二次三项式

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二次三项式的因式分解(用公式法)

1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。

2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。

3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。

4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。

10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。

11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。

12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。

14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。

15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。

20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。

22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。

23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。

27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。

二次三项式一元二次方程、一元二次不等式、二次函数四个“二次”

二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数四个“二次”综合题的解题途径一、关于二次函数y=ax 2+bx+c 的图象 1、函数表达式: ○1一般形式: y=ax 2+bx+c ○2标准形式: y=a(x-m)2+n ○3两点形式: y=a(x-x 1)(x-x 2) 2、若图象经过（m,n ）⇔am 2+bm+c=n特例：○1图象在y 轴上的截距为t ⇔ c=t ○2图象经过原点⇔c=0 ○3图象与轴交于点(1,0) ⇔ a+b+c=0 3、顶点在y 轴左侧 ⇔ -2ba< 0 ○1顶点在y 轴右侧 ⇔ -2b a> 0 ○2顶点在x 轴上方 ⇔ 244ac b a -> 0○3顶点在x 轴下方 ⇔ 244ac b a-<0○4顶点在直线y=kx+m ⇔ -2b a k+m= 244ac b a- .○5顶点位置最高 ⇔244ac b a - 取得最大值 .○6顶点位置最低 ⇔ 244ac b a-取得最小值.4、图象于x 轴交于两点⇔ f(x)=0有两个不相等的实数根⇔ a ≠0,△>0 图象与x 轴相切 ⇔f(x)=0有两个相等的实数根⇔a ≠0,△=0. 图象与x 轴相离 ⇔ f(x)=0 无实数根 ⇔a ≠0,△<0.5、图象与x 轴的两个交点位置.○1在y 轴两侧 ⇔ f(x)=0两个实根异号⇔a ≠0,△>0，c a<0. ○2在y 轴同侧 ⇔ f(x)=0两个实根同号⇔ a ≠0 ,△>0，c a>0. ○3都在y 轴右侧⇔f(x)=0两个正实根⇔△>0, -2b a >0, c a>0 . ○4都在y 轴左侧⇔ f(x)=0两个负实根⇔ △>0, -2b a <0, c a>0. ○5图象与x 轴的两交点距离为s ⇔ a ≠0,△>0,∣x 1-x 2∣=s ⇔22s a ∆=.特别当a =1时○6图象与x 轴的两交点在x=m 的两侧⇔ a>0,f(m)<0,a<0, f(m)>0 ⇔ af(m) <0 ⇔f(x)=0 的一根比m 大一根比m 小。

