高维数据的低维表示综述
高维数据降维算法综述与评估
高维数据降维算法综述与评估数据的维度是指在描述每个数据点的特征数量，对于现在越来越流行的大规模数据分析来说，数据的维度往往非常高。
例如，在机器学习领域中，每个数据点非常复杂，可能包含了几百上千个特征，那么就需要对高维数据进行降维处理。
在这篇文章中，我们将综述和评估几种常见的高维数据降维算法。
一、主成分分析（PCA）主成分分析（PCA）是一种最常用的线性降维技术，它可以将高维数据投影到一个低维空间中，并保留最大方差。
PCA的主要思想是通过找到方差最大的数据维度，然后再找到与之正交的方差次大的维度，以此类推，直至找到需要的维度。
PCA的优点在于它非常快，简单易懂，适用于大多数数据集。
但它的缺点在于，PCA只能发现主要的线性结构，不能处理非线性结构。
二、流形学习流形学习是一类非线性降维技术，它的主要思想是将高维数据投影到低维空间中，并保持数据在低维空间中的局部结构和相对距离。
常用的流形学习方法有等距映射（Isomap）、局部线性嵌入（LLE）和拉普拉斯特征映射（LE）。
等距映射（Isomap）使用了图论中的最短路径算法来测量数据之间的相似性，然后在低维空间中重构相似度。
局部线性嵌入（LLE）假设数据分布在一个局部线性结构上，然后在降维后的低维空间中重构数据的局部线性关系。
拉普拉斯特征映射（LE）则是将数据点和他们邻居之间的相似度作为权重来计算特征向量，然后用这些特征向量来降维数据。
流形学习的优点在于它可以处理非线性结构，并保留数据的局部结构，但它的缺点在于，它对于训练集的密度和噪声非常敏感，并且它的计算复杂度比较高。
三、独立成分分析（ICA）独立成分分析（ICA）是一种非线性降维技术，它的主要思想是找到独立成分，并将其用作新的维度。
在ICA中，我们假设数据由多个独立的成分线性组合而成。
ICA的优点在于它可以发现数据中的非高斯结构，并且对于噪声和异常值有一定的鲁棒性。
但它的缺点在于，它对于成分数量有一定的假设，并且在计算成分时比较耗时。
高维数据降维技术在统计学中的研究进展
高维数据降维技术在统计学中的研究进展随着科技的发展和数据采集技术的进步，我们面临着越来越多的高维数据。
高维数据是指具有大量变量的数据集，这些变量可能是相互关联的，这给数据分析带来了巨大的挑战。
为了解决这个问题，统计学家们提出了高维数据降维技术，它能够将高维数据转化为低维数据，从而减少数据的复杂性，提取关键信息，为进一步的分析和建模提供便利。
一、降维技术的概述降维技术是指将高维数据映射到低维空间的过程。
在这个过程中，我们希望保留尽可能多的数据信息，同时减少数据的维度。
常用的降维技术包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和流形学习等。
主成分分析是一种常用的降维技术，它通过寻找数据中的主要方差方向来实现降维。
主成分分析能够将原始数据集投影到新的坐标系中，使得数据在新的坐标系下具有最大的方差。
这样做的好处是能够保留数据中的大部分信息，同时减少数据的维度。
线性判别分析是一种有监督的降维技术，它在分类问题中得到了广泛的应用。
线性判别分析的目标是找到一个投影方向，使得同一类别的样本尽可能接近，不同类别的样本尽可能分开。
通过这种方式，线性判别分析能够提取出最能区分不同类别的特征。
流形学习是一种非线性的降维技术，它通过学习数据的流形结构来实现降维。
流形学习能够将高维数据集映射到低维空间中，使得数据在低维空间中保持原始数据的局部结构。
这样做的好处是能够更好地保留数据的局部特征。
二、降维技术在统计学中的应用降维技术在统计学中有着广泛的应用。
首先，降维技术可以用于数据可视化。
在高维空间中，我们很难直观地理解数据的结构和关系。
通过降维技术，我们可以将数据映射到二维或三维空间中，从而更容易地观察和分析数据。
其次，降维技术可以用于特征选择。
在机器学习和统计建模中，特征选择是一个重要的步骤。
通过降维技术，我们可以从原始数据中提取出最具代表性的特征，去除冗余和噪声特征，从而提高模型的准确性和可解释性。
此外，降维技术还可以用于数据压缩。
生物信息常用降维方法-概述说明以及解释
生物信息常用降维方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述生物信息降维方法是一种重要的数据分析技术，它能够将高维的生物信息数据转化为低维表示，从而降低数据的复杂性和维度。
随着生物信息学研究的快速发展和大规模数据的产生，降维方法在生物信息学领域中得到了广泛的应用。
生物信息数据通常包含大量的基因表达、蛋白质结构和生物通路等多种类型的信息。
这些数据往往具有高维的特点，即每个样本都会有成千上万个变量，给数据分析和解释带来了巨大的挑战。
而降维方法能够通过保留数据的主要信息和特征，将高维数据映射到低维空间，从而减少数据的维度，简化数据结构，并且保持数据的重要特性。
在生物信息学研究中，常见的降维方法包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、独立成分分析（ICA）等。
这些方法在不同的情况下有着各自的优势和适用范围。
例如，PCA能够通过线性变换找到数据集中的主要方差方向，实现数据的降维和可视化；LDA则是一种监督学习的降维方法，它在分类问题上具有良好的效果；而ICA则是一种非线性的降维方法，可以用于发现数据中的独立成分和因素。
生物信息降维方法的应用案例也非常丰富多样。
例如，在基因表达数据分析中，研究人员可以利用降维方法来识别和分类不同类型的细胞和组织，发现潜在的基因表达模式和调控网络；在蛋白质结构预测中，降维方法可以在保持结构特征的前提下减少计算复杂性，提高预测的准确性和效率；此外，降维方法还可以应用于生物通路分析、药物筛选等多个生物信息学研究领域。
总而言之，生物信息降维方法是一种强大而实用的数据分析技术，它能够提供对高维数据的深入理解和全面解释，为生物学研究提供重要支持。
随着技术的不断进步和方法的不断发展，我们有理由相信，降维方法在生物信息学领域的应用将会越来越广泛，并且为生命科学的研究和进步带来更多的突破。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以编写如下：文章结构本文主要介绍了生物信息中常用的降维方法。
高维数据降维处理算法及应用分析
高维数据降维处理算法及应用分析高维数据是指数据维度非常高的数据，例如图像、视频、声音等。
随着科技的不断发展，大大小小的数据集变得越来越多，数据的维数也随之增长。
将高维数据降到低维，是解决高维数据分析问题的一种有效手段。
本文将系统地讲解高维数据降维处理算法及其应用分析。
一、什么是高维数据降维在社会中，我们会遇到各种数据，如人口数量、房价、空气温度等，其数据维度不会太高。
然而，在计算机领域，高维数据是指数据集的维度及其复杂度非常高，通常指超过3个维度的数据集，这类数据对于计算资源、存储空间等都是具有极高要求的。
降维是指将高维数据映射到低维空间，从而减少数据维数，方便数据存储和挖掘。
当数据量很大且维度很高时，降维处理是非常必要的。
二、高维数据降维算法1.主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的降维方法，它的基本思路是通过找到一些方向，将高维数据最大方差所在方向作为第一主成分，然后在与其垂直的方向上找到次大方差所在方向作为第二主成分，逐步降低维度。
