中考数学专题复习距离和差最值问题汇总
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50%左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,—1）和（-2,—5）;点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，PA + PB的和为最小？并求最小值。
解：（1）v点P在y轴上，.••以y轴为对称轴，作点B的对称点B i，连接AB i 与y轴交于点P，P点就是所求的点。
此时，PA + PB= PA + PB i =AB i;理由如下：取点P以外的点P i,可知，P i A + P i B = P i A + P i B i>AB = PA+ PB 所以P i A + P i B>PA^ PB即P为符合要求的点。
求点P的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A、B i两点的直线解析式与y轴的交点坐标的方法。
点P为（0，-耳）3（2）求PA+ PB （AB i）的值，可用勾股定理来求。
即PA + PB = AB i =2 i3。
例2、已知菱形ABCD中，/ DAB = 60°; AB = 6，M为AB的中点，点P在对角线AC上，求点P在何处时，PM+ PB的和为最小？并求最小值。
解：（i）由上例可知，AC为对称轴，点B的对称点为点D，连接DM与AC的交点为点P，P点就是所求的点。
此时，PB+ PM = PD+ PM =DM。
（2）根据题意得，△ ABD为等边三角形，边长为i2，DM为边上的高线。
所以DM = 6 3，即PB+ PM = 6.3。
例3、在正方形ABCD中，AB = i2,点M在BC上，且BM = 5,点P在对角线BD上，求点P在何处时，PM + PC的和为最小？并求最小值。
中考数学专题复习距离和差最值问题汇总
中考数学专题复习距离和差最值问题汇总The document was prepared on January 2, 20212016中考数学专题复习：最短距离问题导读最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、 “两点之间的连线中，线段最短”，凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
几何模型：“饮马问题”条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．模型应用：例1，如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是 ；（1）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值； （2）一次函数b kx y +-的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．O 为坐标原点，设OA、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 求PC 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． A BP（3）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；例2，如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.同类题训练：如图4，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．例3. 如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近二、归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
中考数学几何最值问题题型梳理
中考数学几何最值问题题型梳理专题1 单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴= 又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ ，QF2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点， ∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12， 而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ， 巩固2．如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt ∵CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是_____．【解析】如图，点E '在以点F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当A ,E ,F 三点共线时，AE 值最小，DF =12×6=3，在长方形ABCD 中，AD =BC =4，由勾股定理得：AF ． ∵EF =12CD =12×6=3，∵AE =AF ﹣EF =5﹣3=2，即线段AE 长的最小值是2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90°，∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内），设以AB 为直径的圆心为点O ，如图，接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短∵AB =6，∵OB =3，∵BC =4，∵5OC ==，∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB =，∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥∵点O 是AB 的三等分点，∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ，∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=， 如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ． 巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ．6B ．C ．D ．【解析】如图，取CA 的中点D ，连接OD 、BD ，则OD =CD =AC =×4=2，由勾股定理得，BD ==2，当O 、D 、B 三点共线时点B 到原点的距离最大，所以，点B 到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（ ）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ，∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB =∵EC -OE ≥OC ， ∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =4，BC =2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∵当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =4，BC =2，∵OE =AE =12AB =2，DE=∵OD 的最大值为，巩固2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，，∵'30A ∠=︒，''8A B =，∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ，∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ，∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ，∵QB =PB ，CB =EB ，∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ），∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°，∵PE =12AE =54，∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°， 又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ，∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ， 在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ． 技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（ ）A． B．CD．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90°，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上，取EF 的中点O ，连接OC ，点O即为半圆的圆心，当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．52D ．3 【解析】∵2119y x =-，∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3，∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∵BD 的最小值为4，∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A . 专题2 单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD ，90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。
中考数学专题复习求线段和差的最值问题(共26张PPT)
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。
N
E
⑵练习①：当已M知点二在次何函处数时图，像AM的＋顶C点M坐的标值为最C小(3；，-2)，且在x轴上截得的线段AB的长为4，在y轴上有一点P，使△APC的周长最小，求P点
线段和差的最值问题解题策略 一、两条线段和的最小值
例4:在矩形ABCD中，F是BC的三等分点，E是AB的二等分点，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如
y 果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m B
m P
A
B
A
B m
B m
P
A'
一、求两条线段之和的最小值
例1：在△ABC中，AC=BC=2，
∠ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB
上的一动点，则EC+ED的最小值
为
。
A
p
E
C
D
.
