矩阵分析与应用课件_张贤达_第11讲(2010)

22 66
14 A 3 n×n Span(u1, · · · , un) ui ∈ S A A x∈S ⇒
S ⊆ Cn Ax ∈ S S =
u1 , · · · , un Aui = λiui, i = 1, · · · , n Aui ∈ S , i = 1, · · · , n S
⇒
A
23
66
18 66
{u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m} S1 k1 = · · · = km = 0, p1 = · · · = pn1−m = 0
u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m, z 1, · · · , z n2−m S1 + S2 12 S j S1, S2, · · · , Sn ∀ xi ∈ Si, xj ∈ Sj (i = j ) 13 S S⊥ S ⊥ = {x | xTy = 0, ∀ y ∈ S} S orthogonal complement Si ⊥ Sj , i = xi ⊥ xj S
θ ( x, y ) x
θ(x, S ) = min θ(x, y )
y∈ S
24
66
17 H x θ (H , S ) = S min θ ( x, y )
H
S
x∈ H , y ∈ S
18
S1
S2
i
φi(S1, S2) = arccos max max uHv = arccos(uH i v i) 2 Hu∈S1 v∈S H u u = v v=1 s.t. uHuj = 0, j = 1, 2, · · · , i − 1 H v v j = 0, j = 1, 2, · · · , i − 1 ui vi φi ( 19 S1 S2 i ) u 1
m
(1)
12
66
C
U
V
2 W
S = {u1, · · · , um} m x∈W c 1 , c2 , · · · , cm x x = c 1 u1 + c 2 u2 + · · · + c m um S W W
x x x = d1u1 + d2u2 + · · · + dmum
13 66
0 = x − x = (c1 − d1)u1 + (c2 − d2)u2 + · · · + (cm − dm)um u1, · · · , um di = 0, i = 1, 2, · · · , m ci −
10 66
u1 , · · · , up 1 W
3
1 S S W W 2 S W w S S W W
S
W W
S w
11
66
7
U = {u1, · · · , um} V = {v 1, · · · , v m} W v 1 = c11u1 + c21u2 + · · · + cm1um v = c u + c u + ··· + c u 2 12 1 22 2 m2 m . . v m = c1mu1 + c2mu2 + · · · + cmmum or ( v 1 , v 2 , · · · , v m ) = ( u1 , u2 , · · · , um ) C c11 c 21 C= . . cm1 c12 c22 . . cm2 ··· ··· ··· c1m c2m . . cmm 1
x = −l1u1 − l2u2 − · · · − lmum ⇒ l1u1 + · · · + lmum + q1z 1 + · · · + qn2−mz n2−m = 0 {u1, · · · , um, z 1, · · · , z n2−m} S2 l1 = · · · = lm = 0, x=0 k1u1 + · · · + kmum + p1y 1 + · · · + pn1−my n1−m = 0 q1 = · · · = qn2−m = 0
0 = c 1 u1 + c 2 u2 + · · · + c m um
7 66
c 1 , c2 , · · · , cm u1 , u2 , · · · , um 4 V dimV = n. V n n=∞ , V
0
B.
5 S = {u1, · · · , um} u1 , · · · , um W = Span{u1, · · · , um} = {u : u = a1u1 + · · · + amum} u1 , · · · , um W generator {u1, · · · , um} trivial subspace W spanning set V
25 66
v
⊥ ⊥ φc(S1, S2) = φ1(S1 ∩ S1:2 , S2 ∩ S1:2 )
S1:2 = S1 ∩ S2 φc(S1, S2) = φ(S1, S2)
1 m
∀ m ∈ R+, (m 1) = m×1 = m ∀ m ∈ R+ , m
1 m 1 = mm =
n) = k ◦ (mn) = (mn)k = mk nk = (k ◦ m)
(k + l) ◦ m = mk+l = mk ml = (k ◦ m)
(l ◦ m )
6 66
k ◦ (l ◦ m) = k ◦ ml = (ml )k = mlk = mkl = (kl) ◦ m 1 ◦ m = m1 = m R+ R
m, n ∈ R+, k ∈ R m R+ (m n ) (n p ) m p = (mn) n = mn ∈ R+, k ◦ m = m k ∈ R+ ◦
5 66
1 m 2
p = mnp = m
(np) =
n = mn = nm = n
m;
3 1 4 m 1 5 k ◦ (m (k ◦ n ) 6 7 8
u ∈ Null(A−λI ) ⇒ (A−λI )u = 0 ⇒ Au = λu ∈ Null(A−λI ) Null(A − λI ) A λ space A eigen-
D.
15 θ ( x, y ) | x, y | cos θ(x, y ) = , x 2 y 2 16 x S 0 x y π 2 S y
2
u1 , u2 , · · · , um x ∈ V
V K
m
c 1 , c2 , · · · , cm x = c 1 u1 + c 2 u2 + · · · + c m um x x 3 u1 , u2 , · · · , um u1 , u2 , · · · , um x=0 u1 , u2 , · · · , um
19
66
1
S
S⊥
dimS + dimS ⊥ = dimV 2 a b S S⊥ V V 3 S x V S⊥ z = x + y, S S S⊥ S z y x⊥y , V = S ⊕S ⊥ S⊥
20 66
V
S⊥
1 S1 x ∈ S1 y ∈ S2 S1 S 2 S2
2 S V S S⊥
S
V S V
17 66
k1u1 + · · · + kmum + p1y 1 + · · · + pn1−my n1−m + q1z 1 + · · · + qn2−mz n2−m = 0 ki, pi, qi 0
x = q1z 1 + · · · + qn2−mz n2−m = −k1u1 − · · · − kmum − p1y 1 − · · · − pn1−my n1−m x ∈ S2 x ∈ S1 ∩ S2 x x ∈ S1 u1 , · · · , um
14 66

