16，v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数． ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8.综上可知，假设v 0≥16，那么当v ＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；假设v 0<16，那么当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．1．在某某际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题． [跟进训练]4．某工厂生产某种产品，该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解] 每月生产x 吨时的利润为 f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，令f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[培优层·素养升华][例] 定义在R 上的函数f (x )的导数为f ′(x )，假设对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 020为奇函数，那么不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，1e D.⎝⎛⎭⎫1e ，+∞ B [由题意可知，令g (x )＝f (x )e x ，那么g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ，因为f ′(x )<f (x )，故f ′(x )－f (x )<0， 即g ′(x )<0，∴g (x )在R 上为减函数． 又因为f (x )＋2 020为奇函数， 所以f (0)＋2 020＝0，即f (0)＝－2 020，那么g (0)＝－2 020. 所以不等式f (x )＋2 020e x <0等价于g (x )<g (0)，∴x >0，即不等式f (x )＋2 020e x <0的解集为x ∈(0，＋∞)．应选B.]这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.[素养提升练]定义在区间(0，＋∞)上函数f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，f ′(x )为f (x )的导数，那么f (2)f (1)的取值X 围是________．(4,8)[令g (x )＝f (x )x 3，那么g ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4，因为xf ′(x )<3f (x )，那么xf ′(x )－3f (x )<0. 所以g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立． 即g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 可得g (2)<g (1)，即f (2)8<f (1)1.由2f (x )<3f (x )可得f (x )>0，那么f (2)f (1)<8，令h (x )＝f (x )x 2，那么h ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3，因为xf ′(x )>2f (x )， 即xf ′(x )－2f (x )>0，所以h ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴h (2)>h (1)． 即f (2)4>f (1)，即f (2)f (1)>4， ∴4<f (2)f (1)<8.]。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第6讲 对数与对数函数讲义 理(含解析)-人教版高三全
第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。
新教材高中数学第6章导数及其应用：利用导数解决实际问题ppt课件新人教B版选择性必修第三册
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问 题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数 的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数 f(x) 在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可， 不必再与端点处的函数值进行比较．
[跟进训练] 1．将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全 为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊 接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形， 且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为 x m，容积为 y m3.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱的容积最大．
7
内
单
调
递
增
，在4－3来自7，1内单调递减， 所以当 x 的值为4－3 7时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题 【例 2】 位于 A，B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如 图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何 处时，所需电线总长最短．
[思路点拨] 可设 CD＝x km，则 CE＝(3－x)km，利用勾股定理 得出 AC，BC 的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路点拨] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和 “体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用 x 将等量关系中 的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
《导数的应用文科》课件
导数在金融、经济等领域的 应用将更加重要
导数在教育、科普等领域的 应用将更加普及
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导数在历史学中的应用
历史事件的变化趋 势：通过导数分析 历史事件的发展趋 势和变化规律
历史人物的评价： 通过导数分析历史 人物的贡献和影响
历史事件的影响： 通过导数分析历史 事件对后世的影响 和意义
历史事件的比较： 通过导数分析不同 历史事件之间的异 同和联系
导数在哲学中的应用
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导数在哲学中的定义：导数在哲学中通常被用来描述事物发展的趋势和变 化速度。
自然语言处理： 导数在语言模型 和情感分析中用 于优化模型参数
计算机视觉：导 数在图像识别和 图像生成中用于 优化模型参数
导数在大数据分析中的应用前景
导数在数据分析中的重要性：导 数是数据分析中的重要工具，可 以帮助我们更好地理解和分析数 据。
导数在机器学习中的应用：导数 在机器学习中扮演着重要的角色， 可以帮助我们更好地理解和优化 机器学习模型。
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添加目录项标题 导数在生活中的应用 导数的实际应用案例 总结与展望
导数的定义与性质 导数在文科中的应用 导数的未来发展前景
01
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02
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的极限值 导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的局部线性近似 导数是函数在某一点的局部线性逼近
高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.4求导法则及其应用课件新人教B版选择性必修第三册
4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.
【思维导引】(1)由条件列出关于a,b的二元一次不等式组求解. (2)设任一点P(x0,y0),由(1)得f(x)及f′(x).求点P处的切线方程,再用x0表示 三角形面积,化简即可.
3
3x 1
3x 1
2
答案: 3
2
核心互动探究
探究点一 利用运算法则求函数的导数
【典例1】(1)已知函数f(x)= x +2lnx图像在点P的切线平行于直线5x-2y=
2 019,则点P的坐标为 ( )
A.(2,0)
B. (e，2 e)
(2)求下列函数的导数.
