二次函数新定义问题

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42 二次函数创新题及新定义问题

二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y 1的图象经过点A （1，1）可以求出m 的值，然后根据y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”就可以求出函数y 2的表达式，然后将函数y 2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．练习1.设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为（a ，b ）、（c ，d ），当a=﹣c ，b=2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x 的二次函数y 1=x 2+nx 和二次函数y 2=nx 2+x ，函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x 2+x+1，∴y=，∴二次函数y=x 2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y=x 2﹣x+；（2）y 1+y 2=x 2+nx+nx 2+x=（n+1）x 2+（n+1）x ，y 1+y 2=（n+1）（x 2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y 1﹣y 2=x 2+nx ﹣nx 2﹣x=（1﹣n ）x 2+（n ﹣1）x ，y 1﹣y 2=（1﹣n ）（x 2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，解得n=．1．小爱同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是．（2）延伸思考：将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y < 时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|2|1)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：2x =-或0x =或2x =；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是10a -<<．故答案为函数图象关于y 轴对称；2x =-或0x =或2x =；10a -<<．（2）将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，当123y < 时，自变量x 的取值范围是04x <<且2x ≠．2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点(1,)A r 与点(,4)B s 是关于x 的“T 函数”()24(0)0,0,x y x tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =，s =，t =（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数(y kx p k =+，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2(0y ax bx c a =++>，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:(0l y mx n m =+≠，0n >，且m ，n 是常数）交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，当1x ，2x 满足112(1)1x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【分析】（1）由A ，B 关于y 轴对称求出r ，s ，由“T 函数”的定义求出t ；（2）分0k =和0k ≠两种情况考虑即可；（3）先根据过原点得出0c =，再由“T 函数”得出b 的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l 的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：（1）A ，B 关于y 轴对称，1s ∴=-，4r =，A ∴的坐标为(1,4)，把(1,4)A 代入是关于x 的“T 函数”中，得：4t =，故答案为4r =，1s =-，4t =；（2）当0k =时，有y p =，此时存在关于y 轴对称得点，y kx p ∴=+是“T 函数”，且有无数对“T ”点，当0k ≠时，不存在关于y 轴对称的点，y kx p ∴=+不是“T 函数”；（3）2y ax bx c =++过原点，0c ∴=，2y ax bx c =++是“T 函数”，0b ∴=，2y ax ∴=，联立直线l 和抛物线得：2y ax y mx n ⎧=⎨=+⎩，即：20ax mx n --=，12m x x a +=，12n x x a-=，又112(1)1x x --+=，化简得：1212x x x x +=，∴m n a a-=，即m n =-，y mx n mx m ∴=+=-，当1x =时，0y =，∴直线l 必过定点(1,0)．3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）写出一组a ，b ，使得240b ac ->即可；（3）已知1a b ==，则21y x x =++．容易得到2211P Q p p q q +=+++++，利用2p q +=，即2p q =-代入对代数式P Q +进行化简，并配方得出22(1)66P Q q +=-+ ．最后注意利用p q ≠条件判断1q ≠，得证．【解答】解：（1）由题意，得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以，该函数表达式为221y x x =-+．并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++，2450b ac -=>，∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点．（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+ ，由条件p q ≠，知1q ≠．所以6P Q +>，得证．4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，即可求解；（2）①抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，而1a >，04c <<；由M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，即可求解；②求出点M 的坐标为4(a -，0)、点E 的坐标为2(a -，2a-，即可求解；（3）分两种情形：点C 在PB 的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，当2x =±时，42y x ==±，故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）①“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y x =，抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，1a >，故04c <<；M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，综上，04c <<；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a ++=，解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =，解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242(E M MH x x HE a a a=-=---==，故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：当点C 在PB 的下方时，由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ，过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++，3PN m =-，PM m t =-，223CM m m t =-++-，90NPB MPC ∠+∠=︒，90MCP CPM ∠+∠=︒，NPB PCM ∴∠=∠，90CMP PNB ∠=∠=︒，PC PB =，()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得101m =101-，当点C 在PB 的上方时，过点P 作PK OB ⊥于K ，CH KP ⊥交KP 的延长线于H ．同法可证，CHP PKB ∆≅∆，可得CH PK =，HP BK =，t m n -=，3t n m -=-，223n m m =-++32m ∴=，154n =，3(2P ∴，15)4，故点P 的坐标为2(2-，32或(12+，3)2或3(2，15)4．5．（2021•江西）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D '，如表：⋯(1,3)B -(0,0)O (1,1)C -(A 2，)(3,3)D ⋯⋯(5,3)B '-(4,0)O '(3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '-⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0)abc ≠；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，找出公共部分即可；②设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，分下面两种情形：)i 当1a '=-时，)ii 当1a '≠-时，分别讨论计算即可；③观察图1和图2，可知直线y m =与抛物线22y x mx =-及“孔像抛物线”L '有且只有三个交点，即直线y m =经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L '的顶点或经过公共点A ，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①(1,3)B -、(5,3)B '-关于点A 中心对称，∴点A 为BB '的中点，设点(,)A m n ，1522m -+∴==，3302n -==，故答案为：(2,0)；②所画图象如图1所示，（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，对称轴为直线1x =-，开口向上，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，对称轴为直线3x =-，开口向下，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，∴当31x -- 时，抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，故答案为：31x -- ；②抛物线22y x mx =-的“孔像抛物线”是2268y x mx m =-+-，∴设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，抛物线M 与抛物线L '有唯一交点，∴分下面两种情形：)i 当1a '=-时，无论b '为何值，都会存在对应的m 使得60b m '-=，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；)ii 当1a '≠-时，△22(6)4(1)(8)0b m a c m ='--'+'+=，即22212364(1)84(1)0b b m m a m c a '-'+-'+⋅-''+=，整理得22[3632(1)]124(1)0a m b m b c a -'+-'+'-''+=，当m 取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m 取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m 取值无关，∴23632(1)01204(1)0a b b c a -'+=⎧⎪-'=⎨⎪'-''+=⎩，解得18a '=，0b '=，0c '=，则218y x =，故答案为：2y ax =；③抛物线222:2()L y x mx x m m =-=--，顶点坐标为2(,)M m m -，其“孔像抛物线”L '为：22(3)y x m m =--+，顶点坐标为2(3,)N m m ，抛物线L 与其“孔像抛物线”L '有一个公共点(2,0)A m ，∴二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点时，有三种情况：①直线y m =经过2(,)M m m -，2m m ∴=-，解得：1m =-或0m =（舍去），②直线y m =经过2(3,)N m m ，2m m ∴=，解得：1m =或0m =（舍去），③直线y m =经过(2,0)A m ，0m ∴=，但当0m =时，2y x =与2y x =-只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，1m =±．6．（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-．（1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线4x =-，且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，可得2810r r ++=，218r r +=-，两边平方得222(1)(8)r r +=-，4222164r r r ++=，即可得结果4222160r r r -+=；（3）1m >正确，可用比差法证明，由（2）可得426210r r -+=，即753620r r r -+=，而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-，再由2810r r ++=，判断0r <，956010r r +-<，故950601r r r >+-，从而1m >．【解答】（1）解：22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线4x =-，∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-，解得162b c =-⎧⎨=-⎩；（2）证明：由题意，抛物线的解析式为22162y x x =---，r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，221620r r ∴++=，2810r r ∴++=，218r r∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-，4222164r r r ∴++=，4222160r r r ∴-+=；（3）1m >正确，理由如下：由（2）知：4222160r r r -+=；426210r r ∴-+=，753620r r r ∴-+=，而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+-9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+-7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-，由（2）知：2810r r ++=，281r r ∴=--，210r --<，80r ∴<，即0r <，956010r r ∴+-<，∴950601r r r >+-，即10m ->，1m ∴>．7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x =+，2y x x =-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x=>，y x b =-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC ∆的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =- 的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数3(0)y x x=>的图象上有两个“等值点”A ，同理求出1(2B b ，1)2b ，根据ABC ∆的面积为3可得111|||3222b b ⨯⨯=，求解即可；（3）先求出函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在2y x =+中，令2x x =+，得02=不成立，∴函数2y x =+的图象上不存在“等值点”；在2y x x =-中，令2x x x -=，解得：10x =，22x =，∴函数2y x x =-的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x =>中，令3x x=，解得：x =A ∴，在函数y x b =-+中，令x x b =-+，解得：12x b =，1(2B b ∴，1)2b ，BC x ⊥轴，1(2C b ∴，0)，1||2BC b ∴=，ABC ∆的面积为3，∴111|||3222b b ⨯⨯=，当0b <时，2240b --=，解得b =-当0b < 时，2240b -+=，△2(4124840=--⨯⨯=-<，∴方程2240b -+=没有实数根，当b 时，2240b --=，解得：b =综上所述，b 的值为-；（3）令22x x =-，解得：11x =-，22x =，∴函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，①当1m <-时，1W ，2W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(1,1)--或(2,2)，21:2()W y x x m =- ，22:(2)2()W y x m x m =--<，令2(2)2x x m =--，整理得：22(41)420x m x m -++-=，2W 的图象上不存在“等值点”，∴△0<，22(41)4(42)0m m ∴+--<，98m ∴<-，②当1m =-时，有3个“等值点”(2,2)--、(1,1)--、(2,2)，③当12m -<<时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当2m =时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2)，⑤当2m >时，1W ，2W 两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，98m <-或12m -<<．8．（2021•大连）已知函数2211()22()x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，记该函数图象为G ．（1）当2m =时，①已知(4,)M n 在该函数图象上，求n 的值；②当02x 时，求函数G 的最大值．（2）当0m >时，作直线12x m =与x 轴交于点P ，与函数G 交于点Q ，若45POQ ∠=︒时，求m 的值；（3）当3m 时，设图象与x 轴交于点A ，与y 轴交与点B ，过点B 作BC BA ⊥交直线x m =于点C ，设点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，求m 的值．【分析】（1）先把2m =代入函数y 中，①把(4,)M n 代入222y x x =-+中，可得n 的值；②将02x 分为两部分确定y 的最大值，当02x < 时，将211222y x x =-++配方可得最值，再将2x =代入222y x x =-+中，可得2y =，对比可得函数G 的最大值；（2）分两种情况：Q 在x 轴的上方和下方；证明POQ ∆是等腰直角三角形，得OP PQ =，列方程可得结论；（3）分两种情况：①03m ，如图2，过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明()ABO BCD ASA ∆≅∆，得OA BD =，列方程可得结论；②3m <，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）当2m =时，22112(2)2222(2)x x x y x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，①(4,)M n 在该函数图象上，2424210n ∴=-⨯+=；②当02x < 时，22111112(222228y x x x =-++=--+，102-<，∴当12x =时，y 有最大值是128，当2x =时，222222y =-⨯+=，1228<，∴当02x 时，函数G 的最大值是128；（2）分两种情况：①如图1，当Q 在x 轴上方时，由题意得：12OP m =，45POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，POQ ∴∆是等腰直角三角形，OP PQ ∴=，∴211111()22222m m m m =-⋅+⋅+，解得：10m =，26m =，0m >，6m ∴=；②当Q 在x 轴下方时，同理得：211111()22222m m m m =⋅-⋅-解得：10m =，214m =，0m >，14m ∴=；综上，m 的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当03m 时，过点C 作CD y ⊥轴于D ，当0x =时，y m =，OB m ∴=，CD m =，CD OB ∴=，AB BC ⊥，90ABC ABO CBD ∴∠=∠+∠=︒，90CBD BCD ∠+∠=︒，ABO BCD ∴∠=∠，90AOB CDB ∠=∠=︒，()ABO BCD ASA ∴∆≅∆，OA BD ∴=，当x m <时，0y =，即211022x x m -++=，220x x m --=，解得：112x =，212x +=，12OA ∴=，且138m - ，点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，13OD c a ∴==-，13BD m OD m a ∴=-=+，OA BD =，∴13m =+，解得：10m =（此时，A ，B ，C 三点重合，舍），2209m =；②当0m <时，如图3，过点C 作CD y ⊥轴于D ，同理得：OA BD =，当x m 时，0y =，则20x mx m -+=，解得：1x =，2m =（舍)，2m OA a +∴==，∴13c m a m =-=--，解得：10m=，216 21m=-；综上，m的值是209或1621-．。

