计算机图形学报告_仿射变换最小二乘法
最小二乘影像相关的基本原理(一)
最小二乘影像相关的基本原理(一)最小二乘影像相关的基本1. 什么是最小二乘法？•最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据或解决参数估计问题。
它通过使数据拟合值与真实值之间的残差平方和最小化，得到最优解。
2. 为什么要使用最小二乘法？•最小二乘法可以用于解决多种问题，包括曲线拟合、回归分析、图像处理等。
它具有简单易用的特点，能够快速、准确地得到结果。
3. 最小二乘法在图像相关中的应用•在图像处理中，最小二乘法常被应用于影像相关分析。
影像相关是一种基于图像相似性的分析方法，通过比较两幅图像之间的相似度来实现目标识别、图像匹配等任务。
3.1 什么是影像相关？•影像相关是一种计算两幅图像之间相似度的方法。
它通过计算图像的互相关函数来得到两幅图像之间的相关性。
3.2 为什么要使用影像相关？•影像相关可以用于实现图像匹配、目标跟踪等任务。
通过计算图像之间的相关性，可以找到最相似的图像区域或目标对象。
3.3 如何使用最小二乘法进行影像相关分析？1.首先，选择一对待比较的图像A和图像B。
2.对图像A进行预处理，如平滑、边缘检测等，以提取感兴趣的特征。
3.对图像B进行预处理，并将其分成一系列大小相同的块。
4.选择一个块，在图像A中寻找与之最相似的块。
5.使用最小二乘法计算块之间的相关系数。
6.重复步骤4和步骤5，直到所有块都被处理完毕。
7.根据相关系数的大小，确定图像A中与图像B最相似的区域或目标。
3.4 最小二乘法在影像相关中的优势•最小二乘法在影像相关中具有以下优势：–精确度高：最小二乘法能够准确地计算图像之间的相关系数。
–鲁棒性强：最小二乘法对噪声和变形具有较好的鲁棒性，能够处理复杂的图像情况。
–计算速度快：最小二乘法是一种高效的计算方法，能够快速地得到结果。
4. 结论•最小二乘法是一种常用的数学方法，通过使数据拟合值与真实值之间的残差平方和最小化，得到最优解。
在影像相关中，最小二乘法能够快速、准确地计算图像之间的相关系数，实现图像匹配、目标跟踪等任务。
最小二乘法 计算机视觉
最小二乘法计算机视觉
最小二乘法（Least Squares）在计算机视觉中经常被用来拟合
数据和解决估计问题。
在计算机视觉中，最小二乘法可以用于以下方面：
1. 直线拟合：最小二乘法可以用于拟合一组二维点数据到一条直线上。
通过最小化点到直线的距离的平方和，可以得到最优的拟合直线。
2. 曲线拟合：最小二乘法也可以应用于多项式曲线的拟合。
通过最小化点到曲线的距离的平方和，可以找到最佳的曲线拟合。
3. 图像配准：最小二乘法可用于图像配准中，通过最小化两幅图像中对应点之间的平方距离来估计图像之间的刚性变换参数（如平移、旋转、缩放等）。
4. 参数估计：最小二乘法可以用于估计模型中的参数。
例如，在机器学习中，可以使用最小二乘法来计算线性回归模型中的回归系数。
总之，最小二乘法是一种常用的数学方法，在计算机视觉中被广泛应用于数据拟合、参数估计和图像配准等问题。
最小二乘法求仿射变换系数c++matlab代码
q[i][j]-=q[k][j];
}
}
for(h=k=n-1;k>0;k--,h--) //消去对角线以上的数据
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
if(q[i][h]==0)
continue;
p=q[k][h]/q[i][h];
for(j=0;j<12;j++)
{
q[i][j]*=p;
q[i][j]-=q[k][j];
}
}
for(i=0;i<n;i++)//将对角线上数据化为1
{
p=1.0/q[i][i];
for(j=0;j<12;j++)
q[i][j]*=p;
}
for(i=0;i<n;i++) //提取逆矩阵
for(j=0;j<n;j++)
c[i][j]=q[i][j+6];
}
getchar();
return 0;
}
void inverse(double c[n][n])
{ int i,j,h,k;
double p;
double q[n][12];
for(i=0;i<n;i++)//构造高斯矩阵
for(j=0;j<n;j++)
q[i][j]=c[i][j];
for(i=0;i<n;i++)
result[i][j]=mat1[i][j]-mat2[i][j];
}
template<typename T1>void Cout(T1*mat,int a,int b)
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆最小二乘法拟合圆最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting)。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 matlab实现。
下面是matlab代码：比如用其他算法（如霍夫、链码、形态学等）得到了某个圆或者近似圆的轮廓，想要将其标准化。
%%此程序用于对二值图像获得的圆形边缘进行圆拟合，计算出圆心坐标及半径%最小二乘法进行曲线拟合function [xc,yc,R] = cirfit(x,y)%x、y为坐标点，都是一组向量。
如x=[x1,x2,x3,...,xn]n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];a=A\B;xc = -0.5*a(1);yc = -0.5*a(2);R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));end%结束后返回的值便是圆心坐标及半径总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。