通过这种方式，我们可以将原来的高维数据映射到低维空间中，以实现降维。
2.线性判别分析（LDA）线性判别分析与主成分分析有些类似，但它更加关注分类问题。
该算法的基本思路是通过找到一些维度，使得在降维后数据集中各类别之间的距离最大，而在每个类别内部的距离最小，这样就可以实现对数据的降维，同时保留最大的差异性。
3.局部线性嵌入（LLE）局部线性嵌入算法是一种非线性降维方法，可以用于处理非线性高维数据。
该算法的基本思路是寻找高维数据的局部线性结构，即在低维空间中表示高维数据的各个点可以通过邻域上的线性组合进行重构。
它不依赖于数据的分布，且对噪声数据有较好的鲁棒性。
4.多维尺度分析（MDS）多维尺度分析是一种基于距离测度的降维算法，旨在保留不同数据点之间的距离关系。
该算法的基本思路是将高维数据集中各个点之间的距离转化为低维空间中的欧氏距离，以便进行降维处理。
该算法对噪声数据具有较好的去除效果。
高维数据可视化方法综述
高维数据可视化方法综述高维数据在现代科学和工程领域中得到了广泛应用。
这些数据集往往包含大量的变量，使得对数据的可视化和分析变得非常具有挑战性。
在传统的二维和三维可视化方法难以应对的情况下，高维数据可视化方法应运而生。
本文将综述一些常见的高维数据可视化方法，包括降维方法、聚类方法和可视化技术等，并讨论它们的优缺点以及适用场景。
降维方法旨在将高维数据映射到低维空间，从而方便后续分析和可视化。
其中最常用的方法是主成分分析（PCA）。
PCA通过线性变换将原始数据映射到新的坐标系上，使得映射后的数据在新的坐标系中具有最大的方差。
这样可以大大减少数据的维度，并且保留了大部分的信息量。
然而，PCA只能处理线性相关的数据，对于非线性的数据表现不佳。
为了解决这个问题，许多非线性降维方法被提出，如等距映射（Isomap）和局部线性嵌入（LLE）。
这些方法能够在保持数据的局部结构的同时，将其映射到低维空间中。
尽管这些方法在处理非线性数据时表现较好，但是它们的计算复杂度较高，对大规模数据集的处理存在一定困难。
聚类方法是将高维数据划分为不同的类别或簇。
其中最常用的方法是k-means算法。
k-means算法根据每个数据点和其周围数据点的距离，将数据划分为k个簇。
每个簇的中心点被称为聚类中心，用来表示该簇的特征。
k-means算法简单且易于理解，但在对非球形簇进行划分时表现不佳。
为了解决这个问题，一些改进的聚类方法被提出，如谱聚类和DBSCAN算法。
这些方法通过引入图论和密度的概念，可以更好地处理复杂的数据形状和噪声点。
除了降维和聚类方法，还有一些特定的可视化技术可以用于高维数据的可视化。
其中最常用的方法是平行坐标图。
平行坐标图通过将每个变量绘制在竖直的平行线上，然后将数据点连接起来，形成一条折线。
通过观察折线的形状和趋势，可以快速地了解数据的特征和模式。
然而，当数据的维度较高时，平行坐标图会变得非常密集和复杂，使得数据的分析和理解变得困难。
高维数据分析的降维技术
高维数据分析的降维技术高维数据分析是指数据集中包含大量特征或维度的数据，这种数据具有复杂性和高度抽象性，给数据分析和挖掘带来了挑战。
在实际应用中，高维数据分析往往会导致维度灾难和计算复杂度增加的问题，因此在处理高维数据时，降维技术成为了一种必不可少的方法。
一、PCA（Principal Component Analysis）主成分分析主成分分析是一种常用的降维技术，其基本思想是通过线性变换将原始数据映射到一组互相正交的主成分上，实现数据的降维。
主成分分析能够保留大部分数据的信息，同时去除特征之间的相关性，简化模型的训练和预测过程。
二、LDA（Linear Discriminant Analysis）线性判别分析与主成分分析类似，线性判别分析也是一种经典的降维技术。
其主要思想是将数据投影到一个低维空间中，使得同类样本尽可能接近，不同类样本尽可能远离。
线性判别分析在分类和模式识别领域得到了广泛应用。
三、t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）随机邻域嵌入t-SNE是一种非线性降维技术，能够有效地可视化高维数据集。
通过在高维空间中计算数据点间的相似度，并在低维空间中保持相似性关系，t-SNE能够呈现出数据集的结构和聚类特征，有助于数据的理解和分析。
四、Autoencoder自编码器自编码器是一种通过无监督学习实现数据降维和特征提取的神经网络模型。
通过训练自编码器，可以学习到数据的低维表示，并还原原始数据，实现高维数据到低维表征的映射。
自编码器在图像、文本和信号处理领域有着广泛的应用。
五、特征选择和特征抽取除了上述经典的降维技术外，特征选择和特征抽取也是重要的降维手段。
特征选择是指从原始特征中选择最具代表性的子集，保留有用信息并减少噪声。
特征抽取是通过数学变换将原始特征转换为新特征，保持数据的主要结构和关系。
这两种方法在实际应用中都能够有效地提高模型的性能和泛化能力。
高维数据降维方法
高维数据降维方法高维数据降维是机器学习领域中非常重要的研究方向之一。
在现实应用中，往往是面对海量的、高纬的数据，这时候，通过降维的方法可以缩短计算时间，提高数据质量，因此降维成为了机器学习、数据挖掘、计算机视觉等很多领域中必不可少的一步。
那么，什么是高维数据呢？简单来说，高维数据是指数据的特征维度非常多，比如上千、上万维甚至更高维度。
在高维数据中，往往存在着冗余信息，即一些特征虽然在该数据集中存在，但其本身并不重要，甚至对于最终的分类或者回归结果可能没有直接的贡献。
如果不进行降维处理，这些冗余的特征会对学习算法的准确性和速度造成负面影响。
因此降维技术的研究和实践具有很高的实用价值。
一是基于矩阵分解的降维方法。
这类方法的基本思路是对数据集进行矩阵分解，将数据映射到一个低纬的空间中，以达到降低数据维数的目的。
主要有奇异值分解(SVD)、主成分分析(PCA)、因子分析(Factor Analysis)等方法。
奇异值分解(SVD)是常用的一种矩阵分解方法。
通过对原始数据矩阵进行SVD分解，可以得到一组正交基向量和一组奇异值，这样就将原本的高维数据映射到了一个低维子空间中，从而实现了降维的目的。
主成分分析(PCA)是一种基于统计学思想的降维方法。
其基本思路是将原始数据经过线性变换，得到新的一组变量（即主成分），这样就将原本的高维数据表示为了少数几个主成分的线性组合。
另一种基于流形学习的降维方法。
流形是指在高维空间中具有低维结构特征的一类局部欧几里得空间，比如球面、圆环、螺旋等。
流形学习的基本思路是将高维数据的低维流形结构保留下来，降低冗余的特征维数。
其代表性方法有t-SNE、Isomap、LLE等。
这些方法在解决高维数据问题中得到了很好的应用。
t-SNE是一种流形学习的降维方法。
它不仅可以减少高维数据的维数，还能够保留高维空间中的局部结构特征。
这样就可以方便地观察高维数据的低维表示结果。
Isomap是一种基于距离度量的流形学习方法。
高维数据挖掘中的特征选择与降维算法综述
高维数据挖掘中的特征选择与降维算法综述随着互联网和大数据技术的快速发展，我们面临着大规模高维数据的挖掘问题。
在这种情况下，特征选择与降维算法成为了解析和利用这些数据的关键步骤。