中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析

专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1．（2021•雅安）定义：min {a ，b }={a(a ≤b)b(a ＞b)，若函数y ＝min {x +1，﹣x 2+2x +3}，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4 【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．【解答过程】解：x +1＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或x ＝2．∴y ={x +1(−1≤x ≤2)−x 2+2x +3(x ＜−1或x ＞2)，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴函数最大值为y ＝3．故选：C ．2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若存在自变量x 0，使得函数值等于x 0成立，则称x 0为该函数的不动点，对于任意实数b ，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a 的取值范围为（）A ．0＜a ＜2B ．0＜a ≤2C ．﹣2＜a ＜0D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】设x 为不动点，使y ＝x ，可得关系式ax 2+bx +b ﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a 的取值范围．【解答过程】由题意可知方程x ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），恒有两个不相等的实数解，则△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab +8a ＞0，对任意实数b 恒成立，把b 2﹣4ab +8a 看作关于b 的二次函数，则有△1＝（4a ）2﹣4×8a ＝16a 2﹣32a ＝16a （a ﹣2）＜0，令16a （a ﹣2）＝0，解得a ＝0或a ＝2，①当a ≥2时，16a ＞0，a ﹣2≥0，即16a （a ﹣2）≥0，②当a ≤0时，16a ≤0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）≥0，③0＜a ＜2时，16a ＞0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）＜0，即16a （a ﹣2）＜0的解集，解得0＜a ＜2，故选：A ．3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，﹣1B ．5−√172，﹣1 C ．4，0 D ．5+√172，﹣1 【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），∴B （2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ， ∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点A （0，2）时，m ＝2，或m ＝﹣1；当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点B （2，2）时，m =5−√172或m =5+√172． ∴互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，﹣1．故选：D ．4．（2020•宁乡市一模）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，m +1，﹣2m ]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A ．当m ＝2时，函数图象的顶点坐标为（−32，−254）B ．当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3C ．当m ＜0时，函数在x ＜12时，y 随x 的增大而增大D ．不论m 取何值，函数图象经过两个定点【解题思路】A 、把m ＝2代入[m ﹣1，1+m ，﹣2m ]，求得[a ，b ，c ]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；C 、当x 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y 随x 增大而减小正确；B 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2−254，顶点坐标是（−32，−254）；此结论正确；B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，解得，x1＝1，x2=−2mm−1，|x2﹣x1|=3m−1m−1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=−m+12(m−1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，因为当m＜0时，−m+12(m−1)=−m−1+22(m−1)=−12−1m−1＞−12，即对称轴在x=−12右边，可能大于12，所以在x＞12时，y随x的增大而减小，此结论错误；D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，故选：C．5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤12【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤1 2，∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜13，综上，m＜13故选：B．6．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＞−14C．﹣3＜c＜﹣2D．﹣2＜c＜14【解题思路】设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a2+a+c＝0，根据二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜1 4．【解答过程】解：设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，∵二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，∴关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2＝﹣1，a1•a2＝c，∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，由①得c＜1 4，∵a1+a2＝﹣1，∴②总成立，由③得：a1•a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，∴c＞﹣2，综上所述，c的范围是﹣2＜c＜1 4，故选：D．7．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A．16B．4C．﹣12D．﹣18【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m ，n 的方程，求解m ，n 即可．【解答过程】解：∵点P （m ，n ）是抛物线y ＝x 2+k 上的点，∴n ＝m 2+k ，∴k ＝n ﹣m 2，∴点P （m ，n ）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m |+2|n |＝|mn |＝16，∴|m |＝4，|n |＝4，当n ≥0时，k ＝n ﹣m 2＝4﹣16＝﹣12；当n ＜0时，k ＝n ﹣m 2＝﹣4﹣16＝﹣20；故选：C ．8．（2021•河南模拟）新定义：[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为实数）的“图象数”，如：y ＝x 2﹣2x +3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m ，2m +4，2m +4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（）A ．﹣2B ．14C ．﹣2或2D ．2【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，从而解m 的方程即可．【解答过程】解：二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，根据题意得△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，解得m 1＝﹣2，m 2＝2，故选：C ．9．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（）A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜−12D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得m 的取值范围．【解答过程】解：抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）化为顶点式为y ＝a （x ﹣1）2+2，故函数的对称轴：x ＝1，M 和N 两点关于x ＝1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a +2∴0≤a +2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a +2＜0即：{0≤a +2＜14a +2＜0，解得﹣2≤a ＜﹣1故选：B ．10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1【解题思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【解答过程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故选：A．。

专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)

专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

专题10 二次函数的新定义问题专训(解析版)

专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；③当x ＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y ＝m 有4个公共点，则m 的取值范围是0＜m ＜4．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当1x 或3x ，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．【详解】解：如图：∵2|23|y x x ，∴函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当1x 时，函数值随x 的减小而增大，当3x 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x 时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ，2(0,40)a b ac 的定义，掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c （c 为常数）在24 x 的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（）A ．124c B ．944cC ．144cD ．9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴64 128cc，解得c＞-4，∴-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜12D．﹣2≤a＜0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a+2∴0≤a+2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a+2＜0即：021420a a ，解得﹣2≤a ＜﹣1故选B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a 、b ，定义一种运算“ ”为：22a b a ab ，有下列命题：①132 ；②方程10x 的根为：1221x x ，；③不等式组 240{130x x 的解集为：14x ；④点15 22，在函数 1 y x 的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ，所以命题①正确；∵10x ，∴220x x ，解得1221x x ，，所以命题②正确；∵ 244224221 31234x x x x x x ，，∴2201{{14404x x x x x ，所以命题③正确；∵ 212y x x x ，∴当12x 时，2119522242y ，∴点15 22，不在函数 1 y x 的图象上，所以命题④错误，综上所述，命题①②③正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算：(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ，下列说法：①若3@2x x ，则13x ，21x ；②若 1@22x ，则该不等式的解集为35x ；③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时，12x ；④函数 11@y x ，函数 222@y x x ，当102x 时，12y y ．以上结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．【详解】解：①由题意得：32x x，2230x x ，解得：13x ，21x ；检验：当13x ，21x 时，0x ；13x ，21x 是原分式方程的解，故①正确；②当10x 时，1x ，0(2)0 ，此情况成立；当10x 时，1x ，10x ，故 121@2x x ，122x，14x 解得：35,1x x ，综上所述：35x ，故②正确；③由题意得：112126226223x x x x x x ，取得最小值时，13x，故③错误；④212,22y x y x x ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，11(,)22A ，当102x 时，12y y ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n 个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足752 ， 275 ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a 为三级浪花数，则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”，进行一一判断即可【详解】解：①∵12，3，a 为三级浪花数，∴a +12=3，解得：a =-9，故①正确；②设这四级浪花数分别为1，x +1，x ，-1，则其积为：211(1)()24x x x ，当x =12 时，其积最大值为14，所以这列数的积的最大值不可能为12，故②错误；③设任意组100级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，由题意得这一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……可以看出每六个数一次循环，36÷6=6，所以第36个数为x -y ，63÷6=10余3，所以第63个数为y -x ，所以第36个数和第63个数一定互为相反数，故③正确；④2022级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，则一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……，可以看出每六个数一次循环，这六个数的和为：x +y +y -x -x -y +x -y =0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确；故选：C【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x ，它的相关函数为00x x y x x．已知点M ，N 的坐标分别为1,12 ，9,12 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A ．31n 或514nB ．31n 或514nC ．31n 或514n D ．31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点1,12，9,12，再解方程结合图象判断即可．【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x，大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x =2时，1y ，则-4+8+n =1,解得n =-3，如图2所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1，∴-n =1，解得n =-1；∴当31n 时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点；如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数24y x x n 经过点（0，1），∴n =1，如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y =24x x n 经过点1,12，∴14+2-n =1，解得n =54，∴514n时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是31n 或514n ．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上：翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是（）A ．3060B ．120150C ．90120D ．6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．【详解】解：当a=1时，如图1所示，∵角两边分别过点A （-1,1），B （1,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∴BE ＝OE ，∴∠BOE ＝45°，根据对称性可知：∠AOB ＝90°，∴此时坐标角度＝90°；当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A （33,1），B （33,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∵3tan 3BOE，∴∠BOE ＝60°，根据对称性可知：∠AOB ＝60°，∴此时坐标角度＝90°,∴60°≤ ≤90°，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值，记P x y ．若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且24C ，令2242020t b a ，则t 的取值范围为（）A ．20172018t B ．20182019t C ．20192020t D ．20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x 1=x 2=21b ，故C （21b ，21b ），而且2≤C ≤4，即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．【详解】由题意得方程组21y x y ax bx＝＝只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b-1）x+1=0，由题意△=0，∴（b-1）2-4a=0，∴4a=（b-1）2，∴用方程可以化为（b-1）x 2+4（b-1）x+4=0，∴x 1=x 2=21b，∴C （21b ，21b），∵且2≤C ≤4，∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C 在第一象限，∴-1≤b≤0，t=2b 2-4a+2020，∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点 0,2A ，点 2,0C ，则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B ．5172，-1C ．4，0D ．5172，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m，解得：10m ；当01m 时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 20120m m m ，解得：01m ；当12m 时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m，解得：12m ；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 222022m m m m m，解得：51722m；综上可得：m 的最大值和最小值分别是5172，1 ．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点．关于下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线1x ；②当1x 时，函数的最大值是4a ；③当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则4t ．其中正确结论的序号是．【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴，即可判定①；求出当1x 时，4y a b c a ，当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，即可判断②；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则0 t 或4t 即可判定④．【详解】解：根据题意画出图像如图：由二次函数图像的对称性可得：对称轴为1312x，则①正确；∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点，∴0930a b c a b c，∴3c a ，∵对称轴为12bx a，∴2b a ，∴当1x 时，4y a b c a ，∴由函数图像可知：当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，则②错误；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，则③正确；当1a 时，44a ，∵2ax bx c t 有两个实数根，∴由函数图像可知：0 t 或4t ，则④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为．【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ，由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0），∴AB =2，BO =2，∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ，∴AF =BF =EF =1，∴E （﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1，解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m ，n 都有2m n m mn n ☆，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： 232332217 ☆．根据以上知识解决问题：（1）若x ☆3=1，则x 的值为．（2）抛物线 21y x ☆的顶点坐标是．（3）若2a ☆的值小于0，则方程220x bx a 有个根．【答案】x 1=1，x 2=2（52，−54）2【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；（3）由2☆a 的值小于0知22-2a +a ＜0，解之求得a ＞4．再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0可得答案．【详解】解：（1）根据题意，得x 2-3x +3=1，移项、合并同类项，得x 2-3x +2=0，整理，得（x ，-1）（x -2）=0，解得x 1=1，x 2=2；故答案为：x 1=1，x 2=2；（2）根据题意知，y =（2-x ）2-（2-x ）（-1）+（-1）=x 2-5x +5=（x -52）2-54．所以，顶点坐标（52，−54）；故答案为：（52，−54）；（3）∵2☆a 的值小于0，∴22-2a +a ＜0，解得a ＞4．在方程-2x 2-bx +a =0中，∵Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0，∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．【答案】2【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x 与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点，∴抛物线解析式为23y x ，∴233y x y x，解得03x y或12x y ，∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在14x 时，y 随x 的增大而减小；④当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m ，正确的结论是．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ，当m ≠0时，把x =1代入函数，求得=0y 可判断①，当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②；当m ＜0时，20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111444x m可判断③；当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m，解得13m ，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时，x =1， 2112110y m m m m m m ∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确；当m ＜0时， 2211y mx m x m∴20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时，可能x 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；故③不正确；④当m ＞0，抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m，由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m，，，∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ，∵m ＞0，则13m ，经检验13m 符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为 ,x y ，当x <0时，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；当0x 时，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为．【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，可求P′（2，-n ）,根据变换当点P 在y 轴左侧，P （-2，-n ）,当点P 在y 轴右侧，P（-n ,-2），点P 在 22y x n 上， 222n n 或 222n n 解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，∵E （2，n ）,∴P′（2，-n ）,当点P 在y 轴左侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；∴P （-2，-n ）,∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，∴18n ；当点P 在y 轴右侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．∴P （-n ,-2），∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，整理得2560n n ，因式分解得 230n n ，解得232,3n n ；∴n =-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： ,,a b c 为二次函数2y ax bx c （0a ）的特征数，下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论：①当1m 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m 时，函数图象过原点；③当0m 时，函数有最小值；④如果0m ，当12x 时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m 时，把1m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 1,0,1∴1a ，0b ，1c ，∴函数解析式为21y x ，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m 时，把2m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 2,1,0 ∴2a ，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x ，当0x 时，0y ，函数图象过原点，故②正确；函数212y mx m x m 当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m ∴12x时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时,函数图象的顶点坐标是（13,83）;②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）【答案】①②④．【详解】试题分析：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83,顶点坐标是（13,83）;此结论正确;②当m ＞0时,令y=0,有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m ＞32,所以当m ＞0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m ＜0时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时,14m m =1144m＞14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）="0"即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．故答案是①②④．考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x ，y =bx 2+2x =211()b x b b，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a ，b ，定义新运算“ ”：a b= 22a ab a b b ab a b；若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根，则t 的值为．【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．【详解】∵当 211x x 时，即：2x 时， 2221121211252x x x x x x x ，当 211x x 时，即：2x 时， 2221112112x x x x x x x ，∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x，画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合．∴t=2.25或t=0．故答案是：2.25或0．【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于某函数图象上的一点P ，先向右平移1个单位长度，再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ，若点Q 也在该函数图象上，则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”．(1)函数①2y x ；②2y x ；③2y x 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数2y x，图象恰有1个“n 倍平点”，求n 的值；(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】（1）根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设2,P a a，则21,Q a n a ，把21,Q a n a代入2y x 得220na na ，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出280n n ，即可求出答案；（3）当0x 时，243y x x ，当0x 时，243y x x ，分两种情况，根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当2n 时，①设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 2212222y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 22122y x a a ，∴点Q 在2y x 的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设 ,2P a a ，则 1,4Q a a ，当1x a 时，21234y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设2,P a a，则21,Q a n a，把21,Q a n a代入2y x 得，221n a a ，即220na na ，∵图象恰有1个“n 倍平点”，∴280n n ．∴120,8n n ．∵0n ，∴8n ．（3）当0x 时，243y x x ，设 2,43P a a a ，则 21,46Q a a a ，把 21,46Q a a a 代入243y x x 得，22461413a a a a ，解得：3a ，∴14a ，2463a a ．∴ 4,3Q ， 3,0P ．当0x 时，243y x x ，设 2,43P b b b ，则 21,4Q b b b ，把 21,4Q b b b 代入243y x x 得，2241413b b b b ，解得：4b ，∴13b ，240b b ．∴ 3,0Q ， 4,3P ．综上所述，函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n 倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x ．(1)函数2221y x x 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数21:44C y ax ax （其中0a 且1a 且12a），其友好同轴二次函数记为2C ．①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标），求线段AB 的长；②当30x 时，函数2C 的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线12x ，2331y x x (2)①4；②1 或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ，联立函数1C ，2C ，解方程可求出点,A B 的坐标，由此即可得；②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ，因为 123 ，所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m，所以314m ，解得14m ，所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ，故答案为：直线12x，2331y x x ．（2）解：①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ，则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ，所以444a b ，解得4b a ，所以 22:1414C y a x a x ，联立 22441414y ax ax y a x a x 得： 2214210a x a x ，解得0x 或4x ，当0x 时，4y ；当4x 时，161644y a a ，所以 4,4,0,4A B ，所以 044AB ；②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ，（Ⅰ）当1a 且0a 且12a时，抛物线的开口向上，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而减小；当20x 时，y 随x 的增大而增大，则当2x 时，y 取得最小值，最小值为4a ，当0x 时，y 取得最大值，最大值为4，所以448a ，解得1a ，符合题设；（Ⅱ）当1a 时，抛物线开口向下，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当20x 时，y 随x 的增大而减小，则当2x 时，y 取得最大值，最大值为4a ，当0x 时，y 取得最小值，最小值为4，所以448a ，解得3a ，符合题设；综上，a 的值为1 或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x 轴上两点 ,0A m ， ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线1C ： 13y x x 与抛物线2C ：213y x x 是都经过 1,0， 3,0的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C ．(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线，且过点 4,5，求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值．【答案】(1) 3:313C y x x （答案不唯一）(2)最小值为53。