简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。
类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。
最小二乘 四对点映射关系 matlab-概述说明以及解释
最小二乘四对点映射关系matlab-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用来估计回归模型中的参数。
在实际应用中，我们常常面临着一些数据点之间的映射关系，通过最小二乘法可以找到一个最优的拟合模型来描述这种关系。
本文将介绍最小二乘法的基本原理和在四对点映射关系中的应用。
在四对点映射关系中，我们需要找到一个变换矩阵，使得给定的四对点在新的坐标系下能够有最小的误差。
Matlab是一种功能强大的数学软件，我们将会介绍如何在Matlab中实现最小二乘法来求解这个问题。
通过本文的学习，读者将能够了解最小二乘法的基本原理，掌握在四对点映射关系中的应用，以及如何利用Matlab来实现这一过程。
希望本文能够对读者对最小二乘法以及映射关系有更深入的了解和应用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，将介绍最小二乘法和四对点映射关系的概念，以及文章的目的和意义。
在正文部分，将详细讨论最小二乘法的原理和应用，以及四对点映射关系的说明。
同时，还将介绍在Matlab中如何实现最小二乘法。
在结论部分，将总结文章的主要内容，展望最小二乘法在实际应用中的潜力，并得出结论。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和结构，有助于更好地理解和掌握最小二乘法和四对点映射关系的知识。
1.3 目的本文的目的是介绍最小二乘法在处理四对点映射关系中的应用。
通过对最小二乘法的介绍和四对点映射关系的说明，读者可以深入了解如何利用Matlab实现最小二乘法，从而实现多个点之间的精确映射关系。
同时，通过本文的阐述，可以为读者提供对于最小二乘法在实际工程应用中的指导和启发，为他们解决类似问题提供帮助和参考。
希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地了解最小二乘法的原理和应用，为他们在工程领域的实践提供有益的借鉴和指导。
2.正文2.1 最小二乘法介绍最小二乘法是一种经典的数学优化方法，用于求解线性回归分析和解决问题中的最佳拟合问题。
最小二乘影像相关的基本原理
最小二乘影像相关的基本原理最小二乘法（Least Square Method）是一种常用的数学优化方法，用于拟合数据并找到与给定数据最接近的函数或曲线。
在图像相关中，最小二乘法也可以应用于影像相关（Image Correlation）问题。
影像相关是一种用于测量两个影像之间的相似性的方法。
它通过计算两个影像之间像素值的相关性来确定它们之间的相似性。
最小二乘影像相关则是将最小二乘法应用于影像相关问题。
1.数据获得：首先需要获得要进行相关的两个影像。
这两个影像可以分别是不同时间拍摄的同一物体或不同角度拍摄的同一个场景的影像，或者可以是其他类型的影像。
2.影像预处理：在进行影像相关之前，需要对影像进行一些预处理操作，以使其适合最小二乘法的应用。
预处理操作可能包括去噪、平滑、灰度化、边缘检测等。
3.图像配准：在进行影像相关之前，需要进行图像配准，以确保两个影像的像素点对齐。
图像配准可以通过使用特征点匹配、仿射变换或透视变换等方法来实现。
4.相关计算：最小二乘影像相关使用相关系数作为衡量两个影像之间的相似性的指标。
相关系数的计算可以使用最小二乘法。
首先，从两个影像中选择一个作为模板图像，记为T(某,y)。
然后，将另一个影像记为I(某,y)。
对于T中的每一个像素点(某,y)，计算与I中对应像素点的相关系数。
假设I(某,y)的相对坐标为(u,v)，相关系数的计算公式为：R(u,v)=Σ[T(某,y)I(某+u,y+v)]其中Σ表示求和，u和v表示相对偏移量。
通过在整个图像上滑动模板图像，可以获得相关系数矩阵R(u,v)，表示两个影像在不同偏移量下的相似度。
5.相关结果分析：根据相关系数矩阵R(u,v)，可以确定影像的最佳匹配位置。
最小二乘影像相关通常会找到相关系数矩阵中的最大值或最小值，以确定影像的最佳匹配点。
最小二乘影像相关可以应用于多个领域，如图像配准、运动估计、目标跟踪等。
它的优点是计算简单，不对图像内容做任何假设，适用于多种类型的影像。
仿射变换关系
仿射变换关系啥是仿射变换关系？这玩意儿听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，它就像是一个神奇的魔法，能把图形变得奇奇怪怪又妙趣横生。
比如说，你画了一个正方形，通过仿射变换，它可能就变成了一个斜着的菱形，或者一个拉长的长方形。
这是不是很神奇？就好像你原本好好站着，突然被一阵风吹得歪七扭八，但还是你这个人，只是姿势变了。
那仿射变换到底是咋回事呢？它其实就是对图形进行一系列的操作，比如平移、旋转、缩放、倾斜等等。
这就好比你给一个玩具车，一会儿推着它往前走，一会儿又转个弯，一会儿把它拉长，一会儿又给它歪着放。
咱们来具体说说这些操作。
平移，不就是把整个图形在平面上挪来挪去嘛，就像你把桌子从这个房间搬到那个房间。
旋转呢，就是让图形围着一个中心点转圈圈，好比你拿着风车迎风转动。
缩放呢，就是把图形放大或者缩小，这就像你用放大镜看东西，或者把照片缩小了保存。