本文将综述高维数据挖掘中的特征选择与降维算法，分析其原理、优缺点以及适用场景，并对未来的研究方向进行展望。
一、特征选择算法特征选择是从原始数据中选择最相关或最有用的特征子集的过程，以降低数据维度和提高模型性能。
常见的特征选择算法包括过滤式方法、包裹式方法和嵌入式方法。
1. 过滤式方法过滤式方法独立于后续的学习器，通过计算每个特征与目标变量之间的相关度来进行特征选择。
常用的过滤式方法有相关系数法、信息增益法和卡方检验法等。
优点是计算简单，不受学习器的影响；缺点是无法考虑特征之间的相互关系。
2. 包裹式方法包裹式方法通过将特征选择视为一个搜索问题，从所有特征子集中选出最佳子集，以优化某个评估准则来选择最佳特征。
常用的包裹式方法有递归特征消除法、遗传算法和蚁群优化算法等。
优点是能够考虑特征之间的相互关系；缺点是计算复杂度高和搜索空间大。
3. 嵌入式方法嵌入式方法将特征选择融入到学习器的训练过程中，通过学习算法选择最佳特征子集。
常用的嵌入式方法有LASSO回归、决策树和支持向量机等。
优点是能够同时进行特征选择和建模；缺点是可能在不同学习器中表现不佳。
二、降维算法降维是减少特征数量的过程，通过将高维数据映射到低维空间来实现。
常见的降维算法包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和流形学习等。
1. 主成分分析（PCA）PCA是一种最常用的降维方法，通过线性变换将原始数据映射到新的正交坐标系，使得新的坐标系上数据的方差最大化。
优点是简单易懂、计算高效；缺点是无法保留原始特征的类别判别能力。
2. 线性判别分析（LDA）LDA是一种有监督的降维方法，它通过最大化类间距离和最小化类内距离的方式，将原始数据映射到低维空间。
LDA在模式识别和人脸识别等任务中应用广泛。
高维数据降维算法综述
高维数据降维算法综述高维数据是指数据集中包含大量的特征，每个特征之间相对独立，且维度数较高. 对于这种数据，传统的分析方法往往难以具有良好的性能表现。
因此，降维算法被广泛应用于高维数据的数据分析和处理中。
降维是指通过某种方法将高维数据映射到低维空间，使得数据保持原有的重要特征，同时减少冗余信息。
随着机器学习技术的不断发展，各种各样的高维数据降维算法应运而生。
一、PCA最常用的降维算法是PCA(Principal Component Analysis)。
PCA将高维数据投影到低维子空间上，尽量保留原始数据最具有代表性的方差，以此简化数据，减少数据的维度。
PCA 的优点在于简单易于实现，缺点是对于非线性数据分布会有问题。
二、LLE另一个流行的高维数据降维算法是局部线性嵌入(Locally Linear Embedding，LLE)算法。
LLE 算法在处理高维数据时非常有用，因为它不需要提前假设数据空间的结构或可能的数据分布模型。
三、t-SNEt - SNE 是 t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding 的缩写，也是一种非常流行的降维算法，特别适合可视化高维数据。
该算法基于随机梯度下降，并使用类似于 PCA 的累积变化比率来确定数据集的哪些维度影响最大。
四、UMAPUMAP ,Uniform Manifold Approximation and Projection，是一种新兴的高维数据降维算法，在F矩阵上构建比较等距与局部结构，并通过优化数值方法实现。
UMAP 在计算效率和表示效果方面都比 t-SNE 表现更加优秀。
五、AE除了上述算法外，还有自编码器(Autoencoder)等神经网络方法可以用于高维数据降维。
自编码器通过编码器将高维数据投影到低维向量，然后在解码器中重建原始的数据。
这种方法同时可以学习特征表示，适用于超高维度的数据降维。
Conclusion本文简要介绍了几种经典的高维数据降维算法，每种算法都有其优缺点和适用范围。
高维数据处理与降维技术
高维数据处理与降维技术随着信息时代的到来，数据的规模和复杂度不断增加，高维数据处理成为了一个重要的问题。
高维数据指的是具有大量特征的数据集，例如在生物学、金融、社交网络等领域中常见的大规模数据集。
然而，高维数据的处理和分析往往面临着挑战，因为高维空间的维度灾难使得数据变得稀疏、计算复杂度增加，同时也容易引发过拟合等问题。
为了解决高维数据处理的难题，降维技术应运而生。
降维技术旨在将高维数据映射到一个低维空间中，从而减少数据的维度，同时保留数据的关键信息。
降维技术有助于简化数据集，提高计算效率，并且可以帮助我们更好地理解和分析数据。
在降维技术中，主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是最常用的方法之一。
PCA通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，新坐标系的特征向量（主成分）是原始数据中方差最大的方向。
通过选择最重要的主成分，PCA可以实现数据的降维。
这样做的好处是，我们可以在降维后的低维空间中更好地可视化和理解数据。
除了PCA，还有一些其他的降维技术，例如多维尺度分析（Multidimensional Scaling, MDS）、独立成分分析（Independent Component Analysis, ICA）和t-SNE 等。
这些方法在不同的领域中有着广泛的应用，例如在图像处理、文本分析和生物信息学中。
然而，降维技术也存在一些挑战和局限性。
首先，降维可能会导致信息的丢失。
由于降维过程中，我们舍弃了一部分维度，因此可能会丢失一些重要的特征。
其次，降维的结果可能会受到数据的噪声和异常值的影响。
如果数据中存在噪声或异常值，降维后的结果可能会受到影响，导致分析结果不准确。
此外，降维技术的计算复杂度也是一个问题。
一些降维方法在处理大规模数据时可能会变得非常耗时，甚至无法应用。
为了克服这些挑战，研究人员提出了一些改进的降维技术。
例如，局部线性嵌入（Locally Linear Embedding, LLE）是一种非线性降维方法，它通过保持数据之间的局部线性关系来实现降维。
高维数据的低维表示综述
高维数据的低维表示综述一、研究背景在科学研究中，我们经常要对数据进行处理。
而这些数据通常都位于维数较高的空间，例如，当我们处理200个256*256的图片序列时，通常我们将图片拉成一个向量，这样，我们得到了65536*200的数据，如果直接对这些数据进行处理，会有以下问题：首先，会出现所谓的“位数灾难”问题，巨大的计算量将使我们无法忍受；其次，这些数据通常没有反映出数据的本质特征，如果直接对他们进行处理，不会得到理想的结果。
所以，通常我们需要首先对数据进行降维，然后对降维后的数据进行处理。
降维的基本原理是把数据样本从高维输入空间通过线性或非线性映射投影到一个低维空间，从而找出隐藏在高维观测数据中有意义的低维结构。
（8）之所以能对高维数据进行降维，是因为数据的原始表示常常包含大量冗余： · 有些变量的变化比测量引入的噪声还要小，因此可以看作是无关的· 有些变量和其他的变量有很强的相关性(例如是其他变量的线性组合或是其他函数依赖关系)，可以找到一组新的不相关的变量。
（3）从几何的观点来看，降维可以看成是挖掘嵌入在高维数据中的低维线性或非线性流形。