二次三项式的因式分解

例 1 在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x .分析对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.解（1）∵ 方程3222--x x 0=的根是 522522212)3(14)22(222±=±=⨯-⨯⨯-±=x∴ 52,5221-=+=x x ∴3222--x x )52)(52(+---=x x（2） ∵ 方程01842=-+-x x 的根是 2328348)4(2)1()4(4882±=-±-=-⨯-⨯-⨯-±-=x ∴232,23221-=+=x x ∴)232)(232(41842--+--=-+-x x x x )322)(322(+----=x x说明分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.例 2把22542y xy x --分解因式.分析此二次三项式中有两个字母x 和y ，在分解时可以把它看作是其中一个字母（如x ）的二次三项式，而另一个字母（y ）可看作是已知数.解 ∵ 关于x 的方程22542y xy x --0=的根是22)5(24)4(422⨯-⨯⨯--±=y y y x 41424y y ±= y 2142±=， ∴.2142,214221y x y x -=+= ∴)2142)(2142(254222y x y x y xy x --+-=-- 说明分解的结果不要丢掉两个一次因式里的y .例3 当k 取何值时，二次三项式k x x 2432+-（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？分析二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解，而方程是否有解由其∆的符号决定.解设k x x 2432+-0= 则k k 2416234)4(2-=⨯⨯--=∆若02416>-k ，即32<k 时方程有两个不相等的实数根. 此时k x x 2432+-在实数范围内能分解.（2）当32>k 时，k x x 2432+-不能分解. （3）当32=k 时，方程为034432=+-x x . 3232421=⨯--==x x . 此时22)32(33443-=+-x x x 为一个完全平方式.典型例题四例已知二次三项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则b 、c 的值为（）A ．1,3-==c bB ．2,6=-=c bC ．4,6-=-=c bD ．6,4-=-=c b分析与解答可利用多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形这一关系解.)32(2)1)(3(22--=+-x x x x.264222c bx x x x ++=--=∴ 4-=b 且6-=c .∴ 选D.典型例题五例已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆解对于一元二次方程02)6(92=-++-m x m x ，其中9=a ，)6(+-=m b ，2-=m c ，∴ac b 42-=∆[])2(94)6(2-⨯⨯-+-=m m 108242+-=m m原二次三项式是一个完全平方式，∴ 0=∆，即0108242=+-m m0)18)(6(=--m m∴61=m ，182=m故当6=m 或18=m 时，二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式.说明：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .典型例题六例 k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x （m 为有理数）的根为有理数？分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，需使方程的判别式∆是关于m 的完全平方式，即ac b 42-为有理数；又根据二次三项式的因式分解公式知，若使∆为完全平方式，需使关于m 的方程0=∆的根21m m =，即方程0=∆的判别式0=∆'，进而求得k 的值.解把原方程化为一般式，得0)423()44(22=+-+--k m m x m x若使方程有有理根，只需使∆为关于m 的完全平方式.[])423(14)44(22k m m m +-⨯⨯---=∆ 16162442+--=k m m若使16162442+--=∆k m m 是关于m 的完全平方式，需使 0)1616(44)24(2=+-⨯⨯--=∆'k ，即02016=+k ∴45-=k ∴当45-=k 时，方程有有理根. 说明：上述求解中多次利用根的判别式，这里有一个结论，即二次三项式c bx ax ++2为完全平方式042=-=∆⇔ac b .典型例题七例在实数范围内分解因式：22212)16)(1(a a a a a ++-++分析：在实数范围内分解二次三项式的问题，通常是采用公式法，在实数范围内分解因式，是指分解的结果中各因式的数字系数可以是实数范围内的任意实数.解把原式化为22212)16)(1(a a a a a ++-++[]222127)1()1(a a a a a a +-++++=222212)1(7)1(a a a a a a +++-++= [][]aa a a a a 4)1(3)1(22-++-++=)13)(12(22+-+-=a a a a22)1(12-=+-a a a ，0132=+-a a 的两根为2531+=a ，2532-=a ， ∴原式)253)(253()1(2--+--=a a a . 说明：本题不是直接给出二次三项式要求分解因式，而是需要综合运用因式分解的方法进行分解.对于题中所给的多项式，若直接展开后重新分组分解，则计算量较大，且有一定的难度.上述求解中，是注意到两个二次三项式中仅一次项不同，采用了整体代换方法构造出含12++a a 的二次三项式，从而达到分解因式的目的.同时，因式分解要分解到每一个因式都不能再分解之止.选择题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 465746572是以下那个多项式分解因式形成的（） A ．22272y xy x -+ B ．22372y xy x -+C ．2273y xy x -+D ．22272y xy x ++2. 分解因式：3422--x x （）A ．)2101)(2101(--++x x B ．)2101)(2101(2+---x x C ．)2101)(2101(2--++x x D ．)1022)(1022(21+---x x 3．在实数范围内分解因式241x x +-，正确的结果是（）A ．)1)(4(+-x xB ．)32)(32(+---x xC ．)1)(5(+-x xD ．)32)(32(++-+x x4. 以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y 5. 分解因式：2223y xy x -+（）A ．))(3(y x y x -+B ．)1)(31(3+-x x C ．)1)(13(+-x x D ．))(3(y x y x +- 6. 分解因式：)13()12()2(2--+--m x m x m （）A ．[])13()2()1(---+m x m xB ．[])13()2()1(-+--m x m xC ．[])13()2()1(+--+m x m xD ．[])13()2()1(+---m x m x7. 分解因式：2732++x x （） A ．)2)(31(--x x B ．)2)(13(++x x C ．)2)(31(++x x D ．)2)(1(3++x x8. 若一元二次方程02=++q px x 的两根为3-和4，则二次三项式02=+-q px x 可分解为（）A ．)4)(3(-+x xB ．)4)(3(+-x xC ．)4)(3(++x xD ．)4)(3(--x x 9．多项式22432y xy x -+在实数范围内分解因式正确的结果是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 44134413 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 441344132 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+y x y x 441344132 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 44134413答案：1. A;2. D3. B ;4. A ;5. D;6. A;7. B;8. B;9. B.判断题1. c bx ax --2)0(≠abc 是关于x 的二次三项式。

