复变函数论第5章第2节

特点:
1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0
(2) 如果 z0 为函数 f ( z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
3z 2 , 例3 有理分式函数 f ( z ) 2 z ( z 2)
z z0
z 0 是二阶极点, z 2 是一阶极点.
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
sin z 1, z
sin z 那末 在 z 0 解析. z
ez 1 例2 说明 z 0 为 的可去奇点. z
1 2 1 n ez 1 1 解 (1 z z z 1) z 2! n! z 1 1 n 1 1 z z , 0 z 2! n! 无负幂项
ez 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
另解
e 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
z
ez 1 z 因为 lim lim e 1, z 0 z 0 z
定理5.3 若a为f ( z)的孤立奇点,则下列三条件等价, 因此,它们中任何一条都是可去奇点的特征 (1) f ( z)在点a的主要部分为零;
M n 0 (n 0, 0) 故n 1, 2,,时c n 0, 即f ( z)在点a的主要部分为零.
tan z 例3 确定函数f ( z ) 的孤立奇点的特征. z tan z 解 f ( z) 的孤立奇点为z 0, z tan z 由于 lim f ( z ) lim 1, z 0 z 0 z tan z 所以z 0为f ( z ) 的可去奇点. z
注1 几何意义 任一解析函数w f ( z ), f (0) 0, 当把
单位圆变到单位圆内区域时,圆内任一点z 0的像 比z距坐标原点为近, 如果有一点像与这个点本身距原 点距离相同, 则为单位圆.
y
v
z
f ( z)
0
r
1
x

w f ( z )
0
r
u
1
注2 保留假设条件, 如果原点是f ( z)的阶零点, 则
c0 c1 ( z z0 ) ( m 1, c m 0)
或写成
1 f (z) m g( z ) , ( z z0 )
那末孤立奇点 z0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶极点.
g( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 )2
f ( z)
( z)
其中 ( z)在点a的邻域内解析,且 (a) 0; 1 (3) g ( z) 以点a为m阶零点(可去奇点当解 f ( z)
( z a)wenku.baidu.com
m
(5.11);
析点看,只要令g (a) 0).
证明"(1) (2)" 若(1)为真,则在点a的某去心邻域内有
c( m1) c m c1 f ( z) m m1 ( z a) ( z a) z a
第二节 解析函数的孤立奇点
1、孤立奇点的三种类型 2、可去奇点 4、极点 6、皮卡定理
3、施瓦茨引理
5、本质奇点
1、孤立奇点的三种类型
若a是函数f ( z )的孤立奇点, 则f ( z )在a的去心邻域 内展开成洛朗级数
f (z)
n n

