费马最後定理_A. Wiles的解决方法
费马最后定理数学概念
费马最后定理数学概念
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理.费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）光程s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和 l=vt 所以得到 s=ct.由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程.费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的.。
初中数学 费马大定理的证明过程是怎样的
初中数学费马大定理的证明过程是怎样的费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它是由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的。
费马大定理的表述是：当n大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这个问题在当时就引起了数学家们的极大兴趣，然而费马本人并没有公开他的证明方法，导致了这个问题一直成为数学界的一个悬案。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在历时多年的努力下，终于给出了费马大定理的完整证明。
本文将介绍费马大定理的证明过程，以及怀尔斯是如何解决这个经典问题的。
怀尔斯的证明方法基于代数几何和椭圆曲线的理论，他建立了一个数学框架，通过对一个特定类型的方程进行研究，最终得出了费马大定理的证明。
这个方程是一个模型方程，它可以表示为：x^n + y^n = z^n其中n是大于2的正整数，x、y、z是未知整数。
这个方程的解对应于费马大定理的解。
怀尔斯的证明方法涉及到了许多深奥的数学理论和技巧，下面将逐步介绍他的证明过程。
1. 代数几何的初步建立怀尔斯的证明方法基于代数几何，他首先建立了一套几何框架，用于描述方程的解的性质。
这个几何框架是基于一个叫做椭圆曲线的数学对象的。
椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，它可以用二次方程表示为：y^2 = x^3 + Ax + B其中A、B是常数。
椭圆曲线具有一些重要的性质，如切线和法线的交点等，这些性质可以用来研究方程的解的性质。
2. 椭圆曲线和模形式的联系怀尔斯发现，椭圆曲线和另一个数学对象叫做模形式有密切的联系。
模形式是数论中的一种函数，它具有一些重要的性质，如模不变性等。
怀尔斯利用了椭圆曲线和模形式的联系，建立了一个新的数学框架，用于研究方程的解的性质。
3. 模形式和费马大定理的联系怀尔斯发现，模形式和费马大定理之间也有一定的联系。
他发现，如果存在一种特殊的模形式，它可以与方程的解一一对应，那么费马大定理就能够得到证明。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
费马大定理的故事
费马大定理的故事彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:x2+y2=z2的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程x n+y n=z n不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:x4+y4=z4有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2 得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的. 对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.1839年,拉梅证明了n=7.取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程x n+y n=z n至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:y2=Ax3+Bx2+Cx+D 而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.从60年代开始,有人将费马方程x n+y n=z n和形如y2=x(x+A)(x+B)(1)的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得a n+b n=c n (n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a n , B=-b n ,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:"今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元.沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."怀尔斯的生平安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家科学院奖.费马大定理的玩笑很多年以前，一个叫作费马的同志在法院工作，他总是抱这么一本书－－丢番图写的《算术》第三册，正如很多年以后一个叫做Jonny的人总是抱着一本Windows NT 宝典一样。
【数学大师】不等式——费马的最后定理
【数学大师】不等式——费马的最后定理
费马大定理断言：
当整数n >2时，方程x n+ y n= z n没有正整数解
这个定理，直到三百多年以后的1995年才被证明
不等式的定义
用符号''、'>'或'≠'表示大小关系的式子，叫做不等式
注意：
有些不等式中不含未知数
有些不等式中含有未知数
解不等式
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集
不等式的解集常用数轴来形象的表示：
在数轴上表示不等式的解集，有以下三个步骤：求不等式的解集的过程叫做解不等式
利用以下不等式的性质，可以解不等式。
费马大定理及其证明方法
费马大定理及其证明方法费马大定理是数学界著名的难题之一，它的证明历经四百年，让数学界的研究者们投入了无数的精力和时间。
一、费马大定理的定义费马大定理，又称费马最后定理，是一条非常著名的代数数论问题。
它的表述方式比较简单：将指数大于二的整数幂表示为三个平方数之和的情况是不存在的。
也就是说，方程x^n+y^n=z^n在n>2时，不存在整数解。
这条定理由法国数学家费马在17世纪首次提出，并致力于证明此定理近40年之久，但他从未公布证明方案。
直到1960年才由Andrew Wiles在英国剑桥完成了证明。