二次三项式,分解因式的技巧、窍门

二次三项式，分解因式的技巧、窍门二次三项式，ax" + bx + c ( a > 0 )，构成了中学数学的重点，一元二次方程ax" + bx + c = 0 和二次函数y = ax" + bx + c 。

解一元二次方程，通常也都是使用因式分解法。

二次三项式，分解因式通常使用【十字相乘法】，可是有些式子，使用十字相乘法，或许不知从何下手，我们看得不知所措，怎么办呢？我根据自己的经验，来讲讲自己“新一代”的方式方法，希望我们共同掌握技巧、窍门。

让我们一同探索奥秘，一同拿起新武器吧！工具/原料∙拆项分组分解因式，或者这样做草稿，分解因式就会感到方便轻松。

∙例题（1），x" ±10x ±24 ；∙例题（2），8x" ±52x ±60 ；∙配方法分解因式，解一元二次方程，对付复杂的式子，也是使用配方法。

①拆项分组分解法(1)，x" ±10x ±24正如x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式mx = (a+b)x 一分为二，变成ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。

关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。

2②一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？我们看看 x" ±10x ±24 这个二次三项式。

它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。

一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。

只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)解析版

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）【学习目标】本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．【基础知识】一、二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．二、一元二次方程应用：利率问题 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】考点一：二次三项式的因式分解例1．若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【难度】★ 【答案】．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例2．将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【难度】★ 【答案】4．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=，所以2441x x --=4．【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．例3．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．【难度】★ 【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．例4．若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【难度】★ 【答案】2211+=x ，2122-=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．例5．在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -；（3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★【答案】（1）(282222x x x -=-+；（2）(3555x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】（1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．例6．在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【难度】★【答案】（1）()()()4226233x x x x x --=++-；（2）()()423334131133x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解．【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．例7．在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【难度】★★【答案】（1）()()2412323x x x x ++=+++-；（2）()()2422626x x x x --=---+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例8．在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-= ⎝⎭⎝⎭；（3）236363613x x x x ⎛+--+= ⎝⎭⎝⎭；（4）233633623x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例9．在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★【答案】（1）21717621666x x x x ⎛⎫⎛⎫+---+=-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21231234411422x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例10．在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --；（2）2231211x xy y ++；（3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）()()22222x ax a x a a x a a --=--；（2）226363312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22117117414x y xy xy xy ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）2246462852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例11．二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【难度】★★ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．考点二：一元二次方程应用：利率问题例1．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【难度】★【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．例2．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，）．【难度】★ 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．例3．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【难度】★★【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：．【解析】注意年利率的变化．例4．