C.(1， 4 033) D.(1,1)
基础预习初探
主题1 导数的运算法则 利用导数的定义分别求y=5+x,y=5x,y= 5 的导数.
x
提示:(1)
y x
5
x
=xx1,5
x
y lim y=1l.i故m 1y=5+x的导数为1.
x x0
x0
(2) y 5x =x5, 5x
y
x lim
y
x
=l5im.故5y=5x的导数为5.
x x0
【补偿训练】求下列函数的导数:
(1)y= sin x .(2)y= x2 .
x
ln x
【解析】(1)y′=
( sin x
x )
sin
x
x sin x2
x
x
cos
x
x sin x2
x
1
xcos
高中数学第5章导数及其应用5.35.3.2极大值与极小值课件苏教版选择性必修第一册
已知函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存 在的条件：若 f(x0)是函数的极值，那么 f′(x0)＝0，且 x0 两侧的导数值 异号．
x
－∞，a3
a 3
f′(x)
＋
0
a3，a2 －
a 2
a2，＋∞
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当 x＝a3时，函数 f(x)取得极大值，为 f a3＝2a73 ； 当 x＝a2时，函数 f(x)取得极小值，为 f a2＝0．
②当 a＜0 时，a2＜a3，则随着 x 的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如 下表：
(2)f′(x)＝(x－1)ax＋1，x＞0， 当 a≥0 时，ax＋1＞0，令 f′(x)＜0，得 0＜x＜1； 令 f′(x)＞0，得 x＞1．f(x)在 x＝1 处取极小值． 当 a＜0 时，方程ax＋1＝0 必有一个正数解 x＝－a，
①若 a＝－1，此正数解为 x＝1，此时 f′(x)＝(x－x1)2≥0，f(x)在(0， ＋∞)上单调递增，无极值．
第5章 导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 极大值与极小值
学习任务
核心素养
1．了解极大值、极小值的概念．(难 点)
1．通过对极值点与极值概念的 学习，体现了数学抽象的核心素
2．了解函数在某点取得极值的必 养．
要条件和充分条件．(重点、易混 点)
2．借助函数极值的求法，提升 逻辑推理、数学运算的核心素
x
新教材高中数学第6章导数及其应用：导数与函数的单调性pptx课件新人教B版选择性必修第三册
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线 y＝f(x)在区间(a，b) 对应的那一段上每一点处切线的斜率都 小于0 ，曲线呈下降状态，因 此 f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1)
(2)
思考 1：如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，那么函数 f(x)有什么 特性？
[提示] f(x)是常函数． 思考 2：在区间(a，b)内，f′(x)>0 是 f(x)在(a，b)上为单调增函 数的什么条件？ [提示] 充分不必要条件，如 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增， 但 f′(x)＝3x2≥0.
(2)因为 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函 数 f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．]
利用导数求函数的单调区间
角度一 不含参数的函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋1x.
第六章 导数及其应用
6.2 利用导数研究函数的性质 6．2.1 导数与函数的单调性
学习目标
核心素养
1.理解导数与函数的单调性的关 1.通过利用导数判断函数单调性
系．(易混点) 法则的学习，提升数学抽象素养．
2．掌握利用导数判断函数单调性 2．借助判断函数单调性及求函数
的方法．(重点) 的单调区间，提升逻辑推理、数学
1．可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子 区间内都不恒等于 0.
2．已知 f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题 时，区间(a，b)应是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题 时，可转化为 f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号 是否成立．
2013年高考专题辅导与训练课件2.3导数的简单应用(数学文)新课标·通用版
当a>0时，由f′(x)>0可得 0 x 1，
2
由f′(x)<0可得 x 1，
2
∴f(x)的单调递增区间为 (0, 1 ), 单调递减区间为(1， ).
2
2
…………………………………………………………………4分
当a<0时，f′(x)>0即 x 1 , f′(x)<0即 0 x 1，
3
分类讨论思想——解答含有参数的问题 分类讨论思想：分类讨论思想是将一个较复杂的数学问 题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础问题的解 答来实现解决原问题的思想策略. 含参数问题的主要类型: (1)含有参数的方程的求解问题； (2)含有参数的不等式的求解问题； (3)含有参数的函数的单调性、极值(最值)问题； (4)二元二次方程表示曲线类型的判定问题.
已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)若a=2，求证:f(x)在(1，+∞)上是增函数； (2)若f(x)在［1,e］上是增函数,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=x2-2lnx,
当x∈(1，+∞)时, f x 2(x2 1) 0.
x
故函数f(x)在(1，+∞)上是增函数.
b
. 5
解得b=c＝0.…………………………………………………2分
(2)由(1)知，f
x
x
3
x
2
,
x＜1 .
alnx, x x2 2x 3x(x 2). ……………4分
3
令f′(x)=0得x=0或 x 2 .
