(完整版)《轴对称》知识点总结及章节检测

轴对称1.1轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴。

）轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质性质1：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质1的证明如下：如图所示，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．证明：将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，则有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1．性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形，且有特殊位置关系；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．如图所示：1.2线段的垂直平分线性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明：如图所示，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点，求证性质1.性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．证明：如图所示，P在线段AB上方，且PA=PB，求证P在线段AB的垂直平分线上。

以上两点性质可得出：线段的垂直平分线可看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合．1.3 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB，作线段AB的垂直平分线就是A、B两点的对称轴，作法如下：（1）分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧（若两弧半径小于或等于1/2AB，则两弧没有交点或切于一点），两弧交于C、D两点；（2）连CD，得直线CD，直线CD即为所求．如图所示：说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法．用此方法把线段平分．轴对称变换将一个图形进行轴对称变换（作一个图形关于某直线的对称图形）．关键是作某些点（关键点）关于这条直线的对称点．如：作点A关于直线l的对称点．先作AO⊥l于O；再延长AO至使，则就是A关于l的对称点，如下图所示：主要有两步：第一步，过已知点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是已知点关于这条直线（对称轴）的对称点．轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．．关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；1.4 等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简称“三线合一”）．在△PAB中，PA=PB，PC⊥AB交于C，求证∠A=∠B且PC为顶角平分线、底边上的中线。

特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形（等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形）。

等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证BC=1/2AB.添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。

1.5 最短路径问题EDCAl ODC BA第十三章 轴对称 全章测试一、选择题1、下列说法正确的是（ ）．A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C ．所有直角三角形都不是轴对称图形D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）．A ．（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ．A ．等腰三角形B ．正方形C ．圆D ．线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm5、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对6、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米．A ．16B ．18C ．26D ．287、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）．P AECBDA ．75°或15°B ．75°C ．15°D ．75°和30° 9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行10、如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （）A ．4B ．3C ．2D ．1 11、∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5， Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ ≥5 C ．PQ ＜5 D ．PQ ≤512、如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题13、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则 垂直平分 ． 14、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ．15、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是 度．16、等腰三角形的两边的边长分别为20cm 和9cm ，则第三边的长是 cm ． 17、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ． 18、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接ACA ' 'C '图2图1BADPOCBAAMNP 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．19、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．20、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 = ．21、已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向 平移 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．22、等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于 ． 三、解答题23、已知：如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的 图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ；（2）写出 △A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 各顶点坐标； （3）求△ABC 的面积．24、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．FEDCBAP 2P 1N MOPBAα35°115°DE CBAO25、如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数．26、已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．27、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ，求BC 的长．28、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．F CBAEDCBADCB A- 11 -ADEF BC FOCBAE29、已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF ．30、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，求证：△APQ 是等边三角形31、如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理．32．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ，求证：AH=2BD ．H E DCBAA。