李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【难度】★★ 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ，则可列方程为，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一、选择题1（2019浦东一署10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2615x x +-； B. 2373y y ++； C.2224x x --； D.2245y y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac -=-⨯⨯=-<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.2.（浦东南片2019期中4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.1562-+x x B.3732++y y C.422--x x D.22542y xy x +- 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.3.（2019曹杨10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2411x x +-； B. 2373y y ++; C. 224x x --; D. 22245x xy y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解.故答案选D.4.（青浦实验2019期中2）二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（）A. B.C. 2(x+)(x-)22D. 2(x-)(x-22【答案】D ；【解析】解：令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x ．故选D ．二、填空题5.（浦东四署2020期末9）在实数范围内分解因式：232x x --＝ .【答案】3322x x ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x --=的两根为x =，故232x x --=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 6.（青浦实验2019期中15）在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x --=的解是114x +=，214x -=，所以222x x --=2(x x ．7.（嘉定区2019期中12）在实数范围内分解因式：243x x --= ____________________．【答案】(22x x --；【解析】解：解方程x 2-x-3=0，得x=2±则：x 2-4x-3=(22x x --+.8.（西延安2019期中11）在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==11222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 9（徐教院附2019期中13）在实数范围内分解因式:241x x --=______________【答案】(22x x --；【解析】解：原式=2445x x -+-=()222x --=(22x x -+-.10（浦东新区2020期末10）在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】112(22x x ---+；【解析】解：2225x x --=21112()42x x -+-=21112()22x --=21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11=2(22x x --，故答案为：112()()2222x x ---+． 11.（浦东南片2020期末9）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5；【解析】解：当241640b ac m -=-<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等. 三、解答题12．（2019·上海八年级课时练习）在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.【答案】（1）(11x x -- （2）【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1x ﹣1（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∴原式=．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 13.（浦东南片2019期中21）在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解：（1）231x x +- （2）2232y xy x --.【答案】（1）(x x ；（2）2()()x y x y ；【解析】解：（1）令2310x x +-=，则9413∆=+=，所以1,232x -±=，故231(x x x x +-=；（2）令22230x xy y --=，则2229817y y y ∆=+=，所以1,234x y -±=，故22232()()x xy y x y x y +-=. 14.（2019曹杨10月考22）分解因式：2235a ab b --.【答案】;【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆-⨯⨯-=≥，故方程22350a ab b --=的两根为a =，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.（2019上外10月考22）如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【答案】p ≥﹣1且p ≠0；【解析】解：∵二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，∴px 2+2x ﹣1＝0有实数解，∴△＝4+4p ≥0，且p ≠0，解得：p ≥﹣1且p ≠0．16．（2019·上海八年级课时练习）阅读题：分解因式：223x x --. 解：原式22113x x =++--()214x =+- .此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +-=+-=++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。

二次三项式的因式分解

在实数范围内分解因式:
1. x 4 x 1
2
2. x 4 x 1
2
可以用配方法分解吗?
在实数范围内分解因式:
1. 3x 6 x 2
2
2. 1 3x 5x
2
3. 9 y 6 y 1
2
2
4.
9 y 6 y 1
2
关于x的方程 m 4 x nx 0 有两根为 3 2 3 2 x1 , x2 , 则二次三项式 2 2 2 m 4 x nx 可因式分解为____________
2
x 3x 2 x 3 x 40
2 2 2
4.
6.
2 x 5x 2 x 2 xy 6 y
2
2 2 a 4ab 6b 7. 8. 2 x y 7 xy 4 2 2 9. 4 x 16xy 15 y 10. a 5 16a 3 36a
在实数范围内分解因式:
1. 2 x 4
2
2. x 11x 12
2
选方法:除了提取公因式法之外,应首先考虑
公式法十字相乘法能否运用__________或______________ 进行分解.
在实数范围内分解因式:
1. x 5
2
2. 2 x 9
2
3. x 1 4x 1 6 y 5 2 y 12
2
3x 2 x 4
2 2
m 2 2m 3 8. 4 x 4 x 1 x 3x x
3 2
10.
在实数范围内分解因式: 1. 3. 5.
x 8
2 2 4
2.
2x 3y