倾斜呢，就像是把一块木板斜着放，图形也跟着斜了。
再想想，如果把这些操作组合起来，那能变出多少花样啊！这就像你做菜，单独的调料可能不咋样，但是把盐、糖、醋、酱油啥的巧妙组合，就能做出各种美味佳肴。
仿射变换在很多地方都有用呢！比如在计算机图形学里，能让画面变得更酷炫；在数学解题的时候，能帮咱们找到一些隐藏的规律；在设计领域，能创造出独特的图案和造型。
你说，要是没有仿射变换，那得多无聊啊！世界都变得一成不变，哪还有那么多新奇好玩的东西。
所以啊，仿射变换关系可不是什么遥不可及的神秘魔法，它就在咱们身边，给咱们的生活和学习带来了好多惊喜和便利。
咱们可得好好琢磨琢磨它，说不定哪天就能用它搞出大发明呢！。
计算机图形学中仿射变换的教学
第2期
教育与教学研究
137
序。对教材中略过的 2D 变换，做出辅助图示详 细讲解；而对教材中详细展开的 3D 变换，则只 讲概要，讲解 3D 与 2D 变换的不同之处。
（3）扩展仿射变换，进行综合应用。从空间 一个点的变换，扩展到空间的一条线段，再扩展 到用线段表达的 3D 物体，最后进入 3D 级综合 变换。 1.1 相关数学原理
本科生在实验中能绘制出 3D 图形是有成就 感的，但对具体操作过程中遇到 3D 立体级联变 换、消隐及相应的矩阵变换，觉得难理解，影响 后续综合应用。有些学校在本科生的计算机图形
学课程中，只简单介绍 3D 知识点 [1]。本科生对 仿射变换的迷茫主要体现在：①能理解 3 个基本 的仿射变换对应 3 个矩阵，但难理解 3D 综合变 换到底由几个基本仿射变换组成、顺序是什么； ②能调用 OpenGL 函数完成单一的基本变换，但 没掌握好原理，无法应用在具体的综合变换中。
1.2 2D 仿射变换 教师演示一个 2D 的点在笛卡尔坐标系中的
变换，向学生提问：如何计算变换前后的坐标 位置？引出计算一个点仿射变换的坐标位置计 算方法，并用矩阵表示；接着，展示较复杂变 换是上述 3 种仿射变换的综合；然后，指出“由 多个像素点所表达的物体，其中一个点是怎么 变换的，该物体上的其他点做相同变换，和同 一个变换矩阵做相乘”。 1.2.1 基本 2D 仿射变换
第2期 136 2017 年 2 月 10 日
计算机教育
Computer Education
文章编号：1中图分类号：G642
计算机图形学中仿射变换的教学
章夏芬，朱昌明
（上海海事大学 信息工程学院，上海 201306）
摘 要：针对计算机图形学中三维立体绘制和变换涉及的数学理论太多、内容抽象、难以理解、难以 综合应用的问题，分析三维仿射变换的数学基础、难理解的理论点、综合应用难点，提出浅入深出的 理论讲解法，用实践综合和拓展法相结合的方式启发学生对综合变换应用的设计兴趣，为计算机图形 学讲授仿射变换的教学者提供教学思路和参考。 关键词：计算机图形学；三维仿射变换；浅入深出；综合拓展
仿射变换原理解析
仿射变换原理解析仿射变换是一种常用的几何变换方法，它可以对图像进行平移、旋转、缩放、错切等操作。
在计算机图形学和计算机视觉中，仿射变换被广泛应用于图像配准、图像纠正、图像合成等领域。
仿射变换的原理可通过矩阵运算来表示。
一个二维平面上的点P(x,y)，经过仿射变换后的坐标P'(x',y')可以表示为：[x'][abc][x][y']=[def]*[y][1][001][1]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵的参数，称为仿射变换的系数。
通过改变这些参数的值，可以实现不同的仿射变换效果。
1.平移变换平移变换是将图像在平面上按照一定的平移向量进行移动。
平移变换的变换矩阵为：[1 0 tx][0 1 ty][001]其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方向上的平移量。
平移变换的效果是保持图像的大小、形状和方向不变，只是改变了图像的位置。
2.旋转变换旋转变换是将图像绕着一个固定点旋转一定角度。
旋转变换的变换矩阵为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][001]其中，θ为旋转角度。
旋转变换的效果是改变图像的方向和位置，但保持了图像的大小和形状不变。
3.缩放变换缩放变换是改变图像的大小。
缩放变换的变换矩阵为：[sx 0 0][ 0 sy 0][001]其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。
当sx和sy大于1时，图像会放大；当sx和sy小于1时，图像会缩小。
缩放变换可以同时改变图像的大小和形状。
4.错切变换错切变换是将图像在平面上按照一定的角度进行倾斜。
错切变换的变换矩阵为：[1 shx 0][shy 1 0][001]其中，shx和shy分别表示在x轴和y轴方向上的错切值。
错切变换的效果是改变图像的形状，但保持了图像的大小和方向不变。
总结来说，仿射变换可以通过矩阵运算来实现常见的平移、旋转、缩放和错切等几何操作。
它通过改变变换矩阵的参数，可以灵活地控制图像的各种变换效果。
移动最小二乘图像变形方法研究的开题报告
移动最小二乘图像变形方法研究的开题报告一、选题背景及意义在计算机视觉领域中，图像处理一直是一个热门的研究领域。
图像变形是图像处理中的一个重要技术，可以用于图像纠正、旋转、缩放等操作。
通常情况下，常用的变化方法包括仿射变换、欧氏变换、透视变换等。
然而，在实际应用中，由于变形参数缺乏可靠的先验信息，导致变形精度存在一定的不确定性和误差，影响了图像处理的效果。
针对这一问题，最小二乘方法被广泛应用于图像变形中，通过寻找最小化误差的变形参数，达到最优变形的效果。