二、费马大定理的历史费马大定理的历史可以追溯到17世纪。
当时，法国数学家费马在研究数学问题时提出了一个假设：如果一个整数n大于2，那么方程x^n+y^n=z^n中不存在正整数解。
费马声称自己已经发现了一种证明方法，但遗憾的是，他没有将这个证明公布出来。
此后，费马大定理便成为了数学界的一个谜题。
一方面，人们认为它是成立的，因为一些数学家通过计算发现，在一些特定情况下，这个方程是不存在正整数解的。
另一方面，也有一些数学家认为费马的想法是错误的，因为他的证明并没有被记录下来，所以根本不知道他的假设是否真的成立。
20世纪60年代以来，学者们对费马大定理提出了更为深刻的思考。
许多著名的数学家投入了大量的时间和精力，尝试寻找一个完整的证明方案。
最终，英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成了这一证明，以此圆满地结束了费马大定理的历史传说。
三、费马大定理的证明费马大定理的证明历时四百年，这是数学界难以磨灭的辉煌。
然而，这个证明方案并不是一蹴而就的，实际上，数学家们在寻找证明方案时遇到了一系列的困难。
根据怀尔斯的证明方案，费马大定理的证明分为三部分。
首先，他证明了一个定理，称为“伊万·斯蒂年奇模型”。
这个定理规定，有限域之上的模空间可以在几何上与椭圆曲线相比较。
然后，他使用了一个称为“输影结果”的独特工具，证明了另一个定理，称为“塔尼雅马分解”。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
费马定理及其证明与应用
费马定理及其证明与应用费马定理是数学中最著名的未解之谜之一，它留下了自17世纪以来困扰数学家们的问题，直到1994年才得到完整证明。
费马定理又称费马大定理或费马最后定理，它是指在任何给定的整数n > 2 情况下，关于 x、y、z 三个未知数的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
本文将详细介绍费马定理的历史、证明过程以及其应用。
一、历史费马定理得名自法国数学家皮埃尔·德·费马，据传，他于1637年提出了这个问题。
但费马并没有留下任何有关于该问题的证明记录，因此，费马定理后人更多地成为数学谜题，而非数学定理。
在17世纪，欧洲数学家们竞相研究费马定理，寻求证明这个问题的方法。
然而，数学家们都没有获得成功。
到了18世纪末，欧洲最杰出的数学家之一欧拉在其著作《元素数学》中承认，费马定理是一个非常困难的问题，并预言此问题需要“一个真正的天才”才能解决。
直到世纪末，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马定理的部分情况。
但直到20世纪至今，数学家们才证明了费马定理的完整版本。
二、证明费马定理被证明的过程，是一段曲折而奇妙的数学历史。
它牵涉到了许多数学大师的智慧，如戴维·希尔伯特、恩斯特·谢尔和理查德·泰勒，以及无数其他的数学家。
在20世纪初，许多数学家都尝试证明费马定理，但它并不像其他定理那样容易证明。
直到1970年代，数学家弗朗西斯·萨拉首次将费马定理联系到所谓“调和分析”这一相对年轻但强大的数学领域。
此后，在19年的时间里，一群数学家努力地从萨拉的思想中推导出更深入的结论，进一步证明了费马定理。
在1994年，普林斯顿数学家安德鲁·怀尔斯给出了完整的证明，成为历史上第一位成功证明了费马定理的人。
怀尔斯的证明涉及到一种全新的数学领域，称为“模形式”，被认为是一项变得非常复杂和技术性很强的数学工作。
怀尔斯的工作也获得了菲尔兹奖，这是数学上的最高荣誉。
趣味数学故事之费马最后定理趣味数学
趣味数学故事之费马最后定理趣味数学趣味数学故事之费马最后定理被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是”在陈年数学困局中，终於有人呼叫’我找到了’”。
时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。
这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。
费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以”业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式_n + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：_2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而_、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：_=3、y=4、z=5；_=6、y=8、z=10；_=5、y=12、z=13...等等。
费马声称当n>2时，就找不到满足_n +yn = zn的整数解，例如：方程式_3 +y3=z3就无法找到整数解。
当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。
始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。
这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八____年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。
德国的数学家佛尔夫斯克尔（P. Wolfskehl）在19____年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为1____年。
费马原理解释马吕斯定律
费马原理解释马吕斯定律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马原理是著名数学家费马提出的一种数学原理，也被称为费马小定理。
它的内容是对于素数的一个关于置换的性质，用数学语言描述就是：如果p是一个素数，a是任意整数且a不是p的倍数，那么a 的p-1次方对p取模的余数等于1。
这个原理在数论中有着重要的应用，被广泛地用于密码学、计算机算法等领域。
为了更好地理解马吕斯定律，我们先来看一下费马原理的内容。
费马原理的基本思想是利用素数的性质来求解整数的幂的模问题。
对于一个素数p和一个整数a，如果a不是p的倍数，那么a的p-1次方对p取模的余数等于1。
这个性质可以简单地用公式表示为：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
我们可以用一个例子来说明马吕斯定律的应用。
假设p=7，a=3，m=2。
根据费马原理，我们知道3的6次方对7取模的余数等于1，即3^6 ≡ 1 (mod 7)。
根据马吕斯定律，我们有(3^7)^2 ≡ 3^(7*2) (mod 7)。
