矩阵分析与应用课件_张贤达_第11讲(2010)

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矩阵及其应用ppt课件

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线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义,第三页中的线性方 程组可以表示成:
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵,x是列向量
[x1, x2, ..., xn],y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时,A是n阶方阵,如果A可逆,那么:
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m,计算Am。其中n 不超过50,m不超过1000000。
方阵的幂(二)
• 已知n阶方阵A和正整数m,计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50,m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图,问从A点恰好经过k步 (允许多次经过同一条边)走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50,边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m,计算xm的值。(n不超过50,m 不超过1000000)
数乘矩阵
类似地,矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵:
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组:
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

矩阵分析与计算--01-线性空间

矩阵分析与计算--01-线性空间

《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社,2004年9月
矩阵与计算工具:MATLAB, MAPLE,LAPACK … 编程语言:C/C++, C#, Fortran,Java
14
矩阵分析与计算
考核方式:

闭卷考试:65%
课堂讨论,小报告: 35% 作业抽查,应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数 学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特(1814-1897)首先使用的,他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究,他和凯莱、哈 在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念, 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面.他的成就主要在代数方面,他同凯莱一起
18
本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
19
一、线性空间

几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想: 抽象出线性运算的本质,在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点:


集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@ (民) 2011年9月
1

本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1)线性代数主要内容 2)有什么用?工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么?

矩阵的实际应用ppt课件

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应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据:
(1) 每一季度中每一类成本的数量; (2) 每一季度三类成本的总数量; (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中


2
2
1

44
52



3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表:
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action.
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A(密钥),则可得到不同的密文。
如: 选择可逆矩阵
1 2 3
A


应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识,这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码,尚未转换成 密码的文字信息称为明文,由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密,反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年,希尔(Hill)通过矩阵理论对传输信息进行加密处理,提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0


0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年,此关系保持不变,因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入:A[0.94,0.02;0.06,0.98],

矩阵分析课件

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VS
求解技巧
通过求解特征多项式|λE-A|=0的根,可以 得到矩阵A的特征值。对于具体的求解过 程,可以采用行列式性质、降阶法、因式 分解等方法进行化简和计算。
对角化条件及判别方法
对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
判断一个矩阵是否可以对角化,可以通过求解其特征值和特征向量,然后判断是否有n个线性无关的特征向量。 如果存在n个线性无关的特征向量,则矩阵可以对角化;否则,矩阵不能对角化。
特殊类型矩阵介绍
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素都是零的方阵称为对角 矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O 。
单位矩阵
主对角线上的元素都是1,其余元素都是0的 方阵称为单位矩阵,记作I。
02
矩阵变换与等价性
初等变换及其性质
初等行变换
对调两行、以数乘某一行、把某一行的倍数加到另一 行
迭代法
通过构造迭代格式,从初始近似值出发逐步逼近精确解的方法。优点是可以利用计算机进行大规模计 算,对于大型稀疏矩阵方程组有较好的适用性;缺点是收敛性和收敛速度受初始值、迭代格式等因素 影响。
直接法
通过有限步四则运算直接求得精确解的方法,如高斯消元法、克拉默法则等。优点是理论上可以求得 精确解;缺点是对于大型方程组计算量大、存储空间需求高。
线性方程组表示形式
一般形式
Ax = b,其中A为系数矩阵,x为未知数列向量,b为常数列向 量。
增广矩阵形式
[A|b],将系数矩阵A和常数列向量b合并为一个增广矩阵。
向量形式
线性方程组可以表示为向量形式的线性组合,即x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b,其中ai为系数矩阵A的列向量。

矩阵分析(1)32页PPT

矩阵分析(1)32页PPT

dim(V1 V2 ) dimV1 dim V2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 WV1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, yW,则 x, yVi ,所以
xy V i, i1,2
又 P, xW
x Vi
xW
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,bR V2 0 0 c 0 cR V3 0 d e 0 a,bR
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合
数集
Q
有理数集 Q 实数集 R 复数集 C
QRC
C
数域
Q
复数集合中的任意非空子集合P含有 非零的数,且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合P,则称数集P 为一个数域。(注意0和1)
有理数域 Q
1 线性空间的概念
实数域 R
复数域 C
第一章 线性空间与线性变换
如果这两个运算满足如下八条规则,就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任 意 , P ,任 意 x ,y ,z V ,及 零 元 素 V
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
八条规则
附带性质
交换律 结合律 零元素 负元素 单位元 交换律 分配律 分配律
x y y x;
第一章 线性空间与线性变换 第二章 内积空间 第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 第四章 矩阵函数及其应用
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 第六章 非负矩阵
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念 §2 基变换与坐标变换 §3 子空间与维数定理 §4 线性空间的同构 §5 线性变换的概念 §6 线性变换的矩阵表示 §7 不变子空间

