必修一函数的奇偶性

函数的奇偶性

一、函数奇偶性的判断

例题：判断下列函数的奇偶性。

（1）();3

342

-+-=x x x f （2）();4422x x x f -+-=

（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=.012

1,012122x x x x x f （4）()1

222++=x x x x f

练习：判断下列函数的奇偶性

（1）()2

22--=x x x x f ； （2）()()x

x x x f -+-=111； （3）()12-+=x x x f ；

（4）()()()()

⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0320003222x x x x x x x x f .

二、函数奇偶性的性质运用

1、设函数()x f ，()x g 的定义域都为R ，且()x f 是奇函数，()x g 是偶函数，则()x f ()x g 是 ；()()x g x f 是 ；()()x g x f 是 ；

2、函数()的图象关于x

x x f 2

3-= 对称； 3、若函数()x f 是定义在R 上的奇函数，则下列坐标表示的点一定在()x f 图象上的是（ ）

()()a f a A -,. ()()a f a B --,.

()()a f a C ---,. ()()a f a D -,.

例题：已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当时，0>x ()x x x f 22-=，

（1）求出函数()x f 在R 上的解析式；

（2）画出函数()x f 的图象。

练习1已知函数()x f 是R 上的奇函数，当()()时，当时，0,10<+-=>x x x x f x ()x f 等于

练习2.已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，当()23,20x x x f x +=<时， 求.0的解析式>x

练习3.已知函数()x q px x f 322-+=是奇函数，且()3

52-=f ，求函数()x f 的解析式.

练习4.已知函数()b a bx ax x f +++=32是偶函数，且定义域为[]=-a a a ，则2,1 ，=b .

三、函数奇偶性与单调性的综合运用

例题：定义在[]22，

-上的偶函数()x f ，当时0≥x ，对任意的[)()2121,0,x x x x ≠+∞∈，有()(),02

121<--x x x f x f 若()()m f m f <-1成立，求m 的取值范围.

练习1（1）若奇函数()x f 是定义在R 上的增函数，求不等式 ()()0312<+-f x f 的解集.

（2）若()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)∞+，0上是增函数，求

不等式()()0312<---f x f 的解集.

练习2设函数()x f 的定义域为R 上的偶函数，当[)+∞∈,0x 时，()x f 是增函数，则

()()()3,,2--f f f π的大小关系是 .

四、抽象函数的奇偶性证明

例题：已知函数()x f 的定义域为R ，当()()().,y f x f y x f R y x +=+∈时，恒有

（1）求()0f 的值；

（2）求证：()x f 时奇函数.

练习1.已知函数()()0≠∈=x R x x f y 且对任意实数21,x x 满足()()().2121x x f x f x f =+

（1）求()()的值；和11-f f

（2）求证：()x f y =为偶函数.