二次三项式的因式分解

已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5）在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程（m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
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；
元之主,都在谈论着鞠言.“诸位大王！”焦源盟主出声.大殿内の谈论声消失,众人都看向焦源盟主.“废话俺就不说了,在请诸位来俺焦源混元の事候,诸位就已经知道此次会议所要商议の事情.”焦源盟主环视众人道.“确切の说,此次会议,是接着上次会议,继续召开の.”“所以,是否还有人,反对鞠言混元加入联盟?”焦源盟主问道.“俺反对！”在焦源盟主话音刚刚落下,思烺大王便是大声の开口.他反对,鞠言混元加入联盟.“思烺大王,你亲口说过,只要鞠言大王能接你三招,你便不再反对鞠言混元加入联盟.那么,现在你为何又反对?”焦源盟主看向思烺大王.“思烺大王, 你莫非要出尔反尔?或者,你不打算承认你说过の话?”焦源盟主目光凝聚,声音低沉.“呵呵……”思烺大王发出一声轻笑.他看了看焦源盟主,又看了看其他の混元之主,最后看向鞠言.“盟主,俺承认俺说过那样の话.不过,那已经是千年之前の事情了.”思烺大王冷笑着说道.他作出过那样の承诺,只是事间已过千年.“思烺大王,你呐未免就有些强词夺理了吧?”焦源盟主心中有些恼怒.“强词夺理?盟主,你可不要污蔑俺の名声.俺说の,是事实情况.千年前,俺说过若鞠言呐小畜生能挡俺三招,俺便同意鞠言混元加入联盟.呐一点,在场の绝大多数人,都知道,俺也全部承认.可是,呐件事の中间却是出了意外,呐个小畜生消失了,他失踪了千年.千年后他突然回来,那么鞠言混元加入联盟呐件事,自然要叠新商议讨论.”思烺大王笑道.他呐就是强词夺理.然而,他并不太在乎.在联盟中,谁不知道他思烺大王の霸道.“不要脸！无耻！”“毫无底线！”“你呐样の人,居然能成为混元之主?真是令人无法理解！”大殿内,一道声音响起.说话の不是别人,正是吙阳大王.吙阳大王の几句话,可是一点都不客气了,呐是打算要与思烺大王彻底翻脸了.上一次联盟会议中,吙阳大王尽量の控制了自身の言行.而呐一次,她显然不想再控制了.她决定了.谁再想对付鞠言,她就与谁翻脸.大不了,鱼死网破,联盟崩溃,大家一起完蛋.在吙阳大王说出呐几句话后,大殿之中,一片寂静.所有人,都有些震惊の看着吙阳大王.就连被辱骂の思烺大王,都有些愣申.他当然知道,吙阳大王肯定会站在鞠言那边.但是,他没想到,吙阳大王会如此の决绝和彻底.在短暂の愣申之后,愤怒の吙焰,便席卷了思烺大王の胸腔.瞬息之间,他便到了爆发の边缘.多少年了！多少年都没有人,敢如此の辱骂他思烺大王.而且,呐还是当面の辱骂,一点脸面都不给他思烺大王.就是焦源盟主,都不敢呐么做！呐个该死の女人,竟敢当着拾多个混元之主の面,辱骂他不要脸、无耻！他思烺大王,无法忍受.“吙阳贱人,你呐是找死！”思烺大王愤怒の目光盯着吙阳大王,全身申历道则沸腾,仿佛下一刻就要出手杀死吙阳大王の样子.不过他并未由于愤怒,而彻底失去理智.他还清楚,吙阳大王并不那么好杀.在拾多个混元空间之中,吙阳大王の实历虽然不是最强の那两三个混元之主, 但也是中上层次の实历.第三二八思章忍你很久了第三二八思章忍你很久了(第一/一页)吙阳大王の脸上,布满一层寒霜.她是联盟之内,唯一の女性混元之主.而在联盟中,她の性别,最初事并没有给她做事带来任何の便利.但她靠着自身の实历和能历,终于还是在联盟中获得了相应の地位,得到了别人の尊叠.方才,思烺大王骂她是贱人！她很想当场,取出自身の武器,将思烺斩杀.吙阳大王看了看鞠言,她忍不住内心中冲动の想法.她知道自身の实历,比思烺低上一些,但她忍住出手の原因,不是由于怕自身敌不过思烺,而是为鞠言.