矩阵分析与应用 第1章

矩阵分析与应用 第1章

矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示:线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言,它是表示复杂系统的有力工具。

学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系,培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。

定义一个矩阵有几种方式:可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵,也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。

如:对称矩阵可以定义为:a ij=a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为:Ax= f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。

3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。

反之,一幅灰度图像本身就是矩阵。

图像压缩就是矩阵的表示问题. 这时矩阵相邻元素间有局部连续性,既相邻的元素的值大都差别不大。

4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示,使得用矩阵表示的问题显得简单清楚,直观,易于理解和交流。

很多二元关系很直观的就表示为矩阵,如关系数据库中的属性和属性值,随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵,图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。

第一章:线性空间和线性变换1.线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念,但没有严格的定义。

集合与其说是一个数学概念,还不如说是一种思维方式,即用集合(整体)的观点思考问题。

整个数学发展的历史就是从特殊到一般,从个体到整体的发展历程。

集合的运算及规则,两个集合的并、交运算以及一个集合的补;集合中元素没有重合,子集,元素设S,S'为集合映射:为一个规则σ:S → S', 使得S中元素a和S'中元素对应,记为a'=σ(a),或σ:a→a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。

映射的原象,象;映射的复合。

满射,单射,一一映射。

Kronecker乘积清华大学《矩阵分析》讲义张贤达

Kronecker乘积清华大学《矩阵分析》讲义张贤达

么 A ⊗ B 的 mp 个特征值为 λi µ j (i = 1,2L, m; j = 1,2.L, p).
证 由第三章§2 知,A 与 B 一定与 Jordan 标准形相似,即存在可逆矩阵 P 与 Q,使得
λ

P −1 AP
=
J1
=
O
,
0
λm
Q −1BQ
=
J2
=
µ1
O

0
µ p
即有
例 1—1

A
=
a c
b d
,
B
=
xy,
那么
A

B
=
aB cB
ax
bB dB
=
ay cx
cy
bx by dx
dy 4×2
xa
B

A
=
xA yA
=
xc
ya
yc
xb ac
xd
=
cx
yb ay
yd cy
bx dx by
dy 4×2
由这个例子可以看出, A ⊗ B 与 B ⊗ A 一般不是同一矩阵,即 Kronecker 积不满足交换律,但它们的阶
p
∑ = aij (Ai ⊗ B j )(xr ⊗ ys ) i, j=0
p
∑ = aij (Ai xr ⊗ B j ys ) i, j=0
7
p
∑ =
aij λir
µ
j s
xr

ys
i, j=0
= f (λr , µs )xr ⊗ ys
证毕
特别地,若取 f (x, y) = xy ,则有

矩阵分析与应用

矩阵分析与应用

j 2 (i1)
M N , ai e N
A
a1
...
a2
...
aN
... ... ...
a1M
1
aM 1 2
...
aNM
1
Hadamard矩阵:CDMA
稀疏矩阵:稀疏表示
绝大多数元素为零 极少数元素非零
1 1 1 1
Hardmard4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1
矩阵分析与应用
线性代数:以矩阵元素为单元的分析 矩阵分析:以矩阵为单元的分析,训练矩阵的
各种基本运算 矩阵分析基本运算:
加法,乘法,逆矩阵 矩阵求导,矩阵积分 特征值,特征向量 …
1
线性代数:矩阵基本知识
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵运算:加法,乘法
AMNBNK CMK
a11 a12 ... a1N
A
AAT =I, A*conj(AT) =I
Toeplitz矩阵,循环矩阵:ISI信道
A = [ai,j], ai,i+n仅仅与n有关
1 2 3 4
A
0
1
1 0
2 3 1 2
2 1 0 1
5
特殊矩阵
Vandermonde矩阵:多项式拟合
Fourier矩阵: Fourier变换 1 1 ... 1
A
F
M m1
N
| amn
n1
|2 1/ 2
a1
a2
...
aN
矩阵标量函数
二次型,迹,行列式,秩
逆矩阵,广义逆矩阵
不可逆矩阵 广义逆矩阵
信号空间 信号空间基