这种嵌入保留了原始数据的几何特性，即在高维空间中靠近的点在嵌入空间中也相互靠近。
（12）数据降维是以牺牲一部分信息为代价的，把高维数据通过投影映射到低维空间中，势必会造成一些原始信息的损失。
所以在对高维数据实施降维的过程中如何在最优的保持原始数据的本质的前提下，实现高维数据的低维表示，是研究的重点。
（8）二、降维问题1．定义定义1.1降维问题的模型为(,)X F ，其中D 维数据空间集合{}1Nl l X x ==（一般为D R 的一个子集），映射F :F X Y →(),x y F x →=Y 是d 空间集合（一般是d R ，d D <<）的一个子集，我们称F 是数据集X （到Y ）的降维。
若F 为X 的线性函数，则称F 为线性降维；否则，称为非线性降维。
高维数据降维方法综述与应用展望
高维数据降维方法综述与应用展望随着信息技术的快速发展，我们可以很方便地获取到大量的数据，但这些数据可能包含着相当多的无用信息。
在这种情况下，高维数据降维技术是一种十分重要的数据处理方法。
本文就将对高维数据降维方法进行一些综述，并展望它们在实际应用中的前景。
1. 什么是高维数据？在数学和计算机科学中，高维数据通常指的是具有很多维度的数据集。
例如，我们输入一些数据到Excel 表格中，每个数据项都占据一个格子。
我们可以将这些数据放在一个二维的表格中。
但是，如果我们有以下情形：- 我们想要记录某个东西的不同属性值，如颜色、尺寸、形状、价格等。
- 我们想要记录某个东西的其他非常细化的属性值，例如，某个人的街区、亲戚、工作、年龄、性别、婚姻状态、兴趣等。
此时，记录每一个属性对应的列都会使数据变得十分庞大且难以处理，我们所拥有的的数据也会被视为高维数据。
2. 为什么需要进行高维数据降维？对于高维数据而言，最大的问题在于它包含着太多的维度。
维数的增加会使得数据点更加稀疏，从而会导致数据变得更为复杂和难以处理。
同时，在高维空间下，我们试图理解或计算数据点之间的关系时，会面临着很多问题，从而会影响数据的可视化和可解释性。
因此，我们需要通过高维数据降维来：- 降低数据复杂性- 减少参数的数量，以更好地处理数据- 提高数据的可视化和解释性3. 高维数据降维技术分类常见的高维数据降维技术可分为两类：- 线性降维：这种方法会使用矩阵运算来旋转和投影数据空间，以缩小数据集的大小并提高计算效率。
主要的线性降维技术包括主成分分析（PCA）、因子分析、线性判别分析 (LDA) 等。
- 非线性降维：当数据点不再以简单的线性方式处理时，这些技术可以通过神经网络等方法来建模数据并使用非线性映射来降维。
这种方法被称为本质流形分析（IsomTric Mapper，等等）。
还有具有重构性质的自编码器，以及考虑梯度和流的技术(Flow-Based 方法)等。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习（Manifold Learning）是一种基于流形理论的无监督学习方法，旨在从高维数据中提取出低维的特征表示。
在许多实际问题中，数据通常被认为是在一个低维流形上生成的，而这个流形表示了数据样本之间的内在结构和关系。
流形学习算法的目标是通过学习这个流形结构来减小数据的维度，并且能够在降维后的空间上更好地展示数据的特征。
流形学习算法可以分为两大类：全局流形学习和局部流形学习。
全局流形学习方法试图在整个数据空间中建立一个全局的流形结构模型，例如Isomap算法和LLE算法。
而局部流形学习方法则假设数据样本的局部邻域上存在着流形结构，例如局部线性嵌入（LLE）和局部切空间嵌入（LTSA）。
首先，介绍Isomap算法，它是一种基于全局流形学习的非线性降维方法。
它的核心思想是通过计算数据样本之间的测地距离来近似表示数据在流形上的距离关系。
具体而言，Isomap算法首先通过计算数据样本之间的欧氏距离构建一个近邻图，然后使用最短路径算法来逼近每对节点之间的测地距离。
最后，通过多维缩放法将测地距离映射到低维空间，从而得到数据的降维表示。
其次，局部线性嵌入（LLE）算法是一种基于局部流形学习的非线性降维方法。
LLE算法首先通过计算数据样本之间的欧氏距离来构建近邻图，然后在每个数据样本的局部邻域上通过最小化重构误差来估计样本之间的局部线性关系。
最后，通过将数据样本的局部线性关系映射到低维空间来得到降维结果。
除了Isomap和LLE算法，还有一些其他的流形学习方法也值得关注。
例如，局部切空间嵌入（LTSA）算法是一种改进的LLE算法，它在计算局部线性关系时考虑了数据样本之间的切空间结构。
深度学习方法也在流形学习领域取得了一些重要的进展，例如自动编码器和变分自编码器可以用于从数据中学习低维特征表示。
总结起来，流形学习算法是一类用于无监督降维的方法，通过学习数据的流形结构来减小数据的维度。
全局流形学习和局部流形学习是两个主要的流形学习框架，分别用于处理整个数据空间和局部邻域上的流形结构。
高维数据降维及可视化方法研究
高维数据降维及可视化方法研究在当今工业化和信息化迅速发展的时代，高维数据的处理和分析已经成为了数据科学领域的一个重要问题。
这些数据包含了许多的因素，具有高度的复杂性和抽象性。
由于图像、视频、遥感数据等，许多领域的数据都是高维的，所以高维数据的降维和可视化已经成为了一个热点和难点的研究课题。
因此，为了让高维数据更容易理解，需要采用一系列的降维和可视化方法来对它们进行处理。
一、高维数据降维高维数据是由许多属性特征组成的数据集合，随着属性的增加，数据维数也相应增加。
当维度数目大于三维时，人类的大脑将难以准确地理解和观察这些数据。
而且许多计算机分析方法也会受到限制。
因此，降维是将高维数据映射到低维空间的方法，以便进行数据的可视化和分析。
最常用的降维方法是主成分分析（PCA）法。
PCA通常基于数据的协方差矩阵进行计算，然后，提取主成分来描述数据变化的最多的方向。
但是，PCA方法无法处理非线性数据，因为高维的非线性数据在低维空间中的映射结果常常失真。
因此，近年来一些新的方法也被提出，如非线性主成分分析（NLPCA）和核主成分分析（KPCA）法。
另外，聚类技术也可以进行高维数据的降维，通过对数据进行聚类分析，可以得到数据的主要特征，如类中心和总体平均值，以此来表示高维数据。
但是，聚类方法往往需要大量的计算和数据预处理，使得它们只适用于数量较小的数据分析。
二、高维数据可视化高维数据可视化是通过图形和图像来向用户展示高维数据的特征和规律。
可视化方法也可以被用于降维。
下面我们来讲一些主流的高维数据可视化方法。
1. Scatterplot Matrix（散点图矩阵）散点图矩阵是一种将高维数据映射为二位散点图的可视化方法，它可以同时表示多个属性之间的相关性。
在散点图矩阵中，每个维度都是一个坐标轴，并将数据分布到坐标轴上，两个每对维度之间的散点图都在矩阵中显示。
由此可看出各个属性之间的关系。
但是该方法只能用于三个及以下的维度，数据维度稍微高点的话几乎不可行。
高维数据降维算法综述与性能评估
高维数据降维算法综述与性能评估摘要：高维数据降维是机器学习和数据挖掘领域中一个重要的问题。
随着数据量的不断增加，处理和分析高维数据变得越来越困难。
为了解决这个问题，研究者提出了各种高维数据降维算法。
本文将对目前主流的高维数据降维算法进行综述，并对它们的性能进行评估。
