《弹性力学》第十二章薄板弯曲

上应有:
w0, w 0 n
注意到
wwco n,sxwco n,sy
n x
y
4C1a x2 2b y2 2xca2o sysb2in0
显然所设挠度 w的表达式满足固定边界条件。
27
将挠度 w的表达式代入弹性曲面微分方程
4w q D
得:
C
q0
8Da34
2 a2b2
b34
从而
w
q0 1
x2 a2
z 2 1 t
z t
20
显然，沿着薄板的厚度，应力分量 x,y,xy的最大值
发生在板面，
xz
和
yz
的最大值发生在中面，而
之最大值
z
发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，
x,y,xy在数值上较大，因而是主要应力；
xz
及
数值较
yz
小，是次要的应力；挤压应力 z 在数值上最小，是更次要
合并为：
Qx
Mxy y
xa
0
24
将Mx、Qx、Mxy与 w的关系代入，得自由边界CB 的边界条件
为：
2w x 2
2w y 2
xa
0
3w x3
2
3w xy 2
xa
0
25
第五节 薄板弯曲的直角坐标求解
用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首
先设定具有待定系数的薄板挠度 的表达式；其次利用薄
5
第一节 基本假设
薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设： （1）板厚不变假设
垂直于中面方向的正应变 z 很小，可以忽略不计。
即
，由z 几0 何方程得
，w从 而0 有：
z
wwx,y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。
（2）中面法线保持不变假设
6
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
把应力分量用应变分量表示，得：
x
E 1
2
x
y
y
E 1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
11
将应力分量用挠度w表示，得：
x
E 1 2
2w x 2
2w y 2
z
y
E 1
2
2w y 2
2w x 2
z
xy
E 1
2w xy
z
上式说明，主要的应力分量x,y,xy 沿板的厚度线 性分布。
t 2
xy 在板厚上的总和为零，只能分别合
成为弯矩 M x和扭矩M xy ；而 xz只能合
成横向剪力Q x 。
显然，在垂直于x 轴的横截面上，
每单位宽度之值如下：
dx
17
同理
t
M x
2 t
x zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
Q x
2 t
xz
dz
2
t
M y
2 t
y zdz
2
t
的一般解为:
Y m y A m cm a h y B m m a ysm h a y D 4 q 0 5 a m 4 5m 1 ,3 ,5
利用边界条件
y
b 2
(已用对称性）处，w
0,
2w y2
0
得
Am
2
2
mb
2a
th
mb
2a
q0
a4
Dm5 5ch mb
2a
Am 0
Bm
2q0a 4 Dm 5 5ch mb
则利用坐标转换公式，有：
M rM x 0 D 2 x w 2 y 2w 2 0 D d d 2w 2 rrd d w r
M M y 0 D 2 y w 2 2 x w 2 0 D 1 rd d w rd d 2 w 2 r
由于 且在OC上
My D2yw 2 2xw 2
wy0 0
即
2w x 2
0
则简支边OC 边界条件可写成：
wy0 0
2w y 2
y0
0
23
3 自由边
板边CB 为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向
剪应力都为零，即：
M x x a 0
M xy
0
xa
Q x x a 0
由于扭矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可
曲率可近似地用挠度 w表示为:
2w kx x2
ky
2w y 2
k xy
2 2w xy
所以应变分量又可写成
x kxz y k yz
xy k xy z
10
（2）物理方程
不计 z 所引起的应变，物理方程为：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
xy
2 1
E
xy
设
w Ymys
m1
inmx
a
a
b
则在x=0及x=a边界上，边
o
2
界条件
w 0,
自然满足。
2w x2
0
b
x
2
y
将w的表达式代入弹性曲面微分方程
4w q D
30
得
m 1Ym 42m a 2Ym m a 4Ymsim n a xq D 0
将q 0 展为傅立叶级数
其中 则
q0
F ysinmx
2a
若a=b，则
wmax4D q0a540.310 4.00 4
可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。
33
第六节 圆形薄板的轴对称弯曲
求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形
薄板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面向
下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 w只
是r 的函数，不随 而变。
Mxy
D1 2w
xy
8CD 1ax2by2
最大挠度为: wmaxx0,y0C
最大弯矩为（设a>b): Mmax My x0,yb8C b2 D
其中
C8Da34qa022b2b34,D121E3t2
29
例2 试求图示四边简支，
承受均布载荷 q 0 的矩形
o
q0
薄板之最大挠度。
x
z
解：取图示坐标系
的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和
扭矩。
21
第四节 薄板的边界条件
以图示矩形板为例：
1 固定边
假定OA 边是固支边界，则边
界处的挠度和曲面的法向斜率等 O
于零。即：
wx0 0
w 0 x x0
A
2 简支边
y
Cx
a
b
B
假设OC 边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My
22
等于零。 即： w y 0 0 ,M yy 0 0
一、弹性曲面微分方程 参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆
形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：
22w q D
或
dd22r1 rddrdd2w 2r1 rddw rD q
34
展开后得： d d4w 4r2 rd d3w 3rr12d d2w 2rr13d dw rD q
该微分方程的通解为
由
xz0和 yz0可知
uw0, z x
或写成 uw, vw z x z y
vw0 z y
对z进行积分，并利用 uz 00 , vz 00，得
uwz, vwz
x
于是应变分量用 w表示为:
y x
u x
2w x2
z
y