然而，传统的最小二乘方法中在计算图像变形时，局限于整幅图像作为一个整体来变形，对于局部图像变形较为困难。
因此，本文拟在传统的最小二乘变形方法上进一步探索，在图像变形过程中引入移动最小二乘的思想，通过将图像分割成多个小块，逐个进行变形，并且通过块之间的相互匹配来保证全局变形精度。
这种方法相对于传统方法，可有效提高图像变形精度，保证图像的质量，从而在图像处理领域有着重要的研究价值和实际应用价值。
二、研究内容及方法本文主要研究移动最小二乘图像变形方法，其中包括以下方面：1. 提出一种基于移动最小二乘的多块图像变形方法，实现图像局部变形，并将块间变形误差反馈到整个图像中，提高全局变形精度。
2. 建立基于模板匹配的相邻块之间的变形模型，实现图像变形过程中的块间匹配。
3. 通过实验数据对提出的多块图像变形方法进行检验和分析，验证其对图像变形精度和鲁棒性的影响。
研究方法主要包括理论分析和实验研究。
在理论分析中，将针对移动最小二乘图像变形方法进行数学模型的分析和建立，包括图像分割、变形误差的量化和优化等方面；在实验研究中，通过测试不同图像，不同图像大小和不同块大小等条件下的变形效果，验证所提出方法的有效性和鲁棒性。
三、预期成果预期成果包括：1. 提出一种基于移动最小二乘的多块图像变形方法，实现图像局部变形，提高全局变形精度。
2. 建立基于模板匹配的相邻块之间的变形模型，实现图像变形过程中的块间匹配。
vtk 最小二乘拟合样条曲线-概述说明以及解释
vtk 最小二乘拟合样条曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述VTK（Visualization Toolkit）是一个强大的开源工具集，用于可视化和图形处理。
它提供了广泛的功能和算法，可用于创建、操作和呈现各种类型的数据。
其中一个重要的功能是最小二乘拟合样条曲线，它通过拟合一条曲线来逼近一组数据点的分布情况。
在实际应用中，我们经常需要对数据进行分析和预测。
然而，数据通常是离散的，不能直接用于建立模型。
这时，我们可以借助于最小二乘法来找到最佳拟合曲线，从而更好地理解和描述数据。
最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，来确定曲线的形状和位置。
在VTK中，最小二乘拟合样条曲线的实现可以基于不同的插值方法，如Bezier曲线、B样条曲线等。
最小二乘拟合样条曲线在实际应用中具有广泛的应用场景。
例如，在地理信息系统中，我们可以利用这种方法来对地形地貌进行建模和分析。
此外，在图像处理和计算机辅助设计领域，最小二乘拟合样条曲线也是常用的技术手段。
本文将介绍VTK的基本概念和最小二乘法的原理，并详细阐述最小二乘拟合样条曲线的实现步骤。
通过具体的案例分析和实验结果，我们将验证该方法在数据拟合方面的有效性和可靠性。
接下来的章节将逐步展开对VTK和最小二乘法的介绍，以及最小二乘拟合样条曲线的具体实现过程。
在结论部分，我们将对实验结果进行总结，并展望未来在该领域的研究方向和发展趋势。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解VTK最小二乘拟合样条曲线的基本原理和实际应用，为进一步探索和研究相关领域提供指导和借鉴。
1.2文章结构文章结构：本文主要按照以下结构进行阐述和论证。
首先，在引言部分，对本文的背景和研究意义进行了描述。
然后，在正文部分，首先介绍了VTK （Visualization Toolkit）的基本概念和特点，包括其在计算机图形学和可视化领域的应用。
接着，详细介绍了最小二乘法的原理和在数据拟合中的应用，解释了其在样条曲线拟合中的重要性和优势。
计算机图形学实验报告几何变换
计算机图形学实验报告计算机图形学实验报告姓名徐沛华班级1011 学号20101851 成绩实验名称二维图形的几何变换1．对平面图形进行平移、缩放、旋转、对称实验目的实验步骤算法分析：图形变换是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。
图形变换既可以看作坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；也可以看作图形不动而坐标系变动，变动后，该图形在新的坐标系下具有新的坐标值。
设（x,y）为图形原坐标值，经几何变换后坐标值变为（**,x y）。
以下为四种常用的几何变换公式。
(a) 平移变换：平移变换在前面的任务中已经用到过，它的变换公式为：[]**100,,1,,1010,,11x yx yx y x y x T y TT T⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(b) 旋转变换：绕原点旋转的变换公式为：[][] **cos sin0,,1,,1sin cos0cos sin,sin cos,1001x y x y x y x yθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=⋅-⋅⋅+⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(c) 放缩变换：[]**00,,1,,100,,1001xy x ySx y x y S S x S y⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦几种变换可以组合在一起形成复合变换。