1. 引言随着信息技术的快速发展，数据的规模和维度也在不断增加。
高维数据具有复杂性和冗余性的特点，给数据处理和分析带来了挑战。
高维数据降维是一种有效的方式，可以减少数据的维度同时保留数据的特征，从而简化数据处理和分析过程。
2. 高维数据降维算法综述2.1 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）PCA是最常用的高维数据降维算法之一。
它通过寻找数据中方差最大的方向来进行降维。
PCA能够保留大部分的数据方差，从而保留数据的重要信息。
2.2 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）LDA是一种有监督的降维算法，主要用于分类问题。
它通过寻找能够最大程度地将不同类别的数据分开的方向来进行降维。
LDA能够在降维的同时保留类别之间的差异。
2.3 多维缩放（Multidimensional Scaling，MDS）MDS是一种非线性的降维算法，主要用于可视化高维数据。
它通过计算数据之间的相似性矩阵，然后将数据映射到低维空间。
MDS能够保持数据点之间的相对距离关系。
2.4 独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）ICA是一种基于统计的降维算法，主要用于信号处理和图像分析。
它假设数据是由若干个相互独立的信号混合而成，通过求解混合矩阵来进行降维。
ICA能够提取出数据中潜在的独立信号成分。
3. 高维数据降维算法的性能评估为了评估不同的高维数据降维算法的性能，研究者通常采用以下几种评估指标：3.1 降维效果评估降维效果评估是衡量算法降维能力的主要指标。
高维数据降维表示方法比较
高维数据降维表示方法比较随着科技的快速发展，我们生活中产生的数据量也在不断增长。
这些数据往往是高维的，包含了大量的特征和信息。
然而，高维数据分析和处理往往会面临一些挑战，比如计算复杂度高、可视化困难等。
因此，降维表示成为了处理高维数据的重要方法之一。
本文将比较介绍几种常用的高维数据降维表示方法。
一、主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）主成分分析是一种线性降维方法，通过找到数据中的主要特征以减少维度。
它的核心思想是将高维数据映射到一个较低维的空间中，同时保持数据之间的差异最大化。
PCA算法通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量来确定主成分，并将数据投影到这些主成分上。
由于其简单、高效的特点，PCA广泛应用于各个领域，但它只适用于线性关系的数据。
二、独立成分分析（Independent Component Analysis，简称ICA）独立成分分析是一种非线性降维方法，通过对高维数据进行独立性推测，将数据分解为相互独立的子信号。
在ICA中，数据的特征是通过最大化其非高斯性来确定的。
与PCA不同，ICA不仅能处理线性关系的数据，还能处理非线性关系的数据。
但是，ICA算法对数据的分布做出了较为严格的假设，这对于某些数据可能不适用。
三、多维尺度分析（Multidimensional Scaling，简称MDS）多维尺度分析是一种几何化的降维方法，它通过保持高维数据点之间的距离关系来实现降维。
MDS可以将高维数据映射到一个低维空间中，使得映射后的数据点之间的距离尽量接近原始高维数据之间的距离。
MDS方法适用于各种类型的数据，但它要求数据点之间的距离是可度量的，这在某些领域中可能是一个限制因素。
四、t分布随机邻域嵌入（t-distributed Stochastic Neighbor Embedding，简称t-SNE）t-SNE是一种非线性降维方法，它主要用于数据的可视化。
数据降维的通俗解释
数据降维的通俗解释
数据降维是指通过某种方法将高维数据转换为低维的数据表示形式。
在现实生活中，我们经常面对的数据往往存在着很多特征变量，例如图片的像素值、文本的词频等。
这些高维数据不仅难以可视化展示，还可能导致计算问题的复杂性增加。
通俗来说，数据降维的过程就像是将一个复杂的立体模型变成一个简单的平面图。
假设你有一幅3D的艺术作品，它有高、宽、深三个维度。
但是，你可能希望将这幅作品用一张2D的图片来展示。
这时，你需要找到一个方法将原始的3D数据降低到2D的表示形式。
这样一来，你就可以更方便地对作品进行可视化展示或者进行进一步的分析。
在数据降维的过程中，通常会使用一些数学方法或者统计学原理，例如主成分分析（PCA）或者线性判别分析（LDA）。
这些方法可以通过一些数学上的变换将原始数据映射到一个低维的空间中，同时尽可能保留原始数据的信息。
这就像是通过某种方式将原始的3D作品映射到一个2D的平面上，保留了一部分作品的细节和特征。
数据降维的好处很明显，一方面，降低了数据的维度，可以提高计算的效率，减少计算的复杂性。
另一方面，数据降维还可以帮助我们更好地理解和分析数据，发现特征之间的关系，并且进行可视化展示。
所以，数据降维在很多领域中都有广泛的应用，例如图像处理、自然语言处理、推荐系统等，都离不开数据降维的技术。
高维数据降维算法综述
高维数据降维算法综述景明利【摘要】分类介绍了目前具有代表性的数据降维方法,重点阐述了一种新的数据降维方法-压缩感知,在此基础上,分析了各种数据降维算法的优缺点,并对数据降维研究中存在的问题进行了剖析.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(017)004【总页数】5页(P48-52)【关键词】数据降维;线性;非线性;局部;压缩感知【作者】景明利【作者单位】西安财经学院统计学院,西安710100【正文语种】中文【中图分类】O241近年来，随着信息技术的飞速发展，高维数据已经广泛产生于模式识别、医学统计、计算机视觉、数字图像处理等领域.高维数据给数据的传输与存储带来了新的挑战.如何从高维数据中有效的找出其特征信息，是信息科学与统计科学领域中的基本问题，也是高维数据分析面临的主要挑战.应对这个挑战的首要步骤是对高维数据进行有效地降维处理.所谓降维是指将高维空间中的数据通过线性或非线性映射投影到低维空间中，找出隐蔽在高维观测数据中有意义的并且能揭示数据本质的低维结构.通过此方法能够减少高维数据的维数灾难问题，促进高维数据的分类、压缩和可视化.数据降维的数学本质可表示为[1]：假设X={xi,i=1,…,N}是D维空间的一个样本集合，Y={yi,i=1,…,N}是d维空间的一个数据集(d≪D)，称F:X→Y是一个降维映射，表示为y=F(x)，也称y为x的低维表示.针对数据降维问题，传统方法是假设数据具有低维的线性分布，代表性方法是主要成分分析(PCA)[2]和线性判别分析(LDA)[3].它们已经形成了完备的理论体系，并且在应用中也表现出了良好的性态.但由于现实数据的表示维数与本质特征维数之间存在非线性关系，因此近几年来由ST Roweis和JB Tenenbaum[4][5]提出来的流形学习方法，已经逐渐成为数据特征提取方法的研究热点问题.这类方法假设高维数据分布在一个本质上低维的非线性流形上，在保持原始数据表示空间与低维流形上的不变量特征的基础上来进行非线性降维.