B
2、抛物线在坐标系中的位置如图：对 在其称轴上找一点P，使得△PBC的周 长最小，请求出点P的坐标 .
举一反三
典例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F
在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿
直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小
值是
.
1.2
中考专题复习
中考专题复习、关于线段的长度和、差的最值问题、多边形周长的最值问题
BP专题四、关于线段的长度和、差的最值问题、多边形周长的最值问题题型一、关于“将军饮马”问题（若在坐标系中，有时结合坐标系中的四大金刚，会更加简单） 例1、（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点M （﹣2，），顶点坐标为N （﹣1，），且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；★（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．题型二、直接利用三点共线求最值例2．(2008年甘肃兰州) 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点Q ，P ，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A ．B ．C ．5D ．4.8【分析】看到如此熟悉的数据后，很自然想到∠ACB=90°，则PQ 是⊙F 的直径。
又PQ=CF+DF ，FD ⊥AB 。
显然当C 、F 、D 三点共线即CD ⊥AB 时，CF+DF 的值最小。
【解法】：设QP 的中点为点F ，该圆与AB 的切点为点D ，连接FD ，CF ，CD ，则FD ⊥AB ．∵ AB=10，AC =8，BC=6∴ AB 2=AC 2+BC 2，故∠ACB=90° ∴ PQ 是⊙F 的直径 ∴ FC+FD =PQ当C 、F 、D 三点不共线时，显然有CF +FD ＞CD∴ 当点F 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高CD 边上时，PQ=CD 有最小值 此时CD=AC BCAB=4.8（运用的等面积法），故选D 类题演练1、如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为E F 中点，则则AM 的最小值为（ ）A ．2B ．2.4C ．2.6D ．32．(2008年甘肃兰州) 如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是（ ） A ．B ．C ．5D ．4.84.754.753、在平面直角坐标系中有一斜边AB 为10的等腰直角三角板如图所置。
中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案
ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点． 问题：在△ABC 内找一点P ，使得P A +PB +PC 最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC 中的AB 、AC 为边，作等边△ABD 、等边△ACE ． （2）连接CD 、BE ，即有一组手拉手全等：△ADC ≌△ABE ．（3）记CD 、BE 交点为P ，点P 即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°，P A +PB +PC 值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A 、PB 、PC 的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC ≌△ABE ，可得：CD =BE ．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF =BE =CD ．巧的，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！ 接下来才是真正的证明：考虑到∠APB =120°，∴∠APE =60°，则可以AP 为边，在PE 边取点Q 使得PQ =AP ，则△APQ 是等边三角形．△APQ 、△ACE 均为等边三角形，且共顶点A ，故△APC ≌△AQE ，PC =QE ． 以上两步分别转化P A =PQ ，PC =QE ，故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE ．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG 为边作等边△MGH ，连接NH ，则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点，根据∠NMG =75°，∠GMH =60°，可得∠HMQ =45°，∴△MHQ 是等腰直角三角形， ∴MQ =HQ =4，∴NH== 练习题1.如图，在△ABC 中，△ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．2. 如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图，等腰Rt∆ABC中，AB=4，P为∆ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图，∆ABC中，AB=4，,∠ABC=75°，P为∆ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________6.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，AC=1，，点O为Rt∆ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC=_______8.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=3，AD=4，∠BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______9.如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，，则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知，在∆ABC中，∠ACB=30°点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90⁰，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转90⁰，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC 取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总
2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】“化曲为直”题型一：两定一动，偷过敌营。
题型二：两定一动，将军饮马。
例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．分析：这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27DB CD CBP E D C B A E D C B AA （3对应练习题1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
动点到两定点距离之和与差的最值
动点到两个定点的距离之和（差）的最值2011年11月中旬 1、2班用高中数学经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．此问题不弄清原理常感到束手无策，无从下手。
本讲就此类最值问题常见题型作常规探索。