例如平移变换与旋转变换组合得到：(d) 相对点00(,)x y的旋转变换：[]**0000cos sin0 ,,1,,1sin cos0(1cos)sin(1cos)sin1 x y x yx y y xθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⋅+⋅-⋅-⋅⎣⎦ii、算法程序：void CZhouView::pingyi(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x+100,m_nPoint1.y+100);dc.LineTo(m_nPoint2.x+100,m_nPoint2.y+100);}void CZhouView::xuanzhuan(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo((m_nPoint1.x*cos(0.5))-(m_nPoint1.y*sin(0.5)),(m_nPoint 1.x*sin(0.5))+(m_nPoint1.y*cos(0.5)));dc.LineTo((m_nPoint2.x*cos(0.5))-(m_nPoint2.y*sin(0.5)),(m_nPoint2 .x*sin(0.5))+(m_nPoint2.y*cos(0.5)));}void CZhouView::bili(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x*2,m_nPoint1.y*2);dc.LineTo(m_nPoint2.x*2,m_nPoint2.y*2);}void CZhouView::XCQ(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x+100,m_nPoint2.y);}void CZhouView::DC(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.y,m_nPoint1.x);dc.LineTo(m_nPoint2.y,m_nPoint2.x);}dc.MoveTo(m_nPoint1.y,m_nPoint1.x);dc.LineTo(m_nPoint2.y,m_nPoint2.x);}void CZhouView::YCQ(){CClientDC dc(this);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y);dc.MoveTo(m_nPoint1.x,m_nPoint1.y);dc.LineTo(m_nPoint2.x,m_nPoint2.y+100); }//OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point) case 8:pingyi();break;case 9:xuanzhuan();break;case 10:bili();break;case 11:XCQ();break;case 12:YCQ();break;case 13:DC();break;编译，运行：平移：。
_作业3：仿射变换
根据给定的控制点， 请按最小二乘法解算出仿射变换的六个参数 a0、 a1、 a2、 bo、b1、b2 的值，并计算中误差。要求：1.提交计算的过程 word 文档；2.公式均 要求编号，格式完整，表达清晰。 控制点如下： No. (x,y) (X,Y) 1 (1,2) (32,33) 2 (2,3) (63,54) 3 (4,1) (66,75) 4 (5,2) (90,93) 5 (3,2) (65,63) 解：根据图形变换原理，得出坐标变换公式 X=a0+a1x+a2y Y=b0+b1x+b2y (1-1) 设∆x、∆y表示转换坐标和理论坐标之差，则有 ∆x=X-(a0+a1x+a2y) ∆y=Y-(b0+b1x+b2y) (1-2) 按照上述差值平方和最小的条件，对 a0、a1、a2、bo、b1、b2 分别求导
∆������ 2 + ∆������ 2 ������
������������
������ 2 =
������ y + ������2
可得，������������ ≈ ±1.95(保留两位小数)
������∆x 2 ������������ ������
= 0, ������������ = 0, i=0,1,2
������
������∆y 2
(1-3)
先对 a0、a1、a2、求导则可以得到如下方程 X1=a0+a1x1+a2y1 x1X1=(a0+a1x1+a2y1)x1y1X1=(a0+a1x1+a2y1)y1 X2=a0+a1x2+a2y2 x2X2=(a0+a1x2+a2y2)x2 y2X2=(a0+a1x2+a2y2)y2 X3=a0+a1x3+a2y3 x3X3=(a0+a1x3+a2y3)x3 y3X3=(a0+a1x3+a2y3)y3 X4=a0+a1x4+a2y4 x4X4=(a0+a1x4+a2y4)x4 y4X4=(a0+a1x4+a2y4)y4 X5=a0+a1x5+a2y5， x5X5=(a0+a1x5+a2y5)x5 , y5X5=(a0+a1x5+a2y5)y5 (1-4) 同理，对 bo、b1、b2 分别求导，然后再求和化简可得 ������0 n + ������1 ������ + ������2 ������ = ������ ������0 n + ������1 ������ + ������2 ������ = ������ ������0 ������0 ������ + ������1 ������ + ������1 ������ 2 + ������2 ������ y + ������2 ������������ = ������������, ������������ ������0 ������0 ������ + ������1 ������ + ������1 ������ 2 + ������2 ������ 2 = ������������ = ������������ (1-5) 式（1-5）中： n=5， ������ = 15， ������ = 10，将已知量代入式中，通过消元法可得 a0=-6.3,a1=14.5,a2=13 bo=9.6, b1=15, b2=4.5 根据中误差的公式 ������������ = ±