进一步计算得到3^14 ≡ 3^14 (mod 7)，即27 ≡ 27 (mod 7)。
我们验证了马吕斯定律在这个例子中的正确性。
马吕斯定律是费马原理的一个重要推广，它在数论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过了解和理解这个定律，我们可以更好地理解和运用数学知识。
希望通过本文的介绍，读者对马吕斯定律有了更深入的了解。
第二篇示例：费马原理是数学中的一条基本原理，由法国著名数学家费尔马在17世纪提出。
费尔马原理通常被形式化地描述为“对于任何大于2的自然数n，不存在正整数解x、y、z，使得x^n + y^n = z^n成立”。
这个原理在数学上有着广泛的应用，其中最为著名的便是费马大定理，即费马最后定理，这是费尔马原理的一个特例，对于n=3的情况。
与费马原理相关的还有一个著名的数学定律，即马吕斯定律。
这里先简单介绍一下马吕斯定律。
马吕斯定律是19世纪法国数学家马吕斯提出的一条定理，该定理表示如果一个数的末尾数字是几，那么这个数的n次方的末尾数字也为几。
费马大定理最后的证明
费马大定理最后的证明自费马大定理提出后的350年以来，许多优秀的数学家采用种种方法试图补证这个定理，但始终都未获得成功。
英国的数学家怀尔斯十年磨一剑，终于于1995年彻底解决了这一问题。
十七世纪法国数学家费尔马（Fermat）在刁番都（Diophantine）著作的一页边上写了一个猜测“X n+Y n=Z n当ｎ>2时没有正整数解。
”后人称此猜想为费尔马大定理。
费尔马接着写道：“对此，我已发现了一个巧妙的证明，可惜这里页边的空白太小，写不下。
”费尔马去世之后，他的儿子把费尔马的著述、书信以及费尔马校订刁番都的著作都一起发表了，但没有发现费尔马大定理的证明，费尔马是否真正能够证明这个猜想，至今仍然是个谜。
三百多年以来，许多优秀的数学家采用种种方法试图补证这个定理，但始终都未获得成功，直至最近才有英国的怀尔斯（Andrew Wiles）解决。
历史性的转变发生在1993年6月21日至23日这三天，当时在普林斯顿数学系任教的40岁的怀尔斯正在英国剑桥大学举行一次约有40至60人出席的数学会议上，每天做一段演讲，题目是“模形式，椭圆曲线和伽罗华表示”。
从题目上看不出他要讲的是费尔马大定理，但是他演讲的最后一句话是：“这表明费尔马大定理成立，证毕。
”怀尔斯的证明引起了数学界的很大关注，他的初稿虽然有少许瑕疵，但是稍后被怀尔斯自己修正过来。
纽约时报曾在1993年6月29日以“安德鲁·怀尔斯放出数学卫星，350年的古老问题已被攻克”为题发表有关报道。
费马大定理最后的证明为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。
1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。
怀尔斯成为整个数学界的英雄。
大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。
E·T·贝尔（Eric Temple Bell）在他的《大问题》（The Last Problem）一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。
用初等方法证明费马最后定理(B篇)
（2006年1月1日本文以《互素理论与费马最后定理（B ）》之题目首发于互联网，根据读者建议，2017年1月25日再次修改，并启用本标题。
）用初等方法证明费马最后定理(B 篇)-互素理论与费马最后定理(B 篇)王瑞林镇赉县交通局 吉林镇赉(137300) chinawrl@摘要: 本文以互素理论为工具，以二项式定理为平台，证明了：3>p 为奇素数，方程z y x pp p =+ 无两两互素的正整数解,,,z y x 亦即使用在有理整数系统内操作的方法证明了费马最后定理成立。
关键词：费马最后定理，费马方程，互素理论，二项式定理 中图分类号：0156.4 文献标识码：Proving Fermat’s Last Theorem by a elementary method (B)-Coprime Th eory and Fermat’s Last Theorem(B)WANG Rui-linCommunications Bureau of the county of Zhenlai Jilin Zhenlai of China (137300)Chinawrl@Abstract: In this paper, taking coprime theory as tools, taking Binomial Theorem as a platform, we have proved : For any odd prime 3,>p the equation z y x p p p =+ has no solutions with z y x ,, which are positive integers and coprime in pairs, i.e. in a way operating in the system of rational integers have proved Fermat’s Last Theorem true.Key Words: Fermat’s Last Theorem , Fermat ’s equation, Coprime theory, Binomial Theorem,1. 引言费马最后定理即：对任何自然数 ,2>n 方程 z y x n n n =+ 无非零整数解 ,,,z y x 且问 题早已归结到只需解决3>=p n 为奇素数，z y x ,,为两两互素之正整数之情形。
费马小定理 威尔逊定理 洛谷
费马小定理（Fermat's Little Theorem）、威尔逊定理（Wilson's Theorem）以及洛谷（Luogu）是数学领域中常见的概念和工具。
它们在数论、离散数学等领域中有着重要的应用和意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并阐述它们的相关内容和特点。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）于17世纪提出的一条基本定理。
该定理是关于整数的一个重要性质，其内容可以用如下的形式来表述：1.1 定理内容如果p是一个质数，a是任意一个整数且a与p互质（即a与p没有公约数），则有如下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a^(p-1) 表示a的p-1次方，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
1.2 定理应用费马小定理在密码学、离散数学等领域有着广泛的应用。
在密码学中，费马小定理常用于快速计算模幂运算，以及构造和破解RSA公钥密码系统。
在离散数学中，费马小定理可以用来证明一些数论性质，推导一些数论定理等。