一、 直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值例1、（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ．变式：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA +的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ；（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x 轴上任意一点，则PB PA -的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ．小结：①当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之差的绝对值的最大值．例2、 函数y =的值域为 ．例3、（创新#29 3P ）已知以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长是二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例4、（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB - 的范围是 ；（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB +的最大值是 ．例5、 (1)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(4，1)，P 是双曲线右支上的动点，则PA PF +的最小值为 ；(2)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则点PA PF +的最小值为 ．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例6、 （1）已知点A(2，2)，F 是椭圆的右焦点，P 是椭圆221259x y +=上的动点，则 54PF PA +的最小值是 ，此时，点的坐标为 ； （2）已知点A(5，2)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线221169x y -=上的动点，则45PF PA +的最小值是 ，此时点的坐标为 ．例7 （1）抛物线28y x =的焦点为F ，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小值时，点M 的坐标为 ；（2）P 为抛物线24y x =上任一点，A(3，4)为一定点，过P 作PH 垂直y 轴于点P H ，则PA PH +的最小值为 ．例8、（创新P39 3#）已知直线1:4360l x y -+=，2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到两直线距离之和的最小值是。
初三数学培优：第五讲“距离之差”有最值,“对称模式”再变式
第五讲：“距离之差”有最值，“对称模式”再变式
在第四讲复习了“将军饮马”及其变式应用，事实上，还有一类涉及“距离之差的最大值”问题，本质上是轴对称模式的变式考查……
问题1：如图，已知平面上有两个已知的定点A 和B ，另有一条已知直线L ，A 和B 在直线L 的一侧，求在直线L 上找一点P ，使得︱P A ︱-︱P B ︱的值最大，这就是线段差的最大值问题。
问题2：如图，若定点A 、B 是在直线L 的两侧时，如何求在已知直线L 上找一点P ，使得︱P A ︱-︱P B ︱的值最大呢？
-1 -1，2
如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l 沿y轴翻折得抛物线l1．
（1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
求线段之差最大值的另一方法，构建函数法。
如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是▲．。
中考复习线段和差的最大值与最小值拔高
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
填空题：1．如图，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．则的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，⊥，∠60°，P是上一动点，则的最小值是．3．如图，在锐角△中，＝42，∠＝45°，∠的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是．4．如图，在四边形中，∠＝90°，∥，＝4，＝5，＝6，点P 是上一个动点，当＋的和最小时，的长为．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若＋长度最小，则最小值为．若—长度最大，则最大值为．6．如图，是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠＝30°，B为弧的中点，P是直径第1题第2题第3题第4题上一动点，则＋的最小值为．7、如图，菱形中，2，∠120°，点P，Q，K分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为8、如图，正方形的边长是2，∠的平分线交于点E，若点P、Q 分别是和上的动点，则的最小值为．综合题：1．如图，∠45°，P是∠内一点，10，Q、R分别是、上的动点，求△周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形的周长最短？若存在，请求出m＝，n＝（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50、B到直线X的距离分别为10和40，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝＋，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝＋．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝＋的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，2，3，过点B作⊥，交于点D．将∠绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当经过（1）中抛物线的顶点时，求的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且＝1，要使四边形的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3，4，D为边的中点.（1）若E为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E、F为边上的两个动点，且2，当四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线24=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？3. 如图，抛物线y＝－x2－x＋2的顶点为A，与y轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：－≤；(3)当－最大时，求点P的坐标.y xC B AD O Ey4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点两点，D ，抛物线y ＝21x 2＋＋c 与直线交于A 、E 与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使－的值最大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B和点O ，直线交⊙A 于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形内的一点，求＋＋的最小值．例题：如图，四边形是正方形，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、．（1）求证：△≌△；（2）①当M点在何处时，＋的值最小；②当M点在何处时，＋＋的值最小，并说明理由；（3）当＋＋的最小值为＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形是菱形，且∠＝60，△是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接、、，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形的边长为1，则＋的最小值1；②△≌△；③S四边形四边形；④连接，则⊥；⑤当＋＋的最小值为2时，菱形的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
几何距离(和,差)最值问题
12、如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则 的最大值等于．
几何距离（和、差）
1、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B．1C．2D．2
2、菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为8、6，点P是对角线上AC的一个动点，点M、N分别是的AB、CB中点，则PM+PN的最小值是.
