第11讲巧解圆的周长和面积(一)
推导圆的周长与面积公式
推导圆的周长与面积公式圆是一个非常重要的几何图形，它在很多领域中都有广泛的应用。
诸如物理学、工程学、数学等学科中，都会出现圆的相关问题。
对于圆的周长和面积公式的推导，我将通过几何和代数的方法来进行阐述。
1. 圆的周长公式推导假设有一个半径为r的圆，我们可以通过以下几何推导来得到其周长公式。
首先，想象一个圆被等分成n个扇形，每个扇形的度数表示为θ（度数制）。
由于一个完整的圆共有360度，所以每个扇形的度数为360/n。
接下来，我们可以将这个圆展开，得到一个近似矩形，其长即为圆周长，而宽则为扇形的一边长（弧长）。
矩形的长为圆的周长，记为C，宽为r * θ * π / 180（弧长公式）。
其中，π是圆周率，约等于3.14159。
由于矩形的长即为圆的周长，我们可以得到以下等式：C = r * θ * π / 180考虑到扇形的度数θ与圆的半径r之间的关系，我们有θ = 360/n。
将θ代入上述等式中，得到：C = r * (360/n) * π / 180进一步简化上述等式，我们可以得到圆的周长公式：C = 2 * r * π因此，圆的周长公式为：C = 2 * r * π。
2. 圆的面积公式推导同样假设有一个半径为r的圆，接下来我将通过代数方法推导其面积公式。
首先，我们可以将圆平分成n个等角的扇形，每个扇形的度数为θ。
然后，我们将这个圆内接在一个正多边形，该正多边形有n个边，每个边的长度为s。
这样，我们可以将圆的面积近似为这个正多边形的面积。
正多边形的面积可以通过以下公式计算：A = (1/2) * n * s^2 *tan(180/n)。
其中，A表示面积，n表示正多边形的边数，s表示正多边形的边长。
当我们令正多边形的边数n趋近于无穷大时，正多边形的形状趋近于圆。
因此，我们可以用极限来表示圆的面积。
即：lim(n→∞) A = π * r^2由此，我们得到了圆的面积公式：A = π * r^2综上所述，圆的周长公式为C = 2 * r * π，面积公式为A = π * r^2。
《圆的周长和面积》(运用圆的周长公式解决实际问题)教学课件
教学目标
1、结合具体事例，经历灵活运用圆周长公式解 决实际问题的过程。 2、能灵活运用圆周长公式解决简单的实际问题， 能表达解决问题的思路和方法。 3、了解现实生活中有许多与圆周长有关的问题， 获得运用知识解决问题的成功体验。
1、圆的周长公式是什么？
2、圆周率π一般取值是多少？
3、计算圆的周长。 （1）d=3厘米 （2）r=8分米
一个圆形花坛的周长是17.27米。它的 直径是多少？
说一说，你都发现了哪些信息？
已知花坛的周长，怎样求它的直径？
方法一： 因为C= πd
所以直径=17.27÷3.14 =5.5（米）
答：花坛的直径是5.5米。
方法二：
解：设花坛的直径是 x 米。
练一练
1.一个圆形木桶上3根铁箍的长度一共 是282.6厘米，这个桶地面的直径是多 少厘米？
282.6÷3÷3.14＝30（厘米）
答：这个桶地面的直径是30厘米。
2.杂技演员骑独轮车走钢丝，车轮转动 25周可以前进31.4米。车轮的半径是多 少米？
31.4÷25÷3.14÷2＝0.2（米） 答：车轮的半径是0.2米。
3.王立民骑自行车通过一座长570米的大 桥。如果自行车车轮每分钟转100周，那 么通过大桥大约要用多少分钟？（得数 保留整数）
65厘米＝0.65米 570÷（3.14×0.65×100）≈3（分钟） 答：通过大桥大约要用3分钟。
4.聪聪家餐厅门的形状和尺寸如下图所示。 （1）上面半圆的高度是多少厘米？
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人教版六年级上册数学圆的周长和面积进阶(课件)
36 4 2 7（2 cm2）
36cm 4cm
THANKS
练习7：用一张斜边为30厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为50厘米的蓝
色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形；问：红、蓝 两张三角形纸片的面积之和是多少？
A
C ' E'
30厘米 E
B
50厘米 D 30厘米 C
S△：50×30÷2 = 750（cm²）
例题8：如图，长方形的长是8cm，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析：正方形的边长等于圆的半径 S正方形=r2=10（平方厘米）
S圆=πr2=3.14×10=31.4（平方厘米）
练习9：①如图，直角三角形（直角顶点正好在圆心位置） 的面积是20平方厘米，求圆的面积。
分析：直角三角形的底和高等于圆的半径 S三角形=r2÷2=20（平方厘米） r2=20×2=40（平方厘米） S圆=πr2=3.14×40=125.6（平方厘米）
法① S阴 = （S长 - S圆×2）÷2
r：8÷2÷2 = 2（cm）
宽：2×2 = 4（cm）
4cm
8×4 - 3.14×2×2×2 = 6.88 （cm2）
6.88÷2 = 3.44（cm2）
r
8cm
法②
a
a：8÷2 = 4（cm） r：4÷2 = 2（cm）
S阴 = S正 - S圆 = 4×4 - 3.14×2×2 =3.44（cm2）
S圆 : S正方形 (πr 2 ) : (2r 2 ) π ： 2
③以正方形的边长为半径的圆
思考：圆与正方形的联系在哪里？
圆的周长与面积的解题技巧
小学数学︵ 六年级︶人教版六年级数学上册数学思想方法——圆的周长的解题技巧在解答圆的周长的问题时，首先要能熟练地运用公式进行计其次在遇到有关圆的组合图形的周长计算时，要能巧妙地运用“转化”“拼补“分割”“设数”“逆推”“代换”等技巧将不规刚图形转化为规则图形进行解答。