(2)设f(x)=g(x),则有 1 x3 x2 3x c 0,
2013高三文科暑期第6讲导数及其应用教师版
第 6 讲导数及其应用知识构造图知识梳理1．导数的观点均匀变化率刹时变化率某点的导数 f ( x )在一点可导在区间(a ，b)上可导导函数f ( x)2．导数的几何意义：曲线y f (x) 过点 (x0，f (x0 )) 的切线的斜率等于 f (x0 ) ．3．常有函数的导数公式：C0（ C 为常数）；x x 1 ；x x1）；ln xa a ln a （a 0，且a4．两个函数的和、差、积、商的求导法例：法例 1 u x v x u x v x ．s i nx c ox ；s c o sx s ixn；e x e x；1；log a x1（a0 ，且 a1）．x xln a法例 2u x v x u x v x u x v x ．法例 3u x u x v x u x v x．v x v2xv x 05．导数的应用⑴利用导数判断单一性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．<教师存案 >导数分红两讲复习，这一讲复习导数的观点、求导法例及其逆用、切线问题、导函数的图象、导函数的简单应用．下一讲要点复习与函数的性质有关的导数问题、含参的函数的单调性与极值、以及简单的恒建立与存在性问题．经典精讲尖子班教案 1【铺 1】 函数 y( x 1)2 ( x 1) 在 x1 处的导数等于（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【分析】 D考点：导数的运算【例 1】 ⑴ 求以下函数的导数：① f ( x)xsin x cos x ；② f ( x) tan x1；③ f ( x) x 2 e xx ．x 2 ( xxln x⑵ 已知函数 f (x)1) ，若 fx 0x 0 ，则 x 0 _______．⑶（ 2009 湖北理 14）已知函数f xfπ cosx sin x ，则 f π 的值为．44【分析】 ⑴ ① f ( x)xcos x ；② f ( x)1x ．22cos x2 x③ f ( x) 2 xexx 2exln x 21．(ln x)⑵ 0或1；⑶ 1【备选】 f ( x) x 3 x 2 f (1) 3xf ( 1) ，则 f 1 的值为 ________．【分析】2尖子班教案 2【铺 1】 ⑴（ 2009 海南文 13）曲线 y xe x 2 x 1 在点 0 ，1 处的切线方程为．⑵（ 2009 江苏9）在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在曲线 C : yx 310x 3 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的坐标为．【分析】 ⑴ y 3 x 1 ．⑵2 ，15考点：导数的几何意义【例 2】 ⑴（ 2008 江苏 8）直线 y1 ln x( x 0) 的一条切线，则实数b 的值为．x b 是曲线 y2⑵ 设曲线 ⑶ 若曲线【分析】 ⑴ ln2 1⑵ 2 ⑶ a 1yx1在点 3, 2 处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a ________． x 1a 的取值范围是 ________．C : y ax ln x 存在斜率为 1 的切线，则实数目标班教案 1【拓 2】⑴（ 2009 江西理 5 改编）设函数 f x g x x2，曲线 y g x 在点 1 ，g 1 处的切线方程为 y2x 1 ，则曲线 y f x在点1， f 1处切线的方程为 ______________．⑵（ 2009 福建理 14）若曲线 f x ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是 ________．【分析】⑴ y4x⑵，0．【备选】（ 2010 丰台二模文 14）直线 y ex b （ e 为自然对数的底数）与两个函数 f ( x) e x， g (x)ln x 的图象至多有一个公共点，则实数 b 的取值范围是__________．【分析】 2,0考点：利用导数研究函数图象【例 3】⑴（ 2010 旭日二模文6）函数 f ( x) x3x21 的图象大概是（）．2y y y yO xOxOxOxA. B. C. D.⑵（ 2010 年石景山一模文7）已知函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图，那么函数 f x的图象最有可能的是（）．⑶（ 2007 浙江）设 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数，将y f (x) 和 y f ( x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是（）y y y yO x O xO x O xA. B. C. D.