A． B． C． D．
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______。
5、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______。
6、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
7、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是__________。
2、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线 上的动点，A（1，0），B（2，0）是 轴上的两点，则PA+PB的最小值为___________。
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StandardiZation OfSany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
JΘθM≠径为2,点A、B. C 在G）O上，QA 丄03, /
1 X
03上一数点\ ［求乡4PC的最小值；
ZAOC = 60o, P 是
（2）一次函^y^kX+h的图象与x、y轴分别交于点A （2, 0 坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D, P为OB上一动点，最小值，并求取得最小值时P点坐标. (OJ4) • 0 为求PC+PD的
2016中考数学专题复习：最短距离问题导读
最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是儿何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的儿何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“两点之间的连线中，线段最短”,凡属于求“变动的两线段之和的最小
值”时，大都应用这一模型。
几何模型：“饮马问题”
条件：如图，A、B是直线/同旁的两个定点•
问题：在直线/上确定一点P,使PA + PB的值最小•
方法：作点A关于直线/的对称点连结47?交/于点几
^APA+ PB = AB的值最小（不必证明）•
模型应用:
例1,如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC ±一动点•连结
BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,贝IJ
PB + PE的最小值是
⑴如良
B
y
B
D
(3)己知抛物线y = a χ2÷bx + c(a≠O)的对称轴为x=l,且抛物线经过A(—1,
0)、B (0, —3)两点，与X 轴交于另一点B.在抛物线的对称轴x=l 上求一点
M,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出1I⅛⅛点M 的坐标；
能使A 村到B 村的路程最近 二.归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求
“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用
(1)若点P 是X 轴上任意一点，求证：PA-PBWAB ； (2)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标. 练习：1-如图，当四边形刊BV 的周长最小时，＜3= ______________
2. 如图，A.尸两点在直线的两侧，点力到直线的距离4炉4,点方到直线的距离
-β∖≡b 且加T 戸为直线上的动点,∖PA-PB∖的最大值为
3. 如图，菱形個刃中，ZM 二60° , /员3, ΘA. Θ方的半径分别为2和1, A E 、 尸分别是边仞、Θ/和Θ5±的动点，则胁M 的最小值是 ______________________ ・
例2,如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的丼H⅛ 在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，珂南个加油站设在何处, 可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油) 卜池库，设为点P,如 的路程最短.
同类题训练:
如图 4, ZAoB = 45o , P 是 ZAO3 内一点，
PO = IO, 0、R 分别是Q4、OB 上的动点，求 周
长的最小值. APQR
例3.如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼就平行，现在薯建设 一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才 A ・
这一模型。
如图，抛物线］
y = _存7 + 2的顶点为A, PI 回到油库所走
P z
4.动手操作：在矩形纸片/磁中，AB=3,血上
5.如图所示，折叠纸片，使点/落
在庞边上的才处，折痕为尸0,当点才在虑边上移动时，折痕的端点只0也随之移动.若限定点只0分别在肋、肋边上移动，则点才在庞边上可移动的最大距离为.
5.如图，直角梯形纸片個刃，ADLAB, AB=S, A^CA4,点、E、尸分别在线段/万、
ADk l将△也站沿〃翻折，点/的落点记为只当P落在直角梯形力磁内部时，PD的最小值等于.
6.如图，ZMQv=90°,矩形個刃的顶点/、方分别在边购，ON匕当方在边QV
上运动时，力随之在OW上运动，矩形如?的形状保持不变，其中返2, Ql,运动过程中，点。
到点O的最大距离为 _____________________________ .
7.如图，线段肋的长为4, C为M上一动点，分别以FG万C为斜边在M的同侧
作等腰直角仞和等腰直角△磁，那么眩长的最小值是_________________________ .
8.如图，菱形破R中，於2, Z用120°,点P, 0, K分别为线段方G CD, BD上
的任意一点，则册％的最小值为____________________ .
9.如图所示，正方形M仞的边长为1,点尸为边庞上的任意一点（可与万、C重合），分别过从C、〃作射线月戶的垂线，垂足分别为F、C、『，则
BB f ^CC l +DD'的取值范围是
10・2010宁徳第25题：如图，四边形ABCD是正方形，ΔABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆
时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证：
ΔAMB^ΔENB;
⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小;
②当M点在何处时，AM÷BM+CM的值最小，并说明理由;
⑶当AM÷BM+CM的最小值为√5 +1时,求正方形的边长.。