最小二乘法反演
最小二乘法反演
最小二乘法反演是一种常见的数据反演方法，主要用于解决由某些因素引起的观测数据与模型之间的不匹配问题。
该方法基于最小化观测数据与模型之间的残差平方和，通过调整模型参数来拟合观测数据，从而得到最优解。
最小二乘法反演在地球科学领域有着广泛的应用，如地震勘探中的速度模型反演、重力勘探中的密度模型反演等。
该方法可通过迭代算法或者矩阵求逆等方式实现，具有简单易懂、计算速度快等优点。
然而，最小二乘法反演也存在一些不足之处。
例如，对于非线性问题，该方法可能会陷入局部最优解，从而导致反演结果不准确。
此外，该方法也无法处理不确定性和噪声等干扰因素，需要借助其他方法进行补充。
总的来说，最小二乘法反演是一种重要的数据反演方法，具有广泛的应用前景。
但在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的参数设置和算法策略，以提高反演结果的可靠性和准确性。
- 1 -。
仿射变换参数估计介绍
i ,i 1 m 1 M
式中：
i ,i 1 k ,l =
，表示 Li 层的点 k到层
i ,i 1
表示第m只蚂蚁留 Q 为信息素强 下信息增量， 为信息素挥发系数， 度系数。让M个蚂蚁Ant完成一次搜索之后，得到 一个最优解 X 1 ，重复以上过程，依次得到 X 2 、
仿射变换参数估计
1
仿射变换参数估计
图像几何变换
刚体变换 仿射变换 投影变换 非线性变换
一幅图像中的两条直线经过变 换后映射到另一幅图像上仍然为 直线，并且保持平行关系，则这 样的变换称为仿射变换。
基本概念
2
仿射变换参数估计
仿射变换模型
x '
y ' 1 x
a11 a12 y 1 b21 b22 tx t y
,i 1 k ,l
t 1 1
i ,i 1 k ,l
i ,i 1 k ,l
基于蚁群算法的仿射变换参数估计
21
仿射变换参数估计
i ,i 1 m k ,l
Q * Fm 0
若第n只蚂蚁在本次循环中经过 k , l 否则
0 0 1
尺度+旋转+偏移
a11 a12 b b 21 22
基本概念
平移
t x
ty
3
仿射变换参数估计
clear all;clc; img_M = imread('M.jpg'); img_W = imread('W.jpg'); %仿射变换参数 theta = -pi/4; sx = 0.707; sy = sx; sh = 0.2; sv = 0.3; delta_x = 50; delta_y = delta_x;
最小二乘法汇总及matlab仿真
图 2 一般最小二乘方差变化过程
3
西安交通大学科技报告 zhistar@
2. 遗忘因子最小二乘算法
采用的辨识模型与例 1 相同。
2.1. 一次计算法
⎛ ⎜
^
a1
⎞ ⎟
⎛ -1.4990⎞
^
θ LS
⎜^ ⎟
=
⎜ ⎜
a2
^
⎟ ⎟
=
(H
*T L
H
* L
)−1
H
*T L
Z
* L
⎜ b1 ⎟
⎜
图 1 一般最小二乘参数过渡过程 .....................................................2 图 2 一般最小二乘方差变化过程 ....................................................3 图 3 遗忘因子法参数过渡过程 ........................................................5 图 4 遗忘因子法方差变化过程 ........................................................6 图 5 限定记忆法参数过渡过程 ........................................................8 图 6 限定记忆法方差变化过程 ........................................................8 图 7 偏差补偿最小二乘参数过渡过程 ..........................................10 图 8 偏差补偿最小二乘方差变化过程 ..........................................10 图 9 增广最小二乘辨识模型 ..........................................................11 图 10 增广最小二乘参数过渡过程 ................................................12 图 11 广义最小二乘参数过渡过程 ................................................14 图 12 广义最小二乘方差变化过程 ................................................14 图 13 辅助变量法参数过渡过程 ....................................................16 图 14 辅助变量法方差变化过程 ....................................................16 图 15 二步法参数过渡过程 ............................................................18 图 16 二步法方差变化过程 ............................................................18
