二项式定理的应用—赋值法
二项式定理难点赋值法-带答案
因为 a0 ， a2 ， a4 ， a6 ， a8 为正， a1 ， a3 ， a5 ， a7 ， a9 为负，
令 x 1 ，得 1 39 a0 a1 a2 a3 a8 a9 49 ，
a0 a1 a9 a0 a1 a2 a3 a8 a9 49
故选：B. 【点睛】 本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．A
C51 21 2 C50 5 15，即 a5 15 .
故答案为：（1） 160；（2）15
【点睛】 本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题. 12．121 【解析】 【分析】
在所给的等式中令 x 1 ， y 1,令 x 1， y 1可得 2 个等式，再根据所得的 2 个等式即
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，取 x 1 和 x 2 是解题的关键.
9．A 【解析】 【分析】 将（1+x）5 变成﹣[（﹣2）+（1﹣x）]5 后，用通项公式可求得． 【详解】 ∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，
通项T5r1 C5r 2 5r 1 x r ,
a3＝﹣ C53 （﹣2）2＝﹣40，
故选：A． 【点睛】 本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 10．ACD 【解析】 【分析】
根据题意，可把 a0 a1 x 1 a2(x 1)2 a3(x 1)3 a9(x 1)9 视作-1+2(x 1)的
二项展开式，从而可以根据二项展开式的通项公式和赋值法，即可判断正误. 【详解】 对任意实数 x，
试题分析：因为 x3 [2 (x 2)]3 a0 a1(x 2) a2 (x 2)2 a3(x 2)3 ，所以 a2 C32 21 6 ，故选择 B.
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
赋值法在高中数学中的应用
赋值法在高中数学中的应用康乐一中 倾转莉摘要： 赋值法在高中数学中应用广泛，本文总结了赋值法在高中数学中主要应用有函数方程，二项式定理，算法，恒成立问题，解选择题与填空题等。
关键字：赋值法 抽象函数 二项式定理 算法 恒等变化赋值法就是给变量赋予特殊的数值。
可以把抽象的问题具体化，把普遍的问题特殊化。
赋值法在高中数学中的应用常见在以下几个方面：一．赋值法在抽象函数性质中的应用赋值法在函数性质中应用最广，特别是应用在抽象函数中用来的判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性，求函数的值域，判断函数的周期性，求函数的解析式等方面。
（一）判断函数的奇偶性例1 已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ，x ≠0），对任意非零实数x 1x 2都有f （x 1x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），试判断f （x ）的奇偶性。
解：取x 1＝－1，x 2＝1得f （－1）= f （－1）＋（1），所以f （1）=0又取x 1=x 2=－1，得f （1）=f （－1）＋f （－1），所以f （－1）=0再取x 1=x ，x 2=－1，则有f （－x ）= f （x ），即f （－x ）=f （x ） 因为f （x ）为非零函数，所以f （x ）为偶函数。
(二)讨论函数的单调性例2． 设f （x ）定义于实数集R 上，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f （x ＋y ）= f （x ）f （y ），求证f （x ）在R 上为增函数。
证明：由f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）中取x =y =0得f （0）=f 2（0）。
若f （0）=0，令x ＞0，y =0，则f （x ）=0，与f （x ）＞1矛盾。
所以f （0）≠0，即有f （0）=1。
当x ＞0时，f （x ）＞1＞0，当x <0时，f （－x ）>1>0，而0)(1)( x f x f -=，又x =0时，f （0）=>0，所以f （x ）∈R ，f （x ）>0。
二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。
丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。
+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。
5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。
,色皿4卫8均为正，•••由(2)中©+<§)得：2(q)+ ① + ① + ©)= 一1 + 3?,一1 + 37：.a0+a2+a4+a6=—-—-I a() I +1 a】I + ・• • +1 a? 1= a。
—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。
2 + 4 +。
6)-(4 +。
3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。
二项式定理及其应用赋值法
1 n
22
Cn2
2nCnn 2187
求：Cn1
C
r n
C
n n
的值
跟踪例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5
(B)x5-1
(C)x5+1
(D)(x-1)5-1
例例22、 设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练一练
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