初中数学精品试题：二次函数章末重难点题型

二次函数章末重难点题型【考点1 二次函数的概念】【方法点拨】掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（2020春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（）−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．【变式1-3】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【考点2 一次函数与二次函数图象】【方法点拨】判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．【例2】（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2020•泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2020•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx 与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020•淮南模拟）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（）A．B．C．D．【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】【方法点拨】二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．【例3】（2020•开封一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【变式3-1】（2020•三明二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1【变式3-2】（2020•黄石）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3【变式3-3】（2020•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（）A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定【考点4 二次函数图象与几何变换】【方法点拨】解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．【例4】（2020春•天心区校级期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位【变式4-1】（2020春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5【变式4-2】（2020•平房区一模）已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（）A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3【变式4-3】（2020春•海淀区校级期末）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3【考点5 二次函数图象与系数关系】【方法点拨】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【例5】（2020•龙岩模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2020春•岳麓区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b ＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【变式5-2】（2020•会昌县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．【变式5-3】（2020•鼎城区四模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是（填序号）．【考点6 二次函数与一元二次方程的关系】【例6】（2020•富阳区一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【变式6-1】（2020•贵阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4【变式6-2】（2020•安丘市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0【变式6-3】（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x ﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【考点7 二次函数与解不等式】【方法点拨】二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．【例7】（2020春•渝中区期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．根据上述说明，解答下列问题：（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝；（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．【变式7-1】（2020秋•宝安区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M（−32，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是．【变式7-2】（2020•宜兴市校级一模）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．【变式7-3】（2020秋•张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．【考点8 构建二次函数解决最值问题】【例8】（2020•江西模拟）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【变式8-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【变式8-2】（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．【变式8-3】（2020秋•岳麓区校级期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE 的长h 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x 值；若不存在，请说明理由？【考点9 二次函数新定义问题】【例9】（2020秋•新乡期末）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A ．4B ．3C ．2D ．1【变式9-1】（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y ＝﹣（x +1）2+2，y ≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y ＝﹣2x +1（m ≤x ≤n ，m ＜n ）的上确界是n ，且这个函数的最小值不超过2m ，则m 的取值范围是（）A ．m ≤13B ．m ＜13C ．13＜m ≤12D ．m ≤12 【变式9-2】（2020•江岸区校级模拟）定义[a 、b 、c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是．【变式9-3】（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【考点10 二次函数的应用（抛物线形建筑问题）】【例10】（2020秋•玄武区校级月考）图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m ．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ；方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，【变式10-1】如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？【变式10-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【变式10-3】（2020•安徽模拟）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y 轴建立直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m ，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m ，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？【考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）】【例11】（2020•山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）的几组值后，发现h 与t 满足的函数关系式是h ＝20t ﹣5t 2．（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？【变式11-1】（2020秋•崆峒区期末）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？【变式11-2】（2020•洛阳模拟）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O 的正前方10m 处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【变式11-3】（2020秋•溧阳市期末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A 处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝−2516，c＝12；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点12 二次函数的应用（面积问题）】【例12】（2020秋•长兴县期末）如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圈，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．【变式12-1】（2020•荔城区校级模拟）某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？【变式12-2】（2020秋•东海县期末）为了节省材料，某水产养殖户利用本库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱，而且这三块矩形区域的面积相等，设BE的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）则AE＝m，BC＝m；（用含字母x的代数式表示）（2）求矩形区域ABCD的面积y的最大值．【变式12-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【考点13 二次函数的应用（利润问题）】【例13】（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y （本）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x （元）12 14 16 每周的销售量y （本） 500 400 300（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x 元（12≤x ≤15，且x 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？【变式13-1】（2020•义乌市模拟）新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y 1（盒）与售价x （元）之间的关系为y 1＝400﹣8x ；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？【变式13-2】（2020•盘锦）某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【变式13-3】（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【考点14 二次函数的综合（存在性问题）】【例14】（2020秋•中山市校级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【变式14-1】（2020秋•罗平县期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．【变式14-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．【变式14-3】（2020秋•江北区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x 轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．。

专题20 新定义型二次函数问题(学生版)

专题20 新定义型二次函数问题【典型例题】1．（2021·江苏吴中·二模）定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“N ”函数．（1）写出y ＝﹣x 2+x ﹣1的“N ”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N ”函数与正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象只有两个交点，求k 的值；（3）如图，二次函数y 1与y 2互为“N ”函数，A 、B 分别是“N ”函数y 1与y 2图象的顶点，C 是“N ”函数y 2与y 轴正半轴的交点，连接AB 、AC 、BC ，若点A （﹣2，1）且△ABC 为直角三角形，求点C 的坐标．【专题训练】一、解答题1．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()3,4P 称为“三高四新”点，经过()3,4P 的函数，称为“三高四新”函数．（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；①22y x =- ②2613y x x =-+ ③23611y x x =-++ ④12y x= （2）若关于x 的一次函数y kx b =+是“三高四新”函数，且它与y 轴的交点在y 轴的正半轴，求k 的取值范围；（3）关于x 的二次函数()2134y x =-的图象顶点为A ，点()11,M x y 和点()22,N x y 是该二次函数图象上的点且使得90MAN ∠=︒，试判断直线MN 是否为“三高四新”函数，并说明理由．2．（2021·山西大同·九年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为x 的二次函数2y ax bx c =++与2y ax bx c =-+（0a ≠，0b ≠）称为一对“亲密函数”，如2532y x x =-+的“亲密函数”是2532y x x =++．任务：（1）写出二次函数234y x x =+-的“亲密函数”：______；（2）二次函数234y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和4-，它的“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标为______，猜想二次函数2y ax bx c =++（240b ac ->）的图象与x 轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数22021y x bx =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和2021-，请利用（2）中的结论直接写出二次函数2422021y x bx =--的图象与x 轴交点的横坐标．3．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）定义：若抛物线与x 轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x 轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为；（2）若抛物线y ＝x 2﹣bx （b ＞0）是“美丽抛物线”，求b 的值；（3）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B （1，2），与轴交与A ，C ，AB 与y 轴交于点D ，连接OB ，在抛物线找一点Q ，使得∠QCA ＝∠ABO ，求Q 点的横坐标．4．（2021·北京房山·九年级期中）定义：如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时，抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，则称抛物线C 1与C 2关联．例如，抛物线2y x 的顶点（0，0）在抛物线22y x x =-+上，抛物线22y x x =-+的顶点（1，1）也在抛物线2y x 上，所以抛物线2y x 与22y x x =-+关联．（1）已知抛物线C 1：2(1)2y x =+-，分别判断抛物线C 2：221y x x =-++和抛物线C 3：2221y x x =++与抛物线C 1是否关联；（2）抛物线M 1：21(1)28y x =+-的顶点为A ，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线M 1绕点(,2)P t 旋转180°得到抛物线M 2，若抛物线M 1与M 2关联，求抛物线M 2的解析式；（3）抛物线M 1：21(1)28y x =+-的顶点为A ，点B 是与M 1关联的抛物线的顶点，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到线段AB 1，若点B 1恰好在y 轴上，请直接写出点B 1的纵坐标．5．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y 1＝（x ﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y 2＝﹣（x ﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y 1＝（x ﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y 2＝﹣（x ﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y ＝﹣2x 2+4x +3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '．①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．6．（2021·山东乳山·模拟预测）【信息提取】新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．新知识：对于直线()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠．若121k k ，则直线1y 与2y 互相垂直；若直线1y 与2y 互相垂直，则121k k ．【感知理解】（1）若抛物线21()(0)y a x h k a =-+≠的“友好抛物线”为222(3)1y x =-++．则h ，k 的值分别是；（2）若抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与22(0)y mx nx q m =++≠互为“友好抛物线”．则b 与n的数量关系为，c 与q 的数量关系为．【综合应用】（3）如图，抛物线211:43l y x x =-+的顶点为E ，1l 的“友好抛物线”2l 的顶点为F ，过点O的直线3l 与抛物线1l 交于点A ，B （点A 在B 的左侧），与抛物线2l 交于点C ，D （点C 在D 的左侧）．若四边形AFDE 为菱形，求AB 的长；7．（2021·江苏·镇江实验学校一模）定义：如图，若两条抛物线关于直线x a =成轴对称，当x a ≤时，取顶点在x a =左侧的抛物线的部分；当x a ≥时，取顶点在x a =右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x a =的一对伴随抛物线．例如：抛物线()2(0)1y x x =+≤与抛物线()2(0)1y x x =-≥就是关于直线0x =（y 轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线()213 1.)5(y x x =++≤关于直线 1.5x =的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线22220,()4y mx m x m m =-+≠≠交y 轴于点A ，交直线4x =于点B ． ①求直线AB 平行于x 轴时的m 的值．②求AOB ∠是直角时抛物线2222y mx m x =-+关于直线4x =的“伴随抛物线”的顶点横坐标．8．（2021·浙江·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，有一条线段AB ，若抛物线21111y a x b x c =++的顶点是A ，经过点B ，抛物线22222y a x b x c =++的顶点是B ，经过点A ，称这两条抛物线是关于线段AB 的一对“有礼抛物线”，如图所示．（1）若抛物线()21213y x =-+与()2225y a x =-+是一对“有礼抛物线”，求a 的值．（2）若线段AB 两端点坐标是()(),,e f m n 、，关于线段AB 的一对有礼抛物线是21111y a x b x c =++和22222y a x b x c =++，猜想1a 与2a 的数量关系，并证明你的猜想．（3）若抛物线()21122y x =-的顶点为A ，它与y 轴交于点E ，点B 在抛物线上，关于线段AB 的另一条“有礼抛物线”22222y a x b x c =++与y 轴交点记为点F ，若6EF =，求2y 的函数关系式。

中考数学专题训练：关于二次函数的新定义(附参考答案)

1 / 2中考数学专题训练：关于二次函数的新定义（附参考答案）1．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y ＝(x －2)2－4向右平移m(m ＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．4D ．32．新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y ＝x2－2x ＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m ，2m ＋4，2m ＋4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2B ．14C ．－2或2D ．23．定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做“和谐点”，所围成的矩形叫做“和谐矩形”．已知点P 是抛物线y ＝x2＋k 上的“和谐点”，所围成的“和谐矩形”的面积为16，则k 的值可以是( )A ．16B ．4C ．－12D ．－184．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x －m)2－m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A ．4，－1B ．5−√172，－1 C ．4，0 D ．5+√172，－15．定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的特征数，下面给出特征数为[m ，1－m ，2－m]的二次函数的一些结论：①当m ＝1时，函数图象的对称轴是y 轴；②当m ＝2时，函数图象过原点；③当m ＞0时，函数有最小值；④如果m ＜0，当x ＞12时，y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是__________．6．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(x ，y)，当x ＜0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－x ，y)；当x ≥0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－y ，x)．抛物线y ＝(x －2)2＋n 与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件的所有n 值的和为________．7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，2 / 2 如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数y ＝－x2＋1(－2≤x ≤t ，t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度，得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时，则t 的取值范围是________________________．参考答案1．C 2．C3．C 4．D 5．①②③ 6．－13 7．≤t ≤34或54≤t ≤32。

二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义及答案)

二次函数压轴题之新定义问题（二）（讲义）知识点睛解决新定义问题时常考虑：①回归新定义，给什么，用什么；将新定义与所给问题信息结合分析转化；②将新定义图形结构化、模型化，利用其相关特征、性质解决问题．精讲精练1.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．2.【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”．如图1，点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l ：2y =-即为抛物线1y 的“准线”．可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上．【理解】如图1，N (m ，n )是抛物线21114y x =-上的任一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为点H ．①计算：当m=0时，NH=______，NO =_______；当m =4时，NH=_______，NO =_______．②证明：无论m 取何值，NO =NH ．【应用】（1）如图2，“焦点”为F (0，1)的抛物线2214y x =的准线为直线l ，经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠（）与抛物线交于点M ，N ，过点M 作MQ ⊥l 于点Q ，过点N 作NH ⊥l 于点H ．①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________；②计算求值：11MQ NH+=____________；③记QH 的中点为G ，连接GM ，GN ，试证明∠MGN =90°．（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线33y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式．图1图2图33.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P′，满足CP +CP′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C 重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P 在直线2y x =-+上时，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1时，直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为1325-<-，所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．（2）已知C 是直线3+34y x =上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图1图2图3【参考答案】1.（1）①2；②C 1(3，2)1AC l ⇒：y =x -1；C 2(3，-2)2AC l ⇒：y =-x +1（2）-5≤m ≤-1或1≤m ≤52.①1，1，5，5；②证明略（1）①y =-1；②1；③证明略（2）2313()324y x =++或2313()324y x =---3.（1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)②0＜x P ＜2（2）2≤x C ≤84.（1）①B (0，2)；②12（2）①最小值为87，此时点C 坐标为815()77-，②最小非常距离为1，34()55E -，，89()55C -，。

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型(学生版)