空间直角坐标转换之仿射变换
空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。
该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。
同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。
两组点云怎么计算仿射变换
两组点云怎么计算仿射变换1. 引言1.1 引言点云技术是近年来兴起的一种重要的三维数据处理技术，它通过采集到的大量点数据来描述物体的表面形状和外观特征。
而仿射变换则是一种线性变换，可以用来描述点云在空间中的平移、旋转、缩放和错切等操作。
在实际应用中，经常会遇到需要计算两组点云之间的仿射变换的情况，比如点云配准、模型对齐等。
本文将介绍两组点云如何计算仿射变换的步骤，以及常用的点云配准算法和相关算法的优缺点。
通过深入理解点云和仿射变换的基本原理，可以更好地应用这些技术解决实际问题，为三维数据处理领域的发展做出贡献。
结合实践经验和理论知识，我们能够更加灵活地处理和分析点云数据，为工程实践和科学研究带来更多的可能性和机遇。
【引言】部分结束。
2. 正文2.1 什么是点云点云是由大量三维点坐标组成的数据集合，通常表示现实世界中的物体或场景。
每个点的坐标可以包括位置、颜色、法向量等信息，用于描述物体的表面形状和外观特征。
点云通常由激光扫描仪或摄像头等设备采集得到，是数字化模型或场景的一种表示形式。
点云数据可以用于许多应用领域，如计算机视觉、机器人技术、地图制作、三维重建等。
通过对点云数据的处理和分析，可以实现物体识别、形状分析、运动追踪、场景重建等功能。
点云还可以与其他类型的数据结合，如图像、声音、视频等，进行多模态信息融合和综合分析。
在计算机视觉领域，点云是一种重要的数据形式，广泛应用于物体识别、目标跟踪、姿态估计、立体匹配等领域。
随着硬件设备和算法的不断进步，点云的采集和处理技术也不断发展，为各种应用场景提供了更加丰富和精细的数据信息。
通过对点云数据的处理和分析，可以更好地理解和处理现实世界中复杂的三维场景，为人类生活和工作带来更多便利和可能性。
2.2 什么是仿射变换仿射变换是指在几何学中，保持点的共线性和距离比例不变的一类变换。
具体来说，对于二维空间中的点，仿射变换可以表示为：\[\begin{bmatrix}x' \\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a &b &c \\d &e &f \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\1\end{bmatrix}\]\[x', y'\]是变换后的点的坐标，\[x, y\]是变换前的点的坐标，\[a, b, c, d, e, f\]是变换矩阵的元素。
计算机图形学报告_仿射变换最小二乘法
计算机图形学报告仿射变换最小二乘法姓名：班级：学号：仿射变换的定义仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
一个对向量平移一般可用如下公式表示：等价于：仿射变换可以由以下基本变换复合而成：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear），这些基本的变换如下图1表示：图1下图2中变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')图2最小二乘法最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
这是一个示例：某次实验得到了四个数据点：、、、（图3红色的点）。
我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组的和：图3最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得到。
如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：也就是说直线是最佳的。
仿射变换最小二乘法景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
而仿射变换的参数可以用最小二乘法进行估算。
设原图像为f(x,y)，畸变后的图像为F(X',Y')，要将F(X',Y')恢复为f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐标与(x,y)坐标的转换关系，这个转换关系称为坐标变换，表示为(x,y)=T(X',Y')。
景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
先计算出坐标变换的系数，仿射变换的表达式为:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋转矩阵，Q是2*1的平移向量，P、Q即为仿射变换参数，即：x= AX' + BY' + Cy= DX' + EY' + F因此，几何畸变的校正归根结底为坐标转换系数A,B,C,D,E,F的求解。
仿射变换 算法
仿射变换算法