a0 a1x a2x2 ... a12x12 f (1) a0 a1 a2 a12 44 f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
小结
▪ 二项式定理是个恒等式，即对a、b的一切值 都成立，我们可根据具体问题灵活选取a、b 的值，一般取1、-1、0等
复习
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
(n
二项式定理的应用--求系数
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
4.导பைடு நூலகம்型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
x
为－20，则自然数n＝_______
法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得
(x 1 2)n x
的通项为
Cnk
Cnrk
x
k
(
1 x
)r
(2)nk
r
Cnk
Cr nk
x
k
r
(2)
nk
r
由题意得
kr 0
Cnk
Cr nk
(2)
nk
r
20
后续工作等同法1，操作量较大……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
lnim[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ] ____
析①:ln因im[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ]
(a0a1a2a3 a2n)(a0a1a2a3 a2n)
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲一、引言（200字）二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，它可以用于展开任意整指数幂的二项式。
在教学中，可以采用赋值法来求解各项系数的和，这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握二项式定理的应用。
本提纲将介绍如何使用赋值法来教授二项式定理求解各项系数的和，主要包括教学目标、教学步骤和教学评价等内容。
二、教学目标（200字）1.理解二项式定理的基本概念和公式；2.掌握使用赋值法求解二项式定理各项系数的和的方法；3.培养学生的逻辑思维能力和问题求解能力；4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。
三、教学步骤（600字）1.复习与导入（100字）-复习二项式定理的基本概念和公式；-引导学生思考如何求解二项式各项系数的和。
2.讲解赋值法求解各项系数的和（300字）-介绍赋值法的基本原理；-以具体的例子说明如何应用赋值法求解二项式各项系数的和；-提醒学生注意赋值时的技巧和要点。
3.练习与训练（400字）-给学生提供一些简单的练习题，要求他们使用赋值法求解各项系数的和；-引导学生思考和讨论解题思路和方法；-鼓励学生积极参与训练，提高他们的问题解决能力。
4.拓展与应用（200字）-引导学生探索更复杂的二项式定理应用问题；五、教学评价（200字）1.反馈评价（100字）-给学生提供一些评价标准，帮助他们自我评价；-鼓励学生积极参与讨论和互评，提高他们的学习和合作能力。
2.教师评价（100字）-结合学生的课堂表现、练习和思考能力等多个因素进行综合评价；-鼓励并提出学生进一步提高的建议。
六、教学反思（200字）。
二项式定理中的赋值技巧
ʏ河南省许昌市建安区第一高级中学 丁书珍ʏ河南省鄢陵县第二高级中学 刘俊霞在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解㊂即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧㊂已知(1+x )n=C 0n+C 1nx +C 2nx 2+ +C n n x n,令x =1,得2n=C 0n +C 1n +C 2n+ +C nn ㊂这就是说,(a +b )n的展开式的各二项式系数的和等于2n㊂例1 求证:在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和㊂解析:奇数项的二项式系数的和为C 0n +C 2n +C 4n + ;偶数项的二项式系数的和为C 1n+C 3n+C 5n + ㊂由于(a +b )n =C 0n a n +C 1na n -1b +C 2n a n -2b 2+ +C n nb n 中的a ,b 可以取任意实数,因此我们可以通过对a ,b 适当赋值来得到上述两个系数和㊂在展开式(a +b )n=C 0na n+C 1na n -1b +C 2na n -2b 2+ +C n nb n中,令a =1,b =-1,得(1-1)n=C 0n-C 1n+C 2n+ +(-1)kC k n++(-1)n C n n ㊂即(C 0n +C 2n +C 4n + )-(C 1n +C 3n +C 5n + )=0㊂因此,C 0n +C 2n +C 4n + =C 1n +C 3n +C 5n + ㊂故在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和㊂点评:实际上,a ,b 既可以取实数,也可以取多项式㊂我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ,b 的值㊂例2 已知(3x -1)8=a 8x 8+a 7x 7+ +a 1x +a 0,求下列各式的值:(1)a 8+a 7+ +a 1+a 0;(2)|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|;(3)a 1+a 3+a 5+a 7㊂解析:(1)令x =1,得a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28=256㊂(2)因为|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0,所以令x =-1,得:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=48=65536㊂(3)由(1)和(2)知:a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28,a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=216㊂则a 1+a 3+a 5+a 7=28-2162=27-215=-32640㊂点评:赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项㊂同时,要注意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值求解㊂同时注意这类问题的变形写法,如:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(a 8+a 6+a 4+ )-(a 7+a 5+a 3+ )等㊂对于比较繁杂式子的求值问题,22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分解等,对式子进行因式分解,再赋值求解㊂例3 已知(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 100x 100,求下列各式的值:(1)a 0;(2)a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100;(3)a 2+a 4+ +a 100;(4)(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2㊂解析:(1)令x =0,可得a 0=2100㊂(2)令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂所以a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100-2100㊂(3)令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂结合(2)可得:a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则a 0+a 2+a 4+ +a 100=(2-3)100+(2+3)1002㊂由(1)知a 0=2100㊂所以a 2+a 4++a 100=(2-3)100+(2+3)1002-2100㊂(4)由(2)知a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂由(3)知a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100)㊃(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100)=(2-3)100㊃(2+3)100=1㊂点评:一般地,对于多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ a nx n,各项系数和为f (1),奇次项系数和为f (1)-f (-1)2,偶次项系数和为f (1)+f (-1)2,a 0=f (0)㊂例4 已知(2x +1)n=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n的展开式中的各项系数和为243,求a 1+2a 2+3a 3+ +n a n 值㊂解析:令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a n =3n=243㊂解得n =5㊂对(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n求导,可得:2n (2x +1)n -1=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ +n a nx n -1㊂令x =1,可得:a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =2n ㊃3n -1=2ˑ5ˑ34=810㊂点评:观察问题中的式子,我们发现,a n前面的系数是原式x n的幂指数,先借助于求导可以实现数由指数位置向系数位置的转化,再对求导所得结果赋值即可得到该类型题的答案㊂例5 (1)若(1+m x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 6x 6,且a 0+a 1+a 2+ +a 6=64,则求实数m 的值㊂(2)已知C 4n =C 6n ,设(3x -4)n=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a n (x -1)n,求a 1+a 2+ +a n ㊂解析:(1)令x =1,可得(1+m )6=a 0+a 1+a 2+ +a 6=64㊂则1+m =2或1+m =-2㊂解得m =1或m =-3㊂(2)因为C 4n =C 6n ,所以n =10㊂则(3x -4)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 10(x -1)10㊂令x -1=0,即x =1,可得a 0=(3-4)10=1㊂令x -1=1,即x =2,可得a 0+a 1+a 2+ +a 10=(6-4)10=210㊂故a 1+a 2+ +a 10=210-1㊂点评:在与二项式定理有关的赋值求值问题中,首先要观察需要求值问题与原题中条件之间的关系,从展开式入手,通过比较,正确找出需要赋的值,才能求出正确的答案㊂(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。
特殊思维巧赋值，妙解二项式定理