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一新定义型二次函数--关联抛物线】【类型二新定义型二次函数--友好二次函数】【类型三新定义型二次函数--衍生抛物线】【类型四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【类型五新定义型二次函数--孔像抛物线】【类型六新定义型二次函数--伴随抛物线】【类型七新定义型二次函数--美丽抛物线】【类型八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【类型一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D6，-1．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；【变式训练】1新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”，例如，抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1已知抛物线C1：y=4ax2+ax+4a-3(a>0)的“关联抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．(1)若点E的坐标为0,-1，求C1的解析式；(2)设C2的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2，于点M，N．①当MN=6时，求点P的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【类型二新定义型二次函数--友好二次函数】1若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C 1：y 1=-2x 2+4x +2与抛物线C 2：y =-x 2+mx +n 为“友好抛物线”．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)点A 是抛物线C 2上在第一象限的动点，过A 作AQ ⊥x 轴，Q 为垂足，求AQ +OQ 的最大值；(3)设抛物线C 2的顶点为C ，点B 的坐标为-1,4 ，问在C 2的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB ，且点B 恰好落在抛物线C 2上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式训练】1定义：若抛物线L 2:y =mx 2+nx m ≠0 与抛物线L 1:y =ax 2+bx a ≠0 的开口大小相同，方向相反，且抛物线L 2经过L 1的顶点，我们称抛物线L 2为L 1的“友好抛物线”．(1)若L 1的表达式为y =x 2-2x ，求L 1的“友好抛物线”的表达式；(2)已知抛物线L 2:y =mx 2+nx 为L 1:y =ax 2+bx 的“友好抛物线”．求证：抛物线L 1也是L 2的“友好抛物线”；(3)平面上有点P 1,0 ，Q 3,0 ，抛物线L 2:y =mx 2+nx 为L 1:y =ax 2的“友好抛物线”，且抛物线L 2的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L 2与线段PQ 没有公共点时，求a 的取值范围．2【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L1:y=ax2-4ax+1与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为0<m<2，它们关于L1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C，CB．①若a=3，且四边形BB C C为正方形，求m的值；②若m=1，且四边形BB C C邻边之比为1:2，直接写出a的值．【类型三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点-1,0成中心对称，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c a≠0为中心，作该抛物线关于点M对称，以y轴上的点M0,m的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点0,m的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b a≠0．①若抛物线y的衍生抛物线为y =bx2-2bx+a2b≠0，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点0,k+12的衍生抛物线为y2，其的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点0,k+22顶点为A2；⋯；关于点0,k+n2的衍生抛物线为y n，其顶点为A n，⋯(n为正整数)．求A n A n-1的长(用含n的式子表示)．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M 成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n 为正整数)，直接写出A n A n +1的长(用含n 的式子表示)．【类型四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【变式训练】1定义：关于x 轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2.(1)求抛物线y =-12x 2+x +1的“同轴对称抛物线”.(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L :y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB .①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值.②在①的条件下，抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数y =x -1相交于点M 和点N (其中M 在N 的左边)，将抛物线L 的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L 与一次函数y =x -1相交于点P 和点Q (其中P 在Q 的左边)，满足PM +QN =MN ，在抛物线L 上有且仅有三个点R 1、R 2、R 3，使得△MNR 1、△MNR 2、△MNR 3的面积均为定值S ，求R 1、R 2、R 3的坐标.【类型五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3 O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3O4,0C3,1A2,0D1,-3⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【变式训练】1二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A．感知特例(1)当m=1时，如图1，抛物线L:y=x2-2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如下表：⋯B-1,3⋯A(___，___)D3,3O0,0C1,-1⋯B 5,-3D 1,-3⋯C 3,1A 2,0O 4,0①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．形成概念我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L 是L的“孔像抛物线”．例如，当m=-2时，图2中的抛物线L 是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题(2)①当m=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L ，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是．(填“y=ax2+bx+c”或“y= ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”，其中abc≠0)；③若二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，求m的值．【类型六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x ≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=(x+1)2x≤0就是关于直线x=0(y轴)的与抛物线y=(x-1)2x≥0一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【类型七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【变式训练】1定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如y=-x+32+2与y=x-32-2互为美丽函数．(1)求y=-2x2+4x-1的美丽函数的表达式；(2)若y1=x2+2x+c的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数y2=-x+h2+k的图像的顶点Q．①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q；②点M是y1=x2+2x+c在P，Q之间的图像的动点，MN⊥x轴交y2=-x+h2+k的图像于点N，求MN长度的最大值．【类型八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,⋯,P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1,C2,C3,⋯,C n，其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,⋯,-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,⋯,A n连接C n A n,C n-1A n-1，判断C n A n,C n-1A n-1是否平行？并说明理由．【变式训练】1在平面直角坐标系中，有系列抛物线y n=-14nx2-34nx+n+1(n为正整数)．系列抛物线的顶点分别为M1，M2，M3，⋯，M n．(1)下列结论正确的序号是．①系列抛物线的对称轴是直线x=-3 2；②系列抛物线有公共交点-4,1和1,1；③系列抛物线都是由抛物线y=-14x2平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；(2)对于任意一条与x轴垂直的直线x=a，与系列抛物线的交点分别为N1，N2，N3，⋯，N n．①当a=0时，N n N n-1=；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离N n N n-1；若不相等，说明理由；③以N n N n-1为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．2我们把抛物线：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)称为“拉手系列抛物线”，为了探究的它性质，某同学经历如下过程：【特例求解】(1)当n=1时，抛物线y1的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；(2)当n=2时，抛物线y2的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；(3)当n=3时，抛物线y3的顶点坐标是；与x轴的交点坐标是；【性质探究】(4)那么抛物线：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)的下列结论正确的是(请填入正确的序号)．①抛物线与x轴有两个交点；②抛物线都经过同一个定点；③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；④所有抛物线y n的顶点都在抛物线y=x2上．【知识应用】若“拉手系列抛物线”：y n=-x2+2n2x-n4+n2(n为正整数)，y1与x轴交于点O，A1，顶点为D1，y2与x轴交于点A1，A2，顶点为D2，⋯，yn与x轴交于点A n-1,A n，顶点为Dn．(5)求线段A n-1A n的长(用含n的式子表示)；(6)若△D1OA1的面积与△D k A k-1A k的面积比为1:125，求y k的解析式．。

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题(解析版)