⑵ A⑶ D尖子班教案 3【拓 1】 （2010 年旭日二模理 6）函数 f (x) ( x 22 x)e x 的图象大概是（）yyyyOx OxOxOxABCD【分析】 A目标班教案 2【拓 2】 （ 2010 年宣武二模理 6）已知函数的图象如右图所示，则其函数分析式可能是（）A ． f x x 2ln xB ． f x x 2ln xyC ． f xx ln xD ． f xx ln x【分析】 BO1 x考点：函数及其导函数图象综合【例 4】 ⑴（ 2008 全国Ⅰ文 2）汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（ ）s s s sOt OtOtOtA.B.C.D.⑵（2008 崇文二模文 8）若偶函数 f ( x) 定义域为，0 0， ，f (x) 在 0 ， 上的图象如下图，则不等式f ( x) f (x) 0 的解集是（ ）A ．， 1 0 ，1 B ． 1，0 1，C ． ， 11，D ．1，00 ，1⑶（ 2009 年宣武二模文函数，如下图的是大值与极小值分别是（A ． f 1 与 f 1C ． f2 与 f 28）设 fx 是一个三次函数， f x 为其导 yy x fx 的图象的一部分，则f x 的极）B ． f 1 与 f 1 -2-1O1 2xD ． f 2 与 f 2⑵ B⑶ C考点：利用导数研究函数的简单应用 【例 5】 ⑴（ 2009 广东文 8）函数 fxx 3 e x 的单一递加区间是（）A ． ，2B ． 0，3C ． 1，4D ． 2，⑵ 函数 fxx ln x , x 0,5 的最小值为 ________．⑶ 设函数 f ( x) x 3 ax 2bx 1 ，若当 x 1时，有极值为 1，则函数 g( x)x 3 ax 2 bx 的单调递减区间为．【分析】 ⑴ D⑵ e 1⑶1，53目标班教案 3【拓 2】 （ 2009 湖南理 8）设函数 yf ( x) 在 ( ， 内有定义．关于给定的正数 K ，定义函数f K ( x )f ( x) ， f ( x) ≤ K ， 取 函 数 f (x)2x e x ． 若 对 任 意 的 x (， )，恒有K ， f ( x) K .f K xf x ，则（）A ． K 的最大值为 2B ． K 的最小值为 2C ． K 的最大值为 1D ． K 的最小值为 1【分析】 D ；考点：导数公式的逆用【例 6】 ⑴（ 2010 丰台二模理 7）设 fx 、 g x 是 R 上的可导函数，f x 、g x 分别是 f x 、 g x 的导函数，且f xg x f x g x 0 ，则当 ax b 时，有（）A ． f x g x f b g bB ． f x g a f a g xC ． f x g bf bg xD ． f x g xf ag a⑵ 已知 f x ， g x 都是定义在 R 上的函数，且知足以下条件：① fxa x g x （ a 0 ，a 1 ）；② g x 0 ；③ fx g xf xg x ．若 f1f 1 5，则实数 a________．g 1g12⑶ f x是定义在0 ,上的非负可导函数，且知足xf x f x ≤ 0 ，对随意正数 a 、b，若 a b ，则必有（）A ． af (b) ≤ bf ( a)B． bf (a ) ≤ af (b)C． af ( a) ≤ f (b) D ． bf (b) ≤ f (a)【分析】⑴ A1⑵2⑶A【备选】（ 2009 天津文 10）设函数 f x 在R上的导函数为 f x ，且 2 f x xf x x2．下边的不等式在 R 上恒建立的是()．A ． f x 0 B． f x 0C． f x x D． f x x【分析】 A ．曲线 y x32x24x2过点1，3的切线方程是 _____________ ．【分析】 5x y20 或 21x 4 y90 ．真题再现（2010 北京文 18）设函数f x a32cx d a 0 ，且方程 f x 9x0 的两个根分别为1， 4．x bx3⑴当a3且曲线 y f x 过原点时，求 f x 的分析式；⑵若 f x 在内无极值点，求 a 的取值范围．【分析】⑴ f x x33x212x ．⑵ a 的取值范围是19 ．实战操练【操练 1】（ 2008海南宁夏文4）设 f (x)xln x ，若 f ( x0 ) 2 ，则 x0（）A ． e2B ． e C． ln 2 D ．ln22【分析】 B【操练 2】（ 2009 西城二模理 5）已知函数 f (x)sin x ， f (x) 为 f (x) 的导函数，那么（A ．将 f ( x) 的图象向左平移π个单位能够获得f ( x) 的图象2B ．将 f ( x) 的图象向右平移 π个单位能够获得f ( x) 的图象C ．将 f ( x) 的图象向左平移2 f ( x) 的图象π个单位能够获得D ．将 f ( x) 的图象向右平移 πf ( x) 的图象个单位能够获得 【分析】 A ；【操练 3】（ 2010 丰台一模文 12）函数 f (x) ln x 的图象在点e ，f (e) 处的切线方程是【分析】 x ey【操练 4】（ 2009 湖南文 7）若函数 yf ( x) 的导函数 在区间 [ a , b] 上是增函数，则函数．．．间 [ a , b ] 上的图象可能是（）y yyyOab x Oab x Oab x Oab xABCD【分析】 A【操练 5】函数 y 13x x 3 有（）A ．极小值 1，极大值 1B ．极小值 2 ，极大值 3C ．极小值2 ，极大值 2D ．