v y
2w y 2
z
xyuyxv2x2wyz
9
小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的
板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度
与应力分量的关系，求得应力分量。
例1 试求边界固定的椭圆形薄
板在承受均布载荷q 后的最大
挠度和最大弯矩。
解：在图示坐标下，椭圆薄板 的边界方程为:
x2 a2
y2 b2
1
ao x
b
y
26
设挠度的表达式为:
wC1ax22
y2 b2
2
其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界
w c1lr nc2r2lr nc3r2c4w ★
其中 w★是任意一个特解。
二、内力 从薄板内取出一个微分单
o x
y
z
元体，图示。在 r 为常量的横
截面上，弯矩和横向剪力分别
为Mr
和
Q
；在
r
为常量的横截
y
面上，则为M 和Q 。由于是轴
对称问题，故没有扭矩。
x
d r dr
z M
Mr
Q Qr
35
把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和 方向，
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的
边长为dx和dy，载荷作用后，
弯成曲面A’B’C’D’。设A点
的挠度w为 ，弹性曲面沿x和
y方向的倾角分别为 w和 w， x y
则
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
Bx
w x
B
C
C
8
B点的挠度为 w w dx
x
D点的挠度为 w w dy
y
件为：
zx z t0, 2
z y z t 0 2
13
将前面二式对z 进行积分，得：
zx21 E2 z2t42x2w
zy21 E2 z2t42y2w
再由平衡微分方程第三式，得：
z zx zy
z x y
将 zx , zy 用挠度 w表达式代入，并化简得：
z
z
E
212
t42 z24w
（1）
19
利用应力分量与挠度 w之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去w，可以给出各
应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。
x
12 M t3
x
z,
y
12 M t3
y
z
xy
12
M t3
xy
z
xz
6Q x t3
t2 4
z 2
yz
6Q y t3
t2 4
z 2
y
2 q 1 2
y2 b2
2
8D
3 a4
2 a 2b 2
3 b4
内力
Mx D2xw2 2yw2
4C 3 D a x4 2ay 2b 22a 1 2 ax 2b 223 b y 42b 1 2
28
My D2yw 2 2xw 2
4C 3 D b y 4 2ax 2b 22b 1 2 ay 2b 323 a x 4 2a 1 2
2a
Bm 0
m1,3,5 m2,4,6
32
挠度的表达式：
w4 D q 0a54m 1 ,3,5 m 1511m 4abth m 2abccm h 2 m h aa b ym 2bysm ha ysim n a x
w ma xwxa 2,y04 D q0a54m 1 ,3,5 1 m m 5 2 1 122 m 2 cab h m th b m 2ab
1~ 1 ＜t＜ 1~1 80 100 b 5 8
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
4
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应 力、应变和位移。
（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：
12
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度w表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2w x
zy
z
1
Ez
2
2w y
由于挠度w不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
M yx
2 t
yx
zdz
2
t
Q y
2 t
xz
dz
2
18
将上节给出的应力分量与挠度 w之间关系代入，并积分
得：
M
x
D
2w x 2
2w y 2
M
y
D
2w y 2
2w x 2
M
xy
M
yx
D 1 2 w
xy
Qx
D
2w x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Qy
D
2w y
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
m1 m
a
0
Fmya 20aq0sim naxd x 4 q 0
m
m为偶数 m为奇数
Y m 4 y 2 m a 2 Y m y m a 4 Y m y 4 m q 0m D 1 ,3 ,5
取微分方程的特解为： Ym ★yD 4q05am 45m1,3,5
31
并注意到挠度 w是y 的偶函数，则非齐次线性常微分方程
15
其中
Et3
D 121 2
称为薄板的弯曲刚度。
薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。
16
第三节 横截面上的内力
在薄板横截面上取一微分六面体， dy
其三边的长度分别为 dx,dy,t ,如图所
示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着
t 2
正应力 x和剪应力 xy , xz。由于 x 和
《弹性力学》 第十二章薄板 弯曲
2
第十二章 薄板弯曲
概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移
3
概述
薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的 最小尺寸b的比值满足如下条件：
14
由于挠度 w不随z 变化，且薄板有边界条件:
z zt 0 2
将（1）式对z 积分，得:
z61E 3t2
1z21z4w 2 t t
设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面
力和横向体力），板上面的边界条件为:
z zt q 2
将 z的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:
4w q D
xz0, yz0
（3）中面为中性层假设
即
u z 0 0 , v z 0 0
由几何方程得
x z 0 0 , y z 0 0 , xz 0 y 0
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
z 0
7
第二节 基本方程
按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 w为基本未知 量，把所有其它物理量都用 w来表示。