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题【考点导航】目录【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1)．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，点F(-6，3)在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】(1)A(-2，-1)，B(2，3)；抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2(2)存在，点E的坐标E(6，-1)或E(10，-13)(3)-2≤x≤2，当t=2时，S的最大值为16【分析】(1)将抛物线C 1改为顶点式可得A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入y 2=ax 2+x +c ，求得y 2=-14(x -2)2+3，即可求出B (2，3)；(2)易得直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE⊥AB ，E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 ，不符合题意；(3)由y 1≤y 2，得-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，易求直线AF 的解析式：y =-x -3，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，S 1=12t 2+4t +6，设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=2-12t 2，所以S =S 1+S 2=4t +8，即当t =2时，S 的最大值为16．【详解】(1)抛物线C 1：y 1=14x 2+x =14(x +2)2-1∴A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入抛物线C 2：y 2=ax 2+x +c ，得：4a -2+c =-136a +6+c =-1 ，解得：a =-14c =2 ，∴y 2=-14x 2+x +2=-14(x -2)2+3，∴B (2，3)；(2)设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则-2k +b =-12k +b =3 ，解得：k =1b =1∴直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，k BE ·k AB =-1，∴k BE =-1，故可设直线BE 解析式为y =-x +b ，将B 点坐标代入，得：3=-2+b ，解得：b =5，直线BE 解析式为y =-x +5．联立y =-x +5y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=2y 1=3 ，x 2=6y 2=-1，∴E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，同理得AE 解析式：y =-x -3．联立y =-x -3y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=-2y 1=-1 ，x 2=10y 2=-13，∴E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 由AE ⊥BE 得k BE ·k AE =-1，即-14m 2+m -1m -2⋅-14m 2+m +1m +2=-1，整理，得：(m +2)(m -2)[(m -2)(m -6)+16]=0，∴m +2=0或m -2=0或(m -2)(m -6)+16=0(无解)，∴解得m =2或-2(不符合题意舍去)，∴点E 的坐标E (6，-1)或E (10，-13)；(3)∵y 1≤y 2，∴-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，设直线AF 的解析式为y =mx +n ，则-2m +n =1-6m +n =3 ，解得：m =-1n =-3∴直线AF 的解析式：y =-x -3，如图，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则Q -14t 2-t -3，14t 2+t ，∴S 1=12QM •y F -y A =12t 2+4t +6．设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=12PN •|x A -x B |=2-12t 2，∴S =S 1+S 2=4t +8，∴当t =2时，S 的最大值为16．【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)新定义：我们把抛物线y =ax 2+bx +c (其中ab ≠0)与抛物线y =bx 2+ax +c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“关联抛物线”为：y =3x 2+2x +1．已知抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2．(1)写出C 2的解析式(用含a 的式子表示)及顶点坐标；(2)若a >0，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线C 1，C 2于点M ，N ．①当MN =6a 时，求点P 的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0 ，顶点为-2，-3 (2)①P -1,0 或2,0 ；②a =2-2或a =2．【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3 ，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2，根据题意可得，C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3(2)解：①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3∴MN =4ap 2+ap +4a -3-ap 2+4ap +4a -3=3ap 2-3ap∵MN =6a∴3ap 2-3ap =6a∵a ≠0∴p 2-p =±2当p 2-p =2时，解得p 1=-1，p 2=2当p 2-p =-2时，方程无解∴P -1,0 或2,0②∵C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3 ，对称轴为x =-2∵a >0，∴a -2>-2当-2 -a -4 ≥a -2--2 时，即a ≤1时，函数的最大值为a a -4+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a a -2 2=2a∵a ≠0∴a -2=±2解得a 1=2-2,a 2=2+2(a ≤1，舍去)∴a =2-2当-2 -a -4 <a -2--2 时，且a -4<-2即1<a <2时，函数的最大值为a a -2+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3=2a∵a ≠0∴a =±2解得a 1=2,a 2=-2(1<a <2，舍去)∴a =2当a -4≥-2时，即a ≥2时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为a a -2+2 2-3=a 3-3，最小值为a a -4+2 2-3=a a -2 2-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3-3-a a -2 2+3=2a即a 3-a a -2 2-2a =0∵a ≠0即a 2-a -2 2-2=0解得a =32(a ≥2舍去)综上所述，a =2-2或a =2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】1(2023·贵州遵义·统考三模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5．(1)函数y =-2x 2+2x +1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．(2)已知二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4(其中a ≠0且a ≠1且a ≠12)，其友好同轴二次函数记为C 2．①若函数C 1的图象与函数C 2的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标)，求线段AB 的长；②当-3≤x ≤0时，函数C 2的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线x =12，y =3x 2-3x +1(2)①4；②-1或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数C 2，联立函数C 1，C 2，解方程可求出点A ,B 的坐标，由此即可得；②分a <1且a ≠0且a ≠12、a >1两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：函数y =-2x 2+2x +1=-2x -12 2+32的对称轴为直线x =12，因为1--2 =3，所以设函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x -12 2+m =3x 2-3x +34+m ，所以34+m =1，解得m =14，所以函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x 2-3x +1，故答案为：直线x =12，y =3x 2-3x +1．(2)解：①二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4=a x +2 2+4-4a ，则设C 2:y =1-a x +2 2+b =1-a x 2+41-a x +4-4a +b ，所以4-4a +b =4，解得b =4a ，所以C 2:y =1-a x 2+41-a x +4，联立y =ax 2+4ax +4y =1-a x 2+41-a x +4 得：2a -1 x 2+42a -1 x =0，解得x =0或x =-4，当x =0时，y =4；当x =-4时，y =16a -16a +4=4，所以A -4,4 ,B 0,4 ，所以AB =0--4 =4；②函数C 2:y =1-a x 2+41-a x +4=1-a x +2 2+4a 的对称轴为直线x =-2，(Ⅰ)当a <1且a ≠0且a ≠12时，抛物线的开口向上，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而减小；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而增大，则当x =-2时，y 取得最小值，最小值为4a ，当x =0时，y 取得最大值，最大值为4，所以4-4a =8，解得a =-1，符合题设；(Ⅱ)当a >1时，抛物线开口向下，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而增大；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而减小，则当x =-2时，y 取得最大值，最大值为4a ，当x =0时，y 取得最小值，最小值为4，所以4a -4=8，解得a =3，符合题设；综上，a 的值为-1或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其“友好对称二次函数”L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为0<m <2 ，它们关于L 1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C ，CB ．①若a =3，且四边形BB C C 为正方形，求m 的值；②若m =1，且四边形BB C C 邻边之比为1:2，直接写出a 的值．【答案】(1)y =43x 2，y =23x 2+2x -5；(2)①②③；(3)①m 的值为11-1015；②a 的值为-16或76或13或23【分析】(1)根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同，据此求解即可；(2)根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；(3)①根据题意可得：二次函数L 1：y =3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =-2x 2+8x +1，点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据四边形BB C C 为正方形，得出方程求解即可；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据题意：四边形BB C C 的邻边之比为1：2，得出BC =2BB 或BB =2BC ，求解即可得．【详解】解：(1)∵a =1--13 =43，∴函数y =-13x 2的“友好对称二次函数”为y =43x 2；a =1-13=23，原函数的对称轴为：x =-12×13=-32，∴-b 2×23=-32，∴b =2，c =-5，∴函数y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为y =23x 2+2x -5，,故答案为：y =43x 2；y =23x 2+2x -5；(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵1÷2=12，∴二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =1-a x 2-21-a x +3，③正确；若y =12x 2+x +1，则其“友好对称二次函数”为y =12x 2+x +1，此时这两条抛物线与x 轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；(3)二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a=2，其“友好对称二次函数”L 2：y =1-a x 2-41-a x +1．①∵a =3，∴二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =1-a x 2-41-a x +1=-2x 2+8x +1，∴点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，∴点B 的坐标为4-m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为4-m ,-2m 2+8m +1 ，∴BC =-2m 2+8m +1-3m 2-12m +1 =-5m 2+20m ，BB =4-m -m =4-2m ，∵四边形BB C C 为正方形，∴BC =BB ，即-5m 2+20m =4-2m ，解得：m 1=11-1015，m 2=11+1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11-1015；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，∴点B 的坐标为3,-3a +1 ，点C 的坐标为3,3a -2 ，∴BC =3a -2--3a +1 =6a -3 ，BB =3-1=2，∵四边形BB C C 的邻边之比为1：2，∴BC =2BB 或BB =2BC ，即6a -3 =2×2或2=26a -3 ，解得：a 1=-16，a 2=76，a 3=13，a 4=23，∴a 的值为-16或76或13或23．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y =-x 2+bx -3经过点-1,0 ，则b =，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 ，以y 轴上的点M 0,m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．(2)已知抛物线y =-x 2-2x +5关于点0,m 的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 ．①若抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点0,k +12 的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点0,k +22 的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；⋯；关于点0,k +n 2 的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ，⋯(n 为正整数)．求A n A n -1的长(用含n 的式子表示)．【答案】(1)-4；-2,1 ；y =x 2-4x +5；(2)m ≤5(3)①a =3b =-3 ；衍生中心的坐标为0,6 ；②4n -2【分析】(1)把-1,0 代入y =-x 2+bx -3即可求出b =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于0,1 的对称点，从而可写出原抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y =-x 2-2x +5的顶点是-1,6 ，从而求出-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，得y '=x -1 2+2m -6，根据两抛物线有交点，可以确定方程-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，继而求得m 的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 以及抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出B 1B 2，B 2B 3⋯ B n B n +1分别是AA 1A 2，△AA 2A 3⋯△AA n A n +1的中位线，继而可得A 1A 2=2B 1B 2，A 2A 3=2B 2B 3，⋯A n A n +1=2B n B n +1，再根据点的坐标即可求得A n A n -1的长，即可求解．【详解】(1)解：把-1,0代入y =-x 2+bx -3，得b =-4，∴y =-x 2-4x -3=-x +2 2+1，∴顶点坐标是-2,1 ，∵-2,1 关于0,1 的对称点2,1 ，∴成中心对称的抛物线表达式是：y =x -2 2+1，即y =x 2-4x +5，故答案为：-4，-2,1 ，y =x 2-4x +5；(2)∵y =-x 2-2x +5=-x +1 2+6，∴顶点是-1,6∵-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，∴y '=x -1 2+2m -6，∵两抛物线有交点，∴-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，∴x 2=5-m 有解，∴5-m ≥0，∴m ≤5；(3)①∵y =ax 2+2ax -b =a x +1 2-a -b ，∴顶点-1,-a -b ，代入y =bx2-2bx+a2得：b+2b+a2=-a-b①∵y =bx2-2bx+a2=b x-12+a2-b，∴顶点1,a2-b，代入y=ax2+2ax-b得：a+2a-b=a2-b②由① ②得a2+a+4b=0 a2-3a=0，∵a≠0，b≠0，∴a=3b=-3 ，∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是0，6；②如图，设AA1，AA2⋯AA n，AA n+1与y轴分别相于B1，B2⋯ B n，B n+1，则A,A1，A,A2，⋯A,A n，A,A n+1分别关于B1，B2⋯B n，B n+1中心对称，∴B1B2，B2B3⋯ B n B n+1分别是△AA1A2，△AA2A3⋯△AA n A n+1的中位线，∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，⋯A n A n+1=2B n B n+1，∵B n0，k+n2，B n-10，k+n-12，∴A n A n-1=2B n B n-1=2k+n2-k-n-12=4n-2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n为正整数)，直接写出A n A n+1的长(用含n的式子表示)．【答案】(1)b=-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)m≤5；(3)4n+2【分析】(1)利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点(0，-3)，求出点(-2，1)和(0，-3)关于(0，1)的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；(2)求出抛物线的顶点坐标(-1，6)，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；(3)求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴(0，-3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，∵点(0，5)在新抛物线上，∴5=a(0-2)2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5，故答案为-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)∵抛物线y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m ≤5；(3)抛物线y =ax 2+2ax -b 的顶点坐标为(-1，-a -b )，∵点(-1，-a -b )关于点(0，k +n 2)的对称点为(1，a +b +2k +2n 2)，∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a +b +2k +2n 2)，同理：A n +1(1，a +b +2k +2(n +1)2)∴A n A n +1=a +b +2k +2(n +1)2-(a +b +2k +2n 2)=4n +2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【答案】(1)1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32(2)①a =23；②34<a ≤1或-14≤a <-15【分析】(1)根据顶点式y =a x -h 2+k 的顶点坐标为h ，k ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；(2)①写出点B 的坐标，再由对称轴求出点B ，然后结合正方形的性质列出方程求a ；②先由对称性分析得到封闭区域内在x 轴上整点的个数，然后针对抛物线L 开口的不同进行分类讨论．【详解】(1)解：由y =x -1 2-2知顶点坐标为1，-2 ，由y =-x -1 2+2知顶点坐标为1，2 ，∴抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为y =12x -1 2-32；故答案为：1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32．(2)①当x =1时，y =1-3a ，∴B 1，1-3a ，∴C 1，3a -1 ，∴BC =1-3a -3a -1 =2-6a ，∵抛物线L 的对称轴为直线x =--4a 2a=2，∴点B 3，1-3a ，∴BB =3-1=2，∵四边形BB C C 是正方形，∴BC =BB ，即2-6a =2，解得：a =0(舍)或a =23．②抛物线L 的对称轴为直线x =2，顶点坐标为2，1-4a ，∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称，∴整点数也是关于x 轴对称出现的，∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个，L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i )当a >0时，∵L 开口向上，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x =1时，-2≤1-3a <-1，当x =2时，-3≤1-4a <-2，解得：34<a ≤1；(ii )当a <0时，∵L 开口向下，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x =2时，1<1-4a ≤2，当x =-1时，5a +1<0，解得：-14≤a <-15，综上所述：34<a ≤1或-14≤a <-15．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3 O 4,0 C 3,1 A 2,0 D1,-3 ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【答案】(1)①2,0；②见解析；(2)①-3≤x ≤-1；②±1；③y =18x 2【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m ，-m 2 ，则图象L ′的顶点为P 3m ,m 2 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，再由抛物线M 与L 有唯一交点，分两种情况：当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时符不符合题意；当a ≠-1时，有Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，根据当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m 取任意实数时，上述等式成立，从而得到36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，即可求解．【详解】(1)解：①∵点B-1,3与点B 5,-3关于点A中心对称，∴点A的坐标为-1+52,-3+32，即A2,0 ，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：(2)解：①当m=-1时，抛物线L为y=x2+2x，对称轴为x=-1，∴它的“孔像抛物线”L 的解析式为y=-x+2x+4，对称轴为x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②L：y=x2-2mx=x-m2-m2，设顶点为P m，-m2，过点P作PM⊥x轴于点M，“孔像抛物线”L 的顶点为P ，过点P 作P M ⊥x轴于点M ，由题意得：△PMA≌△P M A，∴M 3m,0，∴P 3m,m2，∵抛物线L及“孔像抛物线”L 与直线y=m有且只有三个交点，∴-m 2=m 或m 2=m ，解得m =m =±10，当m =0时，y =x 2与y =-x 2只有一个交点，不合题意，舍去，∴m =±1．③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，∴设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，∴a x 2+b x +c =-x 2+6mx -8m 2，整理得：a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，∵抛物线M 与L 有唯一交点，当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当a ≠-1时，Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，即b 2-12b m +36m 2-4a +1 ⋅8m 2-4c a +1 =0，整理得：36-32a +1 m 2-12b m +b 2-4c a +1 =0，∵当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m 取任意实数时，上述等式成立，∴36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，解得：a =18b =0c =0，∴该函数解析式为y =18x 2．故答案为：y =18x 2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x =a 成轴对称，当x ≤a 时，取顶点x =a 左侧的抛物线的部分；当x ≥a 时，取顶点在x =a 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x =a 的一对伴随抛物线．例如：抛物线y =(x +1)2x ≤0 与抛物线y =(x -1)2x ≥0 就是关于直线x =0(y 轴)的一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【答案】(1)y=(x-4)2+3x≥1.5(2)①m=2；②14-52或14+52；③m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【分析】(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；③当B点在x轴下方时，抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，求出此时m的取值范围便可．【详解】(1)∵抛物线y=(x+1)2+3(x≤1.5)的顶点坐标(-1,3)，∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)2+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx2-2m2x+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m2+2，∴m=0(舍去)，m=2，∴m=2；②如图1和图2，∵∠AOB =90°，∴点B 在x 轴上，∴点B 的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y =mx 2-2m 2x +2中，得16m -8m 2+2=0，解得，m =2+52或2-52，∵y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为：x =--2m 22m=m ，即抛物线y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为2+52或2-52，则抛物线y =mx 2-2m 2x +2关于直线x =4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：4+4-2+52 =14-52，或4+4-2-52 =14+52，∴ “伴随抛物线”的顶点横坐标为14-52或14+52；③如图3和图4，∵点C 、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，A (0,2)，抛物线y =mx 2-2m 2x +2及其关于直线x =4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，∴点B 在x 轴下方，设B (4,n )，则n <0，把B (4,n )代入y =mx 2-2m 2x +2中，得n =16m -8m 2+2，∴n =16m -8m 2+2<0，∴由二次函数n =16m -8m 2+2图象可知，当m <0时，若n <0，则m <2-52；当m >0时，若n <0，则m >2+52．又∵m ≠4，∴m >2+52且m ≠4，故m <2-52或m >2+52且m ≠4．当点B 在线段AC 上时，16m -8m 2+2=2，解得m =2，此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，当点B 在AC 的上方，抛物线的顶点在AC 与OD 之间时，符合题意，则有16m-8m2+2>2-m3+2>0，解得，0<m<32，综上所述，满足条件的m的值为m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【答案】(1)-2，-4；(2)ak=-2；(3)成立，理由见解析；(4)-18或-9或-6【分析】(1)先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)同(1)的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；(3)分a<0，a>0两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，根据题意得出k s:k t=1:2，从而得出s:t=1:2，根据题中s,t的范围得出s,t的值，再得出k的值，然后由ak=-2即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+1中，令x=0，则y=1，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-12,1 2，D12,12或B12,12，D-12,12，∴将12,1 2代入抛物线y=ax2+1中，得1 4a+1=12，解得：a=-2；∵抛物线y=12x2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=12x2+k中，得1 2×k24+k=k2，解得：k1=0(不合题意，舍去)；k2=-4，∴k=-4；故答案为：-2，-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=ax2+k中，得a×k24+k=k2，解得：ak=-2，k2=0(不合题意，舍去)；∴ak=-2；(3)a，k数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，正方形ABCD，又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD=k，BD⊥AC，∴点D的坐标为h+k2,k 2，∵点D在抛物线y=a x-h2+k a≠0，∴k 2=a h+k2-h2+k，解得-k2=ak24，∴ak=-2；当a>0时，同理可得ak=-2．∴若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，a，k数量关系仍为ak=-2；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，∵系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，∴k n≥0，∵美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t的内接正方形的面积之比为1：4，∴k s:k t=1:2，∵s,k s，t,k t在直线y=16x上，∴s:t=1:2，∵s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6，∴s=1t=2或s=2t=4或s=3t=6，∴k s=16k t=13或k s=13k t=23或k s=12k t=1，∵ak=-2，∴a s=-12a t=-6或a s=-6a t=-3或a s=-4a t=-2，∴a s+a t=-18或-9或-6．【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n =-x 2-nx +1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1,P 2,P 3,⋯,P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1,C 2,C 3,⋯,C n ，其横坐标分别为-k -1,-k -2,-k -3,⋯,-k -n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y =1分别交“系列平移抛物线”于点A 1,A 2,A 3,⋯,A n 连接C n A n ,C n -1A n -1，判断C n A n ,C n -1A n -1是否平行？并说明理由．【答案】(1)①②③；(2)①P n -n 2,n 24+1 ，y =x 2+1，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③C n A n 与C n -1A n -1不平行,理由见解析【分析】(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，③当y =1时，则-x 2-x +1=1，可得x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，可得x =0或x =-2；-x 2-3x +1=1，可得x =0或x =-3；所以相邻两点之间的距离都是1，(2)①y n =-x 2-nx +1的顶点为-n 2，n 2+44，可得y =x 2+1；②横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，⋯，-k -n (k 为正整数)，当x =-k -n 时，y =-k 2-nk +1，纵坐标分别为-k 2-k +1，-k 2-2k +1，-k 2-3k +1，⋯，-k 2-nk +1，相邻两点间距离分别为1+k 2；③由题可知C n (-k -n ,-k 2-nk +1)，C n -1(-k -n +1,-k 2-nk +k +1)，A n (-n ,1)，A n -1(-n +1,1)．比较∠DA n C n ≠∠EA n -1C n -1，即可得出结论C n A n 与C n -1A n -1不平行．.【详解】解：解：(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；①正确；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，由x =-12向左移动12得到x =-1，再向左移动12得到x =-32，②正确；③当y =1时，则-x 2-x +1=1，∴x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，。