极小值 1，极大值 3【分析】 D【操练 6】（ 2008 海淀一模理 13）已知点 P 2 ，2 在曲线 yax 3 bx 上，假如该曲线在点率为 9 ，那么 ab．【分析】 3）．y f ( x) 在区P 处切线的斜大千世界(2009 清华大学自主招生文 3)一元三次函数 f x 的三次项系数为a， f x 9 x 0 的解集为 1 , 2 ．3⑴ 若 f x7 a 0 有两个相等实根，求f x 的分析式；⑵ 若 fx 在 R 上单一递减，求a 的范围．a x3bx2cx d，则 f x ax22bx c ， f x 9x ax22b 9 x c．【分析】设 f x3f x9x0的解集为 1 ,2，∴ x 1和 x 2 是方程ax22b9x c 0的两根．所以 a0 ， 2b3a9 ， c2a ．⑴ax22b9x c7a0，即 ax23ax9a 0 的0 ，解得 a3或 a1（舍去），所以2b18 ， c 6 ，f x3x218x6 ．⑵ f x 在R上单一递减，∴ f x 在R上恒有 f x≤ 0a0a0，于是，即a 254a81≤ 0≤ 0解得 a2718 2 ,27182．。
2013高三文科暑期第7讲函数与导数教师版
第 7 讲函数与导数知识构造图知识梳理1．若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 上单一递加 (减 )，则当 x( a ，b) 时， f ( x) ≥ 0 ( f ( x) ≤ 0 )．2．办理导数中的恒建立与存在性问题，常用方法有参数分别法与整体考虑法，前者合用于参数比较容 易分别，且分别后获得的函数不太复杂的情况；后者需要分类议论，获得参数范围．经典精讲尖子班教案 1【铺 1】 ⑴（ 2010 江西文 4）若函数 fx ax 4 bx 2 c 知足 f 1 2，则 f1（）A ． 1B ． 2C ． 2D ． 0⑵ 已知函数 f x 为偶函数，且在点1, f 1 的切线的斜率为 2 ，则在点1, f1 的切线斜率为 _____．【分析】 ⑴ B⑵2考点：函数与导数简单联合【例 1】 ⑴（ 2010 山东文 10）察看 x 22 x ， x 4 4 x3 ， cos xsin x ，由概括推理可得：若定义在 R 上的函数 f x 知足 fxf x，记 g x 为 f x 的导函数，则 gx （）A ． f xB ． f xC ． g xD ． g x⑵（ 2009 浙江文 8）若函数 f ( x)x 2a(a R ) ，则以下结论正确的选项是（）xA ． a R ， f (x) 在 (0 ，) 上是增函数B．a R ，f (x)在(0，) 上是减函数C．a R ，f (x)是偶函数D．a R ，f (x)是奇函数【分析】⑴ D；⑵C目标班教案 1【拓 2】（ 2011 哈师大附中模拟文10）已知对随意实数x ，有 f x f x ，g x g x ，且x 0时， f x0 ， g x0 ，则x0 时，（）A ． f x0 ， g x 0B． f x0 ， g x0C． f x 0 ， g x 0D． f x0 ， g x 0【分析】 B考点：利用导数研究函数性质【例 2】⑴（ 2010 宣武一模文14）有以下命题：① x 0 是函数y x3的极值点；②三次函数 f (x)ax3bx2cx d 有极值点的充要条件是b23ac 0 ；③奇函数 f (x)mx3(m 1)x248(m2) x n 在区间 4 ，4上是单一减函数．此中假命题的序是．⑵（ 2010 北京师大二附中高三第一学期期中考试8）已知函数 f x 2 x1，关于知足0x1 x2 2 的随意x1, x2，给出以下结论：① x2 x1 f x2 f x10 ；② x2 f x1x1 f x2；③ f x2 f x1x2x1；f x1 f x2fx1x2．④22此中正确结论的个数是（）A ． 0B． 1C． 2D． 3【分析】⑴ ①⑵ C【备选】（ 2010-2011西城高三第一学期期末测试8 改编）11x关于函数① 5 ，② f (x)log 2 x，判断以下两个命题的真假：f (x) 4x2x命题甲： f (x) 在区间 (1，2) 上是增函数；命题乙： f (x) 在区间 (0 ，) 上恰有两个零点 x1， x2，且 x1 x2 1 ．能使命题甲、乙均为真的函数的序是（）A ．①B．②C．①②D．无【分析】Ｃ；尖子班教案2【铺1】 ⑴ 若函数 h( x)2x kk在 1, 上是增函数，则实数k 的取值范围是（）x 3A ．[ 2,) B ．[2, )C ． ( , 2]D ． ( , 2]⑵ 已知函数 f (x)4x ax22 x3 在区间 1 ，1 上是增函数，则实数a 的取值范围为 ______．3【分析】 ⑴ A⑵1 ，1目标班教案 2【铺 2】 若 g ( x)k k ln x ，且 g (x) 在 (1,) 上是增函数， 则此时实数 k 的取值范围是 ______．2x3x【分析】 [ 3，)考点：已知单一性求参数范围【例 3】 （ 2010 年旭日一模文 18）已知函数 f (x) mx 3 3x 2 3x ， m R ．⑴ 若函数 f ( x) 在 x 1处获得极值， 试求 m 的值，并求 f (x) 在点 M (1 ， f (1)) 处的切线方程；⑵ 设 m0 ，若函数 f (x) 在 (2 ，) 上存在单一递加区间，求m 的取值范围．【分析】 ⑴ m 3 ；切线方程为 12 xy 9 0 ．⑵ m 的取值范围是3 ， ．