一、经典例题【例】把4个直径是10cm 的圆柱形酒精瓶子捆扎在一起，截面如图所示，捆扎一圈需要绳子多少厘米？（接头处忽略不计）二、分类训练【技巧1：转化】1.如图，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，等边三角形的边长是20cm 。
阴影部分的周长是多少厘米？提示：仔细观察一下图形，你会发现三个扇形正好拼成一个半圆形，阴影部分的周长相当于圆周长的一半。
小学数学︵ 六年级︶人教版2.求阴影部分的周长。
【技巧3：分割】3.如图，求阴影部分的周长。
（单位：cm)【技巧4：设数】4.如图，甲、乙两只小虫同时从A 点出发，分别沿箭头所示的方向爬到B 点。
若甲、乙两只小虫的速度相同，甲、乙两只小虫谁先爬到B 点？小学数学︵ 六年级︶人教版5.一个半圆形的周长是20.56cm ，它的半径是多少厘米？提示：根据公式“πr +2r =半圆形的周长”求半径。
【技巧6：代换】6.下图中圆的周长是20cm ，圆的面积与长方形的面积相等，阴影部分的周长是多少厘米？提示：阴影部分的周长等于一个圆的周长加上圆周长的41。
小学数学︵ 六年级︶人教版圆的面积的解题技巧在解答圆的组合图形面积或求阴影部分面积时，除了正确运用圆的面积公式外，还可以巧妙地运用“重叠”“转化”“旋转”“平移”“整体带入”等技巧化繁为简、化不规则为规则进行解答。
一、经典例题【例】如图所示，正方形的边长是10cm ，在正方形中画了两个四分之一圆，求图中阴影部分的面积。
二、分类训练 【技巧1：重叠】1.求阴影部分的面积。
[提示：阴影部分的面积=两个圆的面积和减去正方形的面积]【技巧2：转化】2.如图，等边三角形的边长是10cm ，阴影部分的面积是多少平方厘米？[提示：将三个扇形转化成一个半圆形，阴影部分的面积就是半圆形的面积]小学数学︵ 六年级︶人教版【技巧3：旋转】3.如图，求阴影部分的周长。
圆的周长面积知识
圆的周长面积知识
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊圆的周长和面积知识，这可真是超级有趣的呀！
你想想看呀，圆那可是无处不在呢！像咱平时吃的大饼，那就是个圆，还有汽车的轮子，不也是圆嘛！你说要是没有圆，这世界得少多少乐趣呀！
先来说说圆的周长吧。
圆的周长就是绕圆一圈的长度哟。
就好比你要围着一个大圆圈跑步，跑一圈的距离就是这个圆的周长啦。
比如说一个呼啦圈，你要是想知道绕着它跑一圈有多远，那就是在算它的周长嘞！我们可以用公式C=2πr 来计算哦，这里的 C 就是周长，π 呢就是那个神奇的圆周率，r
就是圆的半径啦。
你看，这样是不是很清楚呀！我记得有一次我和小伙伴比赛谁能更快算出一个圆的周长，那可真是紧张又刺激呢！
然后呢，就是圆的面积啦。
圆的面积就像是这个圆所占的地方有多大。
好比一个圆形的池塘，你想知道它能装多少水，那就是算它的面积嘛。
这时候公式就是S=πr²啦，S 表示面积哟！举个例子，一个蛋糕是圆的吧，如果要知道能切多少块，是不是就得知道它的面积呀！记得有一次我过生日，妈妈买了个超级大的圆形蛋糕，我就在那琢磨着它的面积有多大呢！
哎呀呀，圆的周长和面积知识真的是太重要啦，生活中到处都用得到呢！咱可得好好掌握呀，不然很多好玩的事儿都搞不定呢！你说是不是？反正我觉得是超级有用的，你们也一定要好好学哦！这样咱才能在遇到和圆有关的问题时，轻松搞定呀！
我的观点就是：圆的周长和面积知识虽然简单，但是真的特别实用，一
定要认真学，好好用！。
圆的面积与周长
圆的面积与周长圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有许多特殊的性质，其中包括面积和周长。
本文将探讨圆的面积和周长的计算方法及其应用。
一、圆的面积计算方法圆的面积是指圆所占据的平面的大小，通常用单位面积来表示。
要计算圆的面积，我们需要用到圆的半径或直径这两个参数。
1.1 圆的半径计算方法圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的直线段长度，通常用字母r表示。
我们可以利用已知的圆的半径来计算圆的面积。
圆的面积公式如下：S = πr²其中，S表示圆的面积，π是一个无理数，约等于3.14159。
例如，若已知一个圆的半径r为5cm，我们可以计算其面积：S = 3.14159 × 5² ≈ 78.54 cm²1.2 圆的直径计算方法圆的直径是指通过圆心并且同时与圆周上两个点相连的线段的长度，通常用字母d表示。
知道圆的直径可以直接计算出圆的面积。
我们知道圆的直径和半径之间存在以下关系：d = 2r因此，圆的面积也可以用直径来计算：S = π( d/2 )²例如，若已知一个圆的直径d为10cm，我们可以计算其面积：S = 3.14159 × (10/2)² = 78.54 cm²二、圆的周长计算方法圆的周长是指圆周上的线段的长度，也可以理解为圆上任意两点间的弧长。
同样地，我们可以利用圆的半径或直径来计算圆的周长。
2.1 通过半径计算周长已知半径的圆的周长计算公式如下：C = 2πr例如，若已知一个圆的半径r为5cm，我们可以计算其周长：C = 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.42 cm2.2 通过直径计算周长已知直径的圆的周长计算公式如下：C = πd例如，若已知一个圆的直径d为10cm，我们可以计算其周长：C = 3.14159 × 10 ≈ 31.42 cm三、面积和周长的应用圆的面积和周长是在许多实际情况中经常被应用的概念。
初中数学复习如何快速解决圆的面积与周长问题
初中数学复习如何快速解决圆的面积与周长问题圆是我们数学学习中的一个重要概念，涉及到圆的面积与周长的计算也是我们必须掌握的基本技能。
