单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法
线性规划中的单纯形法改进思路预测分析
线性规划中的单纯形法改进思路预测分析在线性规划领域中，单纯形法是一种经典的求解最优解的方法。
然而，在大规模问题或特定情况下，传统的单纯形法可能会面临效率低下的挑战。
因此，改进单纯形法的思路和方法成为了研究的焦点之一。
本文将介绍几种常见的单纯形法改进思路，并进行预测分析。
一、单纯形法简介单纯形法是由乔治·丹齐格于1947年提出的一种线性规划求解方法。
它通过沿着一条特定的路径逐步迭代，寻找使目标函数达到最优解的变量值。
单纯形法的基本思想是从一个可行解开始，通过不断迭代来寻找目标函数值更小的解。
然而，传统的单纯形法在面对复杂的大规模问题时可能出现效率低下的问题。
二、单纯形法改进思路为了克服传统单纯形法的局限性，研究者们提出了许多改进思路。
下面将介绍几种常见的单纯形法改进思路。
1. 内点法内点法是一种通过引入松弛变量转化为等式约束的方法。
相比传统的单纯形法，内点法在寻找可行解时不再受限于顶点的极端解，而是通过在可行域内寻找内部点来逼近最优解。
内点法的特点是迭代过程中变量值始终在可行域内部，且逐步逼近最优解。
虽然内点法的每一步迭代计算量较大，但在大规模问题中有着较好的效果。
2. 双轨法双轨法是一种将对偶理论与单纯形法相结合的方法。
它通过同时计算原问题和对偶问题的单纯形表，并在两个表之间进行转换和调整。
双轨法的优势在于可以通过对偶问题的解来加速寻找原问题的最优解。
该方法适用于解决具有稀疏约束的问题，可以提高求解效率。
3. 随机单纯形法随机单纯形法是一种通过引入随机性来改进传统单纯形法的方法。
在传统单纯形法中，每次迭代都选择一个进入变量和一个离开变量。
而随机单纯形法则通过随机选择进入和离开变量，以避免陷入局部最优解。
通过引入随机性，随机单纯形法可以在某种程度上提高全局搜索能力，从而更好地逼近最优解。
三、预测分析对单纯形法改进思路进行预测分析，可以帮助我们评估不同方法的效果和适用范围。
根据对内点法的研究和分析，可以预测内点法在解决大规模问题时具有一定的优势。
单纯型法的探究及改进
单纯形法的探究及改机械设计制造及自动化专业机制072 程鸿07030209 摘要：单纯形法是由美国的数学家G.B.Dantzig提出的一种多变量函数的寻优方法。
其优点是对目标函数的解析性没有什么要求，收敛速度快，适用面较广。
但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。
而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。
如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量，也增加计算机的内存量。
针对这一问题，本文提出改进单纯形法，在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余的约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。
此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。
关键词：线性规划、单纯形法、改进的单纯形法、基本可行解、初等变换一．单纯形法1.1单纯形法的提出线性规划是运筹学的一个重要分支。
它的实质是从很多变量中选取一组适应的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性或条件，而且使一个函数达到最优。
线性规划是为了解决二战中的后勤问题而产生的。
自1947年美国的数学家G.B.Dantzig提出了解决线性规划问题的单纯形法以来，线性规划问题无论在理论上、计算方法和拓展新的应用领域中，都获得了长足的进步。
而且它的出现推动了自然科学的许多其它学科的发展。
1.2单纯形法的基本思想与计算步骤㈠、单纯形法的基本思想任何一种单纯形法的迭代算法必须解决三个问题：1．由哪一个顶点开始?2．用一个什么样的“有效”途径，进行由一个顶点向另一个较好的顶点移动? 3．何时停止该过程?单纯形法属于这一范畴。
即从一个粗的解开始，成功地改进现有的解，直到所要求的目标被满足为止．对于一个迭代算法，通常要求有一个停止规则，以检查是否达到目标。
计算上简单的规则将被优先选用，因为它在每次迭代中都要执行。
如果该规则未被满足，则需要去做进一步的改善，以求接近所需的目标。
1.2.4单纯形法的矩阵表达
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
16改进单纯形法简介
B3 =(P1 P4 P2 )
18
解:
1/1 0 0 1 0 0 = -3 1 0 0 0 1 Er =E1 = -3/1 1 0 0 0 1
1 0 0 B3-1 = E1 B2-1 = -3 1 0 0 0 1
1 0 -1 = -3 1 2 0 0 1/2
1 0 -1 0 1 -1 0 0 1/2
=E
B-1B=(B-1P1 , … ,B-1Pr-1 , B-1Pm+k , B-1Pr+1 , … ,B-1Pm
15
1
1 B-1B=
a1m+k
ar-1m+k arm+k ar+1m+k amm+k r
16
r 1 1
1
a1m+k - a rm+k
1 Er =(B-1B)-1=
ar-1 m+k - a rm+k 1
(5)、新基B。转(1)。
14
(5)、1) 求初等变换矩阵Er (r 换出变量在基中 的位置) B=(P1 … Pr-1 Pr Pr+1 … Pm )
B=(P1 … Pr-1 Pm+k Pr+1 … Pm ) BB=(B-1P1 , … ,B-1Pr-1 , B-1Pr , B-1Pr+1 , … ,B-1Pm )
23
6
X1 CB XB
4
X2 M +4
0
X3
0
X4
0
X5
- M
X6
- M
X7
-36 M
M +6
0
0
- M
0
0
0
单纯形法的矩阵描述
X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4
运筹学——单纯形矩阵描述与改进单纯形法
( B 1b)i (B1Pj )i
(B1Pj )i
0
( B 1b)l (B1Pj )l
换入变量的系数向量
10
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
11
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11
A
a21
a12
a22
a1m a2m
am1
am2
amm
12
以a11为主元素, 进行变换
a11
主元素
P1
a21
1/ a11
1
a21 /
a11
(1)
am1
am1
/
a11
13
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
1/ a11 0 0
E1
a21 /
BXB b NX N ; X B B1b B1NX N ; 目标函数：
z CB B1b (CN CB B1N ) X N
(2 1) (2 2) (3 2)
4
令非基变量=0，由上式得到：
基可行解
X
(1)
B 1b 0
;
目标函数的值 z CBB1b
5
（1）非基变量的系数表示为： (CN CB B1N ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2,, n) 所有检验数可表示为： C - CBB1(B | N )
6
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
X B B1NX N B1b; 目标函数：
- z (CN CB B1N ) X N -CB B1b
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
考虑将单纯形法的求解过程⽤矩阵进⾏描述，对于已经引⼊松弛变量的 LP 问题，其约束条件
BX B+NX N=b
⽬标函数
C B X B+C N X N=z
联⽴消去X B得
z=C B B−1b+(C N−C B B−1N)X N
其中C N−C B B−1N就是所谓的检验数σ。
因此，单纯形表可以描述为
基变量X B⾮基变量X N右侧 RHS
系数矩阵I B−1N B−1b
检验数0C N−C B B−1N−C B B−1b
任意时刻各个部分的核⼼是某个已知矩阵的部分左乘⼀个B−1，因此求解的核⼼在于快速地维护B−1。
以下我们设P k是x k对应的原始系数矩阵的那⼀列。
我们有递推式
B−1i=E i B−1i−1
其中E i是把⼀个单位矩阵中，第j列替换为ξi后的结果，其中j表⽰本次新换⼊的基在B i中对应第j列，ξi由本次换⼊变量在换⼊前B−1i−1N i−1中对应的列 (a1,a2,...,a m) 变换得到，设l是换出变量对应的⾏，则
ξi=(−a1
a l
,...,
1
a l
,...,−
a m
a l
)
于是，
B−1i=(e1,...,e j−1,ξi,e j+1,...,e m)B−1i−1换⼊变量求解根据检验数
σi=C N
i −C B
i
B−1i N i
中找最⼩值下标即可得到，换出变量根据θ法则求θ=min
即可得到。
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线性规划中的单纯形法改进思路探讨
线性规划中的单纯形法改进思路探讨线性规划是一种优化问题的数学建模方法，旨在通过线性目标函数和线性约束条件找到最优解。
