二次函数新定义问题

专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题

►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用

图4－ZT－1

1．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.

2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________．

3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．

(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．

(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．

(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．

图4－ZT－2

►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究

4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．

(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；

(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．

5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．

(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；

(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．

图4－ZT－3

6．2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．

(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．

(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图4－ZT－4所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．

①求m的值．

②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：

一是这两个抛物线具有相同的生成线；

二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.

求p与q的值．

图4－ZT－4

7．2017·随州在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y ＝－2 33x 2－4 33

x ＋2 3与其“梦想直线”交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C .

(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A 的坐标为________，点B 的坐标为________．

(2)如图4－ZT －5，M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标．

(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．

图4－ZT －5

► 类型之三 概括型：阅读——理解——概括——拓展

8．2017·郴州设a ，b 是任意两个实数，用max{a ，b }表示a ，b 两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：

(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；

(2)若max{3x ＋1，－x ＋1}＝－x ＋1，求x 的取值范围；

(3)求函数y ＝x 2－2x －4与y ＝－x ＋2的图象的交点坐标，函数y ＝x 2－2x －4的图象如图4－ZT －6所示，请你在图中作出函数y ＝－x ＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值．

图4－ZT －6

详解详析

1．(1，0) [解析] 解x 2－2x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3，所以抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，所以AB ＝4，所以点M 的坐标为(1，0)．

2．8 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －4是“偶函数”，

∴－b 2×1

＝0，∴b ＝0， ∴函数表达式为y ＝x 2－4，

令y ＝0，则x 2－4＝0，

解得x 1＝－2，x 2＝2，

∴A (－2，0)，B (2，0)，

∴AB ＝2－(－2)＝4.

令x ＝0，则y ＝－4，

∴点P 的坐标为(0，－4)，

∴△ABP 的面积＝12

×4×4＝8.