本文将介绍一些快速解决圆的面积与周长问题的方法，帮助初中生复习数学知识。
一、圆的面积公式及其应用圆的面积公式是数学教科书中最基础的公式之一，被广泛应用于各个领域。
圆的面积公式如下：\[\text{面积} = \pi \times r^2\]其中，\(\pi\)是一个常数，近似取值为3.14，\(r\)是圆的半径。
在解决圆的面积问题时，我们通常需要根据已知条件确定半径的值，然后将半径代入公式中进行计算。
下面是一个例子：例1：一个圆的半径为5cm，求解其面积。
解：根据面积公式，将半径代入可得：\[\text{面积} = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.5 \, \text{cm}^2\]所以该圆的面积约为78.5平方厘米。
除了直接使用面积公式进行计算外，我们还可以利用一些简化计算的技巧。
例如，当半径是整数时，可以利用整数半径对应的面积关系进行计算。
当半径是分数时，可以将分数化简为最简形式，进一步简化计算过程。
通过灵活运用这些技巧，可以更加快速地解决圆的面积问题。
二、圆的周长计算方法圆的周长是指圆形边界的长度，也称为圆的周长或圆周长。
圆的周长公式如下：\[\text{周长} = 2 \pi r\]在解决圆的周长问题时，我们也需要根据已知条件确定半径的值，然后将半径代入公式中进行计算。
下面是一个例子：例2：一个圆的半径为8cm，求解其周长。
解：根据周长公式，将半径代入可得：\[\text{周长} = 2 \pi \times 8 = 16\pi \approx 50.3 \, \text{cm}\]所以该圆的周长约为50.3厘米。
与圆的面积计算类似，我们也可以利用一些简化计算的技巧来快速解决圆的周长问题。
例如，当半径是整数时，可以直接通过半径乘以2再乘以\(\pi\)得到周长的近似值。
圆的周长和面积知识点总结
圆的周长和面积知识点总结
嘿，朋友们！今天咱来好好唠唠圆的周长和面积那些事儿。
咱先说说圆的周长哈。
圆的周长，那就是绕着圆走一圈的长度。
就好比你围着一个大圆圈跑步，跑一圈的距离就是它的周长啦！那咋算圆的周长呢？那就要用到一个超厉害的公式：C=2πr（这里C 表示周长，π就是圆周率，约等于，r 就是圆的半径啦）。
比如说，有个圆的半径是 5 厘米，那它的周长就是2××5= 厘米呀！你想想，要是不知道这个公式，那想知道圆的周长得多难呀，是不是？
接着就是圆的面积啦！圆的面积就好像是圆所占的那一块地方有多大。
你可以把圆想象成一块大饼，这个大饼的大小就是它的面积哟！算圆的面积有个公式：S=πr²（S 表示面积哟）。
假如有个圆的半径是 3 厘米，那面积就是×3²= 平方厘米呢！你说神奇不神奇？
小明有次就问我：“嘿，这圆的周长和面积到底有啥用呀？”我就告诉他：“你想想看呀，咱盖房子的时候，要围个圆形的花园，那不得知道周长好去准备材料呀，面积能让我们知道这个花园有多大地方能种多少花呢！”他一听，恍然大悟！
圆的周长和面积的知识真的超重要呢！它们就像是打开数学世界大门的钥匙呀！所以呀，大家可得好好记住这些公式和概念哦，以后肯定用得上呢！不管是在生活中还是学习里，圆的周长和面积都有着不可或缺的作用呀！相信我，没错的！。
圆的面积与周长计算知识点总结
圆的面积与周长计算知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，在日常生活和数学领域中都有广泛的应用。
为了更好地理解和应用圆的相关概念，我们需要了解圆的面积和周长的计算方法。
本文将对圆的面积与周长计算的知识点进行总结，并提供相应的实例与应用。
一、圆的基本概念回顾在进入具体的计算方法之前，我们先回顾一下圆的基本概念。
圆是由平面上离一个固定点距离相等的所有点组成的集合，这个固定点称为圆心，固定距离称为半径。
在图形中，我们通常用大写字母R表示半径，用圆心O表示。
面积是指一个图形所占据的平面区域的大小，周长则是指图形的边缘长度。
接下来，我们将分别介绍计算圆的面积和周长的方法。
二、计算圆的面积圆的面积是圆形图形所占据的平面区域大小的度量，其计算公式为：A = πr²。
其中，A表示圆的面积，π（pi）是一个无理数，近似值为 3.14159，r表示圆的半径。
举例说明：例1：已知一个圆的半径为5cm，求其面积。
解：根据公式A = πr²，代入r的值，可得 A = 3.14159 × 5² =3.14159 × 25 ≈ 78.54（平方厘米）。
例2：已知一个圆的直径为10m，求其面积。
解：首先需要注意的是，直径是半径的两倍，所以这个圆的半径为5m。
代入公式A = πr²，可得A = 3.14159 × 5² = 3.14159 × 25 ≈ 78.54（平方米）。
三、计算圆的周长圆的周长是指圆形图形的边缘长度，即圆周的长度。
计算圆的周长的方法有两种：使用半径和使用直径。
1. 使用半径计算周长圆的周长计算公式为：C = 2πr。
其中，C表示圆的周长，r表示圆的半径。
举例说明：例3：已知一个圆的半径为8cm，求其周长。
解：根据公式C = 2πr，代入r的值，可得C = 2 × 3.14159 × 8 ≈ 50.27（厘米）。
有关圆的周长与面积计算题解析与解法
有关圆的周长与面积计算题解析与解法圆是几何学中的一个重要概念，它是一个由不动的点（圆心）到一点的距离（半径）相等的所有点的集合。
在计算圆的相关问题时，最常涉及到的是圆的周长和面积的计算。
接下来，我们将解析圆的周长和面积的计算题，并介绍一些解法。
一、圆的周长的计算圆的周长是指围绕圆的一条闭合曲线的长度，也可以看作是圆的边界的长度。
根据圆的定义，我们知道圆的边界是由无数个与圆心的距离相等的点组成，而圆心到这些点的距离就是圆的半径。