单纯形法是解决线性规划的最常用方法之一，但在某些情况下存在效率问题。
本文将探讨单纯形法的改进思路，以提高解决线性规划问题的效率和准确性。
一、单纯形法简介单纯形法是由乔治·达内格罗于1947年提出的一种线性规划求解算法。
它以顶点（基础解）为基础，通过不断迭代进一步逼近最优解。
单纯形法通过移动从一个顶点到另一个顶点，不断改进目标函数值，直至找到最优解或确定无界解。
二、单纯形法的缺点尽管单纯形法在解决许多线性规划问题上非常有效，但在某些情况下存在效率低下的问题。
1. 循环问题：当某些约束条件满足不等号限制，例如"≥"或"≤"，而不是"="时，可能会出现循环问题。
循环问题会导致单纯形法陷入无限循环，无法找到最优解。
2. 退化问题：当初始基本可行解含有多个零元素时，容易出现退化问题。
退化问题会导致单纯形法陷入循环，无法继续迭代到最优解。
3. 大量冗余计算：在每一次迭代中，单纯形法需要计算系数表以确定下一个顶点。
然而，其中大部分计算是冗余的，对于大规模问题会导致计算开销较大。
三、单纯形法的改进思路为了解决单纯形法存在的问题，研究者提出了许多改进的算法和思路。
下面介绍几种常见的单纯形法改进思路。
1. 双阶段法：双阶段法通过增加辅助变量和人工变量的方式，将原问题转化为一个等价的标准型线性规划问题。
该方法能够解决含有不等号限制的问题，并能排除退化解。
2. 改进的初始基本可行解：选择合适的初始基本可行解可以避免退化问题的发生。
例如，人工变量法、涉及目标函数的辅助线性规划问题等方法可以寻找到更好的初始基本可行解。
3. 人工变量的早期退化：在迭代过程中，通过合理的选择人工变量的退化顺序，可以尽早发现退化现象，从而避免单纯形法无法继续迭代。
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种广泛用于解决线性规划问题的方法，其在解决一些复杂问题时可能会遇到一些问题。
对单纯形法进行改进是一个非常重要的课题。
在本文中，我将探讨一些对单纯形法的改进方法，并分析其优缺点和适用范围。
我们先简要介绍一下单纯形法的基本原理。
单纯形法是通过不断在可行解空间中进行移动找到最优解的一种方法。
其基本思想是从一个初始可行解开始，通过找到一个更好的可行解不断地移动，直到找到最优解为止。
其主要步骤包括确定初始可行解、选择进入基变量、选择离开基变量、计算新的可行解等。
在每一步都有一些规则和条件来指导如何进行移动，以确保在有限步骤内找到最优解。
单纯形法也存在一些问题。
其中最主要的问题是在处理某些特殊情况下会出现退化现象，即算法会陷入循环无法终止。
算法的复杂度也较高，在解决大规模问题时性能可能会受到限制。
对单纯形法进行改进是非常有必要的。
一种可能的改进方法是使用内点法和外点法结合的方法。
内点法通过在可行解空间的内部寻找可行解，从而避免了单纯形法中需要在顶点上移动的过程。
这样可以避免出现退化现象，并且对大规模问题的解决具有一定的优势。
外点法可以通过在可行解空间的外部寻找可行解，来进一步提高算法的收敛速度。
这种方法的优点是能够避免陷入循环，从而提高算法的稳定性和可靠性。
这种方法也存在一些问题，比如在寻找内点和外点的过程中可能需要耗费较多的计算资源。
还有一些其他的改进方法，比如使用分解法和组合法来对问题进行分解和组合，从而提高算法的收敛速度和稳定性。
还可以通过改进算法的数学模型和规则来提高算法的效率和性能。
这些方法都有其独特的优点和局限性，需要根据具体的问题来进行选择和应用。
对单纯形法进行改进是一个非常重要的课题，其可以有效地提高算法的性能和效率。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题来选择不同的改进方法，并结合实际情况来进行调整和优化。
希望通过对单纯形法的改进，能够更好地解决实际的工程和管理问题。
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析讲解
1.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
2 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
cj zj 0 0 0 1/8 9/ 4
对变化后的单纯形表继续迭代
c j 1.5 2 0 0
0
CB X B b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
2
-2
-2
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0；
• 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX
s.t.