4【备选】 （ 2010 海淀二模文 19）已知函数f ( x) ( ax 1)e x ， aR ，⑴ 当 a1时，求函数 f ( x) 的极值；⑵ 若函数 f ( x) 在区间 (0, 1) 上是单一增函数，务实数a 的取值范围．【分析】 ⑴ f ( x) 获得极小值 f (0)1 ．⑵ a ≥ 1 ．考点：极值和最值【例 4】 已知函数 f (x) ln xa ．当 a 0 时，求函数x ⑴ f (x) 的单一区间； ⑵ 若函数 f x 在 1 , e 上的最小值是3 ，求 a 的值．2 【分析】 ⑴ 函数 f x 的单一递加区间为 0,．⑵ a 的值为 e ．考点：分类议论求单一区间【例 5】 （ 2010 年旭日二模文 18）已知函数 f (x) ln x ax 2R ，且 a ≥0 ．(a 1)x ， a2 ⑴ 若 f (2) 1 ，求 a 的值；⑵ 当 a0 时，求函数 f (x) 的最大值；⑶ 求函数 f ( x) 的单一递加区间．【分析】 ⑴a3 ．2⑵ 最大值为 f (1)⑶ 当 a0 时，函数1 ． f ( x)的递加区间是(0 ，1) ；当 0 a1时，函数 f ( x) 的递加区间是 (0 ，1) ， 1，；a当 a 1 时，函数 f ( x) 的递加区间是 (0 ， ) ；当 a 1 时，函数 f ( x) 的递加区间是0，1， (1，) ．a尖子班教案 3【铺 1】 （ 2008 安徽文 20）设函数 f xa x 3 3 x 2 a 1 x 1 ，此中 a 为实数． 3 2⑴ 若函数 f ( x) 在 x 1处获得极值，求 a 的值；⑵ 若不等式f (x)x 2xa 1 对随意 a0 ， 都建立，务实数x 的取值范围．【分析】 ⑴ a 1⑵ x 的取值范围是x | 2 ≤ x ≤ 0考点：恒建立和存在性问题【例 6】 （ 2011 海口市调研文 21）已知函数 fxa x1ln x ．x⑴ 若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1处的切线方程；⑵ 若函数 f x在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；⑶ 在⑵的条件下， 设函数 gxe，若在 1, e 上起码存在一点x 0 ，使得 f x 0 ≥ g x 0 建立，务实数 a 的取值范围．x【分析】 ⑴ 切线方程为 yx 1．⑵ a ≥1． 2⑶ a ≥2e ．e 21目标班教案 3【拓2】（ 2010 东城一模理 18 改编）已知函数f ( x) xln x ，g (x)x2 ． xe求函数 f ( x) 在其定义域上的单一区间与极值； e⑴⑵ 求函数 f ( x) 在区间 [1，3] 上的最小值；⑶ 证明：对随意 m ， n(0 ， ) ，都有 f (m) ≥ g (n) 建立．【分析】 ⑴ f (x) 的单一递减区间为0 ，1，单一递加区间为1 ， ，ee在 x1处， f ( x) 有极小值 f1 1， f x 没有极大值．eee⑵ f ( x) 在区间 [1，3] 上的最小值为 0 ．⑶ 由题意知，即证 f (x) 的最小值不小于 g (x) 的最大值．由 ⑴ 可知 f (x) x ln x( x (0 ， )) 在 x1时获得极小值，也是最小值 1 ． ee 由 g ( x) x 2 1 xxe （ x 0 ），可得 g (x) x ．e e因此当 x (0 ，1) ，g ( x) 0 ，g ( x) 单一递加；当 x (1， ) ，g ( x) 0 ，g( x) 单一递减．因此函数 g (x)(x0) 在 x1时获得极大值，也是最大值g (1)1 ．e进而 f (m) ≥1≥ g (n) ，对随意 m ，n (0 ，) 建立．e已知函数 f (x) x 3ax 2 bx a 2 在 x1处有极值为 10 ，则 f (2) ______ ．【分析】 f (2) 18 ．【评论】对可导函数，f x0 是极值的必需条件，但不是充足条件．真题再现（ 2011 北京文 18）已知函数 f (x) ( x k )e x ． ⑴ 求 f ( x) 的单一区间；⑵求 f ( x) 在区间 [0 ，1]上的最小值．【分析】 ⑴ f ( x) 的单一递减区间是 (，k1) ；单一递加区间是 ( k 1， ) ⑵ f (x) 在区间 [0 ，1]上的最小值为f (1) (1 k )e ．实战操练【操练 1】关于 R 上可导的随意函数 f ( x) ，若知足 ( x 1) f ( x) ≥ 0 ，则必有（）A ． f (0) f (2) 2 f (1)B ． f (0) f (2) ≤ 2 f (1)C ． f (0)f (2) ≥ 2 f (1)D ． f (0)f (2) 2 f (1)【分析】 C【操练 2】（ 2010 北京二中高三第一学期学段考试8）设曲线 y x n 1 n N 在点1 ，1 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n ，则 log 2010 x 1 log 2010 x 2log 2010 x2009 的值为（）A ． log 2010 2009B ． 1C ． log 2010 2009 1D ． 1【分析】 B【操练 3】（ 2008 广东文 9）设a R ，若函数y e x ax （x R ）有大于零的极值点，则（）A ．