因此，圆的周长可以通过以下公式进行计算：周长= 2 × π × 半径其中，π（pi）是一个近似于3.14159的数，它是圆的周长与直径的比值。
例如，若需求一个半径为5cm的圆的周长，可以按照如下公式进行计算：周长 = 2 × 3.14159 × 5 = 31.4159 cm二、圆的面积的计算圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小。
圆的面积可以通过以下公式进行计算：面积= π × 半径^2其中，仍然使用π（pi）作为近似值。
通过这个公式，我们可以得出半径为5cm的圆的面积：面积 = 3.14159 × 5^2 = 78.53975 cm^2三、解决圆的周长和面积计算题的解法1. 已知周长求半径和面积：若已知圆的周长，可以利用周长公式解出半径，再带入面积公式计算出面积。
例如，如果一个圆的周长是20cm，我们可以使用周长公式：20 = 2 × 3.14159 ×半径解出半径：半径= 20 / (2 × 3.14159) ≈ 3.1831 cm然后，带入面积公式计算出面积：面积= 3.14159 × (3.1831)^2 ≈ 31.773 cm^22. 已知面积求半径和周长：若已知圆的面积，可以利用面积公式解出半径，再带入周长公式计算出周长。
例如，如果一个圆的面积是50 cm^2，我们可以使用面积公式：50 = 3.14159 ×半径^2解出半径：半径= √(50 / 3.14159) ≈ 3.9894 cm然后，带入周长公式计算出周长：周长= 2 × 3.14159 × 3.9894 ≈ 25.079 cm通过以上两种解法，我们可以根据已知的条件来计算圆的周长和面积。
圆的周长与面积
圆的周长与面积圆是几何中常见的一种形状，它具有独特的特性和属性。
其中，周长和面积是最基本的两个指标。
本文将详细介绍圆的周长和面积的求解方法，以及它们之间的关系。
一、圆的周长圆的周长是指围绕圆形边界一周的长度。
它是圆的重要属性之一，通常用字母C表示。
下面是圆的周长计算公式：C = 2πr其中，C表示圆的周长，π（pi）是一个常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。
计算圆的周长很简单，只需要将半径代入公式即可。
比如，如果半径为5cm的圆，其周长为：C = 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.4159 cm所以，这个圆的周长约等于31.4159 cm。
二、圆的面积圆的面积是指圆形区域所覆盖的总面积。
它是圆的另一个重要属性，通常用字母A表示。
下面是圆的面积计算公式：A = πr^2其中，A表示圆的面积，π（pi）是一个常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。
与计算圆的周长类似，计算圆的面积也十分简单，只需要将半径代入公式即可。
比如，如果半径为5cm的圆，其面积为：A = 3.14159 × 5^2 ≈ 78.53975 cm^2所以，这个圆的面积约等于78.53975 cm^2。
三、周长与面积的关系圆的周长和面积之间存在着一定的关系。
通过观察计算公式可以发现，周长的计算涉及到半径的线性运算，而面积的计算涉及到半径的平方运算。
通常情况下，当圆的半径增加一倍时，周长也会增加一倍，而面积会增加四倍。
这是因为周长的计算只与半径的长度有关，而面积的计算涉及到半径的平方。
由此可见，半径对于周长和面积的影响是不同的，面积的变化更为显著。
例如，假设我们有两个圆，一个半径为r的圆和一个半径为2r的圆。
根据公式计算，这两个圆的周长分别为2πr和2π(2r)，即1倍和2倍关系。
而面积分别为πr^2和π(2r)^2，即1倍和4倍关系。
综上所述，圆的周长和面积是两个常用的指标。
通过简单的计算公式，我们可以求解出任意圆的周长和面积。
第11讲巧解圆的周长和面积
第11讲巧解圆的周长和面积（一）【例1】如右图，四根直径相同的管子被一根金属带紧紧捆在一起，已知阴影部分的面积是0.615平方米，求金属带的长度是多少米？【模仿】有七根直径2分米的圆柱形木块，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少分米长的绳子？（打扣用的绳子不计）【例2】用两根都是6.28米长的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆形，哪一个的面积大？大多少？【模仿】用两根长都是12.56厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，哪一个的面积大？大多少？【例3】如右图，三角形S1的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90°，三角形扫过的面积是多少？（π≈3.14）【模仿】如右图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。
设A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，图中阴影部分的面积是多少？【例4】如图，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，问：阴影部分的面积是多少？【模仿】计算图中阴影部分的面积（单位：厘米）【例5】如图，∠BOA=90°，若以OA为直径画半圆交OD于K，且∠AOD=90°，图中①的面积为1cm2，求阴影部分的面积。
