求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为

00 (0)2() (0)2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨

⎪≤<⎪⎩

积分区间取（-T/2，T/2）

0000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )

T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI

nR A c n n n c ⎧

=--⎪±±±⎨

⎪=⎩ππ

21,3,,(1cos )00,2,4,6,

n A

n A c n n n n ⎧=±±±⎪

==-=⎨⎪=±±±

⎩

πππ

1,3,5,2arctan 1,3,5,

2

00,2,4,6,nI n nR π

n c π

φn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪

⎩

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

图1-4 周期方波信号波形图

1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

解

答

：

000

2200000

224211()d sin d sin d cos T

T

T T

x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T

T ωT ωπ

====-==⎰⎰⎰

2

222

00rms

000

111cos 2()d sin d d 22

T T T

x x ωt

x x t t x ωt t t T T T

-====⎰⎰⎰

1-3 求指数函数()(0,0)at

x t Ae a t -=>≥的频谱。

解答：

(2)220

2

2

(2)

()()(2)

2(2)a j f t

j f t

at j f t

e A A a j

f X f x t e

dt Ae e

dt A

a j f a j f a f -+∞

∞

---∞-∞

-====

=-+++⎰⎰πππππππ

2

2

()(2)

k X f a f π=

+

Im ()2()arctan

arctan Re ()X f f

f X f a

==-πϕ

1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

|c n | φn

π/2 -π/2 ω

ω

ω0

ω0 3ω0

5ω0

3ω0 5ω0

2A/π

2A/3π 2A/5π 幅频图

相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0

-3ω0

-5ω0

-ω0 -3ω0

-5ω0 单边指数衰减信号频谱图

f

|X (f )|

A /a

φ(f )

f

π/2

-π/2

0cos ()0

ωt t T x t t T

⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

解：0()()cos(2)x t w t f t =π w (t )为矩形脉冲信号

()2sinc(2)W f T Tf =π

()

002201cos(2)2j f t j f t

f t e e

πππ-=

+ 所以002211()()()22

j f t

j f t x t w t e w t e -=+ππ

根据频移特性和叠加性得：

000011

()()()

22

sinc[2()]sinc[2()]

X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号0()sin at

x t e

ωt -=的频谱

解答：

指数衰减信号

x (t )

f X (f )

T

f 0 -f 0

被截断的余弦函数频谱

图1-26 被截断的余弦函数

t

t

T

-T

T -T

x (t )

w (t )

1

1

-1