a1 B． a 111 C． a D． ae e【分析】 A【操练 4】（ 2010 丰台二模文6）已知函数 f x是偶函数，在 (0 ,) 上导数 f x0 恒建立，则以下不等式建立的是（）A ． f 3f1 f 2B． f1 f 2f3C． f 2f3 f 1D． f2f1f3【分析】 B【操练 5】（ 2008 海淀一模文18）已知函数 f (x)3ax b 的图象是曲线C，直线 y kx 1 与曲线C相切于点1，3 ．x⑴求函数 f ( x)的分析式；⑵求函数 f ( x)的递加区间；⑶求函数 F ( x) f (x) 2x 3 在区间0 ，2上的最大值和最小值．【分析】⑴ f ( x) x3x3．⑵函数 f ( x) 的递加区间为， 3 与 3 ，．33⑶ F ( x) 的最大值为 2 ，最小值为 2 ．大千世界（ 2010 年北大、北航、港大联合自主招生保送生测试）A ,B 为 y 1 x2上在y轴双侧的点，求过A、 B 的切线与x轴围成面积的最小值．【分析】839y不如设过 A 点的切线交x轴于点 C ，过 B 点的切线交x轴于点 D ，直线 AC 与直线 BD 订交于点 E ．如图，设B(x1，y1)，EA( x2，y2 ) ，BAD且有 y2212， x10 x2．C1 x2， y1x1O xx2求导得 y对 y 1 2 x ，于是 AC的方程为 y y2 2 x2 ( x x2 ) ，即 2x2 x 2 y2 y ；①相同可得BD 的方程为2x1x2y1 y ．②联立AC ，BD 的方程，解得Ex 1 x 2 ， x 1 x 2 ．2 1关于 ①，令 y2 y 2 ， ；关于 ②，令 y0 ，得D2 y 1 ， ．0，得C2 x 2 02x 12 222于是 |CD |2 y 12 y 2 1 x 1 1 x 2 ． S △ CDE1 1 x 1 1 x 2(1 x 1 x 2 ) ．2x 12 x 22x 12x 22 2 x 12 x 2记 a x 1 , bx 2 ，则 a 0 , b 0 ，且 S1 1 a2 1 b 2 (1 ab)1 2a 2b1 1a 2b ab 2△ CDE4 a b4a b1( a b) 2 ab1 ≥ 12 ab2 ab 1 ．③（当 a b 时取到等）4ab 4ab下边来求12 ab 2 ab1 的最小值．4ab记 ab s0，则1ab 2 ab11 2s s 3 1 ．2ab2s要求12 s31 的最小值，有两种方法：2 ss法一：不如设 g (s)1 s32 s1 ，由 g (s) 1 3s 22 1知：当 0 s 21时， g (s)0 ；2s2s 23当 s21时， g (s) 0 ．则 g( s) 在0 ，3上单一减，在3 ， 上单一增．333于是当 s3时， g( s) 获得最小值， g3 1 3 2 3 38 3 ．332 9 39a b3时，有 S △ CDE min83 ．39法二：691161s 311 s 31 s1 s 11 ≥ 1s 31 s 1S △ CDE2s 162s233 9s9s 239s6 个9个243 81 1681 28 3 ．④3393 1s1 ，即 s 3 时，等建立． 当 s39s 3故当 x 1a3 ， x 2 b3时， ③ ，④ 处的等均可取到．33∴(S △CDE )min 8 3 ．9。
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⑵若 在 内无极值点，求 的取值范围．
【解析】⑴ ．
⑵ 的取值范围是 ．
【演练1】（2008海南宁夏文4）设 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【解析】B
【演练2】（2009西城二模理5）已知函数 ， 为 的导函数，那么（）
A．将 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
1．导数的概念
平均变化率 瞬时变化率 某点的导数 在一点可导 在区间 上可导 导函数
2．导数的几何意义：曲线 过点 的切线的斜率等于 ．
3．常见函数的导数公式：
（ 为常数）； ； ； ； ；
（ ，且 ）； ； （ ，且 ）．
4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：
法则1 ．
法则2 ．
法则3 ．
5．导数的应用
C． D．
⑶（2009年宣武二模文8）设 是一个三次函数， 为其导函数，如图所示的是 的图象的一部分，则 的极大值与极小值分别是（）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【解析】⑴A
⑵B
⑶C
考点：利用导数研究函数的简单应用
【例5】⑴（2009广东文8）函数 的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
⑵函数 的最小值为________．
⑶（2007浙江）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
【解析】⑴A
⑵A
⑶D
尖子班学案3
【拓1】（2010年朝阳二模理6）函数 的图象大致是（）
【解析】A
目标班学案2
【拓2】（2010年宣武二模理6）