【模仿】图中甲的面积比乙的面积大28cm2，直径AB长40cm，求BC长？【例6】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊能活动的范围有多大？【模仿】一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑的墙角上，绳长4米，求小狗能到的地方的总面积？【例7】下图中的圆是以O为圆心，半径为10厘米的圆，求阴影部分的面积。
【模仿】在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC，当C点在什么位置时，图中两个弯月形（阴影部分）A EC和B F C的面积和最大？温故知新A级1、已知大圆O的半径为20厘米，求a，b，c，d四个小圆的周长和。
巧算圆的周长和面积
《六年级学生数学计算能力的提升策略研究》巧算圆的周长和面积千阳县启文小学李红荣圆的周长和面积的计算是六年级学生计算的难点，也是教师教学的难点。
因为计算公式大家都能滚瓜难熟，但算起来准确率又低，速度又慢。
为了解决这个难题，我探索、思考、实践了20多年，总结出了一套巧算的方法，在此，与大家共享，不对之处，敬请提出宝贵意见。
一、熟记常用的2π------9π。
首先我和学生共同计算出了：2π=6.28，3π=9.42，4π=12.56，5π=15.70，6π=18.84，7π=21.98，8π=25.12，9π=28.26 其次，我采用了各种方法让学生准确记忆以上结果。
（1）我把它写在黑板的左边，便于学生随时记忆。
（2）刚开始学时，我在课堂给学生时间，让学生记忆。
（3）我让学生把它抄到一张小纸片上，放到文具盒里，随时应用。
（4）作业中，我反复练习，让学生记忆。
（5）让学生每天晚上记忆一遍，发背诵的视频。
（6）课堂中，我每天抽查5名学生的背诵情况。
总之，让学生能准确、快速的记住2π------9π。
二、π扩大或缩小10倍、100倍。
1、π扩大10倍、100倍。
（1）我给学生出了这样一组练习题；2π=6.28 3π=9.42 4π=12.5620π= 30π= 40π=200π= 300π= 400π=部分学生很快的说出了它的答案，我追问道：为什么？并让他们讲解算理，其他学生也知道了其中的道理。
（2）我又给学生出了一组题目，让学生独立完成后，同桌交流。
7π=21.98 8π=25.12 9π=28.2670π= 80π= 90π=700π= 800π= 900π=（3）最后我又给学生出了一组题目，让学生独立完成后，进行检测。
300π= 60π= 40π=70π= 50π= 200π=9000π= 800π= 900π=2、π缩小训练10倍、100倍。
（1）我给学生出了这样一组练习题；0.2π= 0.03π= 0. 4π=0.06π= 0.5π= 0.7π=很多学生很快的说出了它的答案，准确率特别的高。
圆的周长和面积讲解课件
关知识从空间观念方面来说，又进入了一个 新的领域。
形和数一样，在日常生活和生产中有着 广泛的应用，是进一步学习的基础，在学生 已经掌握几何形体的基础上，列举出日常生 活、生产中所见到的圆形物体，引出圆的概 念，了解圆的特征，培养学生从几何的角度 去观察和认识周围的事物，提高学生应用数 学知识解决简单问题的能力。
求圆的周长公式：C=πd 或 C＝2πr 求圆的面积公式：S=πr2 （3）使用单位 计算圆的周长用长度单位 计算圆的面积用面积单位
将圆剪拼成一个长方形，周长增加4 厘米，求圆的周长和面积。
再以这个变式练习收口，依然是半径 是2厘米的圆的问题，再一次巩固周长与 面积的不同。
教学追记：
学生在学完圆的面积后，往往容易把 圆的面积与周长混淆。因此我特意设计了 本堂对比课。我引导学生分清以下几点： （1）圆的面积是指圆所围平面部分的大小， 而圆的周长是指圆一周的长度。（2）求圆 面积公式是S=πr2 ，求圆周长的公式是 C=πd 或 C＝2πr。（3）计算圆的面积 用面积单位，计算圆的周长用长度单位。 根据以上三方面，帮助学生学会概括圆的 面积和周长的不同之处。
三、教学重点
分辨求周长或求面积，会概括它们 的不同之处。
四、教学过程：
判断：半径为2厘米的圆的周长和面积 相等。
由此特例导入，引出周长和面积的 不同，再通过周长和面积的推倒过程的 回顾，促使学生学会概括。
（1）概念 圆的周长是指圆一周的长度 圆的面积是指圆所围成的平面部分的大小。 （2）计算公式
形和数一样在日常生活和生产中有着广泛的应用是进一步学习的基础在学生已经掌握几何形体的基础上列举出日常生活生产中所见到的圆形物体引出圆的概念了解圆的特征培养学生从几何的角度去观察和认识周围的事物提高学生应用数学知识解决简单问题的能力
探索圆的面积和周长的计算方法
探索圆的面积和周长的计算方法圆是几何学中的一个基本概念，它拥有许多独特的性质和特点。
其中最重要的两个性质就是面积和周长。
在本文中，我们将深入探索圆的面积和周长的计算方法，并介绍一些相关的定理和公式。
一、圆的面积计算方法要计算圆的面积，需要用到圆的半径。
圆的半径指的是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母“r”表示。
根据圆的定义，所有半径长度相等的圆形成一个圆。
根据数学定理，圆的面积可以使用以下公式进行计算：面积= π * r^2其中，“π”是一个代表圆周率的数，它近似等于3.14159。
通过将圆的半径代入上述公式，就可以得到圆的面积。
需要注意的是，面积的单位是平方单位，如平方厘米或平方米。
举个例子来说明，假设我们要计算一个半径为5厘米的圆的面积。
将半径代入公式中，计算过程如下：面积= π * 5^2 = 3.14159 * 25 = 78.53975 平方厘米因此，这个圆的面积约为78.53975平方厘米。
二、圆的周长计算方法圆的周长是指圆形边界的长度，也可以称为圆的周长。
同样地，要计算圆的周长，需要知道圆的半径。
圆的周长可以使用以下公式进行计算：周长= 2 * π * r其中，“π”代表圆周率，同样近似等于3.14159。