因此，流形学习算法也称之为非线性降维方法,其中代表性算法包括基于谱分析的算法、等距特征映射算法(ISOMAP)[4]、局部线性嵌入算法(LLE)[5]、局部切空间排列(LTSA)[6]、核主成分分析(KPCA)[7]、Laplacian特征映射[8]、Hessian特征映射[9]等.后来,基于概率参数模型的算法也相继出现,如Charting[10].然而，这些算法很难被应用于识别问题.但一些基于谱分析的算法由于具有特殊的分解特性能够简单的扩展为线性算法，通过解决优化过程中的线性逼近来实现.这些扩展化的方法使得流形思想更容易的应用到了实际中.流形化的学习从最初的非监督学习扩展到了监督学习和半监督学习，流形学习已经成为了机器学习相关领域的一个研究热点.对现有主流降维方法，可以从不同的角度进行分类.比如，从算法执行过程、从几何结构的保留角度、从待处理的数据特性等等.本文从待处理的数据特性出发对几种典型的线性和非线性降维方法进行了详细地阐述，着重分析讨论了压缩感知这种新的降维方法，分析并给出了各种算法的特性，最后指出了有待解决的问题.基于维数灾难和小样本问题的存在，许多基于统计或者几何理论的数据降维方法被提出.从待处理的数据性质考虑，将现有的降维方法分为线性和非线性两大类.1.1 线性降维算法1.1.1 PCAPCA于20世纪初由Hotelling提出，通过对原始变量的相关矩阵或协方差矩阵结构的研究，将多个原随机变量转换为少数几个新的随机变量(能够反映原始变量绝大部分信息)，从而达到降维目的.设图像样本为X={x1,…,xN},xi∈Rm，N为总样本个数.根据最优重建准则，PCA目标函数为这里W∈Rm×m是变换阵，把样本从高维空间变换到低维空间.(1)式通过特征值分解得其中：其中是所有样本的均值，矩阵C是样本的协方差矩阵.事实上，W是C较大特征值对应的特征向量.1.1.2 LDALDA是根据著名的Fisher准则，对于二类(正类，负类)问题推广到多类问题，希望找到的优化方向是使得在低维空间中同类数据尽量靠近而非同类数据尽量分离，从而保留丰富的辨别信息，使投影后的数据具有最大的可分性.改进后的Fisher准则为：其中：[w1,w2,…,wd]是SB的前d个最大特征值对应的特征向量.也就是求SBwi=λiSWwi,i=1,…,d的特征值问题来求出最优的方向[w1,w2,…,wd]，d≤C-1.求出特征向量后，观测数据在这些特征向量上的投影系数就是对观测数据所提取的低维嵌入坐标.1.2 非线性降维算法对非线性降维算法，从高维数据几何结构被保留至低维空间的角度对算法进行分类：1.2.1 全局分析的流形算法(1)ISOMAPISOMAP法主要思想是利用局部邻域距离近似计算数据点间的流形测地距离，同时将高维数据间的测地距离进行推导，将低维嵌入坐标的求解转化为矩阵的特征值问题.实现起来分为三步:第一步，对高维空间数据集上的每个数据点，判断其k邻近(距离数据点最近的前k个数据)或ε邻近数据(数据点距离小于ε的所有数据)，然后连接并构成高维数据的带权邻域图；第二步，计算邻域图中任意数据对间的最短路径，将其作为近似测地线(所谓测地线就是一个曲面上，每一点处测地线曲率均为零的曲线)估计；第三步，利用多维尺度变换(MDS)算法对原数据集进行降维.(2)KPCAKPCA算法是对线性PCA的推广，使用了核方法即将核映射使用到数据处理方法中，其基本思想把输入数据x经过非线性映射Φ(x)映射到特征空间F上，在特征空间F上执行线性PCA.该算法的性能依赖于核的选取，核矩阵的大小与数据集中样本个数的平方成正比，但算法比较简单，能够处理非线性数据.1.2.2 局部分析的流形算法(1)LLELLE算法的主要思想是假设每个数据点与它邻近点位于流形的一线性或近似线性区域中，将全局非线性转换为局部线性.具体步骤分为三步：第一步，高维空间上建立原数据集的k邻近或ε邻近邻域图；第二步，计算数据的局部线性表示参数矩阵W，这可以通过求解下列约束优化问题：使得，且Wij=0，如果Xi,Xj互为邻域；第三步,将局部线性表示参数作为高维与低维数据的不变特征量，计算无约束优化问题获得降维结果Y(2)LTSALTSA算法主要思想是对每一个数据点构建一个局部切空间，然后对这些切空间进行一个放射变换从而得到一个全局嵌入的坐标.其主要步骤为三步：第一步，提取局部信息.对于样本点xi，选取k个邻近点(包含xi本身)，并记为Xi 的均值.计算协方差矩阵ieT)的d个最大的单位特征向量g1,…,gd，并记；第二步，构造排列矩阵B.可根据此式构造，这里Ii为邻域索引；第三步，得到全部嵌入坐标.对B进行特征分解，选取对应于第2个到第d+1个最小的特征值构造成向量矩阵[u2,…,ud+1]，则最终的嵌入坐标为T=[u2,…,ud+1]T.除了这两种算法，本类算法包括局部模型排列算法(ALM)[11]、局部线性坐标算法等.这些算法基本思想都是在局部分析后提取信息，在排列中使得这些信息在整体低维坐标中得到最大化保留.1.3 新的降维方法——压缩感知随着人们对信息需求量的增加，基于数据稀疏性提出一种新的采样理论——压缩感知(Compressed Sensing,CS)，使得高维数据的采样与压缩成功实现.该理论指出：只要数据在某个正交变换域中或字典中是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维数据投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题从这些少量的投影中以高概率重构出原数据，可以证明这样的投影包含了重构数据的足够信息.假设有一数据f(f∈RN)，长度为N，基向量为Ψi(i=1,2,…,N)，对数据进行变换：显然f是数据在时域的表示，α是数据在Ψ域的表示.若(5)式中的α只有K个是非零值(N≫K)且经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为数据是稀疏的.如何找到数据的最佳稀疏表示是CS理论和应用的基础前提.Candes和Tao[12]研究表明，具有幂次速度衰减的数据，可利用压缩感知理论恢复，并且重构误差满足下式假设数据是可压缩的(原始数据在某变换域中可快速衰减)，则CS过程[13]可分为两步：(1)数据的低速采样问题:找一个与变换基不相关的M×N(M≪N)维测量矩阵对数据进行观测，保证稀疏向量从N维降到M维时，重要信息不被破坏.(2)数据的恢复问题:设计一个快速重构算法，由M维的测量向量重构原始数据.压缩感知理论以数据具有稀疏性为基础，有效缓解了高速采样实现的压力，达到了压缩的目的，为处理、传输、存储节约了大量的成本，这种新的采样理论的研究已经受到了多方关注，并取得了丰硕的成果.然而压缩感知理论目前面临的挑战为：电路中易于实现的采样矩阵的构造；鲁棒性强、算法复杂度低的恢复算法；非稀疏数据的稀疏化表示问题.压缩感知理论作为一种新的降维方法已经应用到数据处理等多个研究领域中，与此同时压缩感知理论与机器学习等领域的内在联系的研究工作已经展开.