ʏ江苏省扬州市邗江区第一中学 陈 力赋值法普遍适用于恒等式问题,是解决数学问题的一种重要方法㊂赋值法是通过给恒等式中的变量赋予恰当的数值或代数式后,借助数学运算与逻辑推理,最后得出结论的一种解题方法㊂而对于二项式定理问题,赋值法也是解决问题的一种基本技巧策略,经常要对二项式定理中的相关字母进行特殊赋值处理,从而得以求解相应的二项式定理及其综合问题㊂下面举例说明赋值法在解决二项式定理问题中的具体应用,供同学们复习时参考㊂一㊁参数值的求解例1 若(x +2+m )2023=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+ +a 2023(x +1)2023,且(a 0+a 2+ +a 2022)2-(a 1+a 3+ +a 2023)2=32023,则实数m 的值为㊂解析:令x +1=1,即x =0,可得(2+m )2023=a 0+a 1+a 2+ +a 2023;令x +1=-1,即x =-2,可得m 2023=a 0-a 1+a 2-a 3+ +a 2022-a 2023㊂又因为(a 0+a 2+ +a 2022)2-(a 1+a 3+ +a 2023)2=(a 0+a 1+a 2+ +a 2023)(a 0-a 1+a 2-a 3+ +a 2022-a 2023)=32023,所以(2+m )2023㊃m 2023=32023,即m (2+m )=3,解得m =-3或m =1㊂故填-3或1㊂点评:在解决含参的二项式定理问题时,利用二项关系式的特征把相应各展开式中含有幂运算的关系式整体转化为1或-1来进行特殊赋值处理,进而利用二项式定理来构建对应的方程或关系式,合理结合条件加以转化与应用,从而优化过程,简化运算㊂二㊁部分系数和的求解例2 若(2x -1)4=a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 0+a 2+a 4=()㊂A.40 B .41C .-40 D .-41解析:令x =1,可得14=1=a 4+a 3+a 2+a 1+a 0;令x =-1,可得(-3)4=81=a 4-a 3+a 2-a 1+a 0㊂以上两式对应相加,则有2(a 4+a 2+a 0)=82,解得a 4+a 2+a 0=41㊂故选B ㊂点评:在解决一些二项展开式中奇数项之和㊁偶数项之和等问题时,结合奇偶项系数的特征加以特殊赋值处理,通过1与-1的赋值来建立对应的方程,利用对应的关系式的结构特征进行相加㊁相减或因式分解等运算加以变换与应用,实现部分系数和的求值㊂三㊁各项系数和的求解例3 在x 2-3xn的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为( )㊂A.16 B .32 C .1 D .-32解析:因为二项式系数的和是16,所以得2n=16,解得n =4㊂令x =1,可得展开式中各项系数的和为(-2)4=16㊂故选A ㊂点评:涉及二项展开式中各二项式系数和的问题,往往通过二项式定理,借助变量的特殊赋值来处理(一般是变量为1,或整个涉及变量的关系式为1等)㊂解决问题时,要结合二项展开式的含参情况及关系式的结构特征,加以合理赋值与应用㊂四㊁组合数的求解例4 已知在(2x -1)n的二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则C 1n +C 2n +C 3n + +C nn 的值为()㊂A.28B .28-1C .27D .27-1解析:依题可设(2x -1)n =a 0+a 1x +41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月a2x2+ +a n x n,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B㊂则有A=a1+a3+a5+a7+ ;B=a0+a2+a4+a6+ ㊂由已知可得B-A=38㊂令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+ + a n(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+ ) -(a1+a3+a5+a7+ )=(-3)n,亦即B -A=(-3)n㊂所以(-3)n=38=(-3)8,解得n=8㊂由二项式系数的性质可得C1n+C2n+C3n + +C n n=2n-C0n=28-1㊂故选B㊂点评:涉及组合数的代数式的化简或求解问题,往往离不开二项式系数的基本性质及应用㊂在具体的解题过程中,要注意对二项式系数的基本性质的熟练掌握,以及借助二项式定理加以赋值处理的技巧与策略㊂五㊁恒等式的证明例5(教材习题 选择性必修第三册第35页习题6.3拓广探索栏目第10题)求证:2n-C1nˑ2n-1+C2nˑ2n-2+ + (-1)n-1C n-1nˑ2+(-1)n=1㊂证明:构造二项展开式(a+b)n=C0n a n+ C1n a n-1b1+C2n a n-2b2+ +C n n b n(nɪN*)㊂结合恒等式的结构特征,令a=2,b= -1,可得C0n㊃2n+C1n㊃2n-1㊃(-1)1+C2n㊃2n-2㊃(-1)2+ +C n n(-1)n=(2-1)n=1㊂所以2n-C1nˑ2n-1+C2nˑ2n-2+ + (-1)n-1C n-1nˑ2+(-1)n=1成立㊂点评:在解决一些涉及组合数的恒等式的化简㊁求值或证明问题时,通常借助构造一个二项展开式,利用二项式定理对相应的参数加以特殊赋值处理,结合关系式的变形与转化得以解决㊂在解决此类问题时,要注意结合组合数的恒等式的结构特征,选取合理的特殊值加以赋值处理㊂六㊁综合问题的应用例6(多选题)若(1-2x)2024=a0+ a1x+a2x2+ +a2024x2024,则下列结论正确的是()㊂A.a0+a1+a2+ +a2024=1B.a0+a2+a4+ +a2024=1+320242C.a12+a222+a323+ +a202422024=0D.a1+2a2+3a3+ +2024a2024= 4048解析:令x=1,可得a0+a1+a2+ + a2024=(-1)2024=1 ①,则选项A正确㊂令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+ + a2024=32024 ②㊂由①+②,可得2(a0+a2+a4+ + a2024)=1+32024,所以a0+a2+a4+ +a2024=1+320242,则选项B正确㊂令x=0,可得a0=12024=1㊂令x=12,可得a0+a12+a222+a323+ + a202422024=0 ③㊂把a0=1代入③式,可得a12+a222+a323+ +a202422024=-1,则选项C错误㊂二项式的两边对x求导,可得-4048㊃(1-2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+ + 2024a2024x2023,再令x=1,可得a1+2a2+ 3a3+ +2024a2024=4048,则选项D正确㊂故选A B D㊂点评:在解决一些涉及二项式定理的综合问题时,往往综合赋值法㊁求导法等多种技巧方法来分析与解决问题㊂解决问题时,注意挖掘二项式定理的内在特征,结合所求关系式的结构特征加以联系与联想,寻找合适的思维方法加以切入与应用㊂其实,二项式定理是一个恒等式,对一切满足二项式定理的变量的允许值都能成立㊂而借助特殊值进行巧妙赋值处理(经常令变量的值为1,-1或0等),可以使得问题的解决更加直接,分析处理起来更加简单快捷㊂在实际处理问题时,有时可以一次赋值即可解决问题,有时可能要进行多次赋值处理才能圆满解决㊂(责任编辑王福华)51解题篇创新题追根溯源高考数学2023年12月。
二项式定理易错点及赋值法妙用-高三数学解题技巧专题突破
二项式定理易错点及赋值法妙用一．【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二．方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.练习4．(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可得展开式中一次项的系数为1+2+3+…+n==，故选C.（三）求常数项例3．在二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项【答案】C【解析】由题意二项式的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故，二项式展开式的通项为要系数最小，则为奇数当时，当时，，当时，当时，，故当当时系数最小则系数最小的项是第4项，故选练习1．已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（）A．2B．1C．D．【答案】B（四）赋值法例4．已知，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵（1+x）5＝﹣[﹣2+（1﹣x）]5，通项a3＝﹣（﹣2）2＝﹣40，故选：A．练习1．对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A．3 B．6 C．9 D．21【答案】B【解析】由于，其展开式的通项为，当时，为，故.练习2．若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】令，得令得两式子相加得：，令，得到，所以，故选C。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1.二项式定理：(a + b)n = cy + 叫+ ••• + cy-r b r + …+ C；：b" (neN*),2.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C：(厂=0,1,2,•••,“).③项数：共(r + 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第厂+ 1项C；,a n-r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r+{ = C；t a''-r b r表示。
3.注意关键点：①项数：展开式中总共有(n +1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a + b)n与e + a)"是不同的。
③指数：a的指数从"逐项减到0,是降幕排列。
"的指数从0逐项减到〃，是升幕排列。
各项的次数和等于④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是…,C：,…,C；：.项的系数是d与方的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论：令a = \,b = x y (1 + x)n = C：： + C> + C>2 + …+ C；t x r + …+ C；：x” (neN*)令a = \,b = -x, (1-x)n = C；； -C\x + C>2 _... + + …+ (-1)"C；：x”(neN*)5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C；【= C；；,・・・U②二项式系数和：令a = h = \,则二项式系数的和为C,； + G +…+ C：+…+ C；： = 2",变形式C* + C； +-. + C； + ..•+ C； = 2n -1 o③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令"=1/ = 一1,则u _C + c： _ C：+…+(_I)”c;： = (I _ = 0,从而得到：C；：+C：+C：・・・+C,7+••• = (?,；+C； +…+ C；E+••• = [><2“ = 2心2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：①-②得,q +为4,设第厂+1项系数,从而解出r 来。
二项式定理(2)
81 11
330
1 x 6.试判断在 3 的展开式中有 x 2
8
无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由.