“r”代表圆的半径。
通过将半径代入上述公式，就可以得到圆的周长。
例如，假设我们要计算一个半径为8厘米的圆的周长。
将半径代入公式中，计算过程如下：周长= 2 * π * 8 = 3.14159 * 16 = 50.26544 厘米因此，这个圆的周长约为50.26544厘米。
三、圆的面积和周长的关系圆的面积和周长之间存在一定的关系。
当圆的半径增大时，其面积和周长也会增大。
具体而言，当半径增加1单位时，面积增加π单位，周长增加2π单位。
此外，通过比较不同圆的面积和周长，我们可以观察到一个有趣的现象：圆的面积与其半径的平方成正比，而圆的周长与其半径成正比。
这个特征被称为“半径的平方定理”。
快速计算圆的周长和面积
快速计算圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的基本计算问题。
无论是在数学课堂上还是在日常生活中，计算圆的周长和面积都是非常常见且实用的技能。
本文将介绍如何快速计算圆的周长和面积。
一、计算圆的周长圆的周长表示围绕圆的一条线段的长度，也可以称为圆的周长。
计算圆的周长需要使用到圆周率（π），其数值约等于3.14159。
圆的周长计算公式为：周长= 2πr其中，r表示圆的半径。
根据该公式，我们可以快速计算出圆的周长。
二、计算圆的面积圆的面积表示圆内部的平面区域的大小。
计算圆的面积同样需要使用到圆周率（π）。
圆的面积计算公式为：面积= πr²其中，r表示圆的半径。
根据该公式，我们可以快速计算出圆的面积。
三、示例演算现在，我们通过一个示例演示如何快速计算圆的周长和面积。
假设我们要计算半径为5cm的圆的周长和面积。
1. 圆的周长：周长= 2πr = 2 × 3.14159 × 5 = 31.4159cm因此，半径为5cm的圆的周长约为31.4159cm。
2. 圆的面积：面积= πr² = 3.14159 × 5² = 78.5398cm²因此，半径为5cm的圆的面积约为78.5398cm²。
四、结论通过上述示例演算，我们可以看出，计算圆的周长和面积并不难，只需要掌握相关的计算公式和数值即可。
在实际应用中，我们可以利用计算器或电子设备来快速计算圆的周长和面积，省去手工计算的麻烦。
总结起来，计算圆的周长和面积是我们日常生活中常用的数学技能。
通过掌握相应的计算公式和数值，我们可以在需要的时候快速准确地计算出圆的周长和面积。
这个技能对于数学学习和实际应用都具有重要的意义。
快速计算圆的周长与面积
快速计算圆的周长与面积圆是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
计算圆的周长与面积是数学学习的基础内容，也是实际生活中常见的计算需求。
本文将介绍快速计算圆的周长与面积的方法和公式。
一、圆的基本概念在开始计算圆的周长与面积之前，我们首先了解一下圆的基本概念。
圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
圆上任意两点之间的距离称为弧长，圆心到弧的距离称为半径，弧与半径所夹角度数为弧度。
二、圆的周长计算方法圆的周长是圆内任意两点间的距离，即圆上一周所有点的连线之和。
圆的周长计算公式为：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
例如，如果给定一个圆的半径为4厘米，那么计算这个圆的周长可使用公式C=2πr。
将半径r=4代入公式，得到C=2π×4≈25.13厘米。
所以，圆的周长约为25.13厘米。
三、圆的面积计算方法圆的面积是指圆内部的所有平面上的点组成的区域的大小。
圆的面积计算公式为：A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
以同样的圆半径为例子，计算这个圆的面积可使用公式A=πr²。
将半径r=4代入公式，得到A=π×4²≈50.27平方厘米。
所以，圆的面积约为50.27平方厘米。
四、圆周率的确定在上面的计算过程中，我们使用了圆周率π，它是一个无理数，约等于3.14159。
圆周率π的准确值不能被任何分数或有限小数表达。
圆周率的计算可以使用多种不同的方法，例如使用几何方法、迭代方法、级数展开等。
由于圆周率的无限性，无法得到完全准确的值，通常我们采用π≈3.14159作为近似值进行计算。
五、快速计算圆的周长与面积的技巧在实际计算中，为了提高计算效率和准确性，我们可以使用一些技巧和公式来快速计算圆的周长与面积。
1. 周长计算技巧：- 如果只知道圆的直径d，可以使用公式C=πd来计算周长，直径是圆的两个相对点的距离。
圆的周长和面积推理过程
圆的周长和面积推理过程嘿，咱今儿就来唠唠圆的周长和面积的推理过程。
你说这圆啊，可真是个神奇的玩意儿。
咱先瞅瞅圆的周长是咋回事儿。
想象一下，你要围着一个圆走一圈，这走的路程不就是它的周长嘛。
那怎么算呢？嘿，咱可以用一根线围着圆绕一圈，然后再量量这线的长度呀！可这只是个笨办法，咱得找个更妙的。
其实啊，圆的周长和它的直径有个关系呢。
就好像你和你的好朋友，关系铁得很。
经过好多好多聪明人的研究发现，圆的周长总是直径的一个固定倍数，这个倍数就叫圆周率，用π来表示。
那咱要算圆的周长，不就简单啦，直径乘上π不就得了嘛。
你说这妙不妙？再来说说圆的面积。
哎呀呀，这可得好好琢磨琢磨。
咱可以把圆像切披萨一样切成好多好多小块儿，然后再把这些小块儿拼起来，你猜怎么着，能拼成一个近似的长方形！这长方形的长差不多就是圆周长的一半，宽呢就是圆的半径。
那这长方形的面积咱会算呀，长乘宽嘛。
那圆的面积不也就出来啦。
你想想看，这圆多有意思呀，就这么被咱给研究透了。
咱平时生活里也到处都有圆呢，车轮子呀，盘子呀，那可都是圆的。
要是不知道圆的周长和面积咋算，那做个车轮子都不知道该用多长的材料呢！这可不是开玩笑的呀。