“两位,都冷静一下吧.”焦源盟主出声.焦源盟主不喜欢思烺大王,思烺大王太过跋扈了.但不喜欢归不喜欢,他还需要思烺大王の历量.在联盟之内,思烺大王の影响历太大.若思烺大王呐边出了问题,联盟必定难以为继.就算勉强维持,也无法再有历量与敌人对抗.所以再不喜欢,焦源盟主仍然需要维持着一种平衡,甚至是对思烺大王妥协.“思烺大王,你方才说の理由,太过牵强了.在俺们无尽の寿命中,千年事间,不过是短短一瞬而已.千年前达成の条件,如何说改就改呢?俺们是混元大王,不是凡人！”焦源盟主看着思烺大王说道.“盟主,你知道俺对你是尊叠の.整个联盟之内,能让俺尊叠の,也只有盟主你.”“若不是对盟主尊叠,呐个叫鞠言の小混蛋,还能活着坐在呐里?”“俺尊叠你,所以俺也希望,你能尊叠俺の看法和意见.俺还是那句话,俺不同意让呐个小混蛋加入联盟.盟主如果一意孤行,那俺只好退出联盟.”思烺大王望着焦源盟主.他在威胁焦源盟主.如果鞠言混元加入联盟,那思烺混元就退出联盟.听到思烺大王呐番话,焦源盟主心中一寒.虽然他已经预料到,思烺大王可能会以退出联盟来要挟,可他心中还是抱着一些希望.而现在,思烺大王当着那么多人の面,将呐些话说了出来.那么,就很难再有回旋の余地了.鞠言混元加入,思烺混元退出.鞠言混元,自然无法与思烺混元相比.如果是在和平の情况下,没有外在敌人の压历,那焦源盟主就不需要太考虑两个混元の实历对比.可现在,他不能失去思烺大王和思烺混元.还有,如果思烺混元退出の话,难保不会有其他混元跟着退出.思烺大王在联盟内,确实有着较强の影响历.那玄冥混元の主人玄冥大王,便一直与思烺大王亲近.如果思烺大王许诺足够の好处,玄冥大王便有可能被说动从而也退出联盟.“思烺大王,如果思烺混元退出联盟,你有没有想过,敌人会不会优先攻击思烺混元?”在吸了一口气后,焦源盟主看着思烺大王问道.敌人能够轻松の毁灭黑月混元,当然也能轻松の毁灭思烺混元.思烺混元退出联盟,那么在面临敌人攻击の事候,联盟方面要不要救援,能不能来得及救援,都会是很大の问题.“呵呵……”思烺大王笑出声.“盟主,你也不用拿呐些话来吓唬俺.俺思烺修行到几天,经历の险境数不胜数！俺,何曾怕过?大不了,俺舍弃那座混元就是.为了杀死鞠言呐个杂碎,俺宁愿舍弃一座混元.”思烺大王有些疯狂.在场の混元大王,都有些动容.“思烺,你不想留在联盟,滚就是了！”吙阳大王开口说道.吙阳大王当然也清楚,如果让焦源盟主,只能在思烺混元和鞠言混元呐两座混元中选择一个,那焦源盟主选择の必定是思烺混元.所以,她有些着急.“吙阳大王,请冷静.”焦源盟主皱眉对吙阳大王道.“俺很冷静！焦源盟主,如果鞠言混元不能加入联盟,那俺吙阳混元,立刻退出联盟.”吙阳大王与焦源盟主对望.“你……你们……”焦源盟主恼怒の看着吙阳大王.此事の焦源盟主,有些后悔了.或许,呐个鞠言就不应该出现.如果鞠言不出现,也就不会发生现在の状况,让他进退不得. 无论他做出怎样の决定,对联盟来说,似乎都不是好事.无论哪一种选择,联盟の实历都会受损.“盟主,联盟之中少一个吙阳混元,问题也不大.”思烺大王眼申一闪,对焦源盟主说道.“主上.”托连军师出声：“现在吙阳大王和思烺大王,都很难冷静下来.俺看,不如暂停会议,大家都休息几天. 等过几天,再继续商议此事.”焦源盟主明白托连军师の意思.他刚想点头,鞠言便出声了：“盟主、军师,其实俺们都知道,不管是今天就决定一个结果,还是等几天再商议.呐个结果,都是一样の,不会有哪个改变.”“为了节省大家の事间,俺觉得还是在今天,就让事情有一个结果.”鞠言继续说道.“俺感觉出盟主の为难之处,但俺觉得,呐件事也没那么难以决定.”“如果鞠言混元加入联盟,那只有思烺混元退出.联盟内,还是有拾三个混元空间.而如果鞠言混元不加入,那吙阳混元会退出,联盟内,将只有拾二个混元空间.呐不是很好选择吗?”鞠言缓缓说道.两个混元对一个混元, 只看表面,确实很好作出选择.“哈哈哈哈……”思烺大王狂笑.“鞠言小儿,就你那个该死の混元空间,算是真正の混元空间吗?你,还有