η1 ξ1 η ξ 2 2 . = C −1 . . . ηm ξm C U V
ຫໍສະໝຸດ Baidu


C.
8 S1, S2, · · · , Sn S = S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn. 9 S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn = {0} disjoint 10 x 1 ∈ S1 , · · · , x n ∈ Sn S1, S2, · · · , Sn S= S1, S2, · · · , Sn x1 + · · · + xn
2010
12 3
·
6A314
1
66
Email: zxd-dau@tsinghua.edu.cn : FIT 3-117 : 010-62794875
9
(1)
9.1 9.2
2 66
9.3
9.1
A.
1 K 1 a b c d y ∈ V −x V V k, l, m x, y ∈ V x+y ∈V x + (y + z ) = ( x + y ) + z x+y =y+x 0 x+0=x x ∈ V x+y = 0 y x x + (−x) = 0. x,y ,z V
15 66
S1 + · · · + Sn = {x|x = x1 + · · · + xn, x1 ∈ S1, · · · , xn ∈ Sn} 11 S = S1 ⊕ · · · ⊕ Sn x = x1 + x2 + · · · + xn
x∈S xi ∈ Si
4 S
S1, S2
K
dim(S1 + S2) = dimS1 + dimS2 − dim(S1 ∩ S2) dimS1 = n1, dimS2 = n2, dim(S1 ∩ S2) = m dim(S1 + S2) = n1 + n2 − m 1 m = n1 S1 ∩ S2 ⊂ S1 S1 ∩ S2 = S1 S1 ∩ S2 ⊂ S2 S1 ⊂ S2 S1 + S2 = S2 dim(S1 + S2) = dimS2 = n1 + n2 − m 2 m = n2 dim(S1 +S2) = n1 +n2 −m 3 m < n1 m < n2 {u1, · · · , um} S1 ∩ S2 S1, S2 S1 : S2 : {u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m} {u1, · · · , um, z 1, · · · , z n2−m}
S⊥
S
21 66
S1, S2, · · · , Sp S V S
S⊥
2
∞ 2 | u ( t ) | dt −∞
<∞
u(t) u(t) ∈ L2(R)
u(t) ∈ L2(R) L 2 (R ) {Vj : j ∈ Z} · · · ⊂ V−2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · Vj Wj Vj +1 = Vj ⊕ Wj Vj Wj 2−j Vj +1 Vj
{u1, · · · , um} c 1 , c2 , · · · , c m
W x
3 x ∈ W U = {u1, · · · , um} V = {v 1, · · · , v m} ξ1, ξ2, · · · , ξm η1, η2, · · · , ηm x = ξ1u1 + ξ2u2 + · · · + ξmum = η1 v 1 + η2 v 2 + · · · + ηm v m
16
66
{u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m, z 1, · · · , z n2−m} S1+ S2 a S1 u1 , · · · , um u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m S2
S1 + S2 = Span(u1, · · · , um, y 1, · · · , y n1−m, z 1, · · · , z n2−m) b ki, pi, qi n1 + n2 − m
8
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0
1 V m 1 W 2 W
S = {u1, · · · , um} W = Span{u1, · · · , um} S S W ( uk )
S
W = {0}
S
9
66
1 S W 2
W W
6 W 1
W W u1 , · · · , up
{u1, u2, · · · , up}
W = Span{u1, · · · , up} 2 : 2
3
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2
V x ∈ V, k ∈ K
kx ∈ V
e f g h
k (x + y ) = k x + k y (k + l )x = k x + l x k (lx) = (kl)x 1 · x = x. V K V 1 V V K V K C
V
4 66
R V
2
1
R+ m R+ R n = mn, k ◦ m = mk