二、威尔逊定理威尔逊定理是由英国数学家约翰·威尔逊（John Wilson）于18世纪提出的一条关于质数的定理。
它的内容可以用如下的形式来表述：2.1 定理内容对于任意一个正整数p，p是质数当且仅当：(p-1)! ≡ -1 (mod p)其中，(p-1)!表示(p-1)的阶乘，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
2.2 定理应用威尔逊定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来判定一个数是否为质数，也可以用来证明一些数论性质和定理。
威尔逊定理还与费马小定理有一定的通联，可以互相补充和应用。
三、洛谷洛谷（Luogu）是一个面向中学生和高中生的上线OJ（Online Judge）系统，提供有关基于计算机编程的竞赛和练习评台。
它起源于我国大陆，为用户提供了一系列的习题和比赛，涵盖了多种编程语言和算法题型。
洛谷的主要特点包括：3.1 提供多种编程语言的支持，如C/C++、Java、Python等，让用户可以根据自己的喜好和实际需要选择合适的编程语言进行练习和比赛。
数学史中的问题探究与解决
数学史中的问题探究与解决数学是一门精确的科学，由于其研究对象的特殊性质，使得数学历史上出现过不少的问题，这些问题可能一度被认为是不可解的谜题，但是经过数学家们的不懈努力，最终有许多问题得到了解决，使得数学学科得以不断发展。
下面我们将以在数学史上曾经出现的两个著名问题——费马大定理和哥德尔不完备定理为例，从中探究问题的产生、演化以及解决过程。
一、费马大定理费马大定理是数学中的一则著名的问题，由法国数学家费马最先提出，经过几百年的探索，始终无法证明。
费马大定理的正式陈述如下: 对于自然数a,b,c与整数n>2,方程: a^n+b^n=c^n无正整数解。
费马大定理的出现可追溯到17世纪，当时法国数学家费马在给同事的一封信中提出了这个问题，并表示已经找到了解决方案，但是他没有将具体的证明写在信中，只是口头表示太长，不便于写成证明形式。
这封信被同事交给了后来成为著名数学家的欧拉评价，欧拉认为费马的证明是错误的，由此开始了几百年对费马大定理的探索之路。
19世纪初，高斯曾在自己的日记中提到这个问题，并表示希望有人能给出十分明显的证明。
接下来，数学家们接连提出了许多想法和证明，但是一直无法得出符合所有情况的证明。
直到20世纪初，英国数学家威尔斯证明了任意大于2的幂次方的的形式为a^n+b^n=c^n的方程无整数解，这一证明无疑是费马大定理被最终证明的重要奠基。
二、哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理是数学中的另一个著名问题，由奥地利数学家哥德尔在19世纪提出，其中的核心内容是: 无法用数学公理来证明自己是正确的。
哥德尔不完备定理的背景是，数学在发展过程中，总是遵循着公理化和形式化的方式。
即，先确定好一些公理，然后将逻辑关系加以形式化，建立起来一套体系。
哥德尔在研究逻辑体系的时候，发现了一个有趣的现象: 无法确定一个逻辑体系是否是完全正确的。
例如，简单的算术操作，我们都需要从公理开始推导，但是如何保证公理是正确的呢？哥德尔发现，不仅是这个问题无解，就连证明自己的正确性，这个问题都有无解的情况。
我最喜欢的一个数学问题和解决过程
我最喜欢的一个数学问题和解决过程一书时，在书的页边空白处写下了这个定理，并声称他找到了一个漂亮的证明，但由于空间有限，无法将证明过程写下。
然而，费马生前并未留下证明，这成为了数学界的一大谜团。
自从费马提出这个定理以来，无数数学家为之痴迷，试图找到证明方法。
以下是我所喜欢的数学问题——费马大定理的解决过程：1. 初期探索（17世纪-19世纪）在费马提出这个定理后的几百年里，许多数学家试图证明这个定理。
然而，由于当时数学工具的局限，这些努力都未能成功。
直到19世纪初，数学家们开始利用复数和椭圆函数等工具，对费马大定理进行深入研究。
2. 里程碑式的进展（19世纪末）19世纪末，德国数学家库默尔提出了一个关于椭圆函数的重要定理，这为费马大定理的证明带来了突破。
库默尔证明了当n=3时，费马大定理成立。
此后，其他数学家在此基础上，证明了n=5和n=7时的情况。
3. 现代数学方法的运用（20世纪）20世纪，随着数学各分支的发展，数学家们开始运用代数几何、模形式、椭圆曲线等现代数学工具来研究费马大定理。
1976年，美国数学家安德鲁·怀尔斯证明了椭圆曲线与费马大定理之间的联系，这为后来的证明奠定了基础。
4. 世纪难题的破解（1994年）1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒发表了一篇长达100多页的论文，证明了费马大定理对所有大于2的正整数n都成立。
这篇论文的发表，标志着困扰数学界长达357年的费马大定理终于得到了证明。
回顾费马大定理的求解过程，我们不禁为数学家们的智慧和毅力所折服。
这个问题的解决，不仅彰显了数学的优美与力量，也激励着一代又一代的数学爱好者投身于数学研究，为探索未知的世界贡献自己的力量。
而我，也将继续在这条道路上，追寻数学的奥秘与美好。
费马最后定理的解决
費馬最後定理的解決于靖1994年10月25日,世界各主要數學研究中心的電子郵件上再度出現費馬問題的消息。
Princeton大學的A.Wiles教授終於公佈了兩篇論文稿:(1)橢圓曲線與費馬最後定理,A.Wiles 著,134頁。
(2)某些Hecke代數的環論性質,A.Wiles與R.Taylor合著,17頁。
論文(1)證明了半穩定情形的Taniyama-shimura-Weil猜測。
根據K. Ribet(1989)的工作,這個結果可導出費馬最後定理。
論文(1)中關鍵步驟之一要用到Wiles與他學生R.Taylor合寫的論文(2)。
1993年6月英國劍橋牛頓研究所舉辦了一個討論會,主題是Iwasawa理論,自守形式與p-進表現。
在這次討論會上,A.Wiles 給了一系列演講,講題是:橢圓曲線模形式與Galois表現。
在演講最後Wiles宣佈了他有關費馬最後定理的突破。
Wiles演講完,電子郵件就把此一消息傳遍全世界,各主要傳播媒體也爭相訪問有關人士。
由於Wiles的整個證明非常複雜,不僅用到過去幾十年裡代數數論與算術幾何學家發展出的龐大理論,也包含好些全新想法。
即使是最權威學者,也無法在短時間內完全掌握整個證明。
在劍橋的演講中,Wiles雖然描述了他的想法,但整個寫下來仍是艱難的工作。
1993年12月4日,Wiles從Prince-ton發出電子郵件承認他先前描述的結果有漏洞(建構所謂的Euler系統)。
但他相信他仍可以在短期內依他在劍橋所描述的想法完成整個工作。
1994年10月7日Wiles終於完稿,10月25日正式公諸於世。
他放棄了Euler系統,走另外一條路完成他的證明。
現在這條路是他早先想過而沒有繼續下去的。
這回他走通了。
其間他需要證明Hecke代數有局部完全交割的性質。
先前大家並不知道Hecke代數能有這樣強的性質,但是Wiles與Taylor 成功的把這個性質證出。
從10月7日起Wiles的論文稿就開始送到其它專家手中。