虽然上述各种数据降维算法被广泛应用于许多领域中，但是它们具有各自的优缺点，为了更好的应用这些算法，下面对这些算法的优缺点做一个简单的总结.PCA算法是一种无监督的学习方法，算法简单，具有线性误差等优点，但存在下述缺点：存储空间大，计算复杂度高，该算法中用到了线性映射也影响最后的效果，协方差矩阵的大小与数据点的维数成正比，导致了计算高维数据的特征向量是不可行的；LDA算法是一种有监督的学习方法，可以用于分类工作，但对于样本维数大于样本数的奇异值问题很敏感；ISOMAP算法虽具有拓扑不稳定性，计算复杂性大，对噪声敏感的局限性，但仍是一种优秀的方法，在许多研究领域被广泛采用，并取得了良好的效果；LLE算法具有以下优点：每个点的近邻权重在平移、旋转、缩放下保持不变；有解析的整体解，不需要进行迭代，复杂度较小，容易计算,但要求流形必须是不闭合且局部线性，要求观测的数据要稠密，对噪声也比较敏感；Laplacian特征映射的基本思想比较简单，计算起来也简单，但也要求观测数据采样稠密，对噪声敏感性很大；一般情况下，基于局部分析的算法在流形上的噪音数据较多，流形上的曲率较大，流形上的维数较高等情况下发挥不了优点，导致算法应用的失败；压缩感知算法是一种基于数据稀疏的优化计算恢复数据的过程，利用随机采样阵除去了冗余数据和无用的数据，缓解了高速采样的压力，减少了处理、存储、传输成本，不失为一种优秀的降维方法，但面临在噪声背景下，鲁棒性恢复算法的构想难题.本文对现有的分类方法进行了系统的分类，并对几种典型的线性和非线性降维方法进行了详细地阐述，着重分析讨论了一种新的降维方法即压缩感知，并指出了该算法的特性.目前降维算法仍在研究中，下列几个方面的研究值得关注：(1)非线性数据降维方法中都需要确定数据邻域尺寸和本质维数两个参数，如何确定更好的参数使得这些方法得到最大程度的改进.(2)前边提出的方法大多为局部方法，受噪音影响大，因此如何减少噪声的干扰、提高算法的鲁棒性是未来的研究方向.(3)现在的方法对动态增加的观测数据点不能快速的映射到低维空间中，因此学习改进增量算法具有一定的研究价值.(4)建立非凸的目标函数，不仅仅依赖于模型化数据流形的局部结构的邻域图，得到优化解.【相关文献】[1] 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低维表征矢量
低维表征矢量低维表征矢量，也称为低维向量表达（Low-Dimensional Vector Representation），是一种将高维数据映射到低维空间的算法，它通过在数据中确定一些可能最重要的信息，去掉冗余的信息和噪声，同时保留数据的有用信息，在保留数据相当程度的信息的同时，将数据降至较低维度，节约空间和计算资源的消耗，以此来加速机器学习算法的运行。
它在自然语言处理、计算机视觉和推荐系统等领域都有广泛应用。
在自然语言处理领域中，低维表征矢量是一种将自然语言处理转化为数字计算的重要工具，对于处理文本分类、聚类、情感分析等任务有很好的效果。
例如，对于文本分类而言，我们可以使用低维表征矢量将每个文本表示成一个固定长度的向量，然后使用分类算法训练模型。
由于低维表征矢量使用了更少的特征维度，这样相比使用更多维度的特征，可以大大提高分类的准确性和计算速度。
在计算机视觉领域中，低维表征矢量也可以用于图像和视频的处理和分析。
例如，可以利用卷积神经网络提取图像特征，然后将这些特征映射到低维空间。
通过这种方式，我们可以将图像和视频转化为实数向量，这些向量可以用于图像检索、分类和聚类等任务。
同时，对于用于图像识别的卷积神经网络，利用低维表征矢量可以大大减少需要训练的神经元数量，降低运行和存储成本，从而在实际应用中具有更高的效率和更好的性能。
在推荐系统领域中，低维表征矢量可以用于将用户和物品表示成低维向量，然后通过计算这些向量之间的相似度来推荐物品。
这种方法可以在大数据环境中提高推荐系统的效率和准确性，同时也减少了数据的数量和维度，从而更好的适应海量数据的处理。
总之，低维表征矢量是一种强大的算法，它可以在多种领域和应用中发挥作用，比如自然语言处理、计算机视觉和推荐系统等。
通过将高维数据降维到低维空间，我们可以减少计算时间和存储空间，提高算法的准确性和效率。
这是目前机器学习和人工智能领域中的一个重要研究方向，也是未来的发展方向之一。
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高维数据的低维表示综述一、研究背景在科学研究中，我们经常要对数据进行处理。
而这些数据通常都位于维数较高的空间，例如，当我们处理200个256*256的图片序列时，通常我们将图片拉成一个向量，这样，我们得到了65536*200的数据，如果直接对这些数据进行处理，会有以下问题：首先，会出现所谓的“位数灾难”问题，巨大的计算量将使我们无法忍受；其次，这些数据通常没有反映出数据的本质特征，如果直接对他们进行处理，不会得到理想的结果。
所以，通常我们需要首先对数据进行降维，然后对降维后的数据进行处理。
降维的基本原理是把数据样本从高维输入空间通过线性或非线性映射投影到一个低维空间，从而找出隐藏在高维观测数据中有意义的低维结构。
（8）之所以能对高维数据进行降维，是因为数据的原始表示常常包含大量冗余： · 有些变量的变化比测量引入的噪声还要小，因此可以看作是无关的· 有些变量和其他的变量有很强的相关性(例如是其他变量的线性组合或是其他函数依赖关系)，可以找到一组新的不相关的变量。
（3）从几何的观点来看，降维可以看成是挖掘嵌入在高维数据中的低维线性或非线性流形。
这种嵌入保留了原始数据的几何特性，即在高维空间中靠近的点在嵌入空间中也相互靠近。
（12）数据降维是以牺牲一部分信息为代价的，把高维数据通过投影映射到低维空间中，势必会造成一些原始信息的损失。
所以在对高维数据实施降维的过程中如何在最优的保持原始数据的本质的前提下，实现高维数据的低维表示，是研究的重点。
（8）二、降维问题1．定义定义1.1降维问题的模型为(,)X F ，其中D 维数据空间集合{}1Nl l X x ==（一般为D R 的一个子集），映射F :F X Y →(),x y F x →=Y 是d 空间集合（一般是d R ，d D <<）的一个子集，我们称F 是数据集X （到Y ）的降维。
若F 为X 的线性函数，则称F 为线性降维；否则，称为非线性降维。
定义1.2 称映射1F -1:F Y X -→1()y xF y -→为嵌入映射。
（8）2．分类针对降维问题的目的和待处理数据集合表象维数的多少，对其进行初步的、粗略的分类如下：·硬降维问题：数据维数从几千到几万甚至几十万的变化，此时需要对数据集进行“严厉”的降维，以至于达到便于处理的大小，如图像识别、分类问题以及语音识别问题等。
·软降维问题：此时数据集合的维数不是太高，降维的需求不是非常的迫切。
如社会科学、心理学以及多元统计分析领域皆属于此类。
·可视化问题：此时数据集合的绝对维数不是很高，但为了便于利用人们的直观洞察力，即为了可视化，我们将其降到2或3维。
虽然我们可以可视化更高维数的数据，但是它们通常难于理解，不能产生数据空间的合理形态。
若我们还考虑时间变量的话可以对降维问题进行更加进一步的分类，静态降维问题和动态降维问题。
后者对于时间序列来讲是有用的，如视频序列、连续语音信号等的处理。
（4）3．方法介绍如何将高维数据表示在低维空间中，并由此发现其内在结构是高维信息处理研究的关键问题之一。
实际处理中，由于线性方法具有简单性、易解释性、可延展性等优点，使得线性降维在高维数据处理中是一个主要研究方向。