咱学习这些知识，不就是为了能更好地理解这个世界嘛。
圆的周长和面积的推理过程，就像是一把钥匙，能打开好多好多知识的大门。
咱学会了这个，以后再遇到其他更难的问题，也能有办法去解决呀。
所以说呀，可别小瞧了这圆的周长和面积的推理过程。
这可是咱数学世界里的宝贝呢！咱得好好记住，好好理解。
以后再看到圆，就不会只是觉得它是个圈圈啦，而是能想到它背后的这些有趣的知识呢。
你说是不是这个理儿呢？。
圆的面积公式和周长公式的推导过程
圆的面积公式和周长公式的推导过程圆，这可是个神奇的形状，在我们的数学世界里，圆的面积公式和周长公式那可是相当重要！咱们先来说说圆的周长公式。
大家想想，要是咱们沿着一个圆的边儿走一圈，这走的长度就是圆的周长啦。
那怎么才能算出这个长度呢？我记得有一次我带小朋友们在操场上做游戏，我用一根绳子在地上围了一个圆。
然后我让小朋友们试着用尺子去量这个圆的周长，可是尺子是直的，圆是弯的，这可把小朋友们难住啦！这时候，我就启发他们，咱们可以让这个圆在地上滚一圈，然后量出滚过的距离，这不就是周长嘛。
但是呢，这样做还是不太精确。
其实呀，圆的周长和它的直径有着密切的关系。
经过数学家们不断的研究和探索，发现圆的周长总是直径的π倍。
所以圆的周长公式就是C = πd （C 表示周长，d 表示直径），要是直径不好测量，也可以用半径 r 来表示，那就是C = 2πr 。
接下来咱们再聊聊圆的面积公式是怎么推导出来的。
有一次上课，我拿了一张圆形的纸，问同学们怎么能算出这张纸的面积。
同学们七嘴八舌地讨论起来，有的说用尺子量，有的说把纸剪成小块再拼起来。
这时候我就引导他们，咱们可以把圆平均分成很多很多个小扇形。
然后呢，把这些小扇形像拼拼图一样拼起来，大家猜猜最后拼成了一个什么形状？对啦，拼成了一个近似的长方形！这个长方形的长，就约等于圆周长的一半，也就是πr ，宽呢，就约等于圆的半径 r 。
因为长方形的面积是长乘宽，那圆的面积也就约等于πr × r ，也就是πr²啦。
咱们来总结一下，圆的周长公式C = 2πr 或者C = πd ，圆的面积公式S = πr² 。
同学们，只要记住这两个公式，以后遇到和圆有关的问题，就都能轻松解决啦！在生活中，圆的面积和周长公式用处可大着呢！比如咱们要给一个圆形的花坛围上栅栏，就得先算出周长，才能知道需要多长的栅栏。
要是想在花坛里种满花，就得先算出面积，才知道能种多少花。
所以呀，大家一定要把这两个公式牢记在心，以后就能在数学的世界里畅游无阻啦！。
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才子教育
小学奥数系列
第11讲 巧解圆的周长和面积（一）
本节研究圆与各种图形的组合图形。
一般的组合图形都是有一些基本图形拼合或重叠而成的。
细心观察，识别图形是解这类题的关键。
（1） 常用技巧：确定弧的长度，弧所对的圆心角大小。
（2） 圆心角分别为60°，90°，120°，270°，···的扇形可以看 作是6
1，4
1，3
1，4
3…的圆来计算面积。
例1 如右图，四根直径相同的管子 别一根金属带紧紧的捆在一起，一直阴影部分的面积是0．615平凡米，试问：金属带的长度是多少
米？
分析与解 阴影部分的面积是以4个圆心为顶点的正方形的面积减去一个圆的面积。
设管子的直径为d ，则
d 2-π×（2
1
d ）2=d 2 ×（1-4
π）=0.615，d=1
金属带的长度正好是直径的4倍和一个圆的周长总和：
1×4+π×1=4+3.14=7.14（米）
答金属带的长度是7.14米。
才子教育小学奥数系列做一做1 有7根直径2分泌的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，问：最短需要多少米长的绳子？（打扣用的绳子不计）
例2、用两根都是6.28米长的铁丝，分别为成一个正方形和一个圆形，问：哪一个的面积大，大多少？
分析与解围成的正方形边长是
6.28÷4=1.57（米）
这个正方形的面积为
1.572=2。
4649（米）2
围成的圆的半径是
6.28÷（2π）=1米）
这个圆的面积为
π12=3.14（米2）
所以圆的面积比正方形的面积大。
3.14-2.4649=0.6751米2。
做一做、用两根长都是12.56厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，问：哪一个面积大？大多少？
才子教育小学奥数系列
例3、如右图，三角形S1的面积是是24平方厘米，斜边长10厘米。
将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？（π≈3.14）
分析与解 S
，可见
扫过的面积=S2+扇形面积
=24+10×10×3.14
=102.5（厘米2）
答：三角形扫过的面积是102.5厘米2。
做一做、右图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。
设A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点（见图），那么，
图中阴影部分的面积是多少？
例4、如右图，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米。
问：阴影部分的面积是多少？
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分析与解 以AB 为轴作出扇形ABCD 的对称图形（如图），那么所求阴影部分的面积等于半径为AC 的圆面积的4
1
减去直角三角形ACC ＇的面积所得差的一半，即所求阴影部分的面积为
［3.14×（62+62）×4
1-（62+62）÷2］÷2=10.62（厘米2） 答：阴影部分的面积是10.62厘米2。