(1)二项式定理：
0 n 1 n 1 k n k k n n ( a b )n C n a Cn a b Cn a b Cn b
练习1:
2. 你能否判断 (3 x
2
1 x)10 的展开式中 否包含常数项?Tr 1 C 3 x
r 10
2
10 r
1 x
r
练习2：若 ( x+ 数列，求：
1 24 x
) 展开式中前三项系数成等差
n
（1）展开式中第3项及其二项式系数和系数；
（2）展开式中含x的一次幂的项；
二项式定理(2)
绍兴市稽山中学
上节课，我们认识了二项式定理：
1.二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b Tr 1 C a b ,(r 0,1,2,n) 第(r+1)项 2.通项公式：
n 0 n n n n n
1 n1 n r n r r n
r n r r n
3.二项式系数： C
n
r n
1 n 2 2 n r r n n n n
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念 4.特殊地： （ 1 x ） 1 C
x C x C x C x 0 1 2 n n 令以x=1得 Cn Cn Cn Cn (1 1) 2n
B
练习 3：
求(x ＋2)10 （x 2－1）展开式中含 x 10 项 179 的系数为＿＿＿＿ . (1998年全国高考题)
二项式定理易错点及赋值法妙用-高考文科数学热点专题
专题30 二项式定理易错点及赋值法妙用一．【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二．方法归纳1.运用二项式定理一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n，而后者是指字母外的部分.2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T r＋1，有时还需先求n，再求r，才能求出T r＋1.3.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项.6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决.三．【典例分析及训练】（一）求常数项例1．若二项式展开式中的第5项是常数，则自然数的值为（）A．10B．12C．13D．14【答案】B【解析】因为二项式展开式中的第5项是，因为第5项是常数，所以，即.故选B练习1．若展开式的常数项为60，则值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为展开式的通项为，令，则，所以常数项为，即，所以.故选D练习2．已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤8,则n=()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D（二）求特殊项例2.的展开式中的系数是A．-5B．10C．-15D．25【答案】A【解析】，的通项公式为，其中r=0,1,2,3的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5∴展开式中的系数是,故选：A【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.练习1．的展开式中的系数是( )A．90 B．C．15 D．【解析】，而的二项式系数满足因而的系数为，故选B。
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程首先，我们来回顾一下二项式定理的表达式。
在代数中，二项式定理可以表示为：(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a*b^(n-1)+C(n,n)*b^n其中，a和b是实数或复数常数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
接下来，我们将通过赋值法来复习二项式定理。
假设我们要计算表达式(x+y)^3的展开式中各项系数的和。
首先，我们将x和y赋值给a和b，即a=x，b=y。
然后，我们将n的值设置为3，表示幂的最高次数。
根据二项式定理，我们可以展开表达式(x+y)^3为：(x+y)^3=C(3,0)*x^3+C(3,1)*x^2*y+C(3,2)*x*y^2+C(3,3)*y^3现在，让我们逐项计算这些项的系数。
首先，我们计算C(3,0)，表示从3个元素中选择0个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,0)等于1所以，第一项的系数为：1*x^3=x^3接下来，我们计算C(3,1)，表示从3个元素中选择1个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,1)等于3所以，第二项的系数为：3*x^2*y=3x^2y然后，我们计算C(3,2)，表示从3个元素中选择2个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,2)等于3所以，第三项的系数为：3 * x * y^2 = 3xy^2最后，我们计算C(3,3)，表示从3个元素中选择3个元素的组合数。
根据组合数的定义，C(3,3)等于1所以，第四项的系数为：1*y^3=y^3现在，让我们将这些项的系数相加，求得展开式中各项系数的和：x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3从这个例子中，我们可以看出，展开式中各项系数的和等于原始表达式的幂次数加1通过赋值法复习二项式定理，我们可以更好地理解二项式定理的运用。
二项式定理考点与题型归纳
二项式定理考点与题型归纳一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40.(2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06 ·(－1)0·C 24＋C 16 ·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.(2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k .令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________.解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x .(2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案]D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7 ·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7 ·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. (3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r 82－(r －1)C r －18＝9－r 2r≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r ≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
如何逆用二项式定理
如何逆用二项式定理
二项式定理在数学中是一个非常重要的概念，它可以用于解决各种问题。
下面是关于如何逆用二项式定理的一些方法：
- 展开式：将二项式定理展开成不同的形式，然后根据需要选择合适的项进行计算。
- 赋值法：对二项式定理中的变量进行赋值，然后计算结果，以获得更多信息。
- 系数和：计算二项式定理中各项的系数和，以了解其规律和特征。
- 项数：确定二项式定理中的项数，以了解其结构和组成。
这些方法只是逆用二项式定理的一些常见方法，具体应用取决于问题的特点和需求。
在使用二项式定理时，需要仔细分析问题，选择合适的方法，并进行必要的计算和推理，以获得正确的结果。
二项式定理中的赋值技巧
二项式定理中的赋值技巧
丁书珍;刘俊霞
【期刊名称】《中学生数理化（高二数学、高考数学）》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解。
即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧。
【总页数】2页(P22-23)
【作者】丁书珍;刘俊霞
【作者单位】河南省许昌市建安区第一高级中学;河南省鄢陵县第二高级中学【正文语种】中文
【中图分类】G63
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