二次三项式的因式分解

图形解见图 1 4
号下的二项式的根
例 3 解不等式
},
+ 2】一 +
}二 +
!
<
劣
1 }+
卜 }一卜一
3
2 , 一二
1
1
一
二一 2
x
{<
,
解
:
一c o
簇一
Hale Waihona Puke 一3<3,
二
叹
刁
己
J
父
>
即一
3< x
; 簇2
图
14
图
:
如果二次三项式的系数的数字较大 ; 乘
把这两个系数写进去
6劣忿一 1 3 二一 5 二
得出
利用质因子分解
) (
5)
m +
:
,
选择合适的
。
和
n
(3 ,
个
= b ( 例中为+ 8 和一 1 5 )
。
就不会感到
个
太困难
1 0 劣名
又因二次三项式中的 6扩是由两个二项因式
的第一项相乘而得
1 0二
2
例如
一 12
.
5 必须是由因为一 1
(外项积 )
,
6
与一 5
的因子相乘而得
3
:
一
7大
于是一 1 5 应写成一 5 和 3 的乘
一 12 0 分解为质因子

二次三项式

二次三项式
二次三项式是一种常见的二次多项式。

二次三项式即所含各单项式最高次项的次数为2，并且有三个项组成的多项式。

形如ax²＋bx ＋c（a≠0）的多项式叫做x的二次三项式。

十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。

对于像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

那么可以直接写成结果：ax²
+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

基本式子：x²
+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

二次三项式的因式分解讲义

二次三项式的因式分解一、知识梳理：1、因式分解的定义；2、因式分解的方法；3、在实数范围内分解的条件。

二、例题讲解与练习：例、解下列方程: 因式分解:思考：步骤:1、设练习1：在实数范围内分解因式：1、 2、3、 4、练习2：在实数范围内分解因式：1、 2、3、 034206420124042222=-+=-+=-+=-x x x x x x x 34264212442222-+-+-+-x x x x x x x 进行因式分解如何对)0(2≠++a c bx ax a acb b x a ac b b x c bx ax 24,240222212---=-+-==++的根、解出方程中去到、把求得的两个根代入))((3212x x x x a c bx ax --=++231x x --11、2273x x ++12、31252--m m 2)61(32+++y y 222162)7(2)8x x x x ----、(42215_______________________________.x x +-=内分解因式：2224x ax a +-13、302=++c bx ax练习3：在实数范围内分解因式：1、 2、3、练习4：在实数范围内分解因式：1、2、练习5：练习6：思考：如果关于x 的二次三项式（是整数）在整数范围内可以因式分解，求的值。

2243x xy y --14、242340_______________________________x x --=内分解因式：2225)9(5)18x x x x -+-+16、(223x m --15、2244yxy x +--.,),)(5(202的值求可分解为可的二次三项式若关于q k q x x kx x x -+++.?,)3(?,)2(?,)1(,2432写出这个完全平方式式能分解成一个完全平方为何值时当在实数范围内不能分解为何值时当解在实数范围内能因式分为何值时当的二次三项式已知关于k k k k x x x +-a ax x 82--a a。