已知函数的图象如右图所示，则其函数解析式可能是（）
A． B．
⑵（2009江苏9）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线 在点 处的切线的斜率为2，则点 的坐标为．
【解析】⑴ ．
⑵
考点：导数的几何意义
【例2】⑴（2008江苏8）直线 是曲线 的一条切线，则实数 的值为．
⑵设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________．
⑶若曲线 存在斜率为 的切线，则实数 的取值范围是________．
【例6】⑴（2010丰台二模理7）
设 、 是 上的可导函数， 、 分别是 、 的导函数，且 ，则当 时，有（）
A． B．
C． D．
⑵已知 ， 都是定义在 上的函数，且满足以下条件：
① （ ）；② ；③ ．
若 ，则实数 ________．
⑶ 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 、 ，若 ，则必有（）
A． B． C． D．
【解析】D
考点：导数的运算
【例1】⑴求下列函数的导数：
① ；② ；③ ．
⑵已知函数 ，若 ，则 _______．
⑶（2009湖北理14）已知函数 ，则 的值为．
【解析】⑴① ；
② ．
③ ．
⑵ 或 ；
⑶
【备选】 ，则 的值为________．
【解析】
尖子班学案2
【铺1】⑴（2009海南文13）曲线 在点 处的切线方程为．
直线 （ 为自然对数的底数）与两个函数 ， 的图象至多有一个公共点，则实数 的取值范围是__________．
【解析】
考点：利用导数研究函数图象
【例3】⑴（2010朝阳二模文6）
函数 的图象大致是（）．
⑵（2010年石景山一模文7）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（）．
B．将 的图象向右平移 个单位可以得到 的图象
C．将 的图象向左平移 个单位可以得到 的图象
D．将 的图象向右平移 个单位可以得到 的图象
【解析】A；
【演练3】（2010丰台一模文12）函数 的图象在点 处的切线方程是．
【解析】
【演练4】（2009湖南文7）若函数 的导函数在区间 上是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是（）
A． B． C． D．
【解析】⑴A
⑵
⑶A
【备选】（2009天津文10）设函数 在 上的导函数为 ，且 ．下面的不等式在 上恒成立的是()．
A． B． C． D．
【解析】A．
曲线 过点 的切线方程是_____________．
【解析】 或 ．
（2010北京文18）
设函数 ，且方程 的两个根分别为 ， ．
⑴若 有两个相等实根，求 的解析式；
⑵若 在 上单调递减，求 的范围．
【解析】设 ，则 ， ．
的解集为 ，
∴ 和 是方程 的两根．
因此 ， ， ．
⑴ 在 上单调递减，∴ 在 上恒有
于是 ，即 ，
解得 ．
【解析】⑴
⑵
⑶
目标班学案1
【拓2】⑴（2009江西理5改编）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 ，则曲线 在点 处切线的方程为______________．
⑵（2009福建理14）
若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是________．
【解析】⑴
⑵ ．
【备选】（2010丰台二模文14）
C． D．
【解析】B
考点：函数及其导函数图象综合
【例4】⑴（2008全国Ⅰ文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一
过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图象可能是（）
⑵（2008崇文二模文8）若偶函数 定义域为 ， 在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是（）
A． B．
【解析】A
【演练5】函数 有（ ）
A．极小值 ，极大值 B．极小值 ，极大值
C．极小值 ，极大值 D．极小值 ，极大值
【解析】D
【演练6】（2008海淀一模理13）已知点 在曲线 上，如果该曲线在点 处切线的斜率为 ，那么 ．
【解析】
(2009清华大学自主招生文3)
一元三次函数 的三次项系数为 ， 的解集为 ．
⑴利用导数判断单调性；⑵利用导数研究函数的极值与最值．
<教师备案>导数分成两讲复习，这一讲复习导数的概念、求导法则及其逆用、切线问题、导函数的图象、导函数的简单应用．下一讲重点复习与函数的性质相关的导数问题、含参的函数的单调性与极值、以及简单的恒成立与存在性问题．
尖子班学案1
【铺1】函数 在 处的导数等于（ ）
⑶设函数 ，若当 时，有极值为 ，则函数 的单调递减区间为．
【解析】⑴D
⑵
⑶
目标班学案3
【拓2】（2009湖南理8）设函数 在 内有定义．对于给定的正数 ，定义函数 取函数 ．若对任意的 ，恒有 ，则（）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为2
C． 的最大值为1 D． 的最小值为1
【解析】D；
考点：导数公式的逆用