cn ( z a ) n
n
c n ( z a )
n1
cn ( z a )
n 0

n
主要部分
正则部分
三种类型---定义5.3
1) 如果f ( z )中不含 z a 的负幂项,即主要部分为零 那么孤立奇点a称为 f ( z )的可去奇点. 2) 如果f ( z )在点a主要部分为有限多项,设为
c
n1
m
n
(z a)
n
那么a为 f ( z ) 的m阶极点.
' 若 f ' (0) 1,则在 z 1 内有点0; 使 (0) f (0) 1, 或有z0 0, z0 1使 f ( z0 ) z0 ,
则在 z 1 内有点z0使 ( z0 ) 1; 即模 ( z) 在 z 1 内达到最大值, 由最大模原理这只有 , ( z) 常数, 且该常数模为1; ia ia f ( z ) e z. 故 ( z) e (a为常数), 亦即
定理5.5 函数f ( z)的孤立奇点a为极点的充要条件是
lim f ( z ) .
1 证明 函数f ( z)以a为极点 f ( z ) 以点a为m阶零点
z a
lim f ( z ) .
z a
注 设a为f ( z )的孤立奇点, 则a为f ( z )的m阶极点的 m lim( z a ) f ( z )存在且不为零. 充要条件是:
z a
z a
由函数极限的性质, f ( z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f ( z) M , z K {a} 考察f ( z)在点a的主要部分 c n ( z a) n n 1 1 f ( ) c n d , (n 1, 2,...) ( n ) 1 2 i ( a) 而为K内的圆周 a , 可以充分小, 于是由 f ( ) 1 1 M c n d 2 ( n ) 1 ( n ) 1 2 a 2
( z a)
m
,
其中 ( z)显然在点a的邻域内解析,且 (a) cm 0; "(2) (3)" 若(2)为真, 则在点a的某去心邻域内有
1 1 其中 在点a的邻域内解析,且 0; (z) (a)
1 ( z a) g ( z) , f ( z) ( z)
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z0 ) 0. (3) 利用极限 lim f ( z ) 判断(但不知道阶数) .
(2) lim f ( z ) b, (b );
(3) f ( z)在点a的某去心邻域内有界. 证明 "(1) (2)" 由于
f ( z) c0 c1 ( z a) cn ( z a)n (0 z a R) 故 lim f ( z ) c0 ; z a "(2) (3)" 由于 lim f ( z ) b, (b );
3) 如果f ( z )在点a主要部分为无穷多项,则称a为
f ( z ) 的本质奇点.
sin z z2 z4 z 2n n , 如： 1 (1) z 3! 5! (2n 1)!
0 z
sin z 以z 0为 可去奇点. z
2 n 2 sin z 1 1 z 2 z n ( 1) , 3 2 z z 3! 5! (2n 1)!
f ( z ) : 若极限存在且为有限值, (2)由极限判断 lim z z
0
则 z0 为 f ( z ) 的可去奇点. (3)由有界判断 若f (z)在点a的某去心邻域有界, 则 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
例1
sin z 1 2 1 4 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
1 1 f ( z) , m ( z a) ( z ) 1 因 在点a的邻域内解析,故在此邻域内有 ( z) 1 c m c ( m1) ( z a) c1 ( z a)m1 c0 ( z a )m ( z)
则f ( z)在点a的主要部分为 c ( m1) c m c1 c 1 0. , m m m1 (a) ( z a) ( z a) z a
0 z
1 1 1 1 1 1 n sin (1) , 3 2 n 1 z z 3! z (2n 1)! z
sin z 以z 0为 3 二阶极点. z
0 z
1 以z 0为 sin 本质奇点. z
2 可去奇点
(1) 由定义判断: 如果 f ( z ) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
f ( z) z ,

并且只有当f ( z) eia z 时等号才成立.
4 极点
1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
m 负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) ,
1
即
f ( z ) cm ( z z0 )m c2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
Schwarz引理
如果函数f ( z)在单位圆 z 1 内解析, 并且满足条件 f (0) 0; f ( z) 1,( z 1); 则在单位圆 z 1 内恒有 f ( z) z 且有 f ' (0) 1;
如果上式等号成立, 或在圆 z 1 内一点z0 0处 前一式的等号成立, 则(当且仅当) f ( z) eia z, ( z 1); 其中a为一实常数.
m
因此,a为g ( z)的可去奇点, 作为解析点看,只要令g (a) 0, a为g ( z)的m阶零点; 1 "(3) (1)" 由于a为g ( z ) 的m阶零点; f ( z) 则在点a的某邻域内有g ( z) ( z a)m ( z), 其中 ( z)在此邻域内解析,且 (a) 0, 这样一来
证明 设f ( z) c1z c2 z z 1,
2
f ( z) 设 ( z ) c1 c2 z 0 z 1, z ' 定义 (0) c1 f (0), 则 ( z)在 z 1 内解析,
由于 f ( z) 1 ( z 1), f ( z) 1 ; 因此对r,0 r 1, 在 z r上有 ( z ) z 1r ( z) ; 在 z r上,由最大模原理 ( z ) Max z r r 令r 1, 得 ( z) 1 ( z 1), ' 于是 f (0) (0) 1, 且当z 0时, 有 f ( z) ( z) 1; 即 f ( z) z , z
z a
课堂练习
1 求 3 的奇点, 如果是极点, 指出它的 阶数. 2 z z z 1
答案
1 1 由于 3 2, 2 z z z 1 ( z 1)( z 1)
1 (4) 由零点的阶数判别 令 g ( z ) f ( z ) 以a为m阶零点
(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0).
z z0
定理5.4 若a为f ( z)的孤立奇点,则下列三条件等价, 因此,它们中任何一条都是m阶极点的特征
(1) f ( z)在点a的主要部分为 c ( m1) c m c1 , (c m 0) m m 1 ( z a) ( z a) z a (2) f ( z)在点a的某去心邻域内能表成
1 m1 [ c c ( z a ) c ( z a ) m ( m1) 1 m ( z a)
c0 c1 ( z a) cn ( z a)n
m m1
c0 ( z a) c1 ( z a)
]
( z)