矩阵分析与应用教学介绍PPT课件

矩阵分析与应用教学介绍PPT课件
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需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练,佛家所 谓的“修”;
悟有感悟,体悟,顿悟;
修有“修养、修炼”
悟需要天份,机遇;
修只要勤奋,刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题?不管
你能否解决它?你如何想到这个问题的,问题的
背景是什么?
怎么分析的,考虑解决问题的
出发点在哪里?解决问题的难点在哪里?
基• 本计算计方算法设计的原理是什么?
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术,考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限,输入数据x 精确, 计算过程由于截断误差影响不精确, 因此输出结果有误差;
用函数映射的语言就是:xf(x) (x精确, f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确, 但是输入x有误差,
• 用函数映射的语言就是: • 求x,使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看!
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握,定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明),证明细节留给大家)。

矩阵分析课件

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1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的
线性组合.
四、基变换和坐标变换
讨论:
不同的基之间的关系
同一个向量在不同基下坐标之间的关系
基变换公式 设空间中有两组基:
矩 阵
i1 j1
度量矩阵的性质:
A
定义内积 在一个基{1,2,…, n }中定义内积 定义一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1 标准正交的向量组:
定义:
{1,2,…,n}为正交组(i,j ) =0 性质:
2 标准正交基
基{1,
2,…,n}是标准正交基
(i, j)=
1 0
i j i j
标准正交基的优点:
零空间 N(T)={:Vn(F ) ,T ( ) =0 }
定义:பைடு நூலகம்T 的秩=dim R(T); T 的零度=dim N(T)
例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象 空间和零空间。
R(TA)=R(A);N(TA)=N(A)
4 线性变换的运算 设们构T1,成T的2新都的是变空换间:Vn(F)中的线性变换,常见的用它
例3 子空间W的“直和补子空间”
1·2 内积空间
主题:定义内积的概念,借助于内积建立线性 空间的度量关系。
一、 欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量关系的定义基础 2 内积的定义 定义1·7 (P13) :要点 • 内积(,)是二元运算:Vn(F) F • (,)的公理性质 • (,)是任何满足定义的运算。 • 讨论(,1+2), (,k)

矩阵分析及其应用

矩阵分析及其应用

第五章 矩阵分析及其应用知识要点:1、矩阵序列(收敛性,有界性,四则运算,收敛矩阵)2、矩阵级数(绝对收敛,幂级数,收敛半径)3、矩阵函数(定义,利用Cayley Hamilton -定理的级数求和法,利用Jordan 标准型的相似变换法,利用矩阵谱的待定系数法)4、矩阵微积分(单变量函数矩阵的微分与积分,矩阵函数的微分与积分,矩阵指数函数)5、矩阵分析的应用(常系数线性微分方程组,变系数线性微分方程组,2元信号检测,匹配滤波,梯度分析与最优化)§5.1 矩阵序列一、矩阵序列收敛的概念定义1:设有矩阵序列()(),1,2,k n nk ij A a Ck ⨯=∈= ,若当k →∞时,0k A A -→,则称矩阵序列{}k A 收敛于极限()n nij A a C ⨯=∈,记作k A A →。

不收敛的矩阵序列称为发散的。

定理1:k A A →的充要条件是()k ij ij a a →,即按元素位置收敛。

注:若以定理的结论为矩阵序列收敛的定义,则有结论:存在某矩阵范数⋅,使得k →∞时,0k A A -→。

推论1:0k A →的充要条件是()0k ij a →。

二、矩阵序列收敛的性质性质:设k A A →,k B B →,则有 1、,C αβ∀∈,k k A B A B αβαβ+→+; 2、k k A B AB →;3、11k A A --→(假设1A -存在)。

定义2:如果存在常数0M >,使得对一切k 都()k ij a M <,则称矩阵序列{}k A 有界。

定理2:收敛的矩阵序列必有界。

定理3:有界矩阵序列{}k A 必有收敛的子序列{}s k A 。

定理4:矩阵序列{}k A 有界的充分必要条件为存在常数0M >,使得k A M ≤。

三、收敛矩阵定义3:设A 为方阵、且当k →∞时有0k A →,则称A 为收敛矩阵。

定理5:0k A → (k →∞)的充要条件是A 的谱半径()1A max ρλ=<,即所有特征值的模小于1。

矩阵分析PPT课件

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(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化,数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22