《费马最后定》
於是可設 c = e2 ; d = f 2 ; c2 + d 2 = g2，即 e4 + f 4 = g 2。
換句話說，(e , f , g) 為方程 x 4 + y 4 = z2 的另外一個解。
但是，z = a2 + b2 = (c2 + d 2)2 + 4c2d 2 > g 4 > g > 0。
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勾股數組的通解
求方程 x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 解 x = u 2 - v 2 ; y = 2uv ; z = u2 + v 2，其中 u > v > 0。
v
u2
3
4
5
6
1
(3,4,5) (8,6,10) (15,8,17) (24,10,26) (35,12,37)
解 假設 (x , y , z) 為一個解並且 HCF(x , y) = 1，y 為偶數，
則 x2 = a2 - b2 ; y2 = 2ab ; z = a2 + b2，其中 a > b > 0， HCF(a , b) = 1，a、b 的奇偶性相反。
由 x2 = a2 - b2 得 a 必定是奇數，b 必定是偶數。
推論 方程 x 4 + y 4 = z 4 沒有正整數解。
解 假如 (x , y , z) 為該方程的解，則 (x , y , z2) 將會是方 程 x 4 + y 4 = z2 的解。這是不可能的！（證畢）
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再進一步
歐拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)
瑞士人。 18世紀最優秀的數學家。
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费马最后定的介绍
费马最后定理的介绍前言:商高定理(毕氏定理)：22'22'====∈=这个耳熟能详的q l lz q l l Zn3444414定理,陪伴我许久也困扰我多年,证明部分,在国中的几何及高中的向量部分都有完整且严谨的证明,但通解却不知为何？例如：222+=、345222+=、222+=、、、接下来便不清楚了.9404151213+=、22272425在考上大学这段期间,柯文柔老师建议我们利用这一段时间对此问题作深入的探讨,于是便拿了一份论文给我们,希望我们研读并且尝试做报告,目的是督促自己并且提升自己的数学程度,进而带动学弟妹对数学这门科目的喜好,提升本校在数学上的风气.此篇心得报告包含222+=的通解,进而介绍费马的生平及其重要相关定理( 高中程x y z度可理解的) .费马问题古希腊数学家丢番图着《算术》一书.1621年,数学家巴切将《算术》由希腊文译成拉丁文,在法国出版.费马买到了它,并对其中的数论问题产生浓厚的兴趣.课余之时,对希腊数学家的一些问题进行研究与推广.当他读到第二卷第八命题“将一个平方数分为两个平方数”时,他想到了更一般的问题,于是他在页边空白处用拉丁文写了一段话：“一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂.为此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白地方太小写不下”即：n n n x y z +=,其中n 是大于 2 的正整数,则方程式没有正整数解 后来因找不到费马的证明,这激发起历代数学家之研究.这就是大家所熟知费马最后定理的由来.费马问题又叫做费马猜想,但更多的叫做费马最后定理,我们把他简记为 FLT .中国较普遍叫做费马大定理,我国叫费马大定理是为了要区别费马小定理.从费马研究丢番图的书到他逝世有三十年的时间,在这种情况下,方程式n n n x y z +=的解的定理无疑不是他的最后定理.为什么这样叫呢 ? 数学家们解释说,名字的来源很大可能是费马提出很多数论命题,后来的数学家经过长期努力,证明大部分都是正确的,只有一个是错误的.到 1840 年左右,只剩下 FLT 没有被人证明,因此称为最后定理.丢番图的《算术》仅论及有理数,费马的意思是不存在有理数 x, y, z 使 n nn x y z += 成立.如果 x, y, z 可以取无理数,那么对于数对 x, y,得到z =, 即容易证明 FLT 不成立.但是,如果n nn x y z += 存在有理数解,那么n nn x y z +=存在整数解.因为如果有理数 x, y, z 适合方程n n n x y z+=.d 是它们分母的最小公倍数,那么xd, yd, zd 都是整数,并且()()()()n n n n n n xd yd x y d zd +=+=.因此,整数 zd 的n 次幂是两个整数 xd 与yd 的 n 次幂的和.此外,丢番图和费马都论及整数(再费马时期,负数和零仍被怀疑).因此, x或y为零的情况不言而喻也被排除(例如,555+=自然与FLT相连) .当解x,y,z中202有零时,则称此解为平凡解.历史我们先简单的回忆一下它的历史.费马是十七世纪最优秀的数学家之一,1601年8月20日出生于法国南部土鲁斯附近的博蒙─德洛马涅,父亲是一位皮革商.费马于1665年1月12日逝世于土鲁斯.大学时期,费马专攻法律,学成后回到土鲁斯做律师,并以法律知识渊博、做事清廉而著称.他是土鲁斯议会议员,终身职业是律师,并做了土鲁斯议会三十年的法律顾问.费马年近三十才开始认真研究数学,虽然如此但他对数论、几何、分析和概率等学科都做过深入的研究,而且都做出了重大的贡献. 他给出了素数的近代定义,且提出了一些重要命题；他又同笛卡儿分享着创立解析几何的荣誉；他被公认为数学分析的先驱之一,同时也是概率论的开拓者.费马于较早或与笛卡儿同时已得解析几何的要旨. 他于《平面与立体轨迹引论》﹝1629-1636：「立体轨迹」指不可用尺规作出的曲线,有别于现在之含义﹞一文中明确地指出曲线可以方程描述,且曲线性质可由方程的研究推断出. 因此,他与笛卡儿分享创立解析几何之荣誉.另外,他也是早期微积分学的先驱. 他于1636年给罗贝瓦尔及1638年给笛卡儿的信中提出求极大、极小与拐点的步骤,实际已相当于使导数成零而求极点之方法. 这成为现代微积分中函数取极值之必要条件. 而且,他曾讨论曲线xmyn = k﹝m , n是正整数﹞下的面积,并通过求和过程得到求曲线所围面积之公式.此外,他透过与帕斯卡之通信讨论赌金分配问题,得出正确解答,因而成为17世纪兴起的概率论的共同创立者之一. 他还于光学研究中提出「费马原理」,给后世变分法之研究极大的启示.因此费马被誉为“业余数学家之王”,与同时代的数学大师笛卡儿、莱布尼兹等齐名. 费马谦虚谨慎、鄙薄名利,生前很少发表著作. 他的卓越见识出自于他与同时代学者的信件和一批以手稿形式传播的论文. 他的崇拜者常常催促他发表著述,但都遭到拒绝,他的很多论述,特别是数论方面的论述,从没正式发表过. 费马死后,很多论述遗留在纸堆或阅读过的书的页边空白处. 