二次函数新定义型综合问题中考数学

抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数新定义型综合问题是数学的基础，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一新定义型二次函数之共生或伴随抛物线【例1】（新考法，拓视野）（2024·江西九江·一模）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线20.5y x =与22y x =-是共生抛物线，已知抛物线()212:213C y x =-++的顶点是点P ，它的共生抛物线2C 的顶点是Q ；(1)点P 的坐标是，点Q 的坐标是_________，抛物线2C 的函数关系式是．(2)直线y m =与抛物线1C 、2C 均有两个交点，这些交点从左到右分别是A 、B 、C 、D ．①求m 的取值范围；②若AB CD =，求m 的值；【例2】（2023·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，对于函数21y ax bx c =++，其中a 、b 、c 为常数，a c ≠，定义：函数22y cx bx a =++是21y ax bx c =++的衍生函数，点(),M a c 是函数21y ax bx c =++的衍生点，设函数21y ax bx c =++与其衍生函数的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．(1)若函数21y ax bx c =++的图象过点()13C -，、 ()15D -，，其衍生点()1M c ，，求函数21y ax bx c =++的解析式；(2)①若函数21y ax bx c =++的衍生函数为221y x =-，求A 、B 两点的坐标；②函数21y ax bx c =++的图象如图所示，请在图中标出点A 、B 两点的位置；(3)是否存在常数b ，使得无论a 为何值，函数21y ax bx c =++的衍生点M 始终在直线AB 上，若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．1．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++（其中0ab ≠与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”，例如，抛物线2231y x x =++的“关联抛物线”为2321y x x =++已知抛物线1C ：2443(0)y ax ax a a =++->的“关联抛物线”为2C ，1C 与y 轴交于点E．本题考查了二次函数的新定义，正确利用二次函数的图像与性质是解决问题的关键．(1)若点E 的坐标为()0,1-，求1C 的解析式；(2)设2C 的顶点为F ，若△OEF 是以OF 为底的等腰三角形，求点E 的坐标；(3)过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线1C ，2C ，于点M ，N ．①当MN =6时，求点P 的坐标；②当42a x a -≤≤-时，2C 的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．2．（2023·广东广州·一模）定义：在平面直角坐标系中，直线()y a x h k =-+称为抛物线()2y a x h k =-+的伴随直线，如直线()12y x =-+-为抛物线()212y x =-+-的伴随直线．(1)求抛物线2245y x x =-+的伴随直线；(2)无论a 取何值，抛物线1G ：()2212y ax a x a =--+-总会经过某定点，抛物线2G ：()()13y m x x m =---的伴随直线经过该定点，求m 的值；(3)顶点在第一象限的抛物线()214y a x a =--+与它的伴随直线交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ，当90BAC ∠=︒时，y 轴上存在点P ，使得APB ∠取得最大值，求此时点P 的坐标．题型二新定义型二次函数之特殊形状问题【例1】（新考法，拓视野）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：由两条与x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．【概念理解】（1）抛物线()()1212y x x =--与抛物线2232y x x =-+是否围成“月牙线”？说明理由．【尝试应用】（2）抛物线211(1)22y x =--与抛物线2212y ax bx c a ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭组成一个如图所示的“月牙线”，与x 轴有相同的交点M ，N （点M 在点N 的左侧），与y 轴的交点分别为,A B ．①求::a b c 的值．②已知点()0,P x m 和点()0,Q x n 在“月牙线”上，m n >，且m n -的值始终不大于2，求线段AB 长的取值范围．【例2】二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：…()1,3B -()0,0O ()1,1C -A （___，___）()3,3D ……()5,3B '-()4,0O '()3,1C '()2,0A '()1,3D '-…①补全表格；本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．1．（2023·江西赣州·一模）定义：若直线1y =-与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”1L ：2y x =-与直线1y =-相交于P ，Q ．(1)抛物线1L 的“反碟长”PQ =________．(2)抛物线随其顶点沿直线12y x =向上平移，得到抛物线2L ．①当抛物线1L 的顶点平移到点()6,3，抛物线2L 的解析式是________．抛物线2L 的“反碟长”是________．②若抛物线2L 的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）A ．15B ．16C ．24D ．25③当抛物线2L 的顶点A 和抛物线2L 与直线1y =-的两个交点B ，C 构成一个等边三角形时（点B 在点C 左右），求点A 的坐标．题型三新定义型二次函数与其他函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x 与函数值y 满足：当()()0x m x n --≤时，()()0y m y n --≤（,m n 为实数，且)m n <，我们称这个函数在m n →上是“民主函数”．比如：函数1y x =-+在12-→上是“民主函数”．理由：由[(1)](2)0x x ---≤，得12x -≤≤． 1x y =-，112y ∴-≤-≤，解得12y -≤≤，[(1)](2)0y y ∴---≤，∴是“民主函数”．(1)反比例函数6y x=是23→上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数y kx b =+在m n →上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含,m n 的代数式表示）；(3)若抛物线2(0,0)y ax bx c a a b =++>+>在13→上是“民主函数”，且在13x ≤≤上的最小值为4a ，设抛物线与直线3y =交于,A B 点，与y 轴相交于C 点．若ABC 的内心为G ，外心为M ，试求MG 的长．【例2】（2023·江苏南通·一模）定义：若函数图象上存在点()1M m n ，，()21M m n '＋，，且满足21n n t -=，则称t 为该函数的“域差值”．例如：函数23y x =+，当x m =时，123n m =+；当1x m =+时，221252n m n n =+-=，则函数23y x =+的“域差值”为2(1)点12'1M m n M m n +（，），（，）在4y x =的图象上，“域差值”4t =-，求m的值；本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．ABC(2)已知函数220y x x =-（＞），求证该函数的“域差值”2t <-；(3)点A a b （，）为函数22y x =-图象上的一点，将函数22y x x a =-≥（）的图象记为W 1，将函数22y x x a =-≤（）的图象沿直线y b =翻折后的图象记为2W 当12W W ，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”1t ≤时，求a 的取值范围．1．（2023·江苏南通·一模）定义：若函数1G 的图象上至少存在一个点，该点关于x 轴的对称点落在函数2G 的图象上，则称函数1G ，2G 为关联函数，这两个点称为函数1G ，2G 的一对关联点．例如，函数2y x =与函数3y x =-为关联函数，点()1,2和点()1,2-是这两个函数的一对关联点．(1)判断函数2y x =+与函数y =-3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；(2)若对于任意实数k ，函数2y x b =+与5y kx k =++始终为关联函数，求b 的值；(3)若函数21y x mx =-+与函数224n y x =-(m ，n 为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求2226m n m -+的取值范围．2．（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y 关于x 的函数，函数在 ()1212x x x x x ≤≤<范围内的最大值，记作 []12,M x x 如函数2y x =，在13x -≤≤范围内，该函数的最大值是6，即，[]1,36M -=．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数 ()22141y a x x a =--+-（a 为常数）(1)若2a =．①直接写出该函数的表达式，并求 []1,4M 的值；②已知 5,32M p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求p 的值．(2)若该函数的图象经过点()0,0，且[]3,M k k -=，求k 的值．题型四新定义型二次函数与几何图形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏南通·二模）定义：在平面直角坐标系中，点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线:(0)l y kx b k =+≠满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+（或满足11y kx b ≥+且22y kx b ≤+），则称直线:(0)l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“界线”．例如：直线4y x =-+是函数4(0)y x x=>的图象与抛物线2y x =-的一条“界线”．已知点(,2),(,2),(4,2),(4,2)A m B m C m D m -+-+．(1)若2m =-，在直线①3y x =+，②4y x =-+，③27y x =-+中，是函数6(0)y x x=>的图象与正方形ABCD 的“界线”的有______（填序号）；(2)若点E 的坐标是(0,4),E的半径为E 与正方形ABCD 的“界线”有且只有一条，求“界线”l 的函数关系式；(3)若存在直线2y x b =+是函数223(22)y x x x =++-≤≤的图象与正方形ABCD 的“界线”，求m 的取值范围．【例2】（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q为平面内不重合的两个点，其本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“界线”的定义与图形之间的关系，数形结合、分类讨论是解题的关键．中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．1．（2023·江苏扬州·一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠的图象顶点为P （不与坐标原点重合），以OP 为边构造正方形OPMN ，则称正方形OPMN 为二次函数2y ax bx c =++的关联正方形，称二次函数2y ax bx c =++为正方形OPMN 的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．(1)如图，直接写出二次函数2(1)2y x =+-的关联正方形OPMN 顶点N 的坐标___,并验证点N 是否为伴随点___（填“是”或“否”）：(2)当二次函数24y x x c =-++的关联正方形OPMN 的顶点P 与N 位于x 轴的两侧时，请解答下列问题：①若关联正方形OPMN 的顶点M 、N 在x 轴的异侧时，求c 的取值范围：②当关联正方形OPMN 的顶点M 是伴随点时，求关联函数24y x x c =-++的解析式；③关联正方形OPMN 被二次函数24y x x c =-++图象的对称轴分成的两部分的面积分别为1S 与2S ，若1213S S ≤，请直接写出c 的取值范围．2．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++的“衍生直线”．如图1，抛物线2y x bx c =-++与其“衍生直线”交于A ，B 两点（点B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点()3,0C -．(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A 的坐标；(2)如图2，抛物线2y x bx c =-++的“衍生直线”与y 轴交于点1D ，依次作正方形111DEFO ，正方形2221D E F F ，…，正方形1n n n n D E F F -（为正整数），使得点1D ，2D ，3D ，…，n D 在“衍生直线”上，点1F ，2F ，3F ，…，n F 在x 轴负半轴上．①直接写出下列点的坐标：1E ______，2E ______，3E ______，n E ______；②试判断点1E ，2E ，…，n E 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．3．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．抢分秘籍15 二次函数新定义型综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数新定义型综合问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

专题57 二次函数中的新定义问题专项训练(30道)(举一反三)(苏科版)(原卷版)

专题5.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，则t的取值范围为（）A．2017≤t≤2018B．2018≤t≤2019C．2019≤t≤2020D．2020≤t≤20212．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y={x(x≥0)−x(x＜0)．已知点M，N的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤54B．﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤54C．﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤54D．﹣3≤n≤﹣1或1≤n≤543．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．﹣2＜c＜14B．﹣4＜c＜94C．﹣4＜c＜14D．﹣10＜c＜944．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则a 的取值范围为（）A．0＜a＜1B．0＜a＜12C．13＜a＜12D．12＜a＜15．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b={a2−ab(a≥b)b2−ab(a＜b)，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论：①方程（2x ）*（x +1）＝0的解为﹣1和1；②关于x 的方程（2x ）*（x +1）＝m 有三个解，则0＜m ≤1； ③当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④直线y ＝kx ﹣k 与函数y ＝（2x ）*（x +1）图象只有一个交点，则k ＝﹣2； ⑤当x ＜1时，函数y ＝（2x ）*（x +1）的最大值为1．其中正确结论的序号有（） A ．②④⑤B ．①②⑤C ．②③④D ．①③⑤6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |，纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记为|M |＝|x |+|y |（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2≤|M |≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2022，则t 的取值范围为（） A ．2018≤t ≤2019 B ．2019≤t ≤2020 C ．2020≤t ≤2021D ．2021≤t ≤20227．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P （m ，n ）和点P ′（m ，n ′），给出如下新定义，若n '={|n|(当m ＜0时)n −2(当m ≥0时)，则称点P ′（m ，n ′）是点P （m ，n ）的限变点，例如：点P 1（1，4）的限变点是P ′1（1，2），点P 2（﹣2，﹣1）的限变点是P ′2（﹣2，1），若点P （m ，n ）在二次函数y ＝﹣x 2+4x +1的图象上，则当﹣1≤m ≤3时，其限变点P ′的纵坐标n '的取值范围是（） A ．﹣1≤n '＜3B ．1≤n '＜4C ．1≤n '≤3D ．﹣1≤n '≤48．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l ：y =13x +b 经过点M （0，14），一组抛物线的顶点B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ）（n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0），…A n +1（x n +1，0）（n 为正整数）．若x 1＝d （0＜d ＜1），当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．7129．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值之差为（）A ．5B ．7+√172C ．4D ．7−√17210．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P 是抛物线y ＝x 2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k 的值可以是（） A ．16B ．4C ．﹣12D ．﹣18二．填空题（共10小题）11．（2022•芦淞区模拟）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数位[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m ＝1时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2； ③当m ＝﹣1时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有．（填写所有正确答案的序号）12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足94≤n≤52时，则t的取值范围是．14．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a 的取值范围是．15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y＝ax2﹣4ax+1与其关于x轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a的取值范围．16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′={y(x≥0)−y(x＜0)，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：．18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形OABC有公共点时m的最大值是．19．（2022•郫都区模拟）定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是．20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，x+b有3个交点时，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y=13则b的值为．三．解答题（共10小题）21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是；（填序号）（1）在函数①y＝﹣x+3，②y=3x（2）设函数y=−4（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为xC．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x 轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O 是坐标原点．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．，△PBC的（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且tan∠PBC=12，求二次函数的表达式．面积为1323．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．的“1倍点”；（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中，是函数y=6x （2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；（1）分别判断函数y=5x如果不存在，说明理由；（2）写出函数y＝﹣x2+2的等值点坐标；（3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m的取值范围．25．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣5）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．v26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝6√2，MN＝4√2，且点P在点Q的下方，求a的值．27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于3，则称点P为三好点．（1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是（填写字母即可）；（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y＝2x+b经过点A，求该直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线y＝a（a＞0）与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐标；（4）若在抛物线y＝﹣x2﹣nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围．28．（2022秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是；该抛物线的“极小和”是．（2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤﹣2020，求m的取值范围．（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点A（m，2c）和点C（0，c）的“横纵和”相等，2求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若P、Q的坐标分别为（x1，y1）、Q（x2，y2），则称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为若P、Q的“绝对距离”，表示为d PQ．【概念理解】（1）一次函数y＝﹣2x+6图象与x轴、y轴分别交于A、B点．①d AB为；②点N为一次函数y＝﹣2x+6图象在第一象限内的一点，d AN＝5，求N的坐标；的图象与y轴、AB分别交于C、D点，P为线段CD上的任意一点，试说明：d AP③一次函数y=x+32＝d BP．【问题解决】（2）点P（1，2）、Q（a，b）为二次函数y＝x2﹣mx+n图象上的点，且Q在P的右边，当b＝2时，d PQ＝4．若b＜2，求d PQ的最大值；（3）已知P的坐标为（1，1），点Q为反比例函数y=3x（x＞0）图象上一点，且Q在P的右边，d PQ ＝2，试说明满足条件的点Q有且只有一个．30．（2022•开福区校级一模）定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．（1）判断：函数y＝x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y＝3|ax2+bx+c|+2．①当a＞0，c＜0时，此时的恒心值为；②若三个整数a、b、c的和为12，且ba =cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；＞m恒成立，求m的取值范围．（3）恒心函数y＝ax2+bx+c（b＞a）的恒心值为0，且a+b+ca+b。