2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:

矩阵的应用PPT优质资料

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n n-1 n-1
Fibonacci序列的矩阵求法
Fibonacci序列的矩阵求法
求上述方程的k个根(特征根),得:
通解可以用前面的方法求得,特解一般需要猜测得到。
考虑1×3的矩阵[Fn-1,Fn-2,1]
能否找到一个2×2的矩阵A,使得
常系数线性非齐次递推关系
如果Fn=Fn-1+Fn-2+1,如何求得Fn?
非齐次递推关系的特解
经验性的特解列表 若没有重根( ri ≠ rj , i ≠ j ),则递推关系的解为:
则称{hn}满足常系数线性齐次递推关系
考虑1×2的矩阵[Fn-1,Fn-2]
求解常系数线性齐次递推关系 Fibonacci序列的矩阵求法
bn
hn
下面不加证明地给出一般常系数线性齐次递推关系的解法
但是对于我们来说,它的价值却不像数学 中那样大
它有如下局限性:
1、需要求解k阶方程 2、求出的k个根不一定都是实根 3、精度误差 4、……
矩阵的乘法
设 A=(aij)是一个m×s的矩阵,B=(bij)是 一个s×n的矩阵,即A的列数等于B的行 数,规定A与B的乘积C=AB是一个m×n 的矩阵,且有: 其第i行第j列的元素Cij等于A的第i行各元 素与B的第j列对应元素的乘积的和
常系数线性齐次递推关系
若数列a1,a2,…,ak均为常数,bn=0 则称{hn}满足常系数线性齐次递推关系 竞赛中经常遇到求解常系数线性齐次递推
关系的问题 下面不加证明地给出一般常系数线性齐次
递推关系的解法 下面以求解Fibonacci数列Fn为例说明此
解法
求解常系数线性齐次递推关系
将递推关系写成:
hn + a1hn-1 + a2hn-2 + … + akhn-k =0 的形式
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3
66
2
V x ∈ V, k ∈ K
kx ∈ V
e f g h
k (x + y ) = k x + k y (k + l )x = k x + l x k (lx) = (kl)x 1 · x = x. V K V 1 V V K V K C
V
4 66
R V
2
1
R+ m R+ R n = mn, k ◦ m = mk
θ ( x, y ) x
θ(x, S ) = min θ(x, y )
y∈ S
24
66
17 H x θ (H , S ) = S min θ ( x, y )
H
S
x∈ H , y ∈ S
18
S1
S2
i
φi(S1, S2) = arccos max max uHv = arccos(uH i v i) 2 Hu∈S1 v∈S H u u = v v=1 s.t. uHuj = 0, j = 1, 2, · · · , i − 1 H v v j = 0, j = 1, 2, · · · , i − 1 ui vi φi ( 19 S1 S2 i ) u 1
15 66
S1 + · · · + Sn = {x|x = x1 + · · · + xn, x1 ∈ S1, · · · , xn ∈ Sn} 11 S = S1 ⊕ · · · ⊕ Sn x = x1 + x2 + · · · + xn
x∈S xi ∈ Si
4 S
S1, S2
K
dim(S1 + S2) = dimS1 + dimS2 − dim(S1 ∩ S2) dimS1 = n1, dimS2 = n2, dim(S1 ∩ S2) = m dim(S1 + S2) = n1 + n2 − m 1 m = n1 S1 ∩ S2 ⊂ S1 S1 ∩ S2 = S1 S1 ∩ S2 ⊂ S2 S1 ⊂ S2 S1 + S2 = S2 dim(S1 + S2) = dimS2 = n1 + n2 − m 2 m = n2 dim(S1 +S2) = n1 +n2 −m 3 m < n1 m < n2 {u1, · · · , um} S1 ∩ S2 S1, S2 S1 : S2 : {u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m} {u1, · · · , um, z 1, · · · , z n2−m}
17 66
k1u1 + · · · + kmum + p1y 1 + · · · + pn1−my n1−m + q1z 1 + · · · + qn2−mz n2−m = 0 ki, pi, qi 0
x = q1z 1 + · · · + qn2−mz n2−m = −k1u1 − · · · − kmum − p1y 1 − · · · − pn1−my n1−m x ∈ S2 x ∈ S1 ∩ S2 x x ∈ S1 u1 , · · · , um
S⊥
S
21 66
S1, S2, · · · , Sp S V S
S⊥
2
∞ 2 | u ( t ) | dt −∞
<∞
u(t) u(t) ∈ L2(R)
u(t) ∈ L2(R) L 2 (R ) {Vj : j ∈ Z} · · · ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · Vj Wj Vj +1 = Vj ⊕ Wj Vj Wj 2−j Vj +1 Vj
16
66
{u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m, z 1, · · · , z n2−m} S1+ S2 a S1 u1 , · · · , um u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m S2
S1 + S2 = Span(u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m, z 1, · · · , z n2−m) b ki, pi, qi n1 + n2 − m
14 66