二次三项式判别式

二次三项式判别式《二次三项式判别式：数学里的神奇小秘密》我呀，一直觉得数学就像一个巨大的魔法世界。

在这个世界里，二次三项式判别式就像是一把神秘的小钥匙，能打开好多好多有趣的大门呢。

二次三项式，听起来是不是有点高大上？其实它就是像ax² + bx + c这样的式子，这里的a、b、c可都是有自己任务的数字哦。

那这个判别式呢，就是△ = b² - 4ac。

这小小的判别式，本事可大着呢。

就好比我们在玩游戏，这个判别式就是游戏里的一个超级规则。

有一次，我和我的小伙伴小明一起做数学题。

那道题就是关于二次三项式的。

小明看着那道题，愁眉苦脸地说：“这二次三项式怎么这么难搞啊，感觉就像一团乱麻。

”我就跟他说：“嘿，你可别小瞧它，咱们有判别式这个大法宝呢。

”当△>0的时候呀，那就像打开了一扇通往有两个不同答案的大门。

就好像我们去摘苹果，树上有两个不同地方的苹果可以摘到。

比如说二次三项式x² - 3x + 2 = 0，这里a = 1，b = -3，c = 2，那△ = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1，1大于0呢。

这就意味着这个方程有两个不一样的解。

我和小明一起算了算，发现解出来是x = 1和x = 2。

我们当时可高兴了，就像发现了宝藏一样。

要是△ = 0呢，这就像是只有一个苹果可摘啦。

方程就只有一个解。

我记得有个式子是x² - 2x + 1 = 0，a = 1，b = -2，c = 1，算一下△ = (-2)² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0。

这个时候，方程的解就是x = 1。

我就跟小明说：“你看，这判别式多厉害，就像一个精准的小侦探，一下子就把答案找出来了。

”小明也笑着说：“是啊，之前觉得二次三项式好复杂，现在有了这个判别式，好像也没那么可怕了。

”还有啊，当△<0的时候，这就有点像我们在找根本不存在的东西。

初中数学什么是二次三项式

初中数学什么是二次三项式二次三项式是指一个含有二次项（x^2）的三项式。

在初中数学中，我们通常会学习二次三项式的展开、因式分解以及求解相关问题。

下面我将为您详细介绍二次三项式的定义、展开、因式分解和求解相关问题的方法。

一、二次三项式的定义二次三项式是由三个部分组成的多项式，其中包含二次项（x^2）、一次项（x）和常数项。

一般的二次三项式可以表示为ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次项、一次项和常数项的系数。

二、二次三项式的展开展开二次三项式意味着将它们进行乘法运算，并将结果合并为一个多项式。

展开二次三项式的步骤如下：1. 将二次三项式的每一项按照乘法法则进行乘法运算。

例如，对于二次三项式(ax^2 + bx +c)(dx^2 + ex + f)，我们需要将每个项与其他项相乘。

2. 将乘法运算的结果合并为一个多项式。

合并时，将相同次数的项进行合并，并将系数相加。

例如，展开二次三项式(x + 2)(x - 3)的步骤如下：(x + 2)(x - 3) = x(x) + x(-3) + 2(x) + 2(-3)= x^2 - 3x + 2x - 6= x^2 - x - 6所以，二次三项式(x + 2)(x - 3)展开后得到x^2 - x - 6。

三、二次三项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积。

对于二次三项式，我们可以使用因式分解的方法将其分解为两个一次项的乘积。

例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，我们可以进行因式分解的步骤如下：1. 找到两个数的乘积等于常数项（6），并且两个数的和等于一次项的系数（5）。

在这个例子中，我们可以选择2和3。

2. 将一次项拆分为两个部分，使用选定的两个数。

在这个例子中，我们将5x拆分为2x和3x。

3. 进行拆分后的二次三项式的因式分解。

得到：x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6= (x(x + 2) + 3(x + 2))= (x + 2)(x + 3)所以，二次三项式x^2 + 5x + 6可以被因式分解为(x + 2)(x + 3)。

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