AX b X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0X s
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
单纯形解法的矩阵描述
2
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1, x2, x3 0
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
max z 6x1 2x2 3x3 0x4 0x5
2
3.2单纯形法的矩阵计算
X N1 ( x1, x5 )T
1 0 1 / 2 1 0 2,0 (0,0,3) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 (2, 3 / 4) 对应 x1 , x5
换入变量
求逆矩阵b1得初始基本可行解2计算单纯形乘子和目标函数值3计算非基变量检验数确定为换入变量计算0则问题没有有限最优解停止计算否则转下一步
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
xk
,若
B-1Pk
，则已得最优解，停止计算；否则转下一步。
（4）据 -1
B Pk
，确定
为换入变量，计算
,
若
≤0，则问题没有有限最优解，停止计算，否则转
下一步。
Page 9
-1 (B-1b)l (B b)i -1 （5）据min -1 /(B Pk )i >0 = -1 ，确定 xl (B Pk )l (B Pk )i
a1m alm amm
§3.2 单纯形法的矩阵计算
1 Bnew EB1 , 其中E (e1 ,
Page 6
, e l 1 , , e l 1 ,
, em )
a1k P1 alk a mk
§2 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
Page 12
B01b i min 1 B01 P2 0 B0 P2 i 12 8 min , , 3 x5 4 2
单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
单纯形法的矩阵描述课件PPT
单纯形法的基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的 算法。
它通过迭代的方法，不断寻找最优解 ，直到找到最优解或确定无解为止。
单纯形法的步骤
01
初始化
设置初始单纯形表格，选择一个初始基可行解。
02 03
迭代
通过迭代的方式，不断寻找最优解。在每次迭代中，根据单纯形表格进 行相应的操作，包括进基、离基、换基等步骤，直到找到最优解或确定 无解。
初始解选择
选择合适的初始解，避免 陷入循环的可能性。
算法终止条件
设置合适的终止条件，在 循环发生之前提前结束算 法。
启发式搜索策略
引入启发式搜索策略，指 导算法跳过可能导致循环 的解。
处理特殊情况的方法
异常处理
针对特殊情况，如输入数据错误、 矩阵奇异等情况，设计异常处理 机制。
边界情况处理
对算法边界情况进行特殊处理，确 保算法的正确性和稳定性。
生产调度
通过单纯形法，企业可以优化生 产调度，合理安排生产任务，提
高生产线的协同作业能力。
在金融投资组合中的应用
投资组合优化
单纯形法可用于优化金融投资组合，帮助投资者 选择最佳的投资组合方案，降低投资风险。
风险控制
在金融投资中，单纯形法可以帮助投资者控制风 险，通过分散投资降低资产波动。
收益最大化
单纯形法的矩阵描述课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形法的矩阵描述 • 单纯形法的实现 • 单纯形法的改进与优化 • 单纯形法的应用 • 总结与展望
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式约束下，最大化或最小化一个 线性目标函数的问题。
02
线性规划问题在运筹学、经济学 、管理学等领域有广泛的应用。
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种用于线性规划问题的解法，它通过不断地移动问题的可行解来寻找最优解。
在过去的几十年里，单纯形法已经成为了解决线性规划问题的标准方法，但它并不是完美的。
在实际应用中，单纯形法可能会遇到一些问题，比如对于某些特定的问题，单纯形法可能需要大量的迭代次数才能找到最优解。
研究人员一直在努力寻找单纯形法的改进方法，以提高其效率和可靠性。
在本文中，我们将探讨一些关于单纯形法的改进方法，包括内点法、高斯-牛顿法、模糊单纯形法等。
这些改进方法都是在单纯形法的基础上进行一定的改进和优化，以解决单纯形法存在的一些缺陷和局限性。
我们将分别对这些方法进行介绍和比较，以期为线性规划问题的求解提供更多的选择和可能性。
我们要介绍的是内点法。
内点法是一种基于对偶问题的求解方法，它通过将问题转化为对偶问题，并在对偶空间中寻找最优解。
内点法相对于单纯形法而言，更加稳定和高效，特别是对于大规模线性规划问题。
内点法的基本思想是在可行解的内部寻找最优解，而不是像单纯形法那样在可行解的表面移动。
内点法能够避免在可行解空间中的“盲目搜索”过程，而是通过寻找对偶空间中的“路径”来找到最优解。
内点法在实际应用中已经取得了很大的成功，成为了解决大规模线性规划问题的重要方法之一。
另外一个重要的改进方法是高斯-牛顿法。
高斯-牛顿法是一种基于二阶导数信息的优化算法，它通过利用目标函数的二阶导数信息来进行参数的更新和优化。
在线性规划问题中，高斯-牛顿法可以结合单纯形法来进行迭代求解，从而加速收敛速度和提高求解的稳定性。
高斯-牛顿法的优点在于它是一种非常快速的收敛算法，特别是对于高度非线性的问题。
高斯-牛顿法在线性规划问题的求解中具有很大的潜力，可以作为单纯形法的有力补充。
还有模糊单纯形法等一系列改进方法。
模糊单纯形法是一种基于模糊理论的线性规划求解方法，它可以有效地处理问题中的不确定性和模糊性。
在实际应用中，问题往往伴随有各种各样的不确定因素，而传统的线性规划方法往往难以处理这些不确定性。
2.1 单纯性法的矩阵描述
4.
5.