【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中的新定义问题

【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy中，（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y ＝（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限交点，这个点是；（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题参考答案与试题解析1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．2．解：（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：a＝0，故抛物线的开口向上；（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝d，设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），①当m＝2，k＝2，且d＝时，反比例函数表达式为：y＝，设点P（x，），d＝，PH＝2，即|+x﹣2|＝2，解得：x＝2，故点P（2，2）；②PH＝t+s﹣1＝d，且st＝，则1＝2st，PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，故PB＝d．3．解：（1）∵1﹣（﹣）＝，∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）∵1﹣1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；∵1÷2＝，∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．①∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值为﹣、、或．4．解：（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝∵M（3，6）∴代入y＝ax﹣3，得6＝3a﹣3∴a＝3（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣2解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣4解得m3＝2+m3＝2﹣故m的值为2﹣、2+或2﹣②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点∴函数最大值为0当∵a＝﹣1∴抛物线开口向下∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2理由：由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣25．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．6．解：（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；故答案是：（﹣，﹣1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．故答案是：A；（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y ＝的图象上．当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．第11页（共11页）。

中考有关《二次函数新定义》题型练习

2016年中考数学二次函数综合题练习【二次函数中新定义问题】1、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．（1）下面哪个点的“关联点”在函数3y x=的图象上？（） A 、（0，0）B 、（3，－1）A 、（－1，3）D 、（－3，1）（2）如果一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2)，求点M 的坐标；（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．xyOxyOO x y D 1D 2B 3A 3D 3CA B A 2B 2A 1B 1C 2C 12、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形。

点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ， C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，t ）． ①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为；（2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线542++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；（3）如图3，已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．3、在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点．（1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0 时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围．（3）和谐点为P 的直线2+=kx y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数xny =的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+AN AM ，请直接写出n 的取值范围．yxO11yxO114、（北京房山模拟）【探究】如图1，点()N m ,n是抛物线21114y x =-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .①计算: m=0时，NH=;m =4时，NO =.②猜想: m 取任意值时，NONH (填“＞”、“＝”或“＜”).【定义】我们定义：对于平面内一个定点F 和一条不经过点F 的定直线l ，如果抛物线上任意一点到点F 的距离和它到直线l 的距离都相等，则称点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线21114y x =-的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，-1)、“准线”为l 的抛物线()221+44y x k =+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点，MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .①直接写出抛物线y 2的“准线”l ：； ②计算求值：NHMQ 11+ （2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y =33x +n 与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式.图2y xMNF O图3yxBAO图1yx l-2H ON5、如图1，抛物线2y ax bx c(a 0)=++>的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高.（1）抛物线21y x 2=对应的碟宽为；抛物线2y 4x =对应的碟宽为；抛物线2y ax =（a>0）对应的碟宽为；抛物线2y a(x 2)3(a 0)=-+>对应的碟宽；（2）若抛物线25y ax 4ax (a 0)3=-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；（3）将抛物线2n n n n n y a x b x c (a 0)=++>的对应准蝶形记为F n （n=1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比. 若F n 与F n-1的相似比为12，且F n 的碟顶是F n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1. ①求抛物线y 2的表达式② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。

新定义(解析)

解答下列问题： (1) 在平面直角坐标系中画出有向线段（有向线段与轴的长度单位相同），与轴的正
半轴的夹角是，且
．
(2) 若的终点坐标为
，求它的模及它与轴的正半轴的夹角的度数．
答案
(1) 画图见解析． (2) 的度数为．
解析 (1) 如图所示，有向线段即为所求．
(2) ∵
，
∴
，
∵
，
，
∴ 与轴正半轴夹角为，
∴ 的度数为．
考点三角形 > 锐角三角函数及解直角三角形 > 锐角三角函数
三、圆
5 2017~2018学年北京东城区东直门中学初三上学期期中第28题8分
对于平面直角坐标系中的某点和⊙ ，给出如下定义：若⊙ 上存在两个点，，使得
，则称点为⊙ 的“凤尾点”，
度为
．
(1) 回答下列问题：
1 如图，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直接写出
以下各点到图形的距离跨度：
的距离跨度
；
的距离跨度
；
的距离跨度
．
图
2 根据①中的结果，猜想到图形的距离跨度为的所有的点组成的图形的形状是
． (2) 如图，在平面直角坐标系
中，图形为以
为圆心，为半径的圆，直线
即恰好、点为圆的关联时，则
，
此时，，
故若线段上的所有点都是某个圆的凤尾点，这个圆的半径的取值范围为．
考点三角形 > 直角三角形 > 直角三角形的性质 > 30°所对的直角边是斜边的一半
6 2017~2018学年北京东城区北京五中分校初三上学期期中第27题

2023年中考数学压轴题专题22 二次函数与新定义综合问题【含答案】

专题22二次函数与新定义综合问题【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（）；②y＝﹣2x+2（）；③y＝x2（）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．5．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．6．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．7．（2022秋•海安市校级月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）判断函数y＝x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）求函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”坐标；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“等值点”时，求出m的值．8．（2022秋•长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（﹣1，1）是函数y＝﹣x图象的“1阶方点”．（1）在①（﹣1，2）；②（0，0）；③（，﹣1）三点中，是正比例函数y＝﹣2x图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点（n，n），则点（n，n）称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y＝x2+（p﹣t+1）x+q+t﹣2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．9．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：c的取值范围．（3）将函数y＝x2﹣8（x≥m）的图象记为W1，其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，W1和W2构成的整体记为W，若W恰有2个“2倍点”，请直接写出m的取值范围．10．（2022秋•通州区校级月考）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．（1）当n＝0时．①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝．11．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（﹣，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：①c的取值范围；②直接写出∠EMN的度数．12．（2022秋•汉阴县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+4交y轴于点C，顶点为D．（1）求点C、D的坐标；（2）定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（3）连接CD，点Q是第一象限直线CD上的点，过Q作QM⊥x轴，交x轴于点M，若Q 点的横坐标为x，△QMO的面积为S，求S关于x的函数解析式．13．（2022•红河州二模）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线AB与x轴，y轴分别交于A（12，0），B（0，9）两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q 从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC，求a的值．14．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＜0）与y＝kx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．15．（2022•海曙区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为，点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q 称为“靶点”．（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a ＝，b＝，c＝；（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P 的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．17．（2022•庐阳区校级三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是；（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．18．（2022•香洲区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x 轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA ＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．19．（2022•抚州模拟）我们约定[a，﹣b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“相关数”．特例感知“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为y1＝x2﹣4x+3；“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为y2＝2x2﹣5x+3；“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为y3＝3x2﹣6x+3；（1）下列结论正确的是（填序号）．①抛物线y1，y2，y3都经过点（0，3）；②抛物线y1，y2，y3与直线y＝3都有两个交点；③抛物线y1，y2，y3有两个交点．形成概念把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线y n称为“一簇抛物线”，分别记为y1，y2，y3，…，y n．抛物线y n与x轴的交点为A n，B n．探究问题（2）①“一簇抛物线”y1，y2，y3，…，y n都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．②抛物线y n的顶点为∁n，是否存在正整数n，使△A n B n∁n是直角三角形？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．③当n≥4时，抛物线y n与x轴的左交点A n，与直线y＝3的一个交点为D n，且点D n不在y轴上．判断A n A n+1和D n D n+1是否相等，并说明理由．20．（2022•兰山区二模）如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2022时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．【例1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y ＝x 2+2x ﹣3中，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴G （0，﹣3）；（2）设M （t ，t 2+2t ﹣3），则D （t ，t 2+t ﹣1），N （t ，0），∴NM ＝﹣t 2﹣2t +3，DM ＝t 2+t ﹣1﹣（t 2+2t ﹣3）＝﹣t 2﹣t +2，∴＝＝；（3）存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y ＝x 2+2x ﹣3的对称轴为直线x ＝﹣1，∵E 点与H 点关于对称轴x ＝﹣1对称，∴E （﹣2，﹣1），设F （x ，0），①当EG ＝EF 时，∵G （0，﹣3），∴EG ＝2，∴2＝，解得x ＝﹣2或x ＝﹣﹣2，∴F （﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG ＝FG 时，2＝，此时x 无实数根；综上所述：F 点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【例2】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（，）是函数y ＝x 图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y ＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y ＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，∴函数经过定点（3，1），在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或a＝﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；当抛物线经过点B时，n＝1；∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．【例3】（2022春•芙蓉区校级期末）在y关于x的函数中，对于实数a，b，当a≤x≤b且b ＝a+3时，函数y有最大值y max，最小值y min，设h＝y max﹣y min，则称h为y的“极差函数”（此函数为h关于a的函数）；特别的，当h＝y max﹣y min为一个常数（与a无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y＝2x（√）；②y＝﹣2x+2（√）；③y＝x2（×）．（2）y关于x的一次函数y＝px+q，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a≤x≤b（b＝a+3）时，写出函数y＝ax2﹣bx+4的“极差函数”h；并求4ah的取值范围．【分析】（1）①由一次函数的性质可知h＝2（a+3）﹣2a＝6，则y＝2x是“极差常函数”；②由一次函数的性质可知h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，则y＝﹣2x+2是“极差常函数”；③由二次函数的性质可知，当a+3≤0时，h＝﹣9﹣6a不是常数，则y＝x2不是“极差常函数”，（2）根据一次函数的图象及性质可得＝2，再分两种情况讨论：当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3；分别求出p、q的值即可求函数的解析式；（3）函数的对称轴为直线x＝+，由a的范围确定≤+≤，≤a+3≤，由（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣＞0，可知a+3到对称轴的距离大于a到对称轴的距离，则当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，求出h，再由a的范围确定4ah的范围即可．【解答】解：（1）①∵y＝2x是一次函数，且y随x值的增大而增大，∴h＝2（a+3）﹣2a＝6，∴y＝2x是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y＝﹣2x+2是一次函数，且y随x值的增大而减小，∴h＝﹣2a+2﹣[﹣2（a+3）+2]＝6，∴y＝﹣2x+2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y＝x2是二次函数，函数的对称轴为直线x＝0，当a+3≤0时，h＝a2﹣（a+3）2＝﹣9﹣6a；当a≥0时，h＝（a+3）2﹣a2＝9+6a；∴y＝x2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x＝0时，y＝q，∴函数与y轴的交点为（0，q），当y＝0时，x＝﹣，∴函数与x轴的交点为（﹣，0），∴S＝×|q|×|﹣|＝1，∴＝2，当p＞0时，h＝p（a+3）+q﹣（pa+q）＝3，∴p＝1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝x；当p＜0时，h＝pa+q﹣[p（a+3）+q]＝3，∴p＝﹣1，∴q＝±，∴函数的解析式为y＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y＝x或y＝﹣x；（3）y＝ax2﹣bx+4＝a（x﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x＝，∵b＝a+3，∴x＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a+3≤，∵（a+3﹣﹣）﹣（+﹣a）＝2a+2﹣，∵，∴2a+2﹣＞0，∴a+3到对称轴的距离，大于a到对称轴的距离，∴当x＝a+3时，y有最大值a（a+3）2﹣（a+3）2+4，当x＝时，y有最小值4﹣＝4﹣，∴h＝a（a+3）2﹣（a+3）2+4﹣4+＝（a+3）2（a﹣1+），∴4ah＝（2a2+5a﹣3）2，∵2a2+5a﹣3＝2（a+）2﹣，，∴≤2a2+5a﹣3≤9，∴≤4ah≤81．【例4】（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设x＝﹣a，y＝﹣a2﹣a+3，可得y＝﹣x2+x+3；（2）ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，由k＝（2+h）2，可得y＝（x+2）2；ⅱ）C（2，4）在y＝（x+2）2上，则C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧不符合题意．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），∴k＝（2+h）2，令x＝h，y＝k＝（2+h）2，∴y＝（x+2）2；ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝（x+2）2上，∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；设C'（m，m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（m2+m+1﹣4）2，解得m＝﹣4﹣2或m＝﹣4+2（舍），∴C（﹣4﹣2，6+2）；当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．一．解答题（共20题）1．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为y＝﹣x﹣7．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝6．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．【分析】（1）①由相关函数的定义，将y＝﹣x+7旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7；②先求出二次函数的相关函数，然后求出相关函数，再把点A代入，即可得到答案；（2）两函数顶点关于点P中心对称，可用中点坐标公式获得点P坐标，从而获得m的值；（3）先确定相关函数，然后根据m的取值范围，对m进行分类讨论，以对称轴在给定区间的左侧，中部，右侧，三种情况分类讨论，获得对应的m的值．【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±（不合题意，舍去）；③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．2．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝﹣1；若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝3或﹣1；（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c ＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的＝x的根为：x1＝x2系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；（3）先由“梅岭点”的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，∴p＝3m+6＝3，解得：m＝﹣1，∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，∴m＝，整理得：m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣1，经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，∴m＝3或﹣1；故答案为：﹣1；3或﹣1；（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．∴b﹣1＝4，c＝4，∴b＝5，∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），∴c＝2，∴y＝ax2+bx+2，∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵|x1﹣x2|＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，∵|x1﹣x2|＝2，∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，∵﹣1＜x1＜1，∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3∴﹣3＜x1•x2＜3，∴﹣3＜＜3，∵a＞0，∴a＞，∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，∴．3．（2022•梁子湖区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（2，2）是函数y＝2x﹣2的图象的“等值点”．（1）函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；函数y＝x2﹣3x的图象的“等值点”坐标是（0，0）或（4，4）；（直接填结果）（2）设函数y＝，y＝﹣x+b图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为4时，求b的值．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函y＝的图象上有“等值点”A（2，2），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为4可得×|b|×|2﹣b|＝4，分类求解即可．【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝2x+2，解得x＝﹣2∴函数y＝2x+2的图象的“等值点”坐标是（﹣2，﹣2）；在y＝x2﹣3x中，令x2﹣3x＝x，解得：x1＝0，x2＝4，∴函数y＝x2﹣3x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（4，4）；故答案为：（﹣2，﹣2）；（0，0）或（4，4）；（2）在函数y＝中，令x＝，解得：x＝2，∴A（2，2），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为4，∴×|b|×|2﹣b|＝4，当b＜0时，b2﹣4b﹣32＝0，解得b＝﹣4，当0≤b＜2时，b2﹣4b+32＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×32＝﹣112＜0，∴方程b2﹣4b+32＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣4b﹣32＝0，解得：b＝8，综上所述，b的值为﹣4或8．4．（2022•洛阳模拟）定义：如果两个函数代入同一个自变量，可以得到两个相等的函数值，我将这样的函数称为“凤凰函数”，对应的自变量的值称为这两个函数的“凤凰根”．（1）函数y1＝﹣x+m与y2＝﹣是否互为“凤凰函数”？如果是，求出当m＝1时，两函数的“凤凰根”；如果不是，请说明理由．（2）如图所示的是y＝|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝x2+2x的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝﹣x+m与y2＝|x2+2x|互为“凤凰函数”，且有两个“凤凰根”，求m的取值范围．。