仿射变换是一种常见的几何变换，它可以将一个平面上的图形变换为另一个图形。
在计算机图形学中，仿射变换的应用非常广泛，可以用于图像处理、计算机视觉、虚拟现实等领域。
仿射变换可以用一个矩阵表示，这个矩阵包含了平移、旋转、缩放和剪切等变换的参数。
在实际应用中，我们通常需要通过已知的点对来求解仿射变换的矩阵。
这个过程可以通过线性代数的方法来完成，比如最小二乘法、奇异值分解等。
在计算机图形学中，我们通常需要对图像进行仿射变换，比如将一个图像旋转、缩放或者是校正图像的畸变。
这时候我们可以使用opencv等计算机视觉库中提供的函数来实现。
在使用这些函数时，
我们只需要传入原始图像和变换矩阵即可完成变换操作。
总的来说，仿射变换算法是计算机图形学和计算机视觉中非常重要的基础算法，掌握这些算法对于从事相关领域的工作者来说是非常重要的。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算机图形学报告仿射变换最小二乘法
姓名：
班级：
学号：
仿射变换的定义
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
一个对向量平移一般可用如下公式表示：
等价于：
仿射变换可以由以下基本变换复合而成：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear），这些基本的变换如下图1表示：
图1
下图2中变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')
图2
最小二乘法
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
这是一个示例：某次实验得到了四个数据点：、、、
（图3红色的点）。
我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线
，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组
的和：
图3
最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：
最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得
到。
如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：
也就是说直线是最佳的。
仿射变换最小二乘法
景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
而仿射变换的参数可以用最小二乘法进行估算。
设原图像为f(x,y)，畸变后的图像为F(X',Y')，要将F(X',Y')恢复为f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐标与(x,y)坐标的转换关系，这个转换关系称为坐标变换，表示为(x,y)=T(X',Y')。
景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
先计算出坐标变换的系数，仿射变换的表达式为:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋转矩阵，Q是2*1的平移向量，P、Q即为仿射变换参数，即：
x= AX' + BY' + C
y= DX' + EY' + F
因此，几何畸变的校正归根结底为坐标转换系数A,B,C,D,E,F的求解。
为了防止出现空像素，一般采用反向映射，由最小二乘法得(matlab)：
vec1 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*U;
vec2 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*V;
其中vec1＝[A B C]'; vec2 =[D E F]'; X Y U V I分别是x，y，X', Y', 1构成的向量。
最小二乘法估计就是估计原始坐标点与经过变换后的坐标点之间的关系，从通过这种关系进行矫正图像，大体步骤如下：
应用
对于处理图形畸变上，最小二乘仿射变换可以通过处理畸变的图形，还原图像原始形状。
另外，在测绘方面，最小二乘与仿射变换有着巨大的应用价值。
文献7给出了一种不同坐标系统间转换的方法，在不同的地图坐标系中，使用最小二乘与仿射变换求取变换矩阵，完成坐标系间的转换。
文献8则是研究地图数字化扫描的问题，使用最小二乘与仿射变换解决因分辨率、扫描设备带来的地图扫描不精确的问题。
参考资料
[1] 百度百科.仿射变换. /view/954621.htm 2013.09.17
[2] wiki百科.仿射变换./wiki/仿射变换2014.09.13
[3] ChenLee_1.仿射变换./carson2005/article/details/7540936 2012.05.07
[4] wiki百科.最小二乘法. /wiki/最小二乘法2014.11.11
[5] 百度百科.超定线性. /view/5113042.htm 2011.01.20
[6] fengbingchun.在图像变换中用最小二乘法求解仿射变换参. /fengbingchun/article/details/5969193 2010.10.27
[7] 孔建, 姚宜斌, 许双安. 整体最小二乘求取坐标转换参数[J]. 大地测量与地球动力学, 2010, (3).
[8] 岳东杰, 梅红. 地图扫描矢量化误差的最小二乘配置法处理研究[J]. 测绘科学, 2007, (2):51-53.。