η1 ξ1 η ξ 2 2 . = C −1 . . . ηm ξm C U V



C.
8 S1, S2, · · · , Sn S = S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn. 9 S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn = {0} disjoint 10 x 1 ∈ S1 , · · · , x n ∈ Sn S1, S2, · · · , Sn S= S1, S2, · · · , Sn x1 + · · · + xn
22 66
14 A 3 n×n Span(u1, · · · , un) ui ∈ S A A x∈S ⇒
S ⊆ Cn Ax ∈ S S =
u1 , · · · , un Aui = λiui, i = 1, · · · , n Aui ∈ S , i = 1, · · · , n S

A
23
66
m
(1)
12
66
C
U
V
2 W
S = {u1, · · · , um} m x∈W c 1 , c2 , · · · , cm x x = c 1 u1 + c 2 u2 + · · · + c m um S W W
x x x = d1u1 + d2u2 + · · · + dmum
13 66
0 = x − x = (c1 − d1)u1 + (c2 − d2)u2 + · · · + (cm − dm)um u1, · · · , um di = 0, i = 1, 2, · · · , m ci −
{u1, · · · , um} c 1 , c2 , · · · , c m
W x
3 x ∈ W U = {u1, · · · , um} V = {v 1, · · · , v m} ξ1, ξ2, · · · , ξm η1, η2, · · · , ηm x = ξ1u1 + ξ2u2 + · · · + ξmum = η1 v 1 + η2 v 2 + · · · + ηm v m
8
66
0
1 V m 1 W 2 W
S = {u1, · · · , um} W = Span{u1, · · · , um} S S W ( uk )
S
W = {0}
S
9
66
1 S W 2
W W
6 W 1
W W u1 , · · · , up
{u1, u2, · · · , up}
W = Span{u1, · · · , up} 2 : 2
1 m
∀ m ∈ R+, (m 1) = m×1 = m ∀ m ∈ R+ , m
1 m 1 = mm =
n) = k ◦ (mn) = (mn)k = mk nk = (k ◦ m)
(k + l) ◦ m = mk+l = mk ml = (k ◦ m)
(l ◦ m )
6 66
k ◦ (l ◦ m) = k ◦ ml = (ml )k = mlk = mkl = (kl) ◦ m 1 ◦ m = m1 = m R+ R
u ∈ Null(A−λI ) ⇒ (A−λI )u = 0 ⇒ Au = λu ∈ Null(A−λI ) Null(A − λI ) A λ space A eigen-
D.
15 θ ( x, y ) | x, y | cos θ(x, y ) = , x 2 y 2 16 x S 0 x y π 2 S y
2010
12 3
·
6A314
1
66
Email: zxd-dau@ : FIT 3-117 : 010-62794875
9
(1)
9.1 9.2
2 66
9.3
9.1
A.
1 K 1 a b c d y ∈ V −x V V k, l, m x, y ∈ V x+y ∈V x + (y + z ) = ( x + y ) + z x+y =y+x 0 x+0=x x ∈ V x+y = 0 y x x + (−x) = 0. x,y ,z V
10 66
u1 , · · · , up 1 W
3
1 S S W W 2 S W w S S W W
S
W W
S w
11
66
7
U = {u1, · · · , um} V = {v 1, · · · , v m} W v 1 = c11u1 + c21u2 + · · · + cm1um v = c u + c u + ··· + c u 2 12 1 22 2 m2 m . . v m = c1mu1 + c2mu2 + · · · + cmmum or ( v 1 , v 2 , · · · , v m ) = ( u1 , u2 , · · · , um ) C c11 c 21 C= . . cm1 c12 c22 . . cm2 ··· ··· ··· c1m c2m . . cmm 1
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