《二次函数专题提优》：新定义问题

《二次函数专题提优》：新定义问题1、定义{a ，b ，c }为函数y =ax 2+bx +c 的“特征数”．如：函数y =x 2-2x +3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y =2x +3的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0}（1）、将“特征数”是{0，√33，1}的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是y =√33x −1；（2）、在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线x =√3分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）、若（2）中的四边形与“特征数”是{1，−2b ，b 2+12}的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．2、定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）、已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）、已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①、当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②、当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）、在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．3、定义：对于抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠），若2b ac =，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：2222y x x =-+是黄金抛物线．（1）、请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）、若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（说明理由）；（3）、将黄金抛物线2222y x x =-+沿对称轴向下平移3个单位.①、直接写出平移后的新抛物线的解析式；②、设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4、定义：如图①，抛物线y ＝ax ²＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 在该抛物线上(P 点与A 、B 两点不重5、在平面直角坐标系中，我们把直线y=ax+c 称为抛物线y=ax ²+bx+c 的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y=x ²-2的生成线是直线y=x-2，生成点是：（0，-2）和（1，-1）．（1）、若抛物线y=mx ²-5x-2的生成线是直线y=-3x-n ，求m 与n 的值．（直接写出答案即可）（2）、已知：抛物线y=x2-3x+3的图象如图所示，若它的一个生成点是（m ，m+3）．①、求m 的值；②、若抛物线y=x ²+px+q 的图象是由抛物线y=x ²-3x+3的图象平移所得（不重合），且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y=x2-3x+3的生成点为点A ，点B ，y=x2+px+q 的生成点为点C ，点D ，则AB=CD ．求p 与q 的值．6、在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax －a 为抛物线y=ax2+bx+c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线32x 334x 332y 2+=－－与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C ．(1)、填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A 的坐标为，点B 的坐标为；(2)、如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；(3)、当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．6、设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{-1，-1}=-1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）、max{5，2}=5，max{0，3}=3；（2）、若max{3x+1，-x+1}=-x+1，求x的取值范围；（3）、求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-x+2，x²-2x-4}的最小值．7、如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”．（1）、直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点．（2）、二次函数y=2（x+2）2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；二次函数y=a（x-h）2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；（3）、平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．8、在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．8、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．（1）、已知抛物线的焦点F（0，14a14a），准线l：y=−14ay=−14a，求抛物线的解析式；（2）、已知抛物线的解析式为：y=x2-n2，点A（0，14−n214−n2）（n≠0），B（1，2-n2），P为抛物线上一点，求：PA+PB的最小值及此时P点坐标；（3）、若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．9、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图1中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，3333D C B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形3333D C B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）、如图1，已知A （-2，0），B （4，3），C （0，t ）．①、若t=2，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为___；②、若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为___；（2）、如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线y=-x2+4x+5上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；x的一个面积最小的最佳外延矩形， H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出 H 的半径r 的取值范围．。

初中数学精品教案：新定义函数类问题》微设计

《新定义函数类问题》微设计学习目标:1.体会新定义函数问题研究的基本方法：阅读－理解－辨析－应用；2.巩固二次函数的顶点式，交点式，对称性以及图象的平移等核心知识，尝试与其它几何图形的综合应用；3.体会函数建模、几何直观和数形结合等数学思想方法.学习重点：掌握研究新定义函数问题研究的基本方法，巩固函数的相关知识.学习难点：对新定义的阅读－理解－辨析－应用的过程.教学过程：一、认识问题例1.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？分析：阅读题意可知，特征数[p，q] 中的p,q分别是二次函数的一次项系数和常数项，且二次项系数为1，所以已知“特征数”就确定二次函数的解析式，已知解析式同样也就有了相应的“特征数”，要研究二次函数的平移问题，只需化为顶点式即可.xyA BD CO xyA BD CO 练1．定义{a ，b ，c }为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的“特征数”．如：函数y ＝x 2－2x ＋3的“特征数”是{1，－2，3}，函数y ＝2x ＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y ＝－x 的“特征数”是{0，－1，0}（1）将“特征数”是30,,13⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3x =分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值范围．分析：（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．（2）判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB ＝2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC ＝2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长＝2×4＝8；（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y ＝(x －b )2＋21，确定二次函数的图象不会经过点B 和点C ，再将菱形顶点A （0，1），D ()2,3代入二次函数解析式得出实数b 的取值范围．解析：（1）y ＝313x -，“特征数”是3013,,⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的函数，即y ＝313x +，该函数图象向下平移2个单位，得y ＝313x -．（2）由题意可知y ＝313x +向下平移两个单位得y ＝313x - ∴AD ∥BC ，AB ＝2．∵3x =，∴AB ∥C D ．∴四边形ABCD 为平行四边形．3313x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得C 点坐标为（3，0），∴D （3，2）由勾股定理可得BC ＝2，∵四边形ABCD 为平行四边形，AB ＝2，BC ＝2∴四边形ABCD 为菱形．∴周长为8．所以二次函数的图象不会经过点B 和点C ．设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点A 时，将A （0，1），代入二次函数， 2)，代入二次函数，二、问题拓展分析：本题（1）可以取任意一个确定的m 的值都可以得到一对对应的兄弟抛物线，第（2） ①对照兄弟抛物线的定义即可求b ，第（2） ② 则可以通过图象数学结合的进行分析求解. 解答：（1）当m ＝0时，得到一对兄弟抛物线， y ＝x (x ＋1)与y ＝x (x －1)；（2）①y ＝x 2－x ＝x (x －1)．情况一：若y ＝x (x －1)是形如y ＝(x －m )(x －m ＋1)，则m ＝1，则另一个函数为y ＝(x －1)(x －2)，即y ＝x 2－3x ＋2，b ＝3．情况二：若y ＝x (x －1)是形如y ＝(x －m )(x －m －1)，则m ＝0，则另一个函数为y ＝x (x ＋1)，即y ＝x 2＋x ，与已知矛盾．综上，所以b ＝3．②y ＝x 2－3x ＋2的图象可以看作是由y ＝x 2－x 的图象向右平移1个单位得到，如图．如果k ＞0，则点A 与点B 是平移对应点，AB ＝1， ∵点B ，点C 为线段AD 三等分点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝13AD ＝1，即BC ＝1；如果k ＜0，则点A 与点C 是平移对应点，AC ＝1，∵点B ，点C 为线段AD 三等分点，∴AB ＝BC ＝12AC ＝12，即BC ＝12．故线段BC 的长为1或12．练2.在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：形如y ＝a (x －m )2＋a (x －m )与y ＝a (x －m )2－a (x －m )的两个二次函数的图象叫做“姐妹抛物线”．（1）试写出一对姐妹抛物线的解析式；（2）判断二次函数y ＝x 2－x 与y ＝x 2－3x ＋2的图象是否为姐妹抛物线，如果是，求出a 与m 的值，如果不是，请说明理由；（3）若一对姐妹抛物线各自与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线2x =且开口向上，请直接写出这对姐妹抛物线的解析式．分析：本题为例2的练习题，提取公因式后即转化为例2形式，所以解答的方法与例2相似，第（3）问则根据抛物线的对称性结合直角三角形，易得为等腰直角三角形，从而得顶点坐标，进而得解.解答：（1）不妨令a ＝1，m ＝1，则得此时的兄弟抛物线为： y ＝ (x －1)2＋ (x －1)＝x 2－x 与y ＝ (x －1)2－(x －1)＝x 2－3x ＋2. （2）由（1）可知a ＝1，m ＝1. 当然也可以将两个二次函数分别化为：y ＝x 2－x ＝ (x －1)2＋ (x －1) ，y ＝x 2－3x ＋2＝ (x －1)2－(x －1) ，所以a ＝1，m ＝1. （3）y ＝a (x －m )2＋a (x －m )可化为y ＝a (x －m ) (x －m ＋1)； y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 可化为y ＝a (x －m ) (x －m －1)，不妨令y ＝a (x －m ) (x －m ＋1)的对称轴为直线2x =，所以m ＋m －12＝2，所以m ＝52，所以y ＝a (x －52 ) (x －32 )，又抛物线与x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，所以顶点为（2，－12），将顶点代人抛物线得a ＝2，所以y ＝2(x －52 ) (x －32)，当m ＝52时得姐妹抛物线为y ＝2(x －52) (x － 72 )，当m ＝32 时得姐妹抛物线为y ＝2(x －32) (x － 12 ).三、感悟提升。

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专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用图4－ZT－11．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________．3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图4－ZT－2►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．图4－ZT－36．2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图4－ZT－4所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．图4－ZT－47．2017·随州在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－2 33x 2－4 33x ＋2 3与其“梦想直线”交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C .(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A 的坐标为________，点B 的坐标为________．(2)如图4－ZT －5，M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标．(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT －5► 类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．2017·郴州设a ，b 是任意两个实数，用max{a ，b }表示a ，b 两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x ＋1，－x ＋1}＝－x ＋1，求x 的取值范围；(3)求函数y ＝x 2－2x －4与y ＝－x ＋2的图象的交点坐标，函数y ＝x 2－2x －4的图象如图4－ZT －6所示，请你在图中作出函数y ＝－x ＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值．图4－ZT －6详解详析1．(1，0) [解析] 解x 2－2x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3，所以抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，所以AB ＝4，所以点M 的坐标为(1，0)．2．8 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －4是“偶函数”，∴－b 2×1＝0，∴b ＝0， ∴函数表达式为y ＝x 2－4，令y ＝0，则x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴A (－2，0)，B (2，0)，∴AB ＝2－(－2)＝4.令x ＝0，则y ＝－4，∴点P 的坐标为(0，－4)，∴△ABP 的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(答案不唯一)(2)y ＝2(x －2)2＋1 y ＝a (x ＋h )2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC ＝6，顺次连结点A ，B ，O ，C 得到一个面积为24的菱形，得OA ＝8，点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4，将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝49，故y ＝49(x ＋3)2＋4，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4. 根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝－49(x ＋3)2－4和y ＝－49(x －3)2－4. 4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y ＝－(x 2－2bx ＋b 2)＋b 2＋c ＋1＝－(x －b )2＋b 2＋c ＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b ，b 2＋c ＋1)．因为抛物线过定点M (1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b ＋c ＋1＝1，解得c ＝1－2b ，则顶点纵坐标b 2＋c ＋1＝b 2＋1－2b ＋1＝(b －1)2＋1，所以当b ＝1时，b 2＋c ＋1的值最小为1，此时c ＝1－2b ＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x .5．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)．(2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A (0，0)．如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G .∵点P的坐标为(1，3)，∴AG＝1，PG＝3，P A＝AG2＋PG2＝12＋（3）2＝2，∴∠P AG＝60°，∴AB＝2P A＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－3 3，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋4 33x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋4 33x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋4 33x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m 2－4m ＝0，解得m ＝0或4.②∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 是由抛物线y ＝x 2－3x ＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q ＝3.∵抛物线y ＝x 2－3x ＋3与它生成线y ＝x ＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB 2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y ＝x 2＋px ＋3与它生成线y ＝x ＋3的生成点为(0，3)，(1－p ，4－p )， ∴CD 2＝(1－p －0)2＋(4－p －3)2＝2(1－p )2.∵AB ＝CD ，∴2(1－p )2＝32，∴p ＝5或－3.∵抛物线y ＝x 2＋px ＋3与抛物线y ＝x 2－3x ＋3不重合，∴p ＝－3不合题意，应舍去，∴p ＝5.7．解：(1)y ＝－2 33x ＋2 33(－2，2 3) (1，0) (2)∵抛物线与x 轴负半轴交于点C ，∴C (－3，0)．过点A 作AG ⊥y 轴，垂足为G . 当点N 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”．设N (0，n )，∵A (－2，2 3)，C (－3，0)，∴AC ＝13，∴AN ＝AC ＝13.在Rt △AGN 中，AG 2＋GN 2＝AN 2，AG ＝2，GN ＝|n －2 3|，∴4＋(n －2 3)2＝13，解得n ＝2 3－3或n ＝2 3＋3.设M (m ，0)，当n ＝2 3－3时，在Rt △MNO 中，(2 3－3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2－2 3；当n ＝2 3＋3时，在Rt △MNO 中，(2 3＋3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2＋2 3. ∵－3＜m ≤1，∴m ＝2＋2 3不合题意，舍去．∴m ＝2－2 3，此时n ＝2 3－3，∴N (0，2 3－3)；当点M 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”，此时点M 与点O 重合，在Rt △AGM 中，AG ＝2，GM ＝2 3， ∴AG GM ＝33，∴∠AMG ＝30°， ∴∠AMC ＝∠AMN ＝∠NMB ＝60°.过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，在Rt △NMP 中，MN ＝CM ＝3，∴NP ＝3 32，OP ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3 32. 综上所述，点N 的坐标为(0，2 3－3)或⎝⎛⎭⎫32，3 32. (3)E 1⎝⎛⎭⎫－1，－4 33，F 1⎝⎛⎭⎫0，2 33； E 2⎝⎛⎭⎫－1，－4 33，F 2⎝⎛⎭⎫－4，10 33. 8．解：(1)5 3(2)由题意可得3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.(3)由题意得⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2－2x －4，解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y ＝－x ＋2的图象如图所示．由图象可知：当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x－4}有最小值－1.。