已有的线性维数约简方法，主要包括主成分分析(Principal Component Analysis ，PCA)[16]、独立成分分析(Independent Component Analysis ，ICA)、线性判别分析inear discriminant analysis(LDA) [17]、Fisher 判别分析(Fisher Discriminant Analysis ，FDA)、主曲线(Principal Curves)、投影寻踪(Projection Pursuit, PP)、多维尺度方法(Multidimensional Scaling，MDS)等。
这些方法实际是在不同优化准则之下，寻求最佳线性模型，这也是线性维数约简方法的共性。
（10）通过消除数据建模过程中的全局线性假设，Sammon提出了一种非线性映射，即Sammon映射(SM)，该算法能够保持输入样本之间的相关距离；Hastie 提出了principal curves(PC)，其定义为通过概率分布或数据中间的光滑曲线；Kohonen基于自组织神经网络提出了self-organizing map(SOM)用来保存数据空间的拓扑属性；Scholkopf等应用Mercer核将PCA扩展为Kernel PCA(KPCA)，该算法在高维空间中计算主分量，而该高维空间由输入空间经某种非线性映射得到。
Mika等采用相同的思想来非线性扩展LDA，从而提出了kernel LDA （KLDA）；然而，基于核的方法其难点在于如何选择一个合适的核函数，一个好的核函数可以使数据在特征空间上线性可分或者近似线性可分，但并不是所选核函数对于每一种数据都适用。
核函数的选择反映了人们对问题的先验知识，在实际的应用中往往是经验地选择某种核函数，比如径向基函数(Radial Basis Function，RBF)。
同时，在使用核函数时不必知道具体的特征空间，使得核函数方法缺乏物理直观性，这也是核函数方法的一个缺点。
（10）最近兴起的流形学习算法也是用来维数约减的非线性方法，并且依靠它们在探测嵌入在高维空间中低维流形的能力和灵活性而被广泛应用。
具有代表性的流形学习算法包括等距映射(Isometric Mapping，Isomap)、局部线性嵌入方法(Locally Linear Embedding，LLE)、Laplacian 特征映射(Laplacian Eigenmap，LE)、局部切空间排列方法( Local Tangent Space Alignment，LTSA)、Hessian等距映射(Hessian eigenmaps，HLLE)和最大方差展开(maximum variance unfolding，MVU)。
其中，LLE运用线性系数，来表达局部几何，该系数能够重建一个给定的样本点利用其近邻点，然后寻找一个低维空间，在该空间中这些线性系数仍然可以用来重建相应的点；ISOMAP作为MDS的变种，能够保存点对之间的全局的测地线距离；LE通过对一个描述了点对之间邻域关系的无向图的操作，来保持数据之间的近邻关系。
HLLE先通过估计邻域上的Hessian而构建一矩阵，然后在此矩阵上运用特征值分解而得到最终的低维坐标。
LTSA运用局部切信息作为局部几何的表达，然后将这些切信息在全局中排列从而得到最终的全局坐标。
MVU不是一个绝对的局部方法而是一个介于局部和全局之间的方法，因为MVU不仅保存近邻点之间的几何关系而且在它的目标函数中考虑了全局点对之间的距离。
除了基于谱分析的流形学习的算法，基于概率参数模型，Rowels 提出了global coordination(GC)；Teh和Roweis开发了locally linear coordination(LLC)；Brand提出了manifold charting(Charting)。
这些方法也属于流形学习的重要范畴。
然而，这些非线性的算法却不能够为样本提供一个外在的映射，也就是说，它们很难被应用于识别问题。
但是，一些基于谱分析的算法由于其具有特殊的特征分解机制而能够较为容易的扩展为线性算法，其线性化可以通过在解决优化的过程中施加线性逼近来实现。
Locality preserving projection(LPP)作为LE的线性化是其中最早提出的算法。
后来提出的还包括neighborhood preserving embedding(NPE)，LLE的线性化扩展，和orthogonal neighborhood preserving projections(ONPP)，LLE的正交线性化扩展。
这种线性化扩展使流形学习的思想更能够应用到现实世界中。
图1.1给出了以上所提提及的降维算法的分类图。
在谱方法的线性化扩展中，LPP可以被看作为基于图结构的最具代表性的算法，在接下来的几年中，又不断地有这种基于图的算法被提出，从而进一步完善了这种基于图的框架。
Cai等对LPP算法分别对监督设置和非监督设置两种情况作了系统的分析，并且将LDA用这种基于图的框架重新公式化。
Yan等提出了一种一般性的框架即“图嵌入”，来统一各种各样的降维算法。
基于此种框架，一种新的线性算法，marginal fisher analysis（MFA）将开发出来。
MFA不同于LPP 其只用一个图来描述数据的几何结构，该算法采用了两个图，其中一个为固有图（intrinsic graph），它用来刻画数据的类内紧凑性；而另一个图为惩罚图（penalty graph），用来描述数据类间的分离性。
因此，MFA比LPP更具有判别性。
Chen 等同时提出的local discriminant embedding（LDE）算法在本质上与MFA的思想是相同的。
（5）非线性降维方法与线性降维方法相比的一个显著特点是，分析中的局部性(数据集合经常满足的一个简单假设)。
原因在于对数据集合的内蕴结构而言，有下列特性：·由泰勒定理，任何可微函数在一点的充分小的邻域之内满足线性性。
形象的来讲，相当于认为曲面流形可由大小不一的局部线性块拼接而成；·数据流形经常是由许多可分割的子流形所组成；·数据流形的本征维数沿着流形不断的发生变化，只有局部性才能抓住其根本特性。
（4）三、常见降维方法（一）线性1.主成分分析(Principal Component Aanlysis PCA) [1]PCA将方差的大小作为衡量信息量多少的标准，认为方差越大提供的信息越多，反之提供的信息就越少。
它是在损失很少的信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标的一种多元统计方法。
它具有概念简单，计算方便以及最优线性重构误差等优良的特性。
PCA是一种全局算法，它可以较好地揭示具有线性结构的高维数据集的全局分布。
然而对于嵌入在高维空间中具有非线性流形结构的数据，PCA 很难学习出隐含在数据集中的低维流形结构。
PCA 假设数据之间的关系是线性的。
它在保存原始高维数据协方差结构的基础上计算低维表达，也就是最大化总体方差。
它的目标函数可以写为：2121=arg max arg max ()arg max ()..PCAPCA PCA N mPCA i U i N T m T T PCA i PCA T PCA PCA PCA d U U i U y y U x x tr U S U s t U U I ==-=-==∑∑ 其中，1m i y y N =∑，1m i x x N=∑，且T S 为总体离散矩阵：i=1=()()T N T i i S x x x x --∑。