他的儿子─ S.费马将遗稿进行了整理,汇编成册共分两卷. 第一卷有丢番图的《算术》,带有校订和注解；第二卷包括抛物形求面积法、极大极小及重心的论述,这些内容后来成为微积分的一部分.奖金为了找出FLT证明.1823年和1850年,法国科学院曾先后两次提供金质奖章和三千法郎奖金,奖励证明FLT的数学家.1856年的鉴定人有柯西、刘维尔、拉梅、伯传德和沙尔.布鲁塞尔科学院也以重金悬赏.1908年,德国达姆施塔城的数学家佛尔夫斯克尔遗言,把十万马克的巨款赠给哥廷根皇家科学会,有一个附加条件,将款项作为奖金,授予第一个证明FLT的人.按照哥廷根皇家科学会的决定.这种证明必须在一种杂志上或者作为单行本发表,该会不负鉴定稿件之责；得奖最早须在著作发表两年以后.这项奖金限期100年,到2007年取消. 在奖金发出之前,所得利息用来奖励在数学上作出重大贡献的人. 十万马克的奖金推动了FLT的研究.消息传出后,在德国和世界各地掀起了一股研究FLT的热潮.早些时候,每个稍有时誉的数学家,尤其是数学杂志的编辑们,都忙于处理所谓“几合作图三大不能问题”解法探求.这时,它们被FLT的解答所代替.应征者不仅有数学家,还有许多工程师、牧师、教员、大中学校的学生、银行职员和政府官员等；不仅有德国人,还有大量外邦人.人数之多,阶层之广,都是空前的.注:几何作图三大问题,是指化圆为方问题、任意角三等分问题和立方倍积问题.看完了历史部份我们来看几个重要的Fermat定理和证明Fermat定理定理 1.222x y z +=的互质正整数解为:2x uv =,22y u v =-,22z u v =+ ,其中 u, v 是任意互质正整数,且 u, v 不同时为奇数.定理 2.方程式442x y z +=没有全异于零的整数解.定理 3.Fermat 方程式333x y z +=的第一种情况成立.换句话说,如果 1x ,1y ,1z 是全异于零的整数并且满足333111x y z +=,则()1110mod 3x y z ≡ 定理 4. (费 马小定理 )若()0mod a p ≠ ,则()11mod p a p -≡.证明定理 1.222x y z +=的互质正整数解为2x uv =, 22y u v =-, 22z u v =+,其中 u, v 是任意互质正整数,且 u, v 不同时为奇数.证明 : 令 x, y, z 是互质正整数,且222x y z += .1. 若 x 与 y 都是奇数,则 z 是偶数则设 x=2h+1,y=2k+1,z=2q, 222244144142x y h h k k l +=+++++=+ 22'44z q l == ( l 与 l Z ∈), 矛盾.2. 若 x 是偶数, y 与 z 是奇数由 x2 = z2 - y2 = (z+y) (zy) ,令 x=2r, zy = 2s, z+y = 2t 代回. 由此既可得 , , r2 = st .讨论 :令/ , / ,又因 y 与 z 互质,所以 =1 .但 ,所以 是完全平方. 故令 s= v2 , t= u2 .所以 x=2rzy = 2sz+y = 2t得x=2uv, y=u2-v2,因此得证定理2方程式x4 + y4 = z2没有全异于零的整数解.证明:令x1, y1, z1是互质正整数,且x14 + y14 = z12 .由定理1,可设是奇数,且x12 = 2uv, y12 = u2 -v2 , z1 = u2 + v2 ,其中且u与v是互质正整数.因y12 = u2 -v2 v2 + y12 = u2 , y1是奇数,且 ,故v是偶数（定理1）,令v=2w代入x12 = 2uv,得,因u与w 互质,且uw是完全平方.故令u=r2, w=s2, v=2w=2s2 . 由r<r2 =u < u2 + v2 = z1（,u>v）.将u与v的值代入v2 + y12 = u2 . 得(2s2)2 + y12 = (r2)2故其中a与b互质.由s2 = ab得a = x22 , b= y22 ,其中x2与y2互质. 将a与b之值代入r2 = a2 + b2 ,并令z2 = r ,得,且z2 < z1若(x1, y1, z1)是方程式x4 + y4 =z2的一组互质正整数解,则必存在另一组互质正整数解(x2, y2, z2)且z2 < z1 . 以次类推,必得到一个矛盾,因为正整数数列z1 > z2 > z3 >… 不可能是无限的. 因此不合得知方程式x4 + y4 = z2没有全异于零的整数解.定理4.若 ,则 .证明：根据因为是整数,且其分母部分与p互质,故p整除 .令B=1得故(两边同减去)以代入,得故若 ,得将军巡营解三座兵营分别设置在大片草原的三处,将军经常要去巡视. 他从自己的指挥所出发,到达第一兵营后回到指挥所；再去到第二兵营后回到指挥所；最后去到第三兵营后回到指挥所. 一天,他忽然想到要把指挥所搬到少走路程的地方,却拿不定主意,不知指挥所应放在那儿才合适.这则故事引起了许多人的兴趣,进行研究这个问题的大有人在. 经历了不知多少年,谜底始终没有揭开,便一直成为悬案,称为「将军巡营」问题.以每座兵营为一个点三座兵营便构成一个三角形那么指挥所可拟作三顶点以外的一个点,于是问题可以叙述为：试确定一点,使它至三顶点往返的距离何为最小.往返的距离何为最小,相应地,单程的距离和也最小. 这样,「将军巡营」问题实质上就：「试求一点,使它到已知三角形的三顶点距离之和为最小.」这样一个极值问题.根据那则民间传说提出这个极值问题的就是费马,后人从他致义大利物理学家托里切利的信中见到它.对于这类几何的极值问题,费马相当熟悉它的解法. 最简明的解法是应用「等角特征」原理. 如果三角形ABC中有一点P ,那么当∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°时,这点便是费马所提出求解的那个点,即P点是到ABC三点距离之和最小之点. 若另取一点Q ,必有将军巡营问题是由费马解决的,将军的指挥所放在那儿？是费马向托里切利提出的那个点,后人称为「费马点」.证明：有最小值时∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°1.由图1,2先证 ,当有最小值时,为一直线段.由图1以点B为轴将向左旋转60°, 使点落在点 , 以点P为轴将向左旋转60°,使点P落在点Q ,连 ,使 ,连 , 且60°,所以为正三角形,因此 ,又 ,所以 ,所以 ,当有最小值时, 为一直线段, 因此得证.图1图22.再证有最小值时∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120°由图3为一直线段,则P为即「费马点」,为正三角形.因此由图3知∠ APB=∠ AQB=120° ∠ BPC=180° -60° =120° ∠ CPA=120°因此∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120° 得证图3结语:「……一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂.为此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白地方太小写不下.」写这段笔录的书丢失了,但在1670年由他而儿子S.费马出版的费马著作中有此记载. 迪克森的《数论史》中第二卷中说,费马的断言大约产生在1637年. 理由是费马家的皮革厂提到费马给梅森的信,信中写到,他希望找到两个立方数的和是一个立方数,两个四次幂的和是一个四次幂. 这封信的日期是1638年6月. 费马于1640年和1657年将同样内容推荐给一些数学家,但都没有提到他所找到的奇妙的证明.费马的遗著发表了,人们很想从中知道费马是怎样证明FLT的,但查遍了他所有的著作,结果使人们大失所望. 关于他的“奇妙的证明”,人们有各种猜测:有人认为他根本没有给出证明,相反,也有人认为他给出过证明,不过证明中有错误,他们认为用费马时期的数学知识没办法给出证明.许多知名数学家都研究过它,他们中有欧拉、勒让徳、高斯、阿贝尔、狄利克雷、拉梅、柯西和库麦等,有的人为此献出毕生经历都没能找出证明,究竟费马是否有那奇妙的证明我们不得而知,但是他带给后是数学上的贡献是无可置疑的,他带动了整数论等一些理论.在未来的日子,我们也会抱着谨慎的态度继续往数学这方面前进,去钻研更高深的数学,也希望能在这方面能有所贡献,带动数学上的进步.这次的报告,对我们来说意义重大,不但可以多学一项数学的伟大定理,也提前感受到大学的学术研究是如何进行,学生们需要自己找书来研读,老师只帮忙指导,提供意见,主要的负责还是学生我们,而以前感觉柯老师上台教书好像蛮轻松的,不但敎的好,也可以偶尔带给我们些幽默,但事实上自己在报告前,上台演练时才知道并不如想像中的,不但事前的准备要周详,还要克服紧张的感觉,而最难的是能讲的让台下的人听的懂,柯老师常说,自己懂100%讲出来可能只有50%,因为我们懂得人容易把它当成一种正常的现象,变的不好表达,如果有讲的不完全或不周详的还请老师,同学多多包含…最后我们要感谢做帅气的柯老师,能在他自己每天至少4堂课中抽出宝贵时间来指导我们,也感谢各位老师,同学的聆听…我们的报告到次结束…谢谢大家~!参考论文: <费马问题>康明昌教授.tw/articles/mm/mm_07_4_01/index.htm1参考著作:<费玛最后定理>(Simon Singh/着薛密/译)<费马猜想>(姚玉强/着)<创新演绎的10大数学家>(傅钟鹏/着)<数学家传奇>(李信铭教授/着)<初等代数研究>(左铨如.季素月.朱家生.陈鼎/着)同余同余(Congruence)是数学上一个很重要的概念,二百年前由德国数学家高斯提出的.给定一个正整数n,如果是n的倍数,我们说两个数a、b是对模数n同余. 用符号表示.比方说:7, 4是对模3同余,因为 . 16, 52是对模6同余,因为；23 , 13是对模2、模5同余,因为写成数学式子是 , , 或. 而 .因此,下列三个命题等价(1)(2)(3)a,b分别被m除,所得余数相同.我们现在令表示所有的整数集合,给定一个正整数n ,我们看同余究竟有什么性质？对于任何整数a , b , c , n1.我们恒有「同余具有反身性(Reflexive property)」.2.若成立,则也成立「同余具有对称性(Symmetry property)」.3.若 , ,则我们可以得到「同余具有递移性(Transitive property)」.4.若则或(其中p表质数)说明:1.因为2.由 ,我们得 , k是一个整数,因此 ,即 .3.若即可表示成即可表示成因此由上两式可得即可得4.若即可表示成又p为质数所以p为a或b之质因数由于同余这四种特别的性质,我们可以把整数集分成n部分,我们用 , , ； , 来表示这些部分,对于 , 包含所有使得的整数a .让我们看看底下的例子：例1.取 ,则我们把整数分为偶数或奇数,就是包含所有的偶数.包含所有的奇数.例2.取 ,则现在让我问一个问题：「什么被2除余1？」我想你一定会回答：是所有的奇数,奇数一般可以用来表示. 就是在的数.现在让我再问一个问题：「什么被3除余2」？我想你一定会回答：所有形如的数,这里可以等于 ,这就是在里的数.这两个问题都是很容易. 现在让我们把这两个问题合成一个问题：「什么数被2除余1 ,被3除余2？」这时你就必须在里找所有的奇数,即等等. (如果你学过初等集合论,你就是要找交集的所有元素. )而这些所有的数可以写成形如 . ( )因为以上的问题写成数学式子就是：「寻找 ,使得 , . 」而答案是：所有形如的数.。
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Tℓ = lim E[ℓn] ← n
對每一正整數 m, 以 E[m] 表示 E 上 的 m− 等分點。 那麼 E[m] 同構於 Z/mZ× Z/mZ, 且 Galois 群 GQ = Gal(Q¯/Q) 作 用在這群上, 以 ρEA,B,ℓ 表示當 m 為一質數 ℓ 時所生成的 GQ 的群表現。
(iii) ℓ ≥ 11 時, ρEA,B,ℓ 的值域是 群 GL2(Z/ ℓZ) 的全部 (這是根據 Mazur 的一個定理 [9])。
由上面性質可推出
(iv) 當 l ≥ 5 時, 群表現 ρEA,B,ℓ 是不 可約 (irreducible), 且是非常溫和分歧 (mildly ramified)。 因此它引出一平的 (flat) 的 group scheme。
2. Shimura-TaniyamaWeil 猜測與 Serre 猜測
ρ : GQ → GL2(k)
必是模型表現。 換句話說, 存在某一 g 與 λ, 使得 ρ = ρg,λ。 我們注意到對一模型表現 ρ 而言, g 的選擇性並不唯一。 Serre 進一步給 一個推測描述某一特定 g 的存在性, 並給出 g 的權數, 階數與其特徵。 1990 年, K. Ribet [10] 證明 Serre 猜測的後半部伴隨著前 半部成立而成立。 而由這結果推出費馬最後 定理隨著 Shimura-Taniyama-Weil 猜測成 立而成立, 理由如下。
1. 費馬最後定理與橢圓曲線 的關連性
給定一定義在 Q 上的橢圓曲線
E : y2 = x3 + ax2 + bx + c
以 E(Q) 表示 E 上所有有理點所形成的 群。 根據 Mordell-Weil 定理, 我們知道群 E(Q) 的結構, 是一有限群乘上階數有限的 自由交換群 (free abelian group of finite rank), 而這有限群是 E(Q) 的 torsion 部 份 (即秩是有限的元素所形成的子群)。 研究 橢圓曲線的人曾提出一個問題: 當 E 變動的 時候, E(Q) 的 torsion 部份的秩是否會有 上界, 且這上界只跟其定義域 Q 有關? Ogg 曾猜測 E(Q) 的 torsion 部份所形成的子 群只能有 15 種結構, 這猜測於 1976 年被 B. Mazur 所證實 [參考 7, 8, 9]。 設 N 是不具平方因子的正整數。 若 E 含有一秩為 N 的有理點, 則它會給出模型曲線 (modular curve) X0(N ) 上一有理點。 Mazur 的 證明中有一重要步驟是研究 Hecke 代數 T , 它是模型曲線 X0(N ) 之 Jacobian 上的自 同態環, 並且考慮 T 的 p− 進位完備畢包