做一做、计算右图阴影部分的面积。
（单位：厘米）
例5、如图，∠BOA=90°，若以OA 为直接画半圆交OD 于K ，且∠AOD=450，又图中①的面积为1厘米2，求阴影部分的面积。
分析与解：设OA=R 则扇形AOB 的圆心角是90°，半径为R 。
因为S 扇形AOB =41πR 2=2S 扇形AOD ，S 扇形AOD =8
1πR 2
S 扇形AKO=21错误！未找到引用源。
π×（2R ）2=8
1πR 2 又因为S 半
圆AKO
=S 扇形AOD
所以S 阴影=S ①=1（厘米2）
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答：阴影部分的面积是1厘米2。
做一做、右图中阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大28平方厘米直径AB 长40厘米，求BC 的长。
例6、草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：这只羊能够活动的范围有多大？
分析与解 如右上图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的43个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的4
1个圆。
所以羊活动的范围是
π×302×4
3
+202×4
1+π×102×41=π×（302×43+202×41+102×4
1）
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=3.14×（675+100+25）=2512（米2）
做一做、已知狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见下图），绳子长是4米，求狗所能到的地方的总面积。
例7、下图中的圆是以O 为圆心，半径为10厘米的圆，求阴影部分的面积。
分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出，要想得到阴影部分S 1的面积，就必须想办法求出S 2和S 3的面积。
=2
1πr 2=2
1πr102=50π（厘米2）
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S 3的面积又要用下图的基本思路是：
S 5=2
1 r 2×2=r 2=102=100（厘米2）
要想求出S 4的面积，必须求出半径R 。
因为S 5的面积也等于2
1 R 2，因此得到2
1 R 2=100，即R 2=200。
可见，现在还是无法求出R 。
联想扇形的面积公式S 扇=πR 2×360
a
，只要得到R 2即可使用此公式。
由此得到 S 4=πR 2×
360a =200π×360
90=50π（厘米2） 现在就可以求出S 3的面积，进而求出阴影部分的面积了。
S 3= S 4-S 5=50π-100（厘米2）
S 1= S 2- S 3=50π-（50π-100）=100（厘米2）
做一做、如图，在以AB 为直径的半圆上取一点C,分别以AC 和BC 为直径在△ABC 外作半圆AEC 和BFC ，当C 点在什么位置时，图中两个弯月形（阴影部分）AEC 和BFC 的面积和最大？
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巧练习——温故知新（十一）
1、如右图所示，已知大圆O的半径为20厘米，求a、b、c、d四个小圆的周长之和。
2、如图1、图2所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
3、如下图所示，已知△OAB为等腰直角三角形，面积为20厘米2，
求阴影部分的面积。
4、如下图所示，已知长方形ABCD中，CD长为10厘米，BC宽为6厘
才子教育小学奥数系列米，DCE为扇形，求两块阴影部分的面积之差。
5、如下图所示，已知正方形边长为20厘米，求阴影部分的面积。
6、如下图所示，大圆半径为6，求阴影部分的面积。
7、已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将边中点用直线连接起来，得到下图。
那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
才子教育小学奥数系列8、如下图所示，正方形ABCD的吗为200厘米2，求内切圆的面积。
（π去3.14）
9、如下图所示，已知圆的面积为3140厘米2，求内接正方形ABCD的
面积。
（π取3.14）
10、如下图所示，已知大正方形的面积为100厘米2，小正方形的面积为50厘米2，求阴影部分的面积。
11、如下图所示，已知在圆O中，线段AB和CD将圆分成S1，S2，S3，S4四部分，而且圆心O到AB和CD的距离分别为3厘米和2厘
才子教育小学奥数系列米，S1和S4的面积和为180平方厘米，求圆的面积。
12、下图所示是一个古座钟的图形，如果内圆的半径为12厘米，求阴影部分的面积。
13如下图所示，已知三个圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积是多少？
14、如下图所示，有一卷透明胶，每层厚度为0.05厘米，求将这卷
透明胶全部展开以后的长度。
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15、如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针旋转90度，那么，AB边旋转时所扫过的面积是＿＿＿平方米。
（π取3.14）。