目标函数 Z = CB B b
−1
π = CBB
−1
π称为单纯形算子
θ法则的矩阵表示： 法则的矩阵表示： RHS值 RHS值 表示选用>0的分量 表示选用>0的分量 >0
(B−1b)i (B−1b)i −1 in (B Pj )i > 0 = −1 θ = m −1 (B Pj )i (B Pj )i
第第11节节单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述第22节节改进单纯形法改进单纯形法第第33节节对偶问题的提出对偶问题的提出第第44节节线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第55节节对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格第第66节节对偶单纯形法对偶单纯形法第77节节灵敏度分析灵敏度分析第88节节参数线性规划参数线性规划本节讨论单纯形法的矩阵形式一方面加深对单纯形法的理解
求基可行解及目标值; (2) 求基可行解及目标值;
X = (XB1 , XN )
x1 −1 XB1 = = B1 b x2
1 3 = 1 − 9
2x − 3x2 + 2x3 + x4 = 15 −1 Z0 = CB1 B1 b = CB1 XB1 1 1 x1 + x2 + 5x3 + x5 = 20 基变量的解为: 基变量的解为: 3 xj ≥ 0, j = 1,⋯,5
B-1b -CBB-1b
1.
XB = B−1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
2.
N = B N, I = B-1 B,
−1
−1
某列Pj = B-1 Pj
B -1A= B -1(N,B )= (B -1N, B -1B)=(B -1N,I) ,
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得当前的目标函数值为: 得当前的目标函数值为:
~ 1 z0 = CBb = CBB b
当前目标值
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
检验数 ~ σN = CN CB N
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~ ~ = (Cm+1Cn ) (C1Cm )( P +1P ) m n ~ ∴ σn+1 = Cm+1 CB P +1 m 当前检验数 ~ σn =Cn CB P n
�
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思路:
~ ~ 每次迭代关键求出 B , P b , P ,σ j ,θi k k
1
需要换入的变量对应的列
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法的优点: 修正单纯形法的优点:
能够从问题的原来参数( , , ), 能够从问题的原来参数(A,b,C), 计算出单纯形表中所有的数据, 计算出单纯形表中所有的数据,只要导 1 即可. 出 B 即可. 单纯形表中的任一数字, 单纯形表中的任一数字,只要作部分的 矩阵乘法即可获得. 矩阵乘法即可获得.
~ 1 其中 Pj = B Pj
当前 x j 对应的系数列
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
线性规划问题 m z = CX ax AX ≤ b s.t. X ≥ 0 化为标准型, 化为标准型,引入松弛变量 Xs
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{
m z = CX + 0Xs ax AX + IXs = b s.t. X ≥ 0, Xs ≥ 0
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
初始单纯形表
非基变量 基变量
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0
Xs cj z j
XB b B CB
XN N CN
Xs I 0
初始基变量
对 偶 问 题
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 XB时,新的单纯形表
基变量 非基变量
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CB
XB B b cj z j
当前基解
有关公式: 有关公式:
确定新的换入变量
σ j = cj CB B1 Pj = cj πPj
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单纯形乘子(行向量) 其中 π = CB B1 单纯形乘子(行向量) ~ ~ 1 P = B P , b = B1b θi k k
确定新的换出变量
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
修正单纯形法要点: 修正单纯形法要点:
上页 下页 返回
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
有关公式: 有关公式: 当换入变量 xk ,换出变量 xl 时, 新的 B 1为:
上页 下页 返回old i ≠l Bold a = 1 Bold i =l ' alk
' ik ' lk
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 寻求初始可行解,方法与单纯形法相同. 其迭代过程如下: 其迭代过程如下:
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确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换入变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定换出变量,方法与单纯形法相同. 确定新的基可行解: 确定新的基可行解: 首先导出B 首先导出 -1 然后计算X 然后计算 B= B-1 b 迭代终止原则与单纯形法相同. 迭代终止原则与单纯形法相同.
非基变量
基变量
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
约束方程组 XB AX = b (B N) X N = BX B + NXN = b
1
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~ ~ XB = B (b NXN ) = b NXN ~ ~ 1 其中 b = B b , N = B 1 N
令
XN =0
~ 1 XB = b = B b
1
XB I 0
XN Xs 1 B N B 1 1 CN CBB N CBB
当前检验数
对 偶 问 题
修正单纯形法简介
原因:
单纯形法的目的是要求问题的最优解, 单纯形法的目的是要求问题的最优解, 而在迭代过程中, 而在迭代过程中,单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大.因此, 求最优解关系不大.因此,对单纯形法进 行修正. 行修正.
得当前的基解为: 得当前的基解为: 当前基解
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
目标函数 XB z = (CB CN ) = CB XB + CN XN X N 1 1 = CBB b + (CN CBB N) XN ~ ~ = CBb + (CN CBN) XN
令
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XN =0
第五节
单纯形法的进一步讨论
继续 返回
----单纯形法的矩阵描述 ----单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
对 偶 问 题
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
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不妨设基为 则
m ax z = CX s.t AX = b X ≥0
B = (P P2 Pm ) 1 A = (P P P ) = (B N) 1 2 n X =( XB XN ) C = (CB CN )