反過來, G. Frey 提出下列有原創性的 概念: 他從費馬方程式的非顯然解去建構一 橢圓曲線, 其步驟如下。 設 p 是一比 3 大 的質數且假設 (a, b, c) 是方程式 xp + yp + zp = 0 的一組原始整數解 (無公因數)。 定 A = ap, B = bp 且 C = cp, 考慮橢圓線
費馬最後定理: A. Wiles 的解決方法
李文卿 余文卿 合著
懸疑三百多年的費馬最後定理最近又引 起世人的注意。 原因是 A. Wiles 宣稱他解決 了整個問題; 但不久, 證明中被找出有漏洞。 為此, 香港中文大學在 1993 年 12 月 18 日 到 21 日舉行一 “橢圓曲線與模型式研討會”, 邀請看過 Wiles 手稿的人以及 Wiles 所用到 定理的關係人, 就 Wiles 工作做系統性的介 紹。 明顯的結論是: Wiles 的證明是建立在 一不等式上, 這不等式是兩有限群之秩之間 的關係式, 不等式一邊之有限群的秩有辦法 計算, 但另一邊 Selmer 群的秩則難以估計。 故實質上, Wiles 並未完全解決費馬最後定 理。 底下是李文卿教授在去年七月裡根據 email 得到的信息所整理出來的摘要性文章, 部份內容經第二作者依據最新的發展修改過, 並寫成中文, 或能滿足讀者的好奇心。
所得到的 ℓ - 進位表現 ρE,ℓ : GQ → GL2(Qℓ)。 這是因為 Tℓ 是階數為 2 的 Zℓ 模, 因此 Tℓ Zℓ Qℓ 是一佈於 Qℓ 上的 2 維 向量空間。
顯然地, 限制在餘數體時, ρE,ℓ 化為 ρE,ℓ, 這 ℓ - 進位表現有下面的性質: 對所有 質數 p |ℓNE 而言, 我們有
更進一步, 以 c 表示 Q 上將元素映至其共軛 複數的自同構, 則 det ρg,λ(c) = −1。 一般 來說, GQ 的表現 ρ 若滿足 det ρ(c) = −1,
4 數學傳播 十八卷二期 民 83 年 6 月
則稱之為奇表現, 在 1987 年, Serre 在 [11] 中提出下列猜測: 任一 (連續) 不可約佈於有 限體 k 的奇表現
上面所談到 g 的 λ - 進位表現 ρg,λ 引 出另一佈於有限域的 GQ 的表現
ρg,λ : GQ → GL2(k),
其中 k 是質理想 λ 在 K 中的餘數體。 對幾 乎所有的質數 p, 我們有
bp ≡ Tr(ρg,λ(Frob p)) (mod λ)
和
χ(p)pk−1 ≡ det (ρg,λ(Frob p)) (mod λ)。
因 Frey 曲線 EA,B 是半穩定, 利用上 面的論點, 要證明費馬最後定理, 我們只要證 明
Shimura-Taniyama-Weil 猜測對定
義在 Q 上的半穩定橢圓曲線成立。 這就是 Wiles 所要證明的。 底下, 我們
描述一下他的處理方式以及困難所在。
3. 尋求一質數 ℓ 使得ρE,l 是 模型表現
假設不然, 從 xp +yp +zp = 0, p ≥ 11 的一組非顯然原始解, 我們得到一 §1 中討 論過的 Frey 曲線因 Shimura-TariyamaWeil 猜測對 EA,B 成立, 其 p - 進位表現 ρEA,B,p 是一模型表現, 因此 ρEA,B,p 也是。 更進一步, ρEA,B,p 是一不可約奇表現, 則根 據 Serre 推測的後半部, 存在有一 Γ0(2) 的 新型式 g, 其權為 2, 使得 ρEA,B,p = ρg,p。 另一方面, 已知 Γ0(2) 的虧格 (genus) 數是 零, 這類的模型式並不存在, 故費馬最後定理 成立。 [註記] Serre 在 [11] 中得證: Shimura-Tariyama-Weil 猜測隨著 Serre 猜測成立而成 立。
EA,B : y2 = x(x − A)(x − B)
這曲線也被稱為 Frey 曲線。 Frey [3, 4] (也 參考 [11]) 證明 EA,B 具有很多好的性質, 包 括底下這些:
(i) EA,B 的 conductor NE 是 ABC 之質 因數的乘積。
(ii) E 是半穩定 (semi-stable); 亦即 EA,B 若對某一質數 q 有壞的 reduction (即 EA,B mod q 後不再是一橢圓曲線), 則 必是乘性 (multiplicative) reduction (換句話說, EA,B mod q 後的曲線上無 尖點存在)。
ρg,λ : GQ −→ GL2(Kλ)。
其中 λ 跑遍 K 中不整除 N 的所有有限位 置。 對幾乎所有的質數 p, 下列關係成立。
bp = Tr(ρg,λ(Frob p)) 且
χ(p)pk−1 = det(ρg,λ(Frob p))。
對一 GQ 的 λ - 進位表現而言, 若它同構於 某一 ρg,λ, 其中 g 是一新型式, 則稱它是模型 (modular) 表現。 因此, 一定義在 Q 上的橢 圓曲線 E 滿足 Shimura-Taniyama-Weil 猜測的充要條件是存在有一質數 ℓ 使得 ρE,ℓ 是模型表現; 且因 Dirichlet 級數 L(s, E) 有 整係數, 存在一個質數 ℓ 使 ρE,ℓ 是模型表現 的充要條件是對所有質數 ℓ 而言, ρE,ℓ 都是 模型表現; 這可視為 Shimura-TaniyamaWeil 猜測的局部版本。
ρE,3 : GQ → GL2(Z/3Z)
提升為特徵是 0 的表現 √
ρ : GQ → GL2(Z[ −2]) ⊂ GL2(C)。
假設 ρE,3(GQ) = GL2(Z/3Z), 那麼表現 ρ 是奇, 不可約且是 S4 型, 根據 Langlands [6] 與 Tunnell [12] 在 GL2 的基底變換 (base change) 理論, 存在有一尖點模型式 f , 其權是 1, 階數等於 ρ 的 conductor, 且滿 足 L(s, f ) = L(s, ρ)。 再利用整係數 Eisenstin series 的同餘性質, 可證明存在一權數 為 2 的模型式 g 使得 ρE,3 = ρg,3是模型表 現。
此後, 設 E 是定義在 Q 上的半穩 定橢圓曲線, 如 §2 中所解釋, 只要證明 對某一 ℓ 而言, ρE,ℓ 是模型表現即可。 如 此, 對同一 ℓ, ρE,ℓ 也是模型表現。 為尋 找可能的 ℓ, 我們看一下表現 ρE,l 上的 信息。 取 ℓ = 3, 群 GL2(Z/3Z) 是 P GL2(Z/3Z) 的二次中心擴充 (central extension)。 由 P GL2(Z/3Z) 在投影線 P 1(Z/3Z) 的作用可看出 P GL2(Z/3Z) 同 構於置換群 S√4。 由於 S4 的二次中心擴充可 嵌入 CL2(Z[ −2]) 中, 我們可將特徵是 3 的表現